福建省厦门第一中学2021届高三12月月考数学试题

福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )A ．90%B ．95%C ．97．5%D ．99．5%3．在四棱锥S ABCD -中，若SA xSB ySC zSD =++u u r u u r u u u r u u u r，则实数组(),,x y z 可能为（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,0,1-C ．()1,1,0-D ．()1,1,1--4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．47CB ．48CC ．49C D ．49A7．已知函数()f x 在R 上可导，且()()f x f x '<，若()()1e 1af f a ->成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()e,+∞8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，A 是C 的右顶点，点P 在过点F 且斜率为22π3OAP ∠=且线段OP 的垂直平分线经过点A ，则C 的离心率为（ ）AB 1C D二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（参考：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.5P X >>B ．( 1.9)0.2P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．已知抛物线22x py =（0p >）的焦点为F ，过点Fl 与该抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点（其中1>0x ），则下面说法正确的是（ ）A ．若2p =，则124x x =-B ．若121y y =，则2p =C ．若2p =，则OMN S =V D ．若2p =，则8MF =+11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．在二项式7x ⎛- ⎝的展开式中x 的系数为．13．已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线也是曲线()y g x =的切线．则a 的值是14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．若1ON DN ==，3MN =，4AB =，则 MA 的最小值为．四、解答题15．已知各项均为正数的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，248a a ⋅=，515S =； (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE ∥平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .17．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 均在x 轴上，离心率等于45，面积为15π.(1)求C 的标准方程；(2)若()0,1Q ，过点()0,5P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，求QAB V 面积的最大值.18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.其中()ln 2012i i t x =-，1110i i t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在 0,+∞ 上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。

厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。

福建省厦门市第一中学2021-2021学年高三上期中考福建省厦门市第一中学2021-2021学年度第一学期期中考试高三年语文试题一、文学类文本阅读（14分）阅读下面的作品，完成题目。

古渡头叶紫太阳渐渐地隐没到树林中去了，晚霞散射着一片凌乱的光辉，映到茫无际涯的淡绿的湖上，现出各种各样的色彩来。

微风波动着皱纹似的浪头，轻轻地吻着沙岸。

破烂不堪的老渡船，横在枯杨的下面。

渡夫戴着一顶尖头的斗笠，弯着腰，在那里洗刷一叶断片的船篷。

我轻轻地踏到他的船上，他抬起头来，带血色的昏花的眼睛，望着我大声说道：“过湖吗，小伙子?” “唔，”我放下包袱，“是的。

”“那么，要等到明天哆。

”他又弯腰做事去了。

“为什么呢?”我茫然地，“我多给你些钱不能吗?”“钱?你有多少钱呢?”他的声音来得更加响亮了，教训似的。

他重新站起来，抛掉破篷子，把斗笠脱在手中，立时现出了白雪般的头发，“年纪轻轻，开口就是‘钱’，有钱就命都不要了吗?”我不由得暗自吃了一惊。

他从舱里拿出一根烟管，饱饱地吸足了一口，接着说：“看你的样子也不是一个老出门的。

哪里来的呀?” ‘‘从军队里回来。

”“军队里?……”他又停了一停，“是当兵的吧，为什么又跑开来呢?”“我是请长假的。

我妈病了。

” “唔!…?””两个人都沉默了一会儿，他把烟管在船头上磕了两磕，接着又燃第二口。

夜色苍茫地侵袭着我们的周围，浪头荡出了微微的合拍的呼啸。

我的心里偷偷地发急，不知道这老头子到底要玩什么花头。

于是，我说：“既然不开船，老人家，就让我回到岸上去找店家吧!”“店家，”老头子用鼻子哼着，“年轻人到底不知事。

回到岸上去还不同过湖一样的危险吗?到连头镇去还要退回七-1-里路。

唉!年轻人……就在我这船中过一宵吧。

”他擦着一根火柴把我引到船艘后头，给了我一个两尺多宽的地方。

好在天气和暖，还不至于十分受冻。

当他再擦火柴吸上了第三口姻的时候，他的声音已经和缓多了。

我躺着，一面细细地听着孤雁唳过寂静的长空，一面又留心他和我谈的一些江湖上的情形，和出门人的秘诀。

2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤34．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=15．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e−xD ．y =e x −e −xsinx6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−257．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣x C ．f （x ）＝x 2+4x +3 D ．f(x)=2x10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝1011．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ ．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 ．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−cc，求A ．18．（12分）设各项非负的数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=a n+12−n（n∈N*），且a2，a3，a5成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+12a n，数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为√2 2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线y=12x上，O为坐标原点，当三角形OAB的面积等于√2时，求直线l的方程．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个解：∵M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，∴P ＝{1，3}， 故P 的真子集是{1}，{3}，∅共3个． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]解：由题意可知f （x ）＝x 2﹣mx +10的对称轴为：x =m2， 故f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，m2]，又函数f （x ）在（﹣2，﹣1）上是减函数， 所有﹣1≤m2，得m ≥﹣2， 故选：B ．3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤3解：因为x−1x−3＜0，所以（x ﹣1）（x ﹣3）＜0⇒1＜x ＜3，因为|x ﹣a |＜2，则﹣2＜x ﹣a ＜2⇒a ﹣2＜x ＜a +2， 即1＜x ＜3是a ﹣2＜x ＜a +2的充分而不必要条件， 所以{a −2≤1a +2≥3⇒1≤a ≤3．故选：B ．4．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=1解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，2c ＝4，即c ＝2，双曲线的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直， ∴b a=√3，∴b =√3a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b =√3， ∴双曲线的方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e −x D ．y =e x −e −xsinx解：由函数的图象可知，f(π2)＞0，对于选项A ，B 中的函数，当x =π2时，函数值均为0，故选项A 错误，选项B 错误；由图可知，f （π）＝0，对于选项D 中的函数，定义域中取不到x ＝π， 故选项D 错误，选项C 正确． 故选：C ．6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−25解：由已知得cos θ+cos θ＝﹣6sin θ，则tanθ=−13，可得sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=23109=35． 故选：A ．7．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解：b ＝ln 1.01∈（0，1），令f （x ）＝ln （x +1）﹣x ，则f ′（x ）=−xx+1， 当f ′（x ）＞0时，即﹣1＜x ＜0，f （x ）单调递增，f ′（x ）＜0时，x ＞0，f （x ）单调递减， 则f （x ）≤f （0）＝0，故f （0.01）＝ln 1.01﹣0.01＜0，故0＜b ＜a ， 又log 30.01＜0， 则c ＜b ＜a ， 故选：D ．8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 解：根据（1）知f （x ）的周期为2，根据（2）知f （x ）为奇函数，根据（3）知f （x ）在[0，1）上单调递增，∴f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， ∴f(−152)=f(12−2×8)=f(12)，f(4)=f(0)，f(112)=f(−12+2×6)=f(−12)， ∴f(−152)＞f(4)＞f(112)． 故选：C ． 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣xC ．f （x ）＝x 2+4x +3D ．f(x)=2x解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，可知函数f （x ）在x ∈（0，+∞）时减函数．函数f （x ）＝﹣3x +1在x ∈（0，+∞）时为减函数，符合题意，故A 正确；函数y =−e −x =−(1e)x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，故B 错误；函数f （x ）＝x 2+4x +3图象的对称轴为x ＝﹣2，故在x ∈（0，+∞）时f （x ）＝x 2+4x +3为增函数，故C 错误；函数f(x)=2x在x ∈（0，+∞）时单调递减，符合题意，故D 正确．故选：AD ． 10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝10解：因为z =−50i 3+4i =−50i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−50i(3−4i)25=−8−6i ， 所以复数z 在复平面内对应的点（﹣8，﹣6）在第三象限，故A 错误； 虚部为﹣6，故B 正确；复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6i ，故C 正确；复数z 的模|z|=√(−8)2+(−6)2=10，故D 正确； 故选：BCD ．11．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减解：函数f （x ﹣2π）＝cos （x +π3−2π）＝cos （x +π3）＝f （x ），故它的一个周期T ＝﹣2π，故A 正确；令x =8π3，求得f （x ）＝﹣1，为最小值，故f （x ）的图像关于直线x =8π3对称，故B 正确； 对于y ＝f （x +π）＝cos （x +π+π3）＝﹣cos （x +π3），令x =π6，可得f （x +π）＝0，故f （x +π） 的一个零点为x =π6，故C 正确；当x ∈（π2，π），x +π3∈（5π6，4π3），函数f （x ）不单调，故D 错误，故选：ABC ．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，对于A ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，即公差d ＞0，所以数列{a n }是递增数列，故A 正确； 对于B ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以数列{S n }是先减后增数列，故B 错误； 对于C ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以S n 的最小值是S 2021，故C 正确；对于D ，由S 4043=12（a 1+a 4043）×4043＝4043a 2022＞0，S 4042=12（a 1+a 4042）×4042＝2021（a 2021+a 2022）＜0，使得S n 取得最小正数的n ＝4043，故D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ −√105 ．解：∵θ∈（0，π2），tan θ=13=yx ，∴令x ＝3，y ＝1，设θ终边上一点的坐标P （3，1）， 则r ＝|OP |=√32+12=√10， 则sin θ﹣cos θ=√10−√10=√10=−√105．故答案为：−√105．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 e 2 ． 解：直线y ＝k （x ﹣1）过点（1，0），设直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切于（t ，e t ），由y ＝e x ，得y ′＝e x ，则过切点的切线方程为y ﹣e t ＝e t （x ﹣t ）， 把（1，0）代入，可得﹣e t ＝e t （1﹣t ），解得t ＝2． ∴k ＝e t ＝e 2． 故答案为：e 2．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 3 ．解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T =2πω， 若f （T ）＝cos （ω×2πω+φ）＝cos φ=√32，0＜φ＜π，则φ=π6， 所以f （x ）＝cos （ωx +π6）．因为x =π9为f （x ）的零点，所以cos （ωπ9+π6）＝0，故ωπ9+π6=k π+π2，k ∈Z ，所以ω＝9k +3，k ∈Z ，因为ω＞0，则ω的最小值为3． 故答案为：3．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 （√2，+∞） ． 解：f （x ）的定义域为（﹣a ，+∞）， f ′（x ）=2x 2+2ax+1x+a，方程2x 2+2ax +1＝0的判别式Δ＝4a 2﹣8， （ⅰ）若Δ＜0，即−√2＜a ＜√2，在f （x ）的定义域内f '（x ）＞0，故f （x ）无极值； （ⅱ）若Δ＝0，则a =√2或a =−√2，若a =√2，x ∈（−√2，+∞），f ′（x ）=(2−1)2x+√2，当x =−√22时，f '（x ）＝0，当x ∈（−√2，−√22）∪（−√22，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）无极值，若a =−√2，x ∈（√2，+∞），f ′（x ）=(√2x−1)2x−20，f （x ）也无极值，（ⅲ）若Δ＞0，即a ＞√2或a ＜−√2，则2x 2+2ax +1＝0有两个不同的实根x 1=−a−√a 2−22，x 2=−a+√a 2−22，当a ＜−√2时，x 1＜﹣a ，x 2＜﹣a ，从而f '（x ）在f （x ）的定义域内没有零点，故f （x ）无极值， 当a ＞√2时，x 1＞﹣a ，x 2＞﹣a ，f '（x ）在f （x ）的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知f （x ）在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值． 综上，f （x ）存在极值时，a 的取值范围为（√2，+∞）．故答案为：（√2，+∞）． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−c c，求A ．解：（1）∵a 2+b 2＝c 2+√2ab ，∴a 2+b 2−c 22ab=√22， ∴cos C =√22，∴C ＝45°． （2）由正弦定理可得tanB tanC=2a−c c=2sinA−sinCsinC，∴sinBcosC cosBsinC=2sinA−sinCsinC∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin B cos C +sin C cos B ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ． ∵sin A ≠0，∴cos B =12，∴B ＝60°，A ＝180°﹣45°﹣60°＝75°．18．（12分）设各项非负的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =a n+12−n （n ∈N *），且a 2，a 3，a 5成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =a n +12a n，数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）当n ＝1时，2a 1=a 22−1， 当n ≥2时，2S n =a n+12−n ，① 2S n ﹣1=a n 2−（n ﹣1），②．①﹣②得2a n =a n+12−a n 2−1，即a n+12=a n 2+2a n +1=(a n +1)2，∵a n ≥0，∴a n +1＝a n +1，∴数列{a n }从第2项起是公差为1的等差数列， ∴a n ＝a 2+n ﹣2（n ≥2）又a 2，a 3，a 5成等比数列，∴a 32=a 2a 5，即(a2+1)2=a2(a2+3)，解得a2＝1，∴a n＝1+n﹣2＝n﹣1（n≥2），∵2a1=a22−1，∴a1＝0，适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n﹣1．（Ⅱ）∵b n=n2n−1，∴数列{b n}的前n项的和为：T n=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，③1 2T n=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，④③﹣④得，1 2T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−(12)n1−12−n2n=2−12n−1−n2n=2−n+22n，∴T n=4−n+22n−1．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．证明：（1）取PB中点M，连接AM，EM，∵E为PC的中点，∴ME∥BC，ME=12BC，又∵AD∥BC，AD=12BC，∴ME∥AD，ME＝AD，∴四边形ADEM为平行四边形：∴DE∥AM，∵DE ⊄平面P AB ，AM ⊂平面P AB ， ∴DE ∥平面P AB ；解：（2）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，取AB 中点G ，连接FG ，∴FG ∥AD ，FG ⊥平面P AB ，∴∠GPF ＝60°，GF ＝3， ∴tan60°=3PG⇒PG =√3，∴AG ＝GB ＝1，AB ＝2， 如图建系，∴P(0，0，√3)，C （1，4，0），D （﹣1，2，0），∴PC →=(1，4，−√3)，CD →=(−2，−2，0)，设平面PCD 的一个法向量n 1→=(x ，y ，z)，∴{n 1→⋅PC →=0n 1→⋅CD →=0⇒{x +4y −√3z =0−2x −2y =0⇒n 1→=(−1，1，√3)，平面P AB 的一个法向量n 2→=(0，1，0)，设平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=15=√55． 20．（12分）已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√22． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y =12x 上，O 为坐标原点，当三角形OAB 的面积等于√2时，求直线l 的方程．解：（1）由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2，所以c =ae =√2，故b =√2， 所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y ＝kx +m 代入方程x 24+y 22=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4＝0．（*） 所以x C =x 1+x 22=−2km 1+2k 2，y C =kx C +m =m1+2k2， 所以m 1+2k 2=12⋅−2km1+2k 2，解得k ＝﹣1，则（*）式变为3x 2﹣4mx +2m 2﹣4＝0，则|AB|=√2|x 1−x 2|=4√6−m 23，△OAB 底边AB 上的距离ℎ=|m|√2，所以△OAB 的面形S =√2√(6−m 2)m 23，令√2√(6−m 2)m 23=√2，解得m =±√3，把k ＝﹣1，m =±√3代入（*）式，经检验，均满足Δ＞0， 此时直线l 的方程为x +y −√3=0或x +y +√3=0．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p 1，p 2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望．解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A ，B ，C ， 则教师甲获得冠军的概率p 1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)＝0.4×0.5×0.75+0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.15+0.225+0.15+0.05＝0.575，则教室以获得冠军的概率p 2＝1﹣p 1＝0.425， 因为√2|p 12−p 22|5+0.1=√0.16=0.4，解得|p 1﹣p 2|＝0.15，又|p 1−p 2|＜√2|p 12−p 22|5+0.1， 所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别； （2）已知X 的所有取值为﹣15，0，15，30，此时P （X ＝﹣15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P （X ＝0）＝0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.425，P （X ＝15）＝0.4×0.5×0.25+0.6×0.5×0.25+0.6×0.5×0.75＝0.35，P （X ＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075， 则X 的分布列为：所以E （X ）＝﹣15×0.15+0×0.425+15×0.35+30×0.075＝5.25． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）解：（1）因为x ＞0，kx ≥lnx x ，所以k ≥lnxx2， 令ℎ(x)=lnx x 2，又ℎ′(x)=1−2lnxx 3，令h ′（x ）＝0，解得x =√e ， 0＜x ＜√e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，x ＞√e 时，h '（x ）＜0，h （x ）递减， 所以当x =√e 时函数h （x ）有最大值，且最大值为12e，所以k ≥12e， 即k 的取值范围是[12e，+∞）．（2）证明：由（1）知lnx x 2≤12e ，所以lnx x 4≤12e ⋅1x 2，所以ln224+ln334+...+lnnn 4＜12e (122+132+...+1n2)， 又122+132+⋯+1n 2＜11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1−1n )=1−1n＜1，所以ln224+ln334+...+lnnn4＜12e(122+132+...+1n2)＜12e，即ln224+ln334+...+lnnn4＜12e．。

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2020-2021学年福建省厦门市湖里实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每题都有4个选项，其中有且只有一个选项正确）1. ﹣13的倒数是（）A. ﹣13B.13C. ﹣3D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用倒数定义解答即可．【详解】13的倒数是－3；故答案为:C【点睛】本题主要考查了倒数，掌握相关定义是解答本题的关键2. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正三角形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可得．【详解】在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形．A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，不一定是轴对称图形，此项不符题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项不符题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，熟记定义是解题关键．3. 用配方法解方程x 2﹣2x ﹣4＝0，配方正确的是（ ）A. （x ﹣1）2＝5B. （x ﹣1）2＝4C. （x +1）2＝﹣3D. （x ﹣1）2＝﹣3 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的配方法：一除、二移、三配，即可求出答案．【详解】解：x 2-2x-4=0，移项得，x 2-2x=4，两边加上一次项系数一半的平方，x 2-2x+1=4+1，（x-1）2=5，故选：A ．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一除、二移、三配的方法把一元二次方程等号左边配成完全平方式，本题属于基础题型．4. 将抛物线23y x =如何平移得到抛物线23(2)3y x =+-（ ）A. 向左平移2个单位，向上平移3个单位；B. 向右平移2个单位，向上平移3个单位；C. 向左平移2个单位，向下平移3个单位；D. 向右平移2个单位，向下平移3个单位．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案．【详解】根据二次函数的平移规律可知，将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位即可得到抛物线23(2)3y x =+-，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 是直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D 点，则∠BAD 等于（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】【分析】 由题意，根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB ∠=︒，再由角平分线性质，可得190452ACD DCB ∠=∠=⨯︒=︒，最后根据同圆中，同弧所对的圆周角相等即可解题 【详解】△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 是直径，90ACB ∴∠=︒，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D 点，190452ACD DCB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 又BD BD =45BAD BCD ∴∠=∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查圆的有关元素，其中涉及直径所对的圆周角为90度、同一个圆中，同弧所对的圆周角相等、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A. (1)81x x x ++=B. 2181x x ++=C. 1(1)81x x x +++=D. (1)81x x +=【答案】C【解析】【分析】平均一人传染了x 人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即81人患病，由此列方程求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得，x+1+（x+1）x=81故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．7. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（）A. 正六边形ABCDEF的中心角等于60°B. 正六边形ABCDEF的周长等于6aC. 正六边形ABCDEF的边心距等于3 2aD. 正六边形ABCDEF的面积等于23a【答案】D【解析】【分析】正多边形每一边对应的圆心角等于中心角，判断出△OAB为正三角形，即可求得周长为6a，边心距即为正△OAB的高，正六边形的面积为6个正三角形的面积之和，计算出结果依次判断即可．【详解】∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴正六边形ABCDEF的中心角等于360606︒=︒，故A正确；∵⊙O的半径长为a，正六边形ABCDEF的中心角等于60°，∴△OAB为正三角形，∴正六边形的边长为a，∴正六边形ABCDEF的周长等于6a，故B正确；∵正六边形ABCDEF 2=， 故C 正确，∵正六边形ABCDEF 的面积等于六个正三角形OAB 的面积，∴162ABCDEF S a =⨯⨯= 故D 错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查的是正多边形外接圆的性质，熟练掌握圆心角的计算，以及正三角形的性质是解答本题的关键．8. 将点A （5，0）绕着点B （1，0）逆时针旋转120°，得到点C ，则点C 的坐标为（ ）A. （﹣1，﹣B. （52-）C. （﹣2，）D. （﹣1，【答案】D【解析】【分析】 连结AB ，BC ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，构造Rt △BCD ，求出BC=AB=4，∠CBD=60º，在Rt △BCD 中解直角三角形求出BD ，CD ，再求出OD 即可．【详解】连结AB ，BC ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，∴BC=AB=5-1=4，∵∠CBA=120º，∴∠CBD=180º-∠CBA=180º-120º=60º，在Rt △BCD 中，∴BD=BC•cos ∠CBD=4×12=2，CD= BC•sin ∠， ∴OD=BD-OB=2-1=1，∵点C 在第二象限，∴C(-1，．故选择：D ．．【点睛】本题考查旋转图形中点的坐标问题，掌握把旋转角转化为Rt △BCD 中的角，A 、B 两点长度AB 转化为BC ，利用三角函数解直角三角形是解题关键．9. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”，已知点A ，B ，C ，D 分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，AB 为半圆的直径，则这个“果园”被y 轴截得的弦CD 的长为（ ）A. 8B. 5C. 5D. 55【答案】C【解析】【分析】 连接CM ，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M （2，0），利用勾股定理求出OC ，即可得到CD 的长度.【详解】连接CM ，∵抛物线的解析式为245y x x =--，∴点D 的坐标为（0，-5），∴OD=5.设y=0，则0=x 2-4x-5，解得：x=-1或5，∴A （-1，0），B （5，0）.∴AO=1，BO=5，AB=6，M （2，0），∴MC=3，OM=2，在Rt △COM 中，OC=2222325CM OM -=-=,∴CD= OD+ OC=55+,即这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长55+，故答案为：C【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键.10. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==， ∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴222CE x =-， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误； II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())4sin 4542CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF的面积为)2214482x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）11. 方程x 2＝2x 的解是__________．【答案】120,2x x ==【解析】【分析】移项后利用分解因式法求解即可．【详解】解：移项，得x 2－2x =0，原方程可变形为：()20x x -=，∴x =0或x －2=0， ∴120,2x x ==．故答案为：120,2x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握求解的方法是关键． 12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球3个，白球4个，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是_____． 【答案】37． 【解析】【分析】根据随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，用红球的个数除以总个数，求出恰好摸到红球的概率即可．【详解】∵袋子中有3个红球， 4个白球共有7个球，∴任意摸出一球，红球出现有3种情况，所有情况有7种∴任意摸出一球，摸到红球的概率是37； 故答案为：37． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此题的关键是要明确：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13. 在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是____．【答案】相离【解析】【分析】AB 为直径，6AB =，则半径是3；矩形ABCD 中，4BC =，则圆心到CD 的距离为4.根据距离大于半径判定相离. 【详解】矩形ABCD 中，4BC =，∴圆心到CD 的距离为4，AB 为直径，6AB =，∴半径是3，43>，∴直线DC 与O 相离.故答案为相离.【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系解答.若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线与圆相切；若d r ，则直线与圆相离.14. 已知三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BOC ＝140°，则∠BAC 的度数为_____． 【答案】70°．【解析】【分析】利用圆心角与圆周角的关系来求即可．【详解】∵三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，BOC 140∠=︒，11=BO 1407022A C ∠∠=⨯︒=︒∴， 故答案为：70°．【点睛】本题考查圆心角与圆周角的关系，掌握圆周角定理，会利用圆心角与圆周角的关系解决问题是关键．15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．【答案】20．【解析】求停止前滑行多远相当于求s 的最大值.则变形s =-5(t -2)2+20，所以当t =2时，汽车停下来，滑行了20m .16. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为2，圆心坐标为（4，0），y 轴上有点B （0，3），点C 是⊙A 上的动点，点P 是BC 的中点，则OP 的范围是_____．【答案】3722OP ≤≤ 【解析】【分析】如图，在y 轴上取一点()0,3B '-，连接B A '，B C '，由勾股定理求出B A '=5，由三角形中位线定理求B C '=2OP ，当C 在线段B A '上时，B C '的长度最小值=5-2-3，当C 在线段B A '延长线上时，B C '的长度最大值=5+2=7，即可求解．【详解】如图，在y 轴上取一点()0,3B '-，连接B A '，B C '，∵B （0，3），()0,3B '-，A （4，0），∴3OB OB '==，4OA =， ∴22345B A '=+=，∵点P 是BC 的中点，∴BP PC =，∵OB OB '=，BP PC =，∴2B C OP '=，当C 在线段B A '上时，B C '的长度最小值为：5-2-3，当C 在线段B A '延长线上时，B C '的长度最大值为：5+2=7， ∴3722OP ≤≤， 故答案为：3722OP ≤≤．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．三、解答题（共86分）17. 计算：011(3)()33π---+． 【答案】332+【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式=3313-+=332+【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．18. 解不等式组：124(3)21223x xxx--≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩．【答案】不等式组的解集为：-1＜x≤4．【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】124(3)2(1)122(2)3x x x x--≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩，（1）去括号得，12−4x＋12≥2x，移项、合并同类项得，−6x≥−24，解得，x≤4；（2）去分母得，3（x+2）＞1−2x，去括号得，3x+6＞1−2x，移项、合并同类项得，5x＞-5，化系数为1得，x＞-1．∴不等式组的解集为：-1＜x≤4．【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．19. 已知二次函数当x＝3时，有最小值﹣1，且当x＝0时，y＝2，求二次函数的解析式．【答案】二次函数解析式为y＝13（x-3）2−1．【解析】【分析】由当x＝3时，y有最小值是−1，可知二次函数的顶点坐标为（3，−1），设二次函数y＝a（x-3）2−1，代入（0，2）求得a的数值即可．【详解】设二次函数解析式为y＝a（x-3）2−1，把点（0，2）代入得，a（0-3）2−1＝2，解得a＝13．所以二次函数解析式为y＝13（x-3）2−1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择合适的二次函数模型．20. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．【答案】12米【解析】【分析】【详解】解：设BC 边的长为x 米，根据题意得 321202x x -= 解得：121220x x ==，∵20＞16，∴220x =不合题意，舍去答：该矩形草坪BC 边的长为12米.21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m73113 154 370 604 751 摸到黑球的频率m n 0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751（1）请估计；当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近 （结果精确到0.01）；试估计口袋中白球有 只；（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率．【答案】（1）0.75；3；（2）116． 【解析】【分析】 （1）先根据统计表中第三行的数据求出频率的稳定值，用频率估计概率可得摸到白球的概率，利用概率公式即可求得；（2）先利用树状图列出随机摸出两个球的所有可能的结果，再找出摸出两个球都是黑球的结果，最后利用概率公式计算即可得．【详解】（1）统计表中第三行的数据分别为：0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751因此，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，白球的概率为0.75，设口袋中白球个数为x 个，则0.754x =，解得3x =，即口袋中白球个数为3个， 故答案为：0.75；3；（2）由题意，将这4个球中3白1黑，两次摸球的所有可能的结果有16种，如下表所示：它们每一种结果出现的可能性相等，从表中看出，两次摸出的球都是黑的结果有1种，故两次摸出的球都是黑的概率为116P =． 【点睛】本题考查了用频率估计概率、和树状图求概率。

福建省厦门第一中学2021—2022学年度第一学期期末考试初一年数学试卷（满分为150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1.四个有理数－1，2，0，－2，其中最小的是（）A.－1B.2C.－2D.02.方程24x a +=的解是2x =，则=a （）A .－8B.0C.2D.83.如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（）A .长方体B.三棱柱C.四棱锥D.三棱锥4.若|x |＝5，|y |＝2且x ＜0，y ＞0，则x +y ＝（）A.7B.﹣7C.3D.﹣35.如图所示，点O 在直线AB 上，OE 平分AOC ∠，90EOF ∠=︒，则COF ∠与AOE ∠的关系是（）A.相等B.互余C.互补D.无法确定6.《九章算术》是中国古代的数学专著，其第七章的一道题译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，可列方程是（）A.8374x x -=+B.8374x x +=+C.8374x x -=- D.8374x x +=-7.如图，数轴上的点A 表示的数为有理数a ，下列各数中在0，1之间的是（） A.||a B.a- C.||1a - D.1a +8.如图，把一长方形纸片ABCD 的一角沿AE 折叠，点D 的对应点D ¢落在∠BAC 内部．若2CAE BAD '∠=∠，且15CAD '∠=︒，则∠DAE 的度数为（）A.12°B.24°C.39°D.45°9.正方形纸板ABCD 在数轴上的位置如图所示，点,A D 对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（）A.AB.BC.CD.D10.实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度如A C -为90米表示观测点A 比观测点C 高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得A B -是（）米．A C-C D-E D-F E-G F-B G-90米80米－60米50米－70米40米A.210B.130C.390D.－210二、填空题（第11题，每空1分，其余每空2分，共28分）11.①()53+-=______；②()55---=______；③36-⨯=______；④()84-÷-=______；⑤()211---=______；⑥()3342-+÷-=______；⑦用四舍五入法取近似值：1.8946≈______（精确到0.001）．⑧将数据218000用科学记数法表示为______．12.已知点A 、B 、C 、D 在直线l 上，8AB =，12AC =，D 为BC 的中点，则AD =______．13.一商场销售某款羊毛衫，若这款羊毛衫每件销售价为120元，则盈利20%，则这款羊毛衫每件的成本价为______元．14.在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西60°的方向，同时轮船B 在南偏东20°的方向，那么∠AOB 的大小为______．15.如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条，且剪下的两个长条的面积相等．则这个正方形的边长为．16.如图，动点A ，B ，C 分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，若k PM MN ⋅-为常数，则k 为______．三、解答题：17.计算（1）()()1762320-+-+--；（2）()2212822-⨯+÷-；（3）123183424⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎝⎭⎝⎭；（4）解方程：2953x x -=+．（5）先化简，再求值：已知()()222242x x y x y --+-，其中=1x -，12y =．18.当x 为何值时，333x -和3112x --互为相反数．19.如图，已知线段a ，b ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）求作：线段2AB a b =-．20.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天可生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母．为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？21.如图，将一副直角三角板的直角顶点C 叠放在一起．（1）若35DCE ∠=︒，则BCA ∠=______；若150ACB ∠=︒，则DCE ∠=______；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）若:2:7DCE ACB ∠∠=，求∠DCE 的度数．22.定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的下3次方”，一般地，把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的下n 次方”．理解：（1）直接写出计算结果：32=_______．（2）关于除方，下列说法正确的有_______（把正确的序号都填上）；①21a =(0)a ≠；②对于任何正整数n ，11n =；③433=4；④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．应用：（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：241111222222()2222=÷÷÷=⨯⨯⨯=（幂的形式）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65=_______；91()2-=________；（4）计算：3341((2)2(8)24-÷--+-⨯-．23.如图，C 为线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，CD ＝2BD ，E 为线段AC 上一点，CE ＝2AE(1)若AB ＝18，BC ＝21，求DE 的长；(2)若AB ＝a ，求DE 的长；(用含a 的代数式表示)(3)若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍，则ADAC的值为．24.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a 超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b 超过300千瓦时的部分a +0.32015年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费122.5元．（1）求上表中a 、b 的值．（2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月交费277.5元？（3）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价等于0.62元/千瓦时？25.如图（1），BOC ∠和AOB ∠都是锐角，射线OB 在AOC ∠内部，AOB α∠=，BOC β∠=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）（1）如图（2），OM 平分BOC ON ∠，平分AOC ∠，填空：①当40α=︒，70β=︒时，COM ∠=______，CON ∠=______，MON ∠=______；②MON ∠=______（用含有α或β的代数式表示）．（2）如图（3），P 为AOB ∠内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在AOB ∠外部：①当OM 平分POB ON ∠，平分POA MON ∠∠，的度数为______；②当OM 平分QOB ON ∠，平分QOA MON ∠∠，的度数为______；（∠MON 的度数用含有α或β的代数式表示）（3）如图（4），当40α=︒，70β=︒时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分POQ ON ∠，平分POA ∠，那么多少分钟时，MON ∠的度数是40°？福建省厦门第一中学2021—2022学年度第一学期期末考试初一年数学试卷（满分为150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）1.四个有理数－1，2，0，－2，其中最小的是（）A.－1 B.2C.－2D.0C【分析】根据有理数的大小比较即可．【详解】解：2012>>->-Q ∴最小的是2-故选：C ．【点睛】本题考查有理数的大小比较，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2.方程24x a +=的解是2x =，则=a （）A.－8B.0C.2D.8B【分析】由方程的解的定义，把2x =代入原方程得到关于a 的一元一次方程，解此方程即可．【详解】解：把2x =代入原方程得44a +=，0a ∴=故选：B ．【点睛】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3.如图是某个几何体的平面展开图，则这个几何体是（）A.长方体B.三棱柱C.四棱锥D.三棱锥C【分析】根据图形可知，由一个四边形和四个三角形组成，满足四棱锥特征，即可得出．【详解】由图形可知，一个四边形和四个三角形组成，满足四棱锥特征，长方体展开图应为六个四边形组成，三棱柱展开图为两个三角形和三个四边形组成，三棱锥展开图为四个三角形组成，故选：C ．【点睛】本题考查的是四棱锥的展开图，明确四棱锥形状是解题的关键．4.若|x |＝5，|y |＝2且x ＜0，y ＞0，则x +y ＝（）A.7B.﹣7C.3D.﹣3D 【分析】根据|x |＝5，|y |＝2求出x ，y 的值，再根据x ＜0，y ＞0，可得x ，y ，代入求值即可．【详解】∵|x |＝5，|y |＝2∴x =±5，y =±2∵x ＜0，y ＞0，∴x 取-5，y 取2，∴x +y =-5+2=-3；故选：D ．【点睛】本题考查了整式的简单运算，掌握绝对值的性质、有理数加减法则是解题的关键．5.如图所示，点O 在直线AB 上，OE 平分AOC ∠，90EOF ∠=︒，则COF ∠与AOE ∠的关系是（）A.相等B.互余C.互补D.无法确定B【分析】根据：∠EOF=90°求出∠COE+∠COF=90°,∠AOE+∠BOF=90°，根据余角定义得出∠AOE 和∠BOF 互余，根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE ，求出∠COF=∠BOF ，即可得出答案.【详解】∵∠EOF=90°，∴∠COE+∠COF=90°，∠AOE+∠BOF=180°-∠EOF=90°,∴∠AOE 和∠BOF 互余∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE=∠COE ，∴∠COF=∠BOF ，∠COF 和∠AOE 互余，故选：B .【点睛】本题考查了余角与补角和角平分线的定义，能求出∠AOE 和∠BOF 互余、∠COF=∠BOF 是解此题的关键.6.《九章算术》是中国古代的数学专著，其第七章的一道题译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，可列方程是（）A.8374x x -=+B.8374x x +=+C.8374x x -=-D.8374x x +=-A【分析】设有x 人，根据如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱列方程．【详解】解：设有x 人，由题意得8374x x -=+，故选：A ．【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确题解题意得到等量关系是解题的关键．7.如图，数轴上的点A 表示的数为有理数a ，下列各数中在0，1之间的是（）A.||a B.a - C.||1a - D.1a +C【分析】由数轴可知21a -<<-，再逐个选项分析即可解题．【详解】A.21a -<<- 12a ∴<<故A 不符合题意；B.21a -<<- 21a ∴>->，故B 不符合题意；C.21a -<<- 12a ∴<<0||11a ∴<-<故C 符合题意；D.21a -<<- 110a ∴-<+<故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查数轴、绝对值、有理数的大小比较等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．8.如图，把一长方形纸片ABCD 的一角沿AE 折叠，点D 的对应点D ¢落在∠BAC 内部．若2CAE BAD '∠=∠，且15CAD '∠=︒，则∠DAE 的度数为（）A.12°B.24°C.39°D.45°C【分析】由折叠的性质得到DAE EAD '∠=∠，由长方形的性质得到90DAE EAD BAD ''∠+∠+∠=︒，根据角的和差倍分得到290EAD BAD ''∠+∠=︒，整理得2()90CAE CAD BAD ''∠+∠+∠=︒，最后根据+2DAE EAD CAE CAD BAD CAD ''''∴∠=∠=∠∠=∠+∠解题．【详解】解： 折叠，DAE EAD '∴∠=∠ABCD 是矩形DA AB ∴⊥90DAE EAD BAD ''∴∠+∠+∠=︒290EAD BAD ''∴∠+∠=︒2()90CAE CAD BAD ''∴∠+∠+∠=︒2,15CAE BAD CAD ''∠=∠∠=︒Q 2(215)90BAD BAD ''∴∠+︒+∠=︒30590BAD '∴︒+∠=︒12BAD '∴∠=︒+22121539DAE EAD CAE CAD BAD CAD ''''∴∠=∠=∠∠=∠+∠=⨯︒+︒=︒39DAE ∠=︒Q 故选：C ．【点睛】本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9.正方形纸板ABCD 在数轴上的位置如图所示，点,A D 对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（）A.AB.BC.CD.DD【分析】先翻转一次和两次确认点B 、C 对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案．【详解】翻转一次可得：点B 对应的数为2；再翻转一次可得：点C 对应的数为3在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下：点A 对应的数分别为1,5,9,,14n + ，n 为非负整数点B 对应的数分别为2,6,10,,24n + ，n 为非负整数点C 对应的数分别为3,7,11,,34n + ，n 为非负整数点D 对应的数分别为0,4,8,,4n ，n 为非负整数由此可知，只有点D 对应的数可以为2020，此时505n =为非负整数，符合要求故选：D ．【点睛】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．10.实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度如A C -为90米表示观测点A 比观测点C 高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得A B -是（）米．A C-C D-E D-F E-G F-B G-90米80米－60米50米－70米40米A.210B.130C.390D.－210A【分析】数轴法：设点C 为原点，则A 表示数90，D 表示数-80，以此类推，将以上各观测点在数轴上表示，即可解题．【详解】解：设点C 为原点，则A 表示数90，D 表示数-80，以此类推将以上各观测点在数轴上表示如下：即E 表示数-140，F 表示数-90，G表示数-160，B 表示数-12090(120)90120210A B ∴-=--=+=故选：A ．【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用，是基础考点，利用数轴解题是关键．二、填空题（第11题，每空1分，其余每空2分，共28分）11.①()53+-=______；②()55---=______；③36-⨯=______；④()84-÷-=______；⑤()211---=______；⑥()3342-+÷-=______；⑦用四舍五入法取近似值：1.8946≈______（精确到0.001）．⑧将数据218000用科学记数法表示为______．①.2②.0③.-18④.2⑤.-2⑥.-3.5⑦.1.895⑧.52.1810⨯【分析】分别根据有理数的加、减、乘、除、乘方法则解①②③④⑤⑥，利用近似数定义解⑦，用科学记数法表示绝对值大于1的数形如,11001,na n <⨯<为正整数，据此解题．【详解】解：①()5353=2+-=-；②()555+5=0---=-；③3618-⨯=-；④()842-÷-=；⑤()21111=2---=---；⑥()()3342348=30.5 3.5-+÷-=-+÷---=-；⑦用四舍五入法取近似值：1.8946≈1.895（精确到0.001）⑧将数据218000用科学记数法表示为52.1810⨯，故答案为：2，0，-18，2，-2，-3.5，1.895，52.1810⨯．【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算、近似数、用科学记数法表示绝对值大于1的数等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键12.已知点A 、B 、C 、D 在直线l 上，8AB =，12AC =，D 为BC 的中点，则AD =______．10或2##2或8【分析】根据题意画图，分两种情况讨论，当点B 、C 在点A 同侧或当点B 、C 在点A 异侧，结合线段的和差及线段中点的性质解得BC 、BD 的长，继而可得AD 的长．【详解】解：分两种情况讨论，当点B 、C 在点A 同侧时，如图，8AB = ，12AC =，1284BC AC AB ∴=-=-= D 为BC 的中点，122BD DC BC ∴===8210AD AB BD ∴=+=+=；当点B 、C 在点A 异侧时，如图，8AB = ，12AC =，+12+820BC AC AB ∴=== D 为BC 的中点，1102BD DC BC ∴===1082AD BD AB ∴=-=-=，综上所述，AD =10或2故答案为：10或2．【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差等知识，是基础考点，利用分类讨论法解题是关键．13.一商场销售某款羊毛衫，若这款羊毛衫每件销售价为120元，则盈利20%，则这款羊毛衫每件的成本价为______元．100【分析】根据售价=成本+利润，列一元一次方程解题．【详解】解：设这款羊毛衫每件的成本价为x 元，由题意得，（1+20%）x =1201.2x =120解得x =100即这款羊毛衫每件的成本价为100元，故答案为：100．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．14.在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西60°的方向，同时轮船B 在南偏东20°的方向，那么∠AOB 的大小为______．140︒##140度【分析】由题意画图，再结合角的和差得到90609020140AOB ∠=︒-︒+︒+︒=︒．【详解】解：如图，90609020140AOB ∠=︒-︒+︒+︒=︒故答案为：140︒．【点睛】本题考查方向角，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．15.如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm 的长条，且剪下的两个长条的面积相等．则这个正方形的边长为．20cm【分析】设正方形的边长为xcm ，根据题意可得其中一个小长方形的两边长分别为5cm 和（x-4）cm ；另一个小长方形的两边长分别为4cm 和xcm ，根据“剪下的两个长条的面积相等”可直接列出方程，求解即可．【详解】解：设正方形的边长为xcm ，由题意得：4x=5（x-4），解得x=20．故答案为：20cm ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，分别表示出两个小长方形的长和宽．16.如图，动点A ，B ，C 分别从数轴－30，10，18的位置沿数轴正方向运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒，线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，若k PM MN ⋅-为常数，则k 为______．2【分析】运动t 秒后，点P 在数轴上表示的数为-15+t ，点M 在数轴上表示的数是5+2t ，点N 在数轴上表示的数是9+4t ，分别表示出PM =20+t ，MN =2t +4，再代入k PM MN ⋅-，根据k PM MN ⋅-为常数，得到关于k 的方程，解方程即可．【详解】解：根据题意得，点P 在数轴上表示的数为-3022t +=-15+t ，点M 在数轴上表示的数是1042t +=5+2t ，点N 在数轴上表示的数是1882t +=9+4t ，则PM =20+t ，MN =2t +4，(20)(24)(2)204k PM MN k t t k t k ∴⋅-=+-+=-+- k PM MN ⋅-为常数，2=0k ∴-2k ∴=故答案为：2．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、数轴上点的位置关系，根据k PM MN ⋅-为常数列方程是解题关键．三、解答题：17.计算（1）()()1762320-+-+--；（2）()2212822-⨯+÷-；（3）123183424⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎝⎭⎝⎭；（4）解方程：2953x x -=+．（5）先化简，再求值：已知()()222242x x y x y --+-，其中=1x -，12y =．（1）20（2）0（3）1-（4）4x =-（5）22x y +；2【分析】（1）（2）（3）根据有理数的混合运算进求解即可；（4）根据移项合并同类项解一元一次方程即可；（4）先去括号再合并同类项，再将,x y 的值代入求解即可．【小问1详解】()()1762320-+-+--232320=-++20=【小问2详解】()2212822-⨯+÷-114824=-⨯+⨯22=-+0=【小问3详解】123183424⎛⎫⎛⎫+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12324834⎛⎫=+-⨯- ⎪⎝⎭123242424834=-⨯-⨯+⨯31618=--+1=-【小问4详解】2953x x -=+2539-=+x x 312-=x 解得4x =-【小问5详解】()()222242x x y x y --+-2222422x x y x y =-++-22x y =+当=1x -，12y =时，原式()21121122=-+⨯=+=【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，整式加减的化简求值，正确的计算是解题的关键．18.当x 为何值时，333x -和3112x --互为相反数．1x =【分析】由相反数的定义得到333x -与3112x --的和为零，据此解一元一次方程即可解题．【详解】解：33311=0+23x x ---2(33)3(31)60x x ∴-+--=669360x x ∴-+--=15150x ∴-=解得1x =即当1x =时，333x -和3112x --互为相反数．【点睛】本题考查相反数、解一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．19.如图，已知线段a ，b ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）求作：线段2AB a b =-．见解析【分析】作射线AM ，在射线AM ，上顺次截取AC =a ，CD =a ，再反向截取DB =b ，进而可得线段AB ．【详解】解：如图，线段AB 即为所求作的线段2a b -．【点睛】本题考查尺规作图—线段的和差，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．20.某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天可生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母．为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．【详解】试题分析：根据“一个螺钉要配两个螺母”，生产螺母的数量应是螺钉的2倍，所以本题中的等量关系是：每人每天平均生产螺钉的个数×生产螺钉的人数×2=每人每天平均生产螺母的个数×生产螺母的人数．据此等量关系式可列方程解答．试题解析：解：设应分配x 名工人生产螺钉，则生产螺母的工人应是（22﹣x ）名，根据题意得：1200x ×2=2000×（22﹣x ），解得：x =10，22﹣x =22﹣10=12（名）．答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．点睛：本题的关键是根据“一个螺钉要配两个螺母”，生产螺母的数量应是螺钉的2倍，找出题目中的等量关系，再列方程解答．21.如图，将一副直角三角板的直角顶点C 叠放在一起．（1）若35DCE ∠=︒，则BCA ∠=______；若150ACB ∠=︒，则DCE ∠=______；（2）猜想∠ACB 与∠DCE 的大小有何特殊关系？并说明理由．（3）若:2:7DCE ACB ∠∠=，求∠DCE 的度数．（1）145°，30°（2）180ACB ECD ∠+∠︒=（3）40︒【分析】（1）根据ACD BCE ECD ACB ∠+∠-∠=∠求解即可；（2）（3）方法同（1）【小问1详解】解：∵9090180ACD BCE ∠+∠=︒+︒=︒，35DCE ∠=︒∴18035145ACB ACD BCE ECD ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒150ACB ∠=︒18015030ECD ACD BCE ACB ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒故答案为：145︒；30︒【小问2详解】180ACB ECD ∠+∠︒=，理由如下，ACD BCE ECD ACB ∠+∠-∠=∠，9090180ACD BCE ∠+∠=︒+︒=︒∴180ACD BCE ACB ECD ∠+∠=∠+∠=︒【小问3详解】180ACB ECD ∠+∠︒=，:2:7DCE ACB ∠∠=，2180409DCE ∴∠=⨯︒=︒【点睛】本题考查了三角尺中角度的计算，找到关系式180ACB ECD ∠+∠︒=是解题的关键．22.定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷等．类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的下3次方”，一般地，把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的下n 次方”．理解：（1）直接写出计算结果：32=_______．（2）关于除方，下列说法正确的有_______（把正确的序号都填上）；①21a =(0)a ≠；②对于任何正整数n ，11n =；③433=4；④负数的下奇数次方结果是负数，负数的下偶数次方结果是正数．应用：（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：241111222222()2222=÷÷÷=⨯⨯⨯=（幂的形式）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：65=_______；91()2-=________；（4）计算：3341((2)2(8)24-÷--+-⨯-．（1）12；（2）①②④；（3）41()5，7(2)-；（4）26-．【分析】（1）根据a n 表示“a 的下n 次方”的意义进行计算即可；（2）根据a n 表示“a 的下n 次方”的意义计算判断即可；（3）根据a n 表示“a 的下n 次方”的意义，表示出56，91(2-=7(2)-，进而得出答案；（4）按照有理数的运算法则进行计算即可．【详解】（1）23＝2÷2÷2＝2×12×12＝12，故答案为：12；（2）当a≠0时，a 2＝a÷a ＝1，因此①正确；对于任何正整数n ，1n ＝1÷1÷1÷…÷1＝1，因此②正确；因为34＝3÷3÷3÷3＝19，而43＝4÷4÷4＝14，因此③不正确；根据有理数除法的法则可得，④正确；故答案为：①②④；（3）56＝5÷5÷5÷5÷5÷5＝5×15×15×15×15×15＝（15）4，同理可得，91()2-=＝（−2）7，故答案为：（15）4，（−2）7；（4）3341((2)2(8)24-÷--+-⨯-＝16×（-18）-8+（-8）×2＝-2-8-16＝−26．【点睛】本题考查有理数的混合运算，理解“a n ，表示a 的下n 次方”的意义是正确计算的前提．23.如图，C 为线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，CD ＝2BD ，E 为线段AC 上一点，CE ＝2AE(1)若AB ＝18，BC ＝21，求DE 的长；(2)若AB＝a，求DE的长；(用含a的代数式表示)(3)若图中所有线段的长度之和是线段AD长度的7倍，则ADAC的值为．(1)12；(2)23a；(3)23【分析】（1）利用CD=2BD，CE=2AE，得出AE=13AC=13（AB+BC），进一步利用BE=AB-AE，DE=BE+BD得出结论即可；（2）利用（1）的计算过程即可推出；（3）图中所有线段有AE、AB、AD、AC、EB、ED、EC、BD、BC、DC共10条，求出所有线段的和用AC表示即可．【详解】解：（1）∵CD=2BD，BC=21，∴B D=13BC=7，∵CE=2AE，AB=18，∴AE=13AC=13（AB+BC）=13×（18+21）=13，∴BE=AB﹣AE=18﹣13=5，∴DE=BE+BD=5+7=12；（2）∵CD=2BD，∴BD=13BC，∵CE=2AE，AB=a，∴AE=13AC，∴BE=AB﹣AE=AB﹣13AC，∴DE=BE+BD=AB﹣13AC+13BC=AB﹣13（AC﹣BC）=AB﹣13AB=23AB，∵AB=a，∴DE=23a；（3）设CD=2BD=2x，CE=2AE=2y，则BD=x，AE=y，所有线段和AE+AB+AD+AC+EB+ED+EC+BD+BC+DC=4y+3（2y﹣3x）+2x+2x+3（2y﹣3x）+2x+2x+2x+2x+2x=7（y+2y ﹣3x+x），y=2x，则AD=y+2y﹣3x+x=3y﹣2x=4x，AC=3y=6x，∴ADAC＝23.【点睛】考查学生对两点间距离的理解和掌握，解题关键是通过条件CD=2BD，CE=2AE，建立线段间联系.24.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电实施“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过150千瓦时的部分a超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b超过300千瓦时的部分a+0.32015年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交费60元；居民乙用电200千瓦时，交费122.5元．（1）求上表中a、b的值．（2）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月交费277.5元？（3）实施“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时，其当月的平均电价等于0.62元/千瓦时？（1）a=0.6，b=0.65．（2）400千瓦时；（3）250千瓦时．【分析】（1）利用居民甲用电100千瓦时，交电费60元，可以求出a的值，进而利用居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元，求出b的值即可；（2）首先判断出用电是否超过300千瓦时，再根据收费方式可得等量关系：前150千瓦时的部分的费用+超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分的费用+超过300千瓦时的部分的费用=交费277.5元，根据等量关系列出方程，再解即可；（3）根据当居民月用电量y≤150时，0.6≤0.62，当居民月用电量y满足150＜y≤300时，0.65y﹣7.5≤0.62y，当居民月用电量y满足y＞300时，0.9y﹣82.5≤0.62y，分别得出即可．【详解】解：（1）a=60÷100=0.6，1500.6+50b=122.5，解得b=0.65．（2）若用电300千瓦时，0.6150+0.65150=187.5＜277.5，所以用电超过300千瓦时．设该户居民月用电x千瓦时，则0.6×150+0.65×150+0.9（x﹣300）=277.5，解得x=400答：该户居民月用电400千瓦时．（3）设该户居民月用电y千瓦时，分三种情况：①若y不超过150，平均电价为0.6＜0.62，故不合题意；②若y超过150，但不超过300，则0.62y=0.6×150+0.65（y﹣150），解得y=250；③若y大于300，则0.62y=0.6×150+0.65×150+0.9（y﹣300），解得929414 y ．此时y＜300，不合题意，应舍去．综上所述，y=250．答：该户居民月用电250千瓦时．25.如图（1），BOC ∠和AOB ∠都是锐角，射线OB 在AOC ∠内部，AOB α∠=，BOC β∠=．（本题所涉及的角都是小于180°的角）（1）如图（2），OM 平分BOC ON ∠，平分AOC ∠，填空：①当40α=︒，70β=︒时，COM ∠=______，CON ∠=______，MON ∠=______；②MON ∠=______（用含有α或β的代数式表示）．（2）如图（3），P 为AOB ∠内任意一点，直线PQ 过点O ，点Q 在AOB ∠外部：①当OM 平分POB ON ∠，平分POA MON ∠∠，的度数为______；②当OM 平分QOB ON ∠，平分QOA MON ∠∠，的度数为______；（∠MON 的度数用含有α或β的代数式表示）（3）如图（4），当40α=︒，70β=︒时，射线OP 从OC 处以5°/分的速度绕点O 开始逆时针旋转一周，同时射线OQ 从OB 处以相同的速度绕点O 逆时针也旋转一周，OM 平分POQ ON ∠，平分POA ∠，那么多少分钟时，MON ∠的度数是40°？（1）13555202︒︒︒α，，，（2）12α，11802α︒-（3）8分钟或48分钟时，40MON ∠=︒【分析】（1）根据角平分线的定义判断即可；（2）①根据()12MON POB POA ∠=∠+∠求解即可，②根据()12MON BOQ QOA ∠=∠+∠求解即可；（3）分OP 在AOB ∠的外部和内部两种情况讨论，在外部时根据旋转的时间乘以速度等于POA AOB BOC ∠+∠+∠，在内部时可以判断35POM ∠=︒，MON POM PON ∠=∠-40=︒．【小问1详解】解：① OM 平分BOC ON ∠，平分AOC ∠，当40α=︒，70β=︒时，COM ∠=113522BOC ∠=β=︒，CON ∠=()111()55222AOC AOB BOC ∠=∠+∠=α+β=︒，MON ∠=()11120222CON COM αββα∠-=+-==︒②MON ∠()111222CON COM =∠-=α+β-β=α故答案为：13555202︒︒︒α，，，【小问2详解】解：①OM 平分POB ON ∠，平分POA ∠，∴()12MON POB POA ∠=∠+∠1122AOB =∠=α② OM 平分QOB ON ∠，平分QOA ∠，∴()12MON BOQ QOA ∠=∠+∠()1136018022AOB =︒-∠=︒-α故答案为：12α，11802α︒-【小问3详解】解：根据题意POQ BOC ∠=∠=β OM 平分POQ ∠，113522POM POQ ∴∠=∠==︒如图1所示，当OP 在AOB ∠的外部时，∵AON PON AOB BOC COP MON +=++-∠∠∠∠∠∠，∴()357040540AON t +︒=︒+︒+︒-︒∠，∴()355AON t =︒+︒∠，∵ON 平分AOP ∠，∴()155522t AON AOB BOC COP ⎛⎫=++=︒+︒ ⎪⎝⎭∠∠∠∠，∴5355552t t +=+，解得8t =；如图2所示，当OP 在AOB ∠的外部时，∵MON ∠的度数是40°，MON PON POM∠=∠+5PON ∴∠=︒∵ON 平分AOP ∠，210POA PON ∴∠=∠=︒120POC BOC AOB AOP ∴∠=++=︒∠∠∠则OP 旋转了360120240︒-︒=︒240548∴÷=分即48分钟时，MON ∠的度数是40°；如图3，当OP 在AOB ∠的内部时，MON POM PON ∠=∠-∠ 即4035PON︒=︒-∠5PON ∴∠=-︒此情况不存在；如图4所示，当OP 在AOB ∠的外部时，∵MON AOP POM AON =--∠∠∠∠，∴()()704036057040360535402t t ︒+︒-︒-︒⎡⎤⎣⎦︒+︒-︒-︒-︒=+︒⎡⎤⎣⎦，∴1103605110360535402t t -+-+-=+，∴5250150t -=，解得80t =（舍去）；综上所述，8分钟或48分钟时，40∠=︒．【点睛】本题考查了几何图形中角MON度的计算，角平分线的意义，掌握角平分线的意义是解题的关键．。

专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。

福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．x44415．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE V 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为.三、双空题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫做图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为； ②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为．四、解答题方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？(3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ．①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点.①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.。