高考数学三角函数与平面向量复习精选

高考数学备考攻略平面向量与三角函数的综合应用高考数学备考攻略：平面向量与三角函数的综合应用在高考数学中，平面向量与三角函数是两个重要的概念和工具。

它们在各种数学问题中都有广泛的应用，特别是在几何和三角函数的综合题目中。

本文将介绍一些关于平面向量与三角函数的综合应用。

希望通过这些攻略，能够帮助大家在高考中更好地理解和应用这些知识点。

一、平面向量的几何应用平面向量的几何应用主要体现在它们的加法、减法、数量积、向量积等运算上。

下面将介绍其中的一些典型应用。

1. 平面向量的加法平面向量的加法可以用来解决平面上的位移问题。

例如，在平面直角坐标系中，有一个点A(2,3)，以向量a(1,2)为位移，求终点B的坐标。

我们可以通过向量加法得到：B = A + a = (2,3) + (1,2) = (3,5)通过这个简单的例子，我们可以看到，平面向量的加法可以用来求解平面上的位移问题，这在几何中有着重要的应用。

2. 平面向量的数量积平面向量的数量积可以用来解决两个向量之间的夹角问题。

例如，已知两个向量a(3,4)和b(5,12)，求它们的夹角θ。

我们可以通过向量的数量积求解：a·b = |a||b|cosθ其中，“·”表示向量的数量积，|a|和|b|分别表示向量的模，θ表示夹角。

根据给定的向量值代入公式计算，可以得到θ≈0.68弧度。

3. 平面向量的向量积平面向量的向量积可以用来解决平行四边形的面积、三角形的有向面积问题。

例如，在平面直角坐标系中，已知两个向量a(2,3)和b(4,1)，求平行四边形的面积。

我们可以通过向量的向量积求解：S = |a×b|其中，“×”表示向量的向量积，|a×b|为向量的模。

根据给定的向量值代入公式计算，可以得到平行四边形的面积为2。

二、三角函数的综合应用三角函数是数学中的一个重要分支，在高考数学中占有很大的比重。

下面将介绍一些关于三角函数综合应用的例子。

三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法本专题要特别小心： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的综合 3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。

【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例1. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC ) ∴AD =43AC −−13AB . 选C练习1．设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系 则，故练习2. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=（二）考察数形结合思想（如：向量与圆等图形的结合） 例2. 已知点A ,B ,C 在圆上运动，且ABBC ，若点P 的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】由题意，AC 为直径，所以当且仅当点B 为（-1，0）时，取得最大值7选B练习1. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==, = = =–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示则设由已知，得又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，选B练习2. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+设12x z y =-+ ，即102xy z -+-= 点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤ 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，选A（三）．考查向量的数量积 例3. 已知向量,则ABC =（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120 【解析】由题意，得，所以，选A【小结】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题练习1. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系则A （0，2），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ）则=（﹣x ，2﹣y ），=（﹣2﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ）所以•（+）=﹣x •（﹣2x ）+（2﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣4y +2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣3]所以当x =0，y =时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6，选D练习2.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==；AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918BAD C E（四）考查三角形中的边角互化例 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 【解析】()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A练习1. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形【解析】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：，即所以所以三角形一定是等腰三角形，选B练习2. 在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，为的角平分线，所以在中，，因为，所以在中，，因为，所以，所以则因为，所以所以，则即的取值范围为,选A练习3. 在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知,,,则的面积（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由题，，所以所以 又因为锐角三角形ABC ，所以 由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理： 面积故选D练习4. 在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =a c +的取值范围为_____．【解析】cos cos 33A B C a b a +=23cos cos sin 3b A a B C ∴+= ∴由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,43]a c ∴+∈.练习5. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________． 【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C a B b A a A b B c C+=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+- 即222a b c ab +-=，所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为29()24a b ab +≤=， 当且仅当23==b a 时取等号，所以27304ab -≤-<， 所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3[,3)2（五）三角形与向量综合 例5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A .练习1. 已知中，为的重心，则（）A．B．C．D．【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=练习2. 下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，可得时，的最大值为，故④正确故答案为：②③④练习3. 在ABC 中， 60A ∠=︒， 3AB =， 2AC =. 若2BD DC =， ()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________. 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ 则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭（六）向量与三角函数综合例6. 自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，7a =，则3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（ ）A ．1,72⎛⎤⎥⎝⎦B ．7,72⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．1,72⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．7,72⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=- 322cos 3cos 7cos 3cos 33PQ PO QP QO PQ QP POQO ππαααα⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()3331337cos cos 7cos 7sin 22ααααααϕ⎫⎫=-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭其中3tan 9ϕ=，则7sin 14ϕ=20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值7 ()()7sin sin 0sin 14αϕϕϕ->-=-=-，∴()77sin 2αϕ->- 37,72PQ PO QP QO PO QO ⎛⎤⋅⋅+∈- ⎥ ⎝⎦∴，选D练习1. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则， 由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得 ，（七）三角形中的最值 例7. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，设的面积为，，则的最小值为_______． 【解析】在中，由得， 因为利用正弦定理得，再根据，可得，，，由余弦定理得，求得，所以，所以 ，所以，当且仅当，即时取等，所以 的最小值为。

精品文档高考中的三角函数一、安徽高考考试说明中对三角函数和平面向量的要求： （八）基本初等函数Ⅱ(三角函数) 1．任意角、弧度(1)了解任意角的概念和弧度制的概念。

(2)能进行弧度与角度的互化。

2．三角函数(1) 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

(2) 能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±，πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin ,cos ,tan y x y x y x ===的图像，了解三角函数的周期性。

(3) 理解正弦函数、余弦函数在[]0,2π上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在 (,)22ππ-内的单调性。

(4) 理解同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，sin tan cos xx x= (5) 了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出函数sin()y A x ωϕ=+的图像。

了解参数对函数图像变化的影响。

(6) 会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

(九)平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念(1) 了解向量的实际背景。

(2) 理解平面向量的概念和两个向量相等的含义。

(3) 理解向量的几何表示。

2.向量的线性运算(1) 掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义。

(2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

(3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示(1) 了解平面向量的基本定理及其意义。

(2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

(3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

(4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积(1) 理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

(2) 了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

(3) 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

第四章 三角函数一、突破方法技巧：1．三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如：1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ； 配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

2. 解答三角高考题的策略。

(1)内角和定理：三角形三角和为π，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； ②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.(4)面积公式：11sin 22a S ah ab C ==.特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：,A B C π+=-s i n ()s i n ,s i n c o s 22A B CA B C ++==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

专题一 三角函数与平面向量一、考纲要求 知识要求：三角函数（1） 能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简（2） 理解和掌握三角函数的图像及性质（3） 能用正弦定理、余弦定理解三角形问题 平面向量（1） 能灵活运用平面向量的数量积解决有关问题 （2） 理解和掌握平面向量的几何运算、坐标运算 （3） 理解和掌握平面向量的平行和垂直关系能力要求：培养观察能力、化归能力、运算能力以及灵活运用的实践能力和创新意识二．考点解读高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。

解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。

三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。

平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。

向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。

但同时，平面向量的工具性不容忽视。

以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。

关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。

（4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。

小题大都以考察基本公式、基本性质为主，解答题以基础题为主，中档题可能有所涉及，压轴题可能性不大。

三．考题预测预测题1、已知函数sin()cos(),1212y x x ππ=--则下列判断正确的是（ ）C BAPDEA ．此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)12πB ．此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)12πC ．此函数的最小正周期为2π,其图象的一个对称中心是(,0)6πD ．此函数的最小正周期为π,其图象的一个对称中心是(,0)6π参考答案：12cos()12sin(ππ--=x x y =62sin(21π-x ， 所以ππ==22T ，对称中心是(,0)12π。

三角函数与平面向量复习例谈三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点.一、三角函数问题1．三角函数的图像和性质 （1）具体要求：①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2π±α，π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性；④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（-2π,2π）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与轴交点等）；⑤理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x+cos 2x=1，xxcos sin =tanx. ⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+ϕ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+ϕ)的图像，观察参数A ，ω，ϕ对函数图像变化的影响；⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势.例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+ϕ)( A >0,ω>0,∣ϕ∣<2π)的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2).（1）求f (x)的解析式；（2）用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图； （3）写出函数f (x)的单调区间； （4）写出f (x)>3的角x 的集合；（5）函数f (x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y=sinx 的图像. 解：（1）依题意可知A=2，ωπ2=2·4=8，ω=4π，于是得 f (x)= 2sin(4πx+ϕ) 又x=0时f (0)= 2sin ϕ=1，sin ϕ=21，且∣ϕ∣<2π， ∴ϕ=6π. f (x)= 2sin(4πx+6π) （2）列表如下：4πx+6π 02π π23π 2πx -32 34 310 316 322 y 02-2（3）函数f (x)的单调增区间是[-38+8k ，34+8k]（k∈Z ），减区间是[34+8k ，316+8k]（k∈Z ）.（4）f (x)>3的角x 的集合是{x∣31+8k ＜x ＜2+8k , k∈Z }.（5）把函数f (x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的21；再把所得函数的图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的π4；再把所得的函数图像向右平移6π个单位即得函数y=sinx 的图像.点评：本题重点考查相关的基础知识和基本方法，考查阅读理解及语言表达能力.狠抓双基的学习是永恒的话题.例2．（2006·湖北·理）设函数()f x = a·(b +c )，其中向量a=(sinx ，-cosx)，b=(sinx ，-3cosx)，c =(-cosx ，sinx)，x ∈R .（Ⅰ）、求函数()f x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、将函数()f x 的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b +c ) =(sinx,－cosx )·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k , k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），∣d ∣,4)832(2+-=ππk k ∈Z . 因为k 为整数，要使∣d ∣最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求. 点评：本题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 在这里我们也可以看到，所谓的高考试题，实际上更加注重对双基的考查，提醒我们平时学习要注重基础，注重对所学知识的融会贯通.2三角恒等变换 (1)具体要求①经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； ②能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.(2)题型示例：这部分的问题主要是化简、求值、证明等问题.例3.（2005•福建）已知-2π<x<0，sinx+cosx=51.(1)求sinx-cosx 的值；(2)求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.解：（1）由sinx+cosx=51得sinxcosx=-2512，∴（sinx-cosx ）2=1-2sinxcosx=2549.又-2π<x<0，故sinx ＜0，cosx ＞0，sinx-cosx=-57.(2) 由sinx+cosx=51，sinx-cosx=-57得sinx=-53，cosx=54，tanx=-43，∴x x x tan 1sin 22sin 2-+=-17524.点评：此题考查了同角三角函数关系式的运用、三角函数的化简、变形能力，考查了方程的思想.注意到sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 之间的关系，这在化简求值中应用的频率上很高的.例4（2006重庆理）已知βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα=_______ .解：由βα,⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43得βα+∈（23π，2π），又sin(βα+)=－,53故cos(βα+)=54. 由β⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ,43得β-4π∈（2π，43π），又sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ故cos(β-4π)=-135.于是，cos ⎪⎭⎫⎝⎛+4πα=cos[(βα+)-(β-4π)] = cos(βα+)cos(β-4π)+sin(βα+)sin(β-4π) =-6556. 点评：本题考查三角变换及三角运算能力.三角变换包括三角函数、三角式的变换和角变换，这里主要是角的变换.灵活地进行角的变换是灵活地进行三角变形的基础.3.解三角形 （1）具体要求①通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；②能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（2）题型示例：利用三角知识解决三角形中的三角函数问题，包括解三角形，三角形形状的判定，应用问题等.要注意的是三角形中的边角关系、正余弦定理的灵活运用.例5．（2006江西文）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值； （2）若2a =，ABC S =△，求b 的值．解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin 3A =，所以cosA ＝13，则 22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－.（2）因为S ABC ∆=2，又S ABC ∆=21bcsinA=21bc ·322，则bc ＝3将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝解得b ＝3 . 点评：本题主要考查三角形中的三角函数问题，灵活运用诱导公式、同角三角函数的关系式、二倍角公式、三角形面积公式、余弦定理等进行三角变换、计算的能力.例6.（2006上海文·理）如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救。

高考数学易错题精选：三角函数与平面向量1．在同一坐标系中，函数x y sin =的图像和函数x y =的图像有( )个公共点..函数x y sin =的图像和函数tan y x =（ (),x ππ∈-）的图像有( )个公共点.A. 1 ,3B. 1 ,1C. 3, 1D. 3, 32cos x x a +=在[0,2]π上有两个不同的实数解，的取值范围是则a ( )A. (2,0)(1,2)a ∈-⋃B. (2,2)a ∈-C. (2,1)(1,2)a ∈-⋃D.(2,1)a ∈-3.当20π<<x 时,函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为( )A.2B.32C.4D.344．已知平面上直线l 的方向向量43(,)55e =-，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别是'O 和'A ，则''O A e λ=，其中λ等于( ) A.2 B.-2 C.5 D. 5-5.在ABC ∆中,有命题:①AB AC BC -= ②若()()0AB AC AB AC +⋅-=,则ABC ∆为等腰三角形③对任意||||,m R m ≥-∈恒成立，则ABC ∆的形状为直角三角形④若0AC AB ⋅>,则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.②③④6．如图123,,l l l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2 正三角形ABC 的三个顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是（ ）A ．B C D 7．设O 为△ABC 所在平面内一点，已知222222||||||||||||OA BC OB AC OC AB +=+=+， 、则点O 是△ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心8．定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-，且在[－3，－2]上是减函数，βα,是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是 （ ）． A .(sin )(cos )f f αβ> B.(cos )(cos )f f αβ< C .(cos )(cos )f f αβ>D.(sin )(cos )f f αβ<9．.若22sin sin =+βα,则βαcos cos +的取值范围是（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22C ．[]2,2-D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-214,21410.如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于222C B A ∆的三个内角的正弦值,则( ) A.111C B A ∆ 与222C B A ∆都为锐角三角形. B. 111C B A ∆ 222C B A ∆与都为钝角三角形. C.111C B A ∆ 为钝角三角形, 222C B A ∆为锐角三角形. D. 111C B A ∆ 为锐角三角形, 222C B A ∆为钝角三角形.11．某时钟的秒针端点A 到中点O 的距离为5cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间0t =时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点间的距离()d cm 表示成()t s 的函数，则d = ．其中[0,60]t ∈12．若平面向量a ，b 满足||1,a b a b +=+平行于x 轴，(2,1)b =-，则a = ． 13．已知向量a =(1,2)-,b (1,)λ=(R λ∈），则使a 与b 的夹角为锐角的λ的范围为 ． 14．设点A （1，0），B （0，1），O 为坐标原点，点P 在线段AB 上移动，AP AB λ=，若OP AB PA PB ≥，则实数λ的取值范围是 ．15．已知向量(2,0)OB =，向量(2,2)OC =，向量(2)CA αα=，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围为 ．16．点O 在ABC ∆内部且满足220OA OB OC ++=，则ABC ∆面积与凹四边形ABOC 面积之比是 ．17.在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x =的图像所围成的封闭图形的面积是________。

高考二轮数学复习：三角函数与平面向量2021年高考二轮数学考点突破复习：三角函数与平面向量1.三角函数作为一种重要的差不多初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一.近几年对三角函数的要求差不多未作调整，要紧考查三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的差不多关系式、诱导公式、和角与倍角公式等.高考对三角函数与三角恒等变换内容的考查，一是设置一道或两道客观题，考查三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等内容;二是设置一道解答题，考查三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实际应用，一样显现在前两个解答题的位置.不管是客观题依旧解答题，从难度来说均属于中低档题目，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%.2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直截了当考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.1.2021年高考试题推测(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及进展趋势，以下仍是今后高考的要紧内容：①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。

但随着素养教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力进展的教学方式,慢慢为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。

事实上,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素养并不矛盾。

相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。

高考猜题专题01 三角函数与平面向量1、近几年高考对三角变换的考查要求减弱，加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题2、平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表 示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题一.选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．已知向量26()3λλ+=，a ，(10)=，i 和(01)=，j ，若⋅=-a j ，则向量a 与i 的夹角<>，a i =（ ） A ．3πB ．6π-C ．65πD ．6π2．已知函数()cos 2f x x π=+（x R ∈），则下列叙述错误的是（ ）A ．()f x 的最大值与最小值之和等于πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[]4,7上是增函数D ．()f x 的图像关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称3．关于函数πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，有以下四个说法： ①关于点π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ②关于点5π012⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③关于直线π6x =对称； ④关于直线5π12x =对称 则正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④4．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (2 001)＝3，则f (2 012)的值是 ( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．15．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于 ( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．76．已知,a b 是夹角为120的单位向量，则向量a b λ+与2a b -垂直的充要条件是实数λ的值为（ ）A ．54 B ．52C ．34D ．327．在ABC ∆中，c b a ,,分别为三个内角A 、B 、C 所对的边,设向量m (),,b c c a =--n (),b c a =+，若向量m ⊥n ，则角A 的大小为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π8．已知函数()sin()(,0)4f x x x πωω=+∈>R 的最小正周期为π，为了得到函数()cos()4g x x πω=+的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度9．如右图所示的曲线是以锐角ABC ∆的顶点B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线，若ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ,且sin 4,6,c A a b a ===） A．32+ B．32C．3 D．310. 设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5 D ．611. 将函数f(x)=2sin ()(0)3x πωω->的图象向左平移3πω个单位，得到函数y=g(x)的图象．若y=g(x)在[0,4π]上为增函数，则ω的最大值 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 如图，在△ABC 中，AD=2DB ，AE=3EC ，CD 与BE 交于F ， 设,,,(,)AB a AC b AF xa yb x y ===+则为 （ ）A ．11(,)32B ．11(,)43C ．33(,)77D ．29(,)520二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知非零向量AB 与AC 满足||AB ||AC ）·BC =0,||AB ||AC 21,则△ABC 为______________．（ ）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形14．在ABC ∆中，O 为边BC 中线AM 上的一点，若4=AM ，则)(+∙的（ ）A ．最大值为8B ．最大值为4C ．最小值－4D ．最小值为－815．设a=（a 1，a 2）,b=（b 1,b 2）．定义一种向量积),(),(),(22112121b a b a b b a a =⊕=⊕．已知)0,3(),21,2(π==，点P （x,y ）在y=sinx 的图象上运动,点Q 在y=f （x ）的图象上运动，且满足n OP m OQ +⊕=（其中O 为坐标原点），则y=f （x ）的最大值A 及最小正周期T 分别为（ ）A ．2,πB ．2,4πC ．π4,21D ．π,2116．设函数f （x ）的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f （x ）在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝s1nn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n∈N *），（1）y ＝s1n3x 在[0,32π]上的面积为 ；（2）y ＝s1n （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 ．三.解答题(共6小题，17题10分，18-22题12分，共70分) 17．已知向量(2cos ,1),(3sin cos ,)m x n x x a ωωω==-，其中(,0)x R ω∈>，函数()f x m n =∙的最小正周期为π，最大值为3。