第二讲 数与式

初二年级数学教案数与式初二年级数学教案：数与式引言：数与式是初中数学的重要内容之一。

它涉及到数的运算、表达和关系的建立。

在初二年级，学生已经掌握了整数、有理数、分数等基本数的概念和运算规则，接下来的学习重点是掌握数与式的基本概念、加法和乘法法则，并能熟练地运用它们解决实际问题。

一、教学目标：1. 理解数与式的概念，能通过具体事例将其区分开来；2. 掌握数与式的加法和乘法法则；3. 运用数与式解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 数与式的概念理解；2. 数与式的加法和乘法法则的掌握；3. 运用数与式解决实际问题的能力培养。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）教师利用具体例子，如：“小明花了5元钱买了3本书，每本书的价格相同，那么这次购物花了多少钱？”来引出数与式的概念，并引导学生思考，如何将这个问题用数与式来表示。

2. 学习与练习（30分钟）a. 数与式的概念理解学生通过多组例子，如：“小明有5个苹果，小芳有3个苹果，他们一共有多少个苹果？”“一列火车上一共有7节车厢，每节车厢上有25个座位，这列火车上一共有多少个座位？”等，来理解数与式的概念。

并写下相应的数与式表示。

b. 数与式的加法法则教师通过具体例子，如：“5+3=8”“7+2=9”，引出加法法则，并带领学生总结归纳，然后进行练习。

c. 数与式的乘法法则教师通过具体例子，如：“2 × 3 = 6”“4 × 5 = 20”，引出乘法法则，并带领学生总结归纳，然后进行练习。

3. 拓展与应用（15分钟）教师通过实际生活中的问题，如：“小明每天早上骑自行车去学校，每天用时25分钟，一周七天，那么他一周上学用时多少分钟？”引导学生运用数与式解决实际问题，并讨论解决问题的思路和方法。

4. 总结与展示（10分钟）教师与学生一起总结数与式的概念、加法和乘法法则，并邀请学生上台展示他们解决实际问题的方法和答案。

六年级数学教案数与式六年级数学教案教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解数与式的概念，灵活运用加减运算规则，解决简单的数与式问题。

教学重点：数与式的概念和运算规则教学难点：解决数与式问题教具准备：黑板、彩色粉笔、教材、练习册教学过程：一、导入（5分钟）1. 通过给学生出示几个简单的数与式问题，让学生思考并回答，引出本节课的教学内容。

2. 引导学生回顾一年级到五年级对于数与式的学习，复习加减运算的规则。

二、呈现与学习（20分钟）1. 向学生介绍数与式的概念，让学生通过讨论给出自己的理解。

2. 通过板书的形式，向学生展示数与式的符号表示，以及基本的加减法运算规则，引导学生进行简单的计算练习。

3. 展示一些实际生活中的例子，让学生辨认哪些是数，哪些是式，并帮助学生进行数与式的转换。

三、拓展与运用（20分钟）1. 给学生出示一些与数与式相关的应用问题，让学生思考并运用所学知识进行解答。

2. 针对一些学生可能遇到的困难，进行重点辅导和讲解，帮助学生理解并解决问题。

四、巩固与评价（10分钟）1. 分发练习册，让学生独立完成相关的练习题目，并检查答案。

2. 随堂检测：给学生出几道简单的题目，测试他们对于数与式的理解和应用能力。

五、课堂总结（5分钟）1. 对本节课的学习进行小结，重点强调数与式的概念和运算规则。

2. 鼓励学生积极参与数学学习，提高对数与式的理解和应用能力。

六、作业布置（2分钟）1. 布置相应的作业任务，要求学生巩固今天所学知识，完成练习册上的相关练习。

2. 强调作业的重要性，并鼓励学生主动解决问题，提高学习效果。

教学反思：通过本节课的教学，学生对于数与式的概念和运算规则有了更深入的理解。

通过课堂上的讨论和练习，学生运用所学知识解决了一些简单的数与式问题。

同时，教师在教学中积极发现和解决学生的困惑，注重巩固学生的基础知识和应用能力。

在今后的教学中，可以更多运用生活中的例子来引导学生，增加课堂互动，提高学生的参与度和兴趣。

《初高中数学衔接教材》序言童永奇高一新生，你们好，祝贺大家考入临潼区马额中学！进入我校，同学们必须努力学好《初高中数学衔接教材》，理由如下：一方面，由于我校是普通农村高中学校，生源质量相对较差；另一方面，由于高中数学是初中数学的延伸与拓展，初中我们学到的知识、方法在高中会经常使用。

既然学习《初高中数学衔接教材》如此重要，那么我们应该如何学习呢提几点建议：一、“信心”是源泉。

人缺乏信心，就丧失了驱动力，终将一事无成。

二、“恒心”是保障。

人缺乏恒心，将“三天打鱼，两天晒网”。

:三、“巧心”是支柱。

人无巧心，就缺乏灵气和创造力。

最后，衷心祝愿同学们在《初高中数学衔接教材》的学习中获得成功，请将那么成功的经验及时告诉我们，以便让更多的朋友分享你们成功的喜悦！}$临潼区马额中学高一数学校本教材童永奇结合我校学生的实际情况——基础知识较差，能力较差，没有掌握较好的学习方法，特设计适合我校高一学生使用的校本教材。

主要包括以下两个内容：一是《怎样学好数学》，二是《初高中数学衔接》。

怎样学好数学。

A.要学好数学，就应该了解数学本身具有的三大特点。

（一）抽象性：数学的抽象性是无条件的，它的概念一经产生和定义之后，就稳定下来并且被看作是已知的，它们与现实的比较不是数学本身，而是它的应用问题。

（二）严谨性：由于数学的严谨性，人们往往认为数学是一种“冷而严肃的美”。

罗素说：“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也是具有至高的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。

”（三）应用的广泛性：在任何一个领域，只要能从数学的角度提出问题，数学就能给出与所提问题的精确度相符合的答案，数学的这种威力恰恰是来源于它的抽象性。

B.要学好数学，就应该重视数学思想方法的学习。

数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，是在多次领悟、反复应用的基础上形成的，所以一道题做完后，就应该进行反思，回味解题中所使用的思想方法。

中考总复习教案第一章 数与式第一课时 实数教学目的1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值．3．会用科学记数法表示数．4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题．5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用．教学重点与难点重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较．教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）．教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧比较大小念平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类实数 2．⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧科学记数法运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算 （二）例习题讲解与练习例1 在3.14，1-5，0，2π，cos30°，722，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？（考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易）（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-不是无理数） ③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2π是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等例2 （1）已知a -2与2a+1互为相反数，求a 的值；（2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值．（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易） （这是基础知识，由学生解答，老师总结）【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数⇔a+b=0；a 、b 互为倒数⇔a ·b=1．（2）非负数概念：例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．（3）①化简=-π5_________；②347-=__________； ③估计215-与0.5的大小关系是215- 0.5（填“ > ”、“=”、“<”） ． （答案：（1）3x +；（2）a+b<a<-b<a-b ；（3）①7-π；②347-；③ >）（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等． 考查层次：中）（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x -，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．（3）绝对值的意义：（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法． 练习一：1．21的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____；9的算术平方根是____；-8的立方根是____． 2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．3．下列各式中正确的是（ ）A ．2)2(2-=-B ．2121-=-C ．()()22--=-+D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121 6．比较大小（用“＞”、“＝”或“＜”号填空）：（1）-97 -54；（2）7 25． 8．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．a b >B ．a b >-C ．-a > bD ．a b -<-9．如图，梯形ABCD 的面积是_________．102(1)0n +=，则m n +的值为 ． 11．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy ＜0，则x ＋y 的值等于（ ）A ．1或－1B ．5或－5C ．5或1D ．－5或－112．在等式3× -2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式仍然成立，则第一个方格内的数为_____．2题图9题图14．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求出的两张卡片上的数字都是正数的概率．（答案：1．略 2．21 3．D 4．(1)略 （2）0 5．C 6．（1）> （2）< 7．B 8．C 9．9 10．2 11．A 12．313．C 14．41） 例4 （1）用科学记数法表示2009000=_________，将其数字精确到万位的近似数为_________；（2）用科学记数法表示0.000396 =________，将其数字保留两位有效数字的近似数为_________． （考查的知识点：近似数和有效数字概念，用科学记数法表示数． 考查层次：易）（帮着学生回忆科学记数法等概念，这是基础知识，由学生口答，师生共同归纳、小结）【归纳】：（1）科学记数法：（2）保留有效数字时取近似数的方法：例5 计算下列各题：（1）685.3685.1431616148⨯+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---； （答案：-13） （2）)3(31)3(3322-⨯÷-++-； （答案：-87） （3）345tan 12312110-︒-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--． （答案：352+）（考查的知识点：实数的运算法则、运算律等． 考查层次：易）（这是基础题，让学生独立完成——要保证计算的准确率，由学生归纳、小结）【说明】：（1）巧用运算律：第一小题前面可用分配律，后面可逆用分配律；（2）第二小题注意运算顺序及-32和(-3)2的区别；（3）第一小题注意0指数与负指数的特性；（4）注意每一步运算时，应先确定符号，后计算绝对值；（5）强调书写的运算步骤.※ 例6 （找数字规律的题）根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．【答案】【说明】：探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察，通过对数字之间关系的分析，探索数字的规律．练习二：（供选用）1．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（ ）A ．11℃B ．4℃C ．18℃D ．11-℃2．下列四个运算中，结果最小的是（ ）A ．1+ (-2)B ．1- (-2)C ．1×(-2)D ．1 ÷(-2)3．下列等式正确的是（ ） 12 3 3 4 15 5 6 35 8背面正面530-3A ．3(1)1--=B ．()2222-=- C ．236(2)(2)2-⨯-= D ．0(4)1-= 4．下列运算的结果中，是正数的是（ ）A ．()12007--B ．()20071-C ．()()12007-⨯-D ．()20072007-÷5．（1）我国淡水面积大约为66 000千米2，用科学记数法表示数字66 000= ．（2）蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，蜂房的巢壁厚约0.000073米，用科学记数法表示数字0.000073=___________．（3）某市在今年2月份突遇大风雪灾害性天气，造成直接经济损失5000万元.数字5000用科学记数法表示为（ ） A ．5000 B ．5⨯102 C ．5⨯103 D ．5⨯1046．通过四舍五入得到的近似值3.56万精确到（ ）A ．百分位B ．百位C ．千位D ．万位7．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6.71×103千米，总航程约为 (π取3.14，保留3个有效数字) ( )A ．5.90 ×105千米B ．5.90 ×106千米C ．5.89 ×105千米D ．5.89×106千米8．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为 1，则输出y 的值为 ．9当输入数据为6时，输出数据是 ．10．计算：(1)()10212008312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+； (2)()104145cos 2018-⎪⎭⎫ ⎝⎛+︒---π； （3）224)4(163343263221-⨯-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷--； （答案：1．B 2．C 3．D4．C 5．（1）6.6⨯104 （2）7.3⨯10-5 （3）C 6．B 7．A 8．4 9．7296 10．（1）133+；（2）322+；（3）-6； ）自我检测题：（供选用）1．在实数sin 30︒，2,0,0.101001000133π-- （每两个1之间依次多1个0）这六个数中，无理数是____________________________________．2．16的平方根是（ ）A ．4B ．±4C ．-4D．±83．实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1 的大小关系正确的是（ ）A ．-a < a <1B ． a < -a <1C ． 1< -a < aD ． a < 1 < -a4．下列各等式正确的是（ ） 3题图A ．33=--B ．()2233-=- C ．39±= D ．3273-=- 5．如图，数轴上点A 表示的数可能是（ ）A ．22B ．5C ．10D ．156．如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，则A B ，两点间的距离是 ．（用含m n ，的式子表示）7．（1）用科学记数法表示0.0032为（ ） A ．32102.⨯- B ．32103.⨯- C ．32104⨯- D ．032102.⨯- （2）下列用科学记数法表示2009 (保留两个有效数字)，正确的是（ ）A ．2.0×103B ．2.01×103C ．2.0×104D ．0.20×1048．2ab -与1b +互为相反数，则()2b a +的值是________． 92倍）：则第6行中的最后一个数为（ ）A ．31B ．49C ．63D ．127 10．计算：（1）︒--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----60cos 2)3(21301π；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-81923)23(878． （答案：1．3π、-0.1010010001… 2．B 3．D 4．D 5．C 6．n -m 或：|m -n| 7．（1）B（2）A8．9 10．（1）-5；（2）414 ）第二课时 整式与因式分解教学目的1．能用幂的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算．2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解．4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值．5．会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律．教学重点与难点重点：整式运算（幂的性质和乘法公式）、因式分解．难点：列代数式及代数式的变形．0 n 6题图5题图教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结．教学过程（一）知识梳理1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧乘法公式幂的运算乘除去括号、合并同类项—加减运算多项式单项式概念整式 3．整式乘法−−−−→←互为逆运算因式分解⎩⎨⎧公式法提公因式法 （二）例习题讲解与练习例1 （1）在下列所给的运算中，正确的都是（写序号）______________________________．① a 3+a 3= a 6 ② a+2a=3a ③ a 4•a 3 = a 7 ④a •a 3= a 3 ⑤a 3÷a 3= a 3 ⑥ (a 3)2= a 6 ⑦ (2a)3=2a 3 ⑧ (-ab 3)2 = a 3b 6（2）计算：① 3a (2a 2-4a+3 ) - (6a 2 +4a )÷2a ； （6a 3-12a 2+6a-2）② (x -2)2 -[3 (2x+1) (2x -1) - (x+2) (x -1)] ； （-10x 2-3x+5）③已知a 与b-1互为相反数，求多项式4 -[ 5 (a -2b) -3 (a+b) +15b ]的值．（提示：先化简多项式，再由已知得a+b=1后整体代入，计算结果值为2）（考查的知识点：整式运算——合并同类项、幂的性质和乘法公式等． 考查层次：易）（这是一组基础题，目的是帮着学生回忆合并同类项法则、幂的性质和乘法公式，可由学生独立完成，学生归纳、小结）【说明】：（1）合并同类项、幂的性质和乘法公式是考点，要求学生熟练掌握；（2）整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆，特别注意几个易混的知识点；（3）其中（2）题中的③依据条件a 与b 的值是不可求的，所以应利用整体代入法求值，迅速简便． 练习一：1．观察下列单项式：x ，-2x 2，4x 3，-8x 4，16x 5，…，按此规律写出第8个单项式是_________．2．若单项式22m x y 与313n x y -是同类项，则m n +的值是 ．3．下列运算正确的是（ ）A ．226()x x x -⋅=B ．32()x x x -÷=C ．236(2)8x x =D ．2224(2)2x x x -=4．若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ） A ．23 B ．32C ．1D ．1- 5．下列运算中正确的是（ ） A ．1055x 2x x =+ B ．(12 x – 3y) (– 12 x +3y ) = 14x 2 – 9y 2 C ．(– 2x 2y) 3·4x – 3 = – 24x 3y 3 D ．- (-x )3 · (-x )5 = -x 86．化简a (a -2b) - (a -b)2 =_______________．7．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A ．(a+b)2 = a 2+2ab+b 2B ．(a -b)2 = a 2-2ab+b 2C ．a 2-b 2 = (a+b) (a -b)2D ．(a+2b) (a -b) = a 2+ab -2b 28．已知240x -=，求代数式22(1)()7x x x x x x +-+--的值．9．先化简，再求值： 221[(2)(2)2(2)](),10,.25xy xy x y xy x y +---÷==-其中 （答案：1．-128x 8 2．D 3．5 4．C 5．A 6．D 7．-b 2 8．B 9． 10．C 11．-3 12．52 )例2 分解因式：（1）x 3 -9x ； （2）a 2b 2 +10ab 3 -25b 4 ； ； （3）x 4 -81．（10年中考）分解因式：m 2-4m =（3）．（08中考）分解因式：32a ab -= ．（4）（09年中考）. 把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+C.()2x x y +D.()2x x y - （考查的知识点：因式分解． 考查层次：易）（这是一组基础题，要让学生必须掌握分解因式的方法，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、小结）【说明】：（1）因式分解的步骤（先要提取公因式，然后考虑用公式）；（2）应该注意的几个问题：①如果多项式首项系数为负，一般要提出负号，使括号内的第一项系数为正；②要分解到每一个因式都再也不能分解为止； ③如果有多项式乘方时，应注意规律：(b -a)2k = (a -b)2k ；(b -a)2 k+1 = (a -b)2 k+1．（k 为整数）练习二：1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．ay ax )y x (a +=+B ．4)4x (x 4x 4x 2+-=+-C ．)1x 2(x 5x 5x 102-=-D ．x 3)4x )(4x (x 316x 2+-+=+-2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A ．x 3－x ＝x (x 2－1)B ．x 2－2xy ＋y 2 ＝(x －y)2C ．x 2y －xy 2 ＝xy (x －y)D ．x 2－y 2 ＝ (x －y) (x ＋y)3．分解因式：（1）–3a 2 +12b 2=________________；（2）. ax 2-4ax+4a= ；（3）2322a b b ab +-= ；（4）(x 2 +2x+1)-y 2 =__________________；。