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第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17
题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合
【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量.
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B
2的最大值.
题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】
已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π
2
，2π)，且→a ⊥→b ．
（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π
3)的值．
题型三. 三角函数与平面向量的模的综合
【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2
5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)
若－π2＜β＜0＜α＜π
2，且sinβ＝－513，求sinα的值.
题型四 三角函数与平面向量数量积的综合
【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）
求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.
题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例5】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；（2）若5
2
CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ．
题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算
【例6】()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数
()y f x =的图象经过点(,2)4
π
．
（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3
()2
f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】
三角函数与平面向量训练反馈
1、已知向量a =（x x x 3,52
-），b =（2，x ），且b a ⊥，则由x 的值构成的集合是（ ）
A 、｛0，2，3｝
B 、｛0，2｝
C 、｛2｝
D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤,1sin 2sin cos x x x -=-,则 （ ）
A ．0x π≤≤
B ．
74
4x π
π≤≤
C ．544
x ππ
≤≤ D ．
32
2
x π
π
≤≤
3、函数1cos 4tan 2sin )(++⋅=x x x x f 的值域是 。
4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b
C a c
=-
+. （1）求角B 的大小；
（2）若b 13a ＋c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3
(cos(π
+
=x a ，)21),3(cos(-+
=π
x b ，)0),3
(sin(π+=x c 函数 b a x f ⋅=)(， c a x g ⋅=)(， c b b a x h ⋅-⋅=)(
（1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．
6．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，
(cos ,sin ),c x x x R =-∈．
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，
求长度最小的d ．
7．已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-
<<
．
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值．
8、已知向量)21,sin (--=→
θa m ，)cos ,2
1
(θ=→n ．
（1）当2
2
=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值； （2）当0=a ，且→m ∥→
n 时，求θtan 的值．
【专题训练】 一、选择题
1．已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos20︒，sin20︒)，则→a ·→b ＝ （ ）
A ．1
B ．
32 C ．12
D ．
22
2．将函数y ＝2sin2x －π2的图象按向量(π2，π
2
)平移后得到图象对应的解析式是
（ ）
A ．2cos2x
B ．－2cos2x
C ．2sin2x
D ．－2sin2x
3．已知△ABC 中，AB →＝a →，AC →＝b →，若a →·b →
＜0，则△ABC 是 （ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．任意三角形 4．设→a ＝(32,sin α)，→b ＝(cos α,13
)，且→a ∥→b ，则锐角α为
（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
5．已知→a ＝(sin θ，1＋cosθ)，→b ＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，3π
2
)，则一定有 （ ）
A ．→a ∥→b
B ．→a ⊥→b
C ．→a 与→b 夹角为45°
D ．|→a |＝|→b |
6．已知向量a →＝(6，－4)，b →＝(0，2),c →＝a →＋λb →，若C 点在函数y ＝sin π
12
x 的图象上,实数λ
＝ （ ）
A ．52
B ．32
C ．－52
D ．－32
7．设0≤θ≤2π时，已知两个向量OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量P 1P 2→
长度
的最大值是
（ ）
A ． 2
B ． 3
C ．3 2
D ．2 3 8．若向量→a ＝(cos α,sin α)，→b ＝(cos β,sin β)，则→a 与→b 一定满足
（ ） A ．→a 与→b 的夹角等于α－β
B ．→a ⊥→b
C ．→a ∥→b
D ．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )
9．已知向量→a ＝(cos25︒,sin25︒)，→b ＝(sin20︒,cos20︒)，若t 是实数，且→u ＝→a ＋t →b ，则|→u |的最小值为 （ ）
A ． 2
B ．1
C ．
2
2
D ．12
10．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是该平面上不共线的3个点，一动点P 满足：→OP
＝→OA ＋λ(→AB ＋→AC)，λ∈(0,＋∞)，则直线AP 一定通过△ABC 的 （ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
二、填空题
11．已知向量→m ＝(sin θ，2cos θ)，→n ＝(3,－1
2
).若→m ∥→n ，则sin2θ的值为____________．
12．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA
＝(2cos α，2sin α)，→OB ＝(5cos β，5sin β)，若→OA·→OB ＝－5，则S △AOB 的值为_____________.
13．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4
，且→m ·→n ＝－1.则向量→
n ＝__________．
三、解答题
14．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝(3,－1)，→m·→n ＝1，且A 为锐角.
