福建省厦门第一中学2024-2025学年度第一学期入学考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)x P y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（）A.M P =B.P M∈ C.M P⊆ D.P M⊆2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（）A.7B.8C.10D.1233.已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（）A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，1]C.[﹣3，1]D.[1，+∞）4.已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.55 B.55-C.45D.2555.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞6.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A. B. C.2863D.7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D.若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4- B.3- C.3D.4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率1210.已知函数() cos sin f x x x x =-，则（）A.函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B.对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C.若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D.若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为111.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（）A .曲线C 关于x 轴对称B.曲线CC.曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D.点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为__________.13.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为___________.14.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=．（1）求B ；（2）若AC =，点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．17.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.18.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为22，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为（1）求E 的方程；（2）设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.（1）当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2）当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3）由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：17.03≈)福建省厦门第一中学2024-2025学年度第一学期入学考高三年数学试卷满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}2|e 1,|log (2)x P y y M x y x ==+==-，则集合M 与集合P 的关系是（）A.M P =B.P M∈ C.M P⊆ D.P M⊆【答案】C 【解析】【分析】求出集合P 中函数的值域，集合Q 中函数的定义域，得到这两个集合，可判断集合间的关系.【详解】函数e 1x y =+值域为()1,+∞，函数2log (2)y x =-定义域为()2,+∞，即()1,=+∞P ，()2,M =+∞，所以有M P ⊆.故选：C.2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差不为0，若4a ，5a ，7a ，成等比数列，1166S =，则8a =（）A.7B.8C.10D.123【答案】C 【解析】【分析】设公差为d ，由题意可得1,a d 的方程组，解方程组求出n a 可得答案.【详解】设公差为d ，由题意可得5547111101111662a a a a S a d ⨯=⨯⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即()()()21111436115566a d a d a d a d ⎧+=+⨯+⎪⎨+=⎪⎩，解得106d a =⎧⎨=⎩舍去，或124d a =⎧⎨=-⎩，所以()42126n a n n =-+-=-，可得816610=-=a .故选：C.3.已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[a ﹣1，2]，则函数()f x 的值域为（）A.（﹣∞，1） B.（﹣∞，1]C.[﹣3，1]D.[1，+∞）【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义域特征，求出a 的值，再由偶函数的定义求出b ，结合二次函数图像，即可求解.【详解】已知偶函数2()1f x ax bx ++＝的定义域[]21a -，，所以12,1a a -=-∴=-，()(),f x f x x R -=∈恒成立，即2211,20,x bx x bx bx x R --+=-++=∈恒成立，20,()1,[2,2]b f x x x ∴=∴=-+∈-，函数()f x 的值域为[3,1]-.故选:C.【点睛】本题考查偶函数的性质，以及二次函数的性质，函数的奇偶性要注意定义域满足的条件，属于基础题.4.已知3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.55 B.55-C.45D.255【答案】A 【解析】【分析】由已知可求得3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，进而sin 02α>，再根据余弦的二倍角公式进行计算即可得解.【详解】 3cos 5α=，3,22αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 02α>，23cos 12sin 25αα=-= ，可得21sin 25α=，5sin25α∴=．故选：A ．【点睛】易错点睛：本题容易忽略2α的取值范围，进而忽略sin 2α的范围，将结果求错.5.设函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数3x y =在R 上单调递增，而函数()23a xf x -=在区间()1,2上单调递减，所以2y x a =-在区间()1,2单调递减，所以22a≥，解得4a ≥．故选：D ．6.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（）A. B. C.2863D.【答案】C 【解析】【分析】根据四棱台的性质，结合四棱台的体积公式进行求解即可.【详解】过1A E AC ⊥，由正四棱台的性质可知：1A E 是该正四棱台的高，因为四边形11ACC A 是等腰梯形，所以()111122AE A C AC =-==，由勾股定理可知：1A E ===所以该四棱台的体积为(2212864233⨯+=，故选：C7.已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A.2ω=B.()g x 的图象关于直线π3x =对称C.()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D.若()π2f =-，则()g x 在区间[]0,π【答案】C 【解析】【分析】首先利用三角函数的性质求出()f x 和()g x 的关系，根据对称点距离和周期关系即可判断A ；求出正弦型函数的对称轴和对称中心即可判断BC ；利用整体法即可求出()g x 的最值.【详解】由于函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，所以ππ+2k ϕ=()k ∈Z ，由于将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象，则()1πsin 26g x A x ωωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，对于A ，因为曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，故2π4π12T ω==，解得1ω=，故A 不正确；所以函数()πsin π2f x A x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()cos f x A x =或()cos f x A x =-，()1ππsin π262g x A x k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于B ，令1ππ26x k +=()k ∈Z ，解得π2π3x k =-，Z k ∈，令ππ2π33k -=，解得1Z 3k =∉，则()g x 的图象不关于直线π3x =对称，故B 错误；对于C,令1πππ+262x k +=()k ∈Z ，解得2π2π+3x k =，Z k ∈，所以当0k =时，所以()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，当()π2f =-时，2A =-或2A =，所以()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递增，故函数的最大值为(π)1g =；当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递减，故函数的最大值为(0)g =，故D 错误；故选：C.8.已知函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，函数+1的图象关于y 轴对称，()()211f x g x +++=-，()40f -=，则()()20302017f g -=（）A.4-B.3- C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据函数的对称性及奇偶性可得()(2)2f x f x +--=-，(1)(1)g x g x -+=+，再由已知条件可得()g x 的周期，将所求转化为关于()g x 的函数值后，利用周期及(1)1g =即可求解.【详解】由函数()f x 的图象关于点()1,1--对称，所以()(2)2f x f x +--=-，令4x =-，可得(4)(2)2f f -+=-，即(2)2f =-，由函数+1的图象关于y 轴对称，可知函数+1为偶函数，所以(1)(1)g x g x -+=+，由()()211f x g x +++=-，令0x =，可得(1)1(2)1g f =--=，由()()211f x g x +++=-，可得()(1)1f x g x +-=-，(2)(3)1f x g x --+--=-，两式相加可得2(1)(3)2g x g x -+-+--=-，即(1)(3)0g x g x -+--=，可得(5)(1)0g x g x -+-+=，由(1)(1)g x g x -+=+可得(5)(1)0g x g x -++=，即()(6)0g x g x ++=，故(6)()g x g x +=-，所以(12)(6)()g x g x g x +=-+=，即函数()g x 的周期12T =，由()(1)1f x g x +-=-可知(2030)1(2029)f g =--，所以()()203020171(2029)(2017)1(1)(1)12(1)3f g g g g g g -=---=---=--=-.故选：B【点睛】关键点点睛：根据中心对称及偶函数得出一般关系()(2)2f x f x +--=-，(1)(1)g x g x -+=+，再由()()211f x g x +++=-，利用消元思想，转化为关于()g x 的关系式是解题的第一关键，其次利用()g x 的关系式求出()g x 的周期是第二个关键点，求出周期后利用赋值求特殊函数值即可得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则（）A.两人均获得满分的概率12B.两人至少一人获得满分的概率712C.两人恰好只有甲获得满分的概率14D.两人至多一人获得满分的概率12【答案】ACD【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式逐一求解即得.【详解】设A =“甲获得满分”，B =“乙获得满分”，则32(),()43P A P B ==,对于A ，“两人均获得满分”可表示为A B ⋂,因两人能否获得满分相互独立，故321()()()432P A B P A P B ⋂===,即A 正确；对于B ，因“两人至少一人获得满分”的对立事件为A B ⋂=“两人都没获得满分”,则“两人至少一人获得满分”的概率为：11111()1()()14312P A B P A P B -⋂=-=-⨯=，故B 错误；对于C ，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为A B ⋂，其概率为：311()()()434P A B P A P B ⋂==⨯=，故C 正确；对于D ，因“两人至多一人获得满分”的对立事件为A B = “两人都获得满分”，则“两人至多一人获得满分”为：3211()1()()1432P A B P A P B -⋂=-=-⨯=,故D 正确.故选：ACD .10.已知函数() cos sin f x x x x =-，则（）A.函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B.对于()0,x π∀∈，()0f x <恒成立C.若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x <D.若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数研究()f x 在(0,)π上单调性及最值即可判断A 、B 的正误；构造sin ()xg x x=，应用导数研究单调性即知C 的正误；构造()sin h x x mx =-，应用导数并结合分类讨论的方法研究0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x >、()0h x <恒成立时m 的取值范围，即可判断正误.【详解】对AB ，()sin f x x x '=-，∴(0,)π上()0f x '<，即(0,)π上()f x 单调递减，则()(0)0f x f <=，∴A 错误，B 正确；对C ，令sin ()xg x x=，则在(0,)π上2cos sin ()0x x x g x x -'=≤，即()g x 单调递减，∴120x x π<<<时，有1212sin sin x x x x >，即1122sin sin x x x x <，C 正确；对D ，0x >，则sin x a x<等价于sin 0x ax ->，sin xb x <等价于sin 0x bx -<，令()sin h x x mx =-，则()cos h x x m '=-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当0m ≤时，()0h x '>，则()h x 单调递增，故()(0)0h x h >=；当1m ≥时，()0h x '<，则()h x 单调递减，故()(0)0h x h <=；当01m <<时，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()cos 0h x x m '=-=，∴此时，0(0,)x 上()0h x '>，则()h x 单调递增，()(0)0h x h >=；0(,)2x π上()0h x '<，则()h x 单调递减，∴要使()sin 0h x x mx =->在0(,2x π上恒成立，则(1022m h ππ=-≥，得20m π<≤.综上，2m π≤时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x >恒成立，1m ≥时0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上()0h x <恒成立，∴若sin x ab x<<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1，正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：选项D ，由题设不等式构造()sin h x x mx =-，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，进而判断不等式中参数的最值.11.已知曲线C 是平面内到定点()0,1F 和定直线l ：1y =-的距离之和等于4的点的轨迹，若()00,P x y 在曲线C 上，则（）A.曲线C 关于x 轴对称B.曲线CC.曲线C 及其内部共包含了19个整点（即横、纵坐标均为整数的点）D.点()00,P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()0,1F 的距离之和最小为92【答案】BC 【解析】【分析】由题意得到曲线C 的解析式，画出图象，由图直观判断即可.【详解】设(,)M x y 是曲线C 上任意一点，由于(,)M x y 到定点0,1和定直线:1l y =-的距离之和等于4.14y ++=，当1y ≥-3y =-，即222(1)69x y y y +-=-+，化简得：212(12)4y x y =--≤≤，当1y <-5y =+，化简得：212(21)12y x y =--≤≤-.画出曲线C 的图象：如图，对于A ，显然图象不关于x 轴对称，故A 错误；对于B ，212(12)4y x y =--≤≤，当1y =-时，解得1)-A ，点A =，故B 正确；对于C ，由A 可得[]2,2y ∈-，当2y =时，0x =，此时直线2y =在曲线上或内部有1个整点；当1y =时，2x =±，此时直线1y =在曲线上或内部有5个整点；当0y =时，x =±0y =在曲线上或内部有5个整点；当1y =-时，x =±1y =-在曲线上或内部有7个整点；当2y =-时，0x =，此时直线2y =-在曲线上或内部有1个整点；故曲线C 及其内部共包含了19个整点，故C 正确；对于D ，如图：点G 到0,1与到直线:1l y =-的距离之和为4，点00(,)P x y 到点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点0,1的距离之和最小值为：44QG -<，故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，根据题意，利用两点距离公式与点线距离公式得到曲线C 的解析式，从而作图即可得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.612x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为__________.【答案】220-【解析】【分析】将61(2)x x+-看作6个1(2)x x +-相乘，结合组合的知识即可直接求得答案.【详解】由题可得含3x 的项为()()13133344113636211C C 2C C C 2220x x x x ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，故答案为：220-.13.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A 为C 上一点，且|AF |＝5，O 为坐标原点，则OAF △的面积为___________.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的标准方程求出交点，再利用焦半径公式求出点A 的纵坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】根据题意，抛物线C ：24y x =的焦点为()10F ,，设(),A m n ，则+1=5AF m =，∴4m =，∴4n =±，∴11422AOF S =⨯⨯= .故答案为：214.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______.【答案】1239,,755【解析】【分析】根据函数的单调区间确定02ω<≤，再根据π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭确定关于周期的相应等式，结合其范围，即可求得答案.【详解】设()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期为T ，函数()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，故2πππ2()π,0263T ωω⎡⎤=≥--=∴<≤⎢⎥⎣⎦；由ππ63f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以及函数()f x 在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，得πππ630212f f ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由π4π63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4ππ7π,π366T -=≥，得7π6T =或π4ππ632124T +=-+或π4ππ3632124T +=-+，若7π6T =，则7π2π12,67ωω=∴=；若π4ππ632124T +=-+，则3πππ,412253ωω=-+∴=；若π4ππ3632124T +=-+，则3ππ3π9,41225ωω=-+∴=；故ω的可能取值为1259,,735，故答案为：1239,,755四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C +=．（1）求B ；（2）若AC =，点D 是线段AC 上的一点，且ABD CBD ∠=∠，4BD =．求ABC V 的周长．【答案】（1）2π3（2）18+【解析】【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，由题设得到1cos 2B =-，结合内角范围即得；（2）由等面积和余弦定理联立,求出18a c +=即得三角形的周长.【小问1详解】由22cos a c b C +=和正弦定理，2sin sin 2sin cos A C B C +=(*)，因sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,代入(*)化简得，2cos sin sin 0B C C +=,即sin (2cos 1)0C B +=，因sin 0C >，故得1cos 2B =-，因0πB <<,则2π3B =.【小问2详解】由题意知，BD 是ABC ∠的平分线.由ABC ABD BCD S S S =+△△△可得，2π1π()4sin 3231sin2a c ac =+⨯，化简得，4()c c a a =+①又由余弦定理，2222π2cos 3a c ac +-=，即2()252a c ac +-=②，将①代入②可得，2()4()2520a c a c +-+-=，解得18a c +=，（14a c +=-舍去），故ABC V 的周长为18+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．（1）若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．（2）若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3030【解析】【分析】（1）取PD 的中点为S ，接,SF SC ，可证四边形SFBC 为平行四边形，由线面平行的判定定理可得//BF 平面PCD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB 和平面PCD 的法向量后可求夹角的余弦值.【小问1详解】取PD 的中点为S ，接,SF SC ，则1//,12SF ED SF ED ==，而//,2ED BC ED BC =，故//,SF BC SF BC =，故四边形SFBC 为平行四边形，故//BF SC ，而BF ⊄平面PCD ，SC ⊂平面PCD ，所以//BF 平面PCD .【小问2详解】因为2ED =，故1AE =，故//,=AE BC AE BC ，故四边形AECB 为平行四边形，故//CE AB ，所以CE ⊥平面PAD ，而,PE ED ⊂平面PAD ，故,CE PE CE ED ⊥⊥，而PE ED ⊥，故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --，则()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD =--=--=-=-设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则由0m PA m PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得2020y z x y z --=⎧⎨--=⎩，取()0,2,1m =- ，设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =，则由0n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩，取()2,1,1n = ，故30cos ,30m n ==-，故平面PAB 与平面PCD夹角的余弦值为3017.已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，()ln h x kx =，且()()()()2332f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，()24f =，且()0u x ≥，求k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，()21f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.【答案】（1）证明见解析（2）)(k ⎡∈⎣ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数解析式及性质可设函数解析式，再根据指数函数的单调性可证明不等式；（2）分情况讨论当0k >和0k <时函数的单调性与最值情况，进而可得解；（3）由已知可得0b a >=，求导，可转化为证明ln ln 10b b b x ++>在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭恒成立，结合函数()ln 1F b b b b =-+的单调性与正负情况可得证.【小问1详解】由已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，可设()af x x =和()bg x x =，且()()f x f x -=，()()g x g x -=-，又()()()()2332f g f g >，即2332a b a b ⋅>⋅，即2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以a b <，所以11111112222222a bu f g f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1110222abu ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知()224a f ==，得2a =，即()2f x x =，所以()()()2ln u x f x h x x kx =-=-，当0k >时，()2ln u x x kx =-的定义域为()0,∞+，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得2x =或22x =-（舍），所以当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()u x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，所以()212ln 0222u x u k ⎛⎫≥=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭，解得k ≤(k ∈；当0k <时，()2ln u x x kx =-的定义域为(),0-∞，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得2x =（舍）或22x =-，所以当2,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，当,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x '<，()u x 单调递减，所以()1ln 0222u x u k ⎛⎫⎛⎫≥-=--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得k ≥)k ⎡∈⎣；综上所述)(k ⎡∈⎣ 【小问3详解】由()ln e ln e bk g b ===，又已知()221af ==，所以0a =，由（1）得a b <，即0b >，所以函数()()()ln bu x g x h x x bx ==的定义域为()0,∞+，所以()()11ln ln 1b b b bu x bxbx x x b bx bx--'=+⋅=+，又10b x ->恒成立，且当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以ln 1x >-，ln 1ln ln 1ln 1b bx b b b x b b b +=++>-+，设()ln 1F b b b b =-+，则()ln 11ln F b b b '=+-=，令()0F b '=，则1b =，所以当()0,1b ∈时，()0F b '<，()F b 单调递减，当()1,b ∈+∞时，()0F b '>，()F b 单调递增，所以()()10F b F ≥=，所以ln 10b bx +>，即当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()1ln 10b u x xb bx -'=+>，所以函数()u x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．18.已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的离心率为22，A ，B 分别是E 的左、右顶点，P 是E 上异于A ，B 的点，APB △的面积的最大值为（1）求E 的方程；（2）设O 为原点，点N 在直线2x =上，N ，P 分别在x 轴的两侧，且APB △与NBP △的面积相等.（i ）求证：直线ON 与直线AP 的斜率之积为定值；（ⅱ）是否存在点P 使得APB NBP ≌△△，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）不存在点P 【解析】【分析】（1）利用待定系数法，列方程组，即可求解；（2）（ⅰ）首先利用坐标表示APB S 和NBP S ，利用面积相等，以及点P 在椭圆上的条件，即可化简斜率乘积的公式，即可证明；（ⅱ）由条件APB NBP ≌△△，确定边长和角度的关系，再结合数形结合，即可判断是否存在点P 满足条件.【小问1详解】当点P 是短轴端点时，APB △的面积最大，面积的最大值为122a b ⋅⋅=，则2222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，得222b c ==，24a =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=；【小问2详解】（ⅰ）设0,0，()2,N t ，00ty <00122APB S AB y y =⨯⨯= ，()0122NPB S t x =⨯- ，由题意可知，()001222y t x =⨯-，0042y t x =-，即0042y t x -=-，所以20020021224AP ONy y t k k x x -=⨯==-+-；（ⅱ）假设存在点P ，使得APB NBP ≅ ，因为AB AP >，NP NB >，BP BP =，所以AP NB =，APB NBP ∠=∠，ABP NPB ∠=∠，则90APN NBA ∠=∠= ，由（ⅰ）可知，AP ON ⊥，又AP NP ⊥，所以,,O N P 三点共线，如图，则OPB OBP ∠=∠，所以2OP OB ==，则点P 与点A 重合，这与已知矛盾，所以不存在点P ，使APB NBP ≌△△.19.甲和乙两个箱子中各装有N 个大小、质地均相同的小球，并且各箱中35是红球，25是白球.（1）当5N =时，分别从甲、乙两箱中各依次随机地摸出3个球作为样本，设从甲箱中采用不放回摸球得到的样本中红球的个数为X ，从乙箱中采用有放回摸球得到的样本中红球的个数为Y ，求()E X ，()E Y ，()D X ，()D Y ；（2）当10N =时，采用不放回摸球从甲箱中随机地摸出5个球作为样本，设()12345k A k =，，，，表示“第k 次取出的是红球”，比较()1234P A A A A 与()()()()1234P A P A P A P A 的大小；（3）由概率学知识可知，当总量N 足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布.现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作1P ；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个红球的概率记作2P .那么当N 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.003（即120.003P P -≤)的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：17.03≈)【答案】（1）()E X =95，9()25D X =，918()()525E Y D Y ==（2）()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <（3）195【解析】【分析】（1）由题意可得3~(3,)5Y B ，利用二项分布的期望公式和方差公式求解，X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，从而可求出()E X 和()D X ；（2）利用独立事件概率公式和古典概率公式求出()1234P A A A A ，()()()()1234P A P A P A P A ，进行比较即可；（3）根据题意表示出12,P P ，由120.003P P -≤化简得21952900N N -+≥，解法1：转化为290195N N+≥，构造函数()()2900f x x x x=+>，利用函数的单调性求解；解法2：直接解一元二次不等式即可.【小问1详解】对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.6，且每次试验之间的结果是独立的，则3393218~(3,),()3,()35555525Y B E Y D Y =⨯==⨯=X 服从超几何分布，X 的可能取值为1，2，3，则2112323233333555C C 3C C 3C 1(1)(2),(3)C 10C 5C 10P X P X P X =========3319()123105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=，2229393919()1235105551025D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，或222233199()12310510525D X ⎛⎫=⨯+⨯+⨯-=⎪⎝⎭；【小问2详解】495106A 3()A 5k P A ⨯==Q ，即采用不放回摸球，每次取到红球的概率都为()35k P A =：41234381()()()()5625P A P A P A P A ⎛⎫∴==⎪⎝⎭又()14661234510A C 65436181A 10987635625P A A A A ⨯⨯⨯⨯===<⨯⨯⨯⨯，则()()()()()12341234P A A A A P A P A P A P A <.【小问3详解】因为()22233254C 0.43255125P =⨯=⎪=⎛⎫ ⎝⎭，()()213235133313255C C 11852512C 25(1)(2)6NNNN N N N N P N N N N N ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅ ⎪⎝⎭===⨯----，120.003P P -≤Q ，即311850.4320.00325(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯-≤--，即311850.43525(1)(2)N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭⨯≤--，即31295(1)(2)48N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤--，由题意知()()120N N -->，从而()()348129125N N N N ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭--，化简得21952900N N -+≥，解法1：又0N >，290195N N ∴+≥，令()()2900f x x x x=+>，则()2222902901x f x x x-'=-=，所以当0x <<()0f x '<，当x >时()0f x '>，所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，(此处证单调性另解：()()2900f x x x x=+>为对勾函数，()29034.06f x xx=+≥≈，（当且仅当x =时取等）.所以()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增)，所以()f x 在17.03x =≈处取得最小值，从而290y N N=+在18N ≥时单调递增，当20N ≤时，290147N N+<，又290193194.50195193+≈<，290194195.49195194+≈>，∴当194N ≥时，符合题意考虑到25N ，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.解法2：化简得21952900N N -+≥，1952N <或1952+，N 为整数，1N ∴≤或194N ≥25N Q，35N 都是整数，则N 一定是5的正整数倍，所以N 至少为195时，在误差不超过0.003（即120.003P P -≤）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是根据题意正确区分二项分布和超几何分布，利用二项分布和超几何分布的概率公式求解，从而得解.。
