MPCK视角下的初中数学概念教学-厦门一中
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MPCK视角下的数学专题教学作者:万赢银来源:《数学教学通讯·高中版》2017年第08期[摘要] 专题教学作为课堂教学内容的重要组成部分,如何组织专题教学值得深入研究. 本文从MPCK的视角纵观专题教学的出发点、立足点、落脚点,通过教学案例,阐述MPCK视角下专题教学的实践与思考.[关键词] MPCK,数学专题,问题驱动,数学素养数学专题是数学课堂教学活动的重要组成部分,它以具有一定综合性的内容为载体,以形成知识网络为指向,以提升学生综合运用知识解决数学问题、提升能力为目的,具有一定的操作性、指向性和实效性.当前专题教学中,“大容量+大范围”的现象较为普遍,其结果是学生没有真正理解数学知识,不能抓住其本质,在解决问题时束手无策、无从入手. 存在这种现象的主要原因有:①有些教师没有透彻地理解问题的实质,只是通过一些例习题带过,缺乏深入讲解,导致学生学习效果甚微;②对专题教学认识不够、定位不准,以为学生会机械地模仿就能解题;③不了解学生的认知规律,以为大容量、大范围、快进度就能带来高效率. 这样的专题教学往往失去了数学的本质,学生不知道数学思想源自何处、有何作用,自然也就对数学学习失去了兴趣.一个具有优秀MPCK的教师在教学中会让学生充分地认识到:数学专题不仅仅是“题海战术”,在实践和应用中更蕴含着“火热的思考”.[⇩] MPCK的内涵与结构20世纪80年代,美国学者舒尔曼提出了“缺失的范式”,给出了PCK概念,为人们进一步理解教与学提供了更加广阔的视角.就数学教育而言,掌握丰富的数学学科知识并不能有效地促进教师专业发展,教师更需要具备MPCK,即具备数学学科知识(MK)、一般教学法知识(PK)、有关数学学习的知识(CK)以及教育技术知识(TK),才能将学科知识有效地传递给学生.1. MPCK视角下的数学专题教学数学专题不仅是对知识的深化和方法的拓展,更是对数学思想方法的探索过程的辨析与能力的提高. 因此,在数学专题教学中要突出学生的主体性,充分让学生参与教学过程,使学生生动、活泼、主动地学习.教师应从MK、PK、CK、TK的角度开展数学专题教学,让学生成为解题方法的参与者和发现者.从MK的角度分析,教师应具备丰富、系统的数学学科知识. 在专题教学中,教师应做到以下几点:①“问题是数学的心脏.”专题教学中要选择一些知识点覆盖面广、解题方法多、思维含量高的习题作为素材,按照“知识问题化、问题层次化”的设计思路组织课堂活动.②“学而不思则罔,思而不学则殆.” 要在专题教学中适时地归纳总结,挖掘问题中蕴含的数学思想,引导学生在建构基础知识的同时奏响数学思想的“主旋律”.③教师在专题教学中要注重知识的自然生成,潜意识地进行教学预设,激发学生的学习兴趣,有助于学生知识体系的建构.从PK的角度分析,教师应选择恰当的教学方法组织教学,完成既定教学任务. 数学专题教学一般可按照以下步骤进行:①创设问题情境,引入专题;②形成解题策略,分析解题困境;③探究优化方法,启发、引导问题解决;④引申、变式、探究、研讨;⑤总结、归类反思方法.在具体的教学中适时调整,以问题的发现、探究和解决为中心,通过发现、分析、创造性地解决问题去激发学生的求知欲、创造欲和主体意识.从CK的角度分析,教师应充分把脉学生的知识水平、学习能力,确定教学专题做到因材施教,设计符合学情的教学活动,在活动中帮助学生夯实基础,又能突破专题难点.从TK的角度分析,教师应根据专题教学的特点,合理运用现代教育技术辅助教学,运用现代教育技术直观、动态地呈现数学规律、数学现象. 此外,现代教育技术的应用也为提高专题复习课堂的效率提供了技术支撑.[⇩] MPCK视角下的数学专题教学案例分析以高三数学教学专题“三角形中的三角函数”为例.1. 课堂引入——专题教学以问题驱动为出发点《普通高中数学课程标准(实验)》强调“要让学生在现实、生动具体的情境中和已有知识的基础上体验和理解数学知识”. 因此,在专题教学中创设适当的问题情境,让学生感受数学,激发源动力.引例1:(2015年江苏卷)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,求BC的长及sinC.引例2:(2013年全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,求△ABC的面积.引例3:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足acosB-bcosA=c,求的值.引例4:在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC, sin∠BAC=,AB=3,AD=3,求BD的长.评析:(1)从MK和PK的角度来看,本环节的目的是让学生通过一些问题感知“三角形中的三角函数”专题中常见的处理策略:在一个或多个三角形中运用正、余弦定理进行边角互化解三角形,从而完成对三角形中的三角函数专题的第一次认识.(2)从CK的角度来看,根据认知心理学理论,学生对知识的认知将经历感知、推理、创造的过程. 通过创设问题情境,帮助学生建立与新知识联系的桥梁,形成完整的知识体系. 同时激发学生的学习兴趣,让学生了解专题产生的背景以及它的作用,懂得数学知识并不是独立的,而是一脉相承的. 因此,以问题为驱动,引入课题是专题教学有效的切入点.2. 探索体验——专题教学以学生探究为立足点《普通高中数学课程标准(实验)》指出,课堂教学要善于激发学生“自学、互学、群学”的学习热情,专题教学中常通过设计一些问题让学生进行探究交流.例1:在△ABC中,AB=4,AD为BC边上的中线,∠BAD=30°,cos∠ADC=,求AC的长.通过分析,利用正、余弦定理可以解决这个问题,学生主要的困惑在于面对多个三角形如何灵活地选用正、余弦定理. 为突破这个难点,可再设计一组问题串:问题1:在△ABC中,AD为BC边上的中线,且∠BAC=120°,BC=2,AD=3,求AC的长.问题2:在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AB=4,AC=2,∠BAD=30°,求BC的长.问题3:在△ABC中,∠A=120°,AD为∠A的平分线,且BC=2,BD=,求AC的长.通过这几个问题的讨论、交流,引导学生深化对知识的理解,提升转化和化归的能力.评析:(1)从MK和PK的角度来看,本环节的目的是让学生深化对知识的理解和运用,提升分析问题、解决问题的能力. 在设计时,注重学生的课堂参与度,努力搭建平台引导学生自主探究、自主提升,充分体现学生的主体性,让探究成为专题教学的立足点.(2)从CK的角度来看,根据皮亚杰的认知发展阶段论,高中学生已具备较高的认知水平,通过第一环节的学习已经初步掌握了利用正、余弦定理解决三角形中的边角问题,但是面对多个三角形如何灵活地选用正、余弦定理还是存在困惑,因为把复杂的问题转化、化归为简单的问题,对高中生来说难度较大.(3)从PK和TK的角度来看,利用现代教育技术手段呈现知识的自然生成,而要使知识得到有效的建构,有赖于学生主动探索与思考. 教师可适当地选择启发式、探究式等教学策略,引导学生积极地思考,自主探究,化解问题的难点.通过设计几个问题串把学生的思维推向深化,加深他们对知识的理解和运用.3. 应用提炼——专题教学以思想方法为落脚点“学而不思则罔,思而不学则殆.”专题教学不仅仅是单纯的习题教学,更重要的是在问题解决过程中凸显解题策略和数学思想方法.例2:已知在△ABC中,AB边上的高与AB边的长相等,求++的最大值.解:不妨设BC=a,AC=b,AB=c,AB边上的高为h,根据正弦定理及三角形的面积可得ch=absinC. 又h=c,所以c2=absinC,即c2=absinC.由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC,所以a2+b2=absinC+2abcosC,从而++====2sinC+2cosC=2·sinC+.所以,当C=时取得最大值2.思维拓展:1. (2008年江苏高考第14题)已知在△ABC中,AB=2,AC=BC,求△ABC的面积的最大值.2. 已知平面向量m,n满足n=1且m与n-m的夹角为120°,求m的最大值.通过例2和思维拓展题,学生的思维在广度、深度上得到了拓展,对本专题的掌握在解题方法和数学思想上有了质的突破,提升了运用数学思想、数学方法解决问题的能力.评析:(1)从MK的角度来看,每个数学问题都蕴含着一定的数学思想、数学方法. 例2中最值问题在本质上是函数问题,运用正、余弦定理解决三角形里的最值问题是函数问题的常见解题策略.(2)从CK的角度来看,经过前面三个阶段学生已有一定的知识储备,例2就是让学生将知识提炼升华到方法层面,更深层次地培养学生运用正、余弦定理解决三角形问题的工具意识.(3)从PK的角度来看,专题教学更注重数学核心素养的培育. 例2让学生体验到正、余弦定理与三角恒等变换、三角形面积公式、基本不等式的综合应用,在应用里体会数学问题中蕴含的数学思想、方法,逐步掌握程序性知识和策略性知识,优化认知结构,同时在思维的训练中引领数学核心素养的培养.[⇩] 结语专题教学是一项复杂、艰巨的教学任务,它不但需要教师做好充分的课程准备,更需要教师能够根据学情适时地调整教学模式和教学方法. 在专题课题的选材上往往以学生的信息反馈、教材习题、试题研究、教研活动等为生长点,教师要扮演好专题教学的策划设计者、引导调控者、鼓励评价者、梳理升华者,学生要成为专题教学的积极参与者和发现者,引导学生从认识上、思想上揭示问题的本质,进而培养和发展学生的数学素养和创新意识.专题是高中数学课堂的重要内容,如何通过专题教学让学生认识到其中蕴含的数学知识的本质,这就需要教师具备专业的MPCK. 只有具备良好的MPCK,才能创造性地组织、实施教学,锻炼学生的思维,同时教师的个人教育教学素养也将得到提升.参考文献:[1] 董涛. 课堂教学中的PCK[D]. 华东师范大学,2008.[2] 梅松竹,冷平,王燕荣. 数学教师 MPCK之案例剖析[J]. 中学数学杂志,2010,19(11):10-12.[3] 徐芳芳. 高中数学教师的学科知识与学科教学知识研究[J]. 数学教育学报,2011,20(3):71-75.[4] 秦德生,孙晓雪. 中学教师数学知识结构的模型分析[J]. 数学教育学报,2009,18(5):89-91.[5] 托德·维特克尔. 优秀教师一定要知道的14件事[J]. 中国青年出版社,2006.。
MPCK视角下初等教育专业数学课程体系研究一、MPCK理论“领域教学知识”(简称PCK),是有关教学的特有知识体系,从操作的角度,它可以定义为三个维度的有机结合:教什么――教学内容知识,怎样教――教学方法的知识,以及教谁――教学对象的知识(Shulman,1987)。
MPCK是学者们在PCK理论的基础上提出的,是指某一特定的数学内容该如何进行表述、呈现和解释,以使学生更容易接受和理解的知识,即教师的数学教学内容知识。
它不仅继承了PCK对教师知识的深度整合,而且融合了数学学科和数学教学特殊性,使其成为数学教师所专有的PCK。
MPCK 模型涵盖三部分:数学学科知识(Mathematical Knowledge),一般教学法知识(Pedagogical Knowledge),有关数学学习的知识(Content Knowledge)。
所以说MPCK是“数学学科知识与教学法知识的特殊整合,是教师特有的知识,是教师对数学学科知识的特殊理解形式”。
[1]基于MPCK理论,在数学课程的设置上要从小学数学教师教学的现状和困境出发,要去考虑教学对象(教学内容和学生)的真正需求,促进其持续性的专业发展。
二、初等教育专业数学课程体系现状(一)数学基础课的课程现状数学课主要在第一学年、第二学年以及第三学年的上半年开设,主要内容包括高中数学的基本内容,是初等教育专业数学的基础课,内容包括:集合、函数、基本初等函数(Ⅰ)(Ⅱ)、立体几何初步、平面解析几何初步、三角函数、数列、不等式、平面向量、逻辑、圆锥曲线方程、复数、导数、概率初步等内容。
但是课程开设时间过长,与现行的“3.5+1.5”的人才培养模式相矛盾,与初等数论在课程衔接上不连续。
(二)初等数论的课程现状初等数论作为初等教育专业数学课程的基本专业课,主要在学生在校期间的第三年上学期开设。
其主要内容包括整数的整除理论,同余理论,连分数理论和某些特殊不定方程。
在校学生反映,数论很抽象,学起来很困难,尤其是解数论题目时常常会无从下手。
mpck视角下初等教育专业数学课程体系研究本文尝试从蒙特皮亚诺科学技术理论(MPK)的视角,对初等教育专业数学课程体系进行研究,探索初等教育专业数学课程体系应如何有效利用MPK理论中的概念,来更好的安排课程内容,使学生能够更好的学习数学。
首先,让我们来介绍MPK理论。
蒙特皮亚诺科学技术理论(MPK)源自古典物理学家蒙特皮亚诺(Monty Pythagoras),他认为学习理解科学思维的基本方法是学习、整理、推理和证明。
他建立的科学知识体系由有限的科学原理组成,形成可以推理的、一致的知识体系。
蒙特皮亚诺的科学技术理论认为学习是以归纳为基础的,这意味着学习者需要根据日常经验的积累来归纳概念。
即学生要从观察到的事实中抽出概念,形成思维规律,从而归纳出规律。
从MPK理论的视角,初等教育专业数学课程体系也是采用这种归纳模式,以让学生从众多细节中抽取出宏观概念、思考规律,从而形成一套完整的数学知识体系。
在课程安排上,也要注重让学生从实践中抽出概念,激发学生对数学问题的兴趣,让他们喜欢数学,同时培养他们的科学精神,增强他们的学习积极性。
此外,采用MPCK理论的视角,初等教育专业数学课程体系也要注重在实践教学中提高学生的分析能力,以及推理能力。
在数学实验中,应鼓励学生采用推理的方式,把实验中的细节加以分析,从而发现逻辑上的联系,探究认识规律,深化认知,加深理解。
在推理过程中,学生需要融汇贯通物理实验与数学课程,把实践结果与数学模型相结合,从而让学生能够用数学的方式思考实际问题,培养学生的科学精神和创新思维。
最后,从MPK理论的视角,初等教育专业数学课程体系也要注重以及建立完善的数学知识体系,以支持学生更全面、更深入、更有效地学习和理解数学。
因此,在教学过程中,要尊重和激发学生的自主学习能力,让学生能够在自主学习中获得乐趣,提高学习效率,激发学习兴趣。
综上所述,采用MPCK理论的视角,初等教育专业数学课程体系应注重从实践中抽取概念的归纳模式,提高学生的分析能力和推理能力,并利用完善的数学知识体系,建立学生的自主学习能力,让他们在自主学习中获取更多的乐趣,激发他们学习数学的兴趣,提高他们的学习效率。
基于MPCK视角下的二次函数复习设计与反思作者:***来源:《数学教学通讯·初中版》2020年第02期[摘要] 文章從MPCK视角,以二次函数复习为例,通过设计与反思,以提高复习课教学的有效性.[关键词] 初中数学;二次函数;MPCK;复习课九年级的第一轮复习要求对学过的数学知识进行再理解、再学习,使学生构建科学的知识框架,对其中涉及的数学思想方法再次提高认识. 在MPCK理论的指导下,作为九年级教师,在复习课设计时要做如下构思:课标中对此部分内容是如何要求的?如何培养学生的思维能力?如何让学生深刻把握其中的数学思想方法?在过去几年里中考对此部分知识是如何考查的?学生对这部分知识的掌握程度如何?学生通过复习后应达到什么要求?当教师对这些问题进行考虑之后,就能做到有的放矢,对症下药.MPCK视角下二次函数的复习设计MPCK视角下的中考复习设计,教师要认识复习内容在数学知识体系的地位,知道这部分知识在中考里呈现的方式及应达到的要求,以及学生近阶段的学习状况如何. 需要强调的是,学生复习并不是知识的简单重现,而是通过复习对旧知有新的认识,了解知识间的联系,提高学生的应用意识与实践能力.1. 课标对“二次函数”的要求《义务教育数学课程标准(2011年版)》对二次函数部分作如下描述:通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义;会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质;会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单实际问题;会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解;知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.2. 近五年江苏中考对二次函数考查的统计(表1)我们看到,最近五年江苏中考对二次函数的考查形式为填空题和解答题,其中填空题重点考查二次函数的图像与性质,解答题重点考查二次函数表达式的确定,二次函数与几何图形的综合.3. 二次函数基础知识回顾问题1:如图1所示,观察二次函数的图像,请说出尽可能多的结论.问题2:能否求出此二次函数的解析式?若不能求出,适当添加条件,求出一个符合题意的解析式.问题3:根据函数图像,请自编一个问题来解答.设计意图这些问题都是结论开放性问题,通过解决问题,复习了二次函数的概念和图像,二次函数的性质及解析式的确定,学生因为需要观察图像才能解答问题,所以渗透了数形结合的数学思想,让学生多角度思考同一问题,体现了不同知识间的联系,开启了学生的思维.4. 二次函数的应用问题4:某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展,生产销售某产品,该产品销售量y (万件)与售价x(元/件)之间存在图2(一条线段)所示的变化趋势,总成本P(万元)与销售量y(万件)之间存在图3所示的变化趋势,当6≤y≤10时可看成一条线段,当10≤y≤18时可看成抛物线P=-■y2+8y+m.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)若销售量不超过10万件时,利润为45万元,求此时的售价为多少元/件?(3)当售价为多少元时,利润最大,最大值是多少万元?(利润=销售总额一总成本)设计意图通过几个递进式的问题,(1)让学生结合实际问题,明白常量、变量代表的实际意义,能够解读特殊点的实际意义;(2)让学生学会从函数的角度看待问题,将实际问题转化为函数问题加以解决;(3)让学生体验求函数表达式的两种方法:一是待定系数法,二是实际意义法;(4)让学生了解不同变量之间的函数关系,如:销量与售价成一次函数关系,成本与销量之间成分段函数关系,销售利润与售价成二次函数关系等,增加学生综合运用多种数学知识解决实际问题的能力;(5)学生需要通过函数图像解决函数问题,又一次体验到数形结合的数学思想,并感受函数的本质——变化与趋势.5. 二次函数的反馈训练问题5:如图4,认真观察图像,请根据图像编写一个故事情节,在这个情境要求只出现两个变量x,y,这两个变量适合图示的函数关系,说明x,y的实际含义,使用图像中出现的有关数据说明变化过程的实际含义,及特殊点的含义.6. 课堂归纳本节课我们复习了二次函数的图像、性质及应用,你有什么收获吗?你对二次函数有什么新的认识?设计意图当堂总结,跟踪练习,把已学习的二次函数知识和方法,归入学生自己的知识体系中,让这些知识与方法成为以后可反复利用的学习方法.反思MPCK视角下的中考复习从MK的角度来看,九年级数学教师应对初中数学知识了如指掌,明白各部分知识之间的联系,对每一部分知识蕴含的数学思想方法都清楚明白,在九年级一轮复习中,能够挑选出一些既考基础知识,也具有探究性的典型例题. 教师在复习二次函数前,要对课程标准与中考说明及检测都有所了解,了解二次函数在整个函数及初中数学中的地位与作用.从PK的角度来看,整堂设计以一条抛物线贯穿始终,先让学生从二次函数图像与性质的回顾开始,再到解析式的确定,最后是二次函数的应用,通过开放性问题,触发学生的思维,通过与实际问题相结合,增强学生的应用意识与实践能力.从CK的角度来看,教师在复习之前,对学生掌握知识的状况要做深入了解,关注近阶段学生的心理状况,估计在复习过程可能遇到的知识障碍与思维障碍. 教师要选择适当的问题情境和呈现方式进行课堂设计,从不同的侧面让学生掌握二次函数,充分考虑学生的个性差异,从学生的角度看待与设计问题,培养学生综合运用知识的能力.。
MPCK视角下的《计数原理》教学案例分析作者:王琴芳来源:《课程教育研究》2017年第12期【摘要】本文在MPCK视角下回味《计数原理》的教学,剖析如何将两个计数原理的学术形态转化为教育形态,以促进学生对计数原理的理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养,实现有效教学,同时激励自我用“心”学习教学智慧,不断提升自我的MPCK。
【关键词】MPCK 计数原理有效教学【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2017)12-0154-01一、MPCK的内涵与构成MPCK(Mathematics Pedagogical Content Knowledge)是近几年数学教育研究的热点问题。
20世纪80年代中期,美国学者舒尔曼针对当时美国教师教育研究中所存在的学科知识与教育学知识分离的现象提出了“缺失的范式”,给出了学科教学知识(Pedagogical Content Knowledge,简称PCK)的概念。
对数学学科而言,PCK在数学教育中的具体体现就是“数学学科教学知识”,即MPCK。
[1]香港中文大学黄毅英教授认为[2],数学教师开展常规教学所具备的知识有3类:数学学科知识(MK)、一般教学法知识(PK)、有关数学学习的知识(CK)。
而这3类知识的综合与融合就是数学教学内容知识(MPCK),其本质是教师如何将数学知识的学术形态转化为教育形态,以促进学生的数学理解、提高学生的数学能力和提升学生的数学素养。
针对课堂 MPCK,李渺,宁连华认为[3],课堂MPCK 主要体现在两次“转化”之中:第一次“转化”体现于教学准备中,表现为教师在把握教学目标、教学内容、教学对象(学生的已有知识经验、思维特点、学习误解、学习疑难点、学习能力、学习动机、学习兴趣、学习风格等)的基础上,如何选择“组织、呈现和调整”的方式;第二次“转化”主要体现于教学实施中,表现为教师对“组织、呈现和调整”方式的灵活运用。
PCK视角下的数学概念教学——以“函数的单调性”一课为
例
郑明筑
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2016(035)006
【摘要】PCK是学科教学知识或教学内容知识(Pedagogical Content Knowledge)的简称,它由美国学者舒尔曼最先提出.我国学者董涛研究得出,就数学来说,PCK是教学用的数学知识.除了传统数学知识,在数学教师的PCK结构中还含有5种要素:数学教学的统领性观念、内容组织的知识、学生理解的知识、效果反馈的知识和教学策略的知识.概念是反映客观事物本质属性的思维形式.
【总页数】5页(P16-19,24)
【作者】郑明筑
【作者单位】福建省南安市延平中学 362343
【正文语种】中文
【相关文献】
1.概念教学:追求数学语言的精致化——以《函数的单调性》一课为例 [J], 卓斌
2.反思与重构:MPCK视角下的数学概念教学——以《认识小数》一课为例 [J], 陈怡农
3.反思与重构:MPCK视角下的数学概念教学——以《认识小数》一课为例 [J], 陈怡农
4.基于主题教学理念的数学概念教学——以"函数的单调性"概念教学为例 [J], 张
治才
5.“深度体验”视角下的数学概念教学思考——从《函数的单调性》的教学谈起[J], 李小红
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基于MPCK视角下的概念解读——以凸多边形内角和为例王淼生
【期刊名称】《中学数学(初中版)》
【年(卷),期】2016(000)007
【摘要】一、MPCK理论舒尔曼1986年提出PCK理论后,立即引起各国学者关注,从而使数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来,形成MPCK (数学教学内容知识)理论.MPCK理论要求教师不仅要有丰富、厚实的学科知识,更要有扎实、灵活的教学法知识,实现"冰冷、枯燥"的数学学术知识转化为"火热、生动"的教学(教育)知识,这是MPCK理论核心所在.
【总页数】4页(P35-38)
【作者】王淼生
【作者单位】福建省厦门第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G451.6
【相关文献】
1.基于MPCK视角下的解题反思——以“一道月考试题”为例 [J], 王淼生
2.基于MPCK视角下的概念解读r——以凸多边形内角和为例 [J], 王淼生
3.基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以“平均数(1)”为例 [J], 陈燕梅;王淼生
4.基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以\"平均数(1)\"为例 [J], 陈燕梅
5.基于MPCK视角下的高中数学公式推导的教学建议
——以两角差的余弦公式推导为例 [J], 岑义其
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MPCK视角下的数学概念教学
彭红亮
【期刊名称】《教育导刊(上半月)》
【年(卷),期】2014(000)007
【摘要】[提要]数学概念是建立理论系统的中心环节,同时也是解决数学问题的前提.在MPCK的视角下,教师应立足于对概念的内涵和外延的深刻理解,对数学知识进行横向和纵向的联系,采用适合学生心理水平和认知水平的教学方法,把概念从“感觉——知觉——表象——概念”逐层呈现、深化,再加以应用归纳,帮助学生形成完整的概念图式和系统的知识结构.
【总页数】4页(P84-87)
【作者】彭红亮
【作者单位】广州市天河区东圃中学广东广州 510660
【正文语种】中文
【相关文献】
1.反思与重构:MPCK视角下的数学概念教学——以《认识小数》一课为例 [J], 陈怡农
2.基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以“平均数(1)”为例 [J], 陈燕梅;王淼生
3.基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以\"平均数(1)\"为例 [J], 陈燕梅
4.反思与重构:MPCK视角下的数学概念教学——以《认识小数》一课为例 [J], 陈怡农
5.MPCK视角下的数学概念教学
——以七年级"4.3.1角"新授课为例 [J], 张世钦
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基于MPCK的数学概念教学策略【摘要】概念是数学教学的核心.为了预防某些特定数学概念及应用概念过程中可能出现的偏差乃至错误,不妨“特意预设”并“故意生成”错误,在辨析中纠正错误,在纠正中完善,在完善中精致概念. “有意差错”不仅是一种早期介入及防范的教学策略,更是一门艺术.【关键词】概念教学;有意差错;MPCK长期以来,人们普遍认为只要拥有丰富的CK(学科内容知识)就是好教师.70年代以前的美国教师资格认证制度的“范式缺失”充分说明仅有CK远不算优秀教师,教师还必须熟练掌握PK(一般教学法知识).只有当PK与CK高度融合,教师才能将自己所掌握的学科知识转化成学生理解的形式的知识,这正是美国学者舒尔曼于1986年提出PCK(学科教学内容知识)理论的原因及最初的界定. PCK是教师独一无二的知识,MPCK(数学教学内容知识)是从PCK泛学科研究中演绎出来且专门论述数学学科教学内容知识,是MK(数学学科知识)与PCK的完美结合,是数学教师从事专业教学所应具备的核心知识,是专家型教师区别普通教师的显著标志,是魅力课堂与低效课堂的分界线.1“有意差错”含义顾名思义,“有意差错”就是教师依据自身对概念的理解、把握及教学实践经验,预判学生学习某一特定数学概念及应用概念过程中可能出现的偏差乃至错误而“特意预设”并“故意生成”错误,在辨析中纠正错误,在纠正中完善,在完善中精致概念.“有意差错”是一种早期介入、干预、预防、防范的教学策略,有利于深刻剖析概念本质与特征,有利于厘清概念内涵与外延,有利于优化学生数学思维品质,有利于培养并激发学生创造能力.概念是数学的细胞,是思维的载体,是创新的起点,是智力的源泉,因而概念教学是数学教学核心.学者童莉指出MPCK理论就是要研究学生在特定数学概念学习中会遇到什么困惑?有哪些误解?教师采取何种教学策略?怎样处理这些困惑和误解?本文拟通过几个具体案例来阐述“有意差错”策略在数学概念教学中的运用.2“有意差错”策略在概念教学中实施“有意差错”,不仅是一种策略、一种智慧,更是一种勇气.陈桂生教授在“教育是什么?”一文(《教师月刊》2009年第3期)中指出:“关于有意识地给出一个带有错误的命题,让学生把老师驳倒.徐特立在许多年前就提出过类似的设想,只是从来未闻有谁做过这种尝试.”事实上,著名特级教师任勇先生早在1992年就积极倡导并勇于践行“有意差错”概念教学策略,收到很好的效果(详见文[1]).由此推断,任勇先生应该是实施第一人.新课改强调教师在数学概念教学时创设恰当的引入情境,展示完整的形成进程,凸显严谨的提炼经历,彰显隐含的数学思想,体现涉及的数学方法,强化概念的应用意识,演绎精彩的应用案例,全面实现知识与技能、过程与方法及情感态度、价值观三维目标.2.1有意差错——创设情境、引入概念2013年3月18日,笔者为福建省中学数学学科带头人(培养对象)所开设的一堂示范课“数系的扩充及复数的引入(第一课时)”,颇受专家及学员们好评.以下是这节课的开始片段.请同学们思考并回答:案例1已知x+1x=1,求x2+1x2的值.生1:对已知条件两边平方,由初中完全平方公式得到:x+1x=1x+1x2=12x2+1x2=-1.师:生1运算熟练,很快得到结果,这个答案正确吗?我们知道大前提、小前提以及推理形式正确,那么演绎推理得到结果就一定正确.此处大前提:任何正数之和必为正数;小前提:x2与1x2均为正数;结论:x2+1x2的值为正数.哪为何生1的结果是一个负数呢?生2:x+1x=1x2-x+1=0Δ<0.生3:x2-x+1=x-122+34≥34.师:既然生2与生3从不同视角得出方程无解,哪生1怎么得到结果呢?这是为什么?笔者在备课时,原本预计此时正式引出本节课的研究课题“数系的扩充”再顺势“复数的引入”.可正在此时,一位平时较内向的学生很激动地站起来说道:“老师,我发现这是一个错题!”此时所有的眼光全部投向这位同学,笔者赶紧示意上台演板:生4:由刚刚所学的均值不等式可得:x+1x=x+1x≥2x+1x≥2,或x+1x≤-2.也就是说无论如何得不到已知条件,这就说明已知条件是错误的,即前提有问题,当然题目是“错误”的.学生顿时由疑惑到惊喜,对生4报以热烈的掌声,学生们脸上露出兴奋的笑容,似乎在说:“哦,原来老师提供的题目本身就是错误的.”评注“特意”预设案例1就是为了与学生认知基础产生冲突,在一次又一次激烈碰撞中,学生由疑问变成好奇、好奇变为惊喜、惊喜再变成困惑,一步一步激发学生求知欲.时机成熟,水到渠成,巧妙地引入新课.通过四位学生的回答顺其自然地解释了:为何需要再一次扩充数系?为何要引入复数?引入复数的目的何在?由于是省级示范课,因此这节课预先进行多次集体研讨.尽管历经多次打磨,可被生4这么“折腾”“搅和”,感觉与原来预设的教学进程有较大偏离,更担心时间不够而完成不了教学任务.但事已至此,管不了那么多,趁热打铁,乘胜追击.正如叶澜教授感叹:“课堂应是向未知方向推进的旅程,随时都有可能发生意外的通道和美丽的风景,而不是一切都必须遵循固定程序而没有激情的行程.”2.2有意差错——严密论证、厘清概念尽管讲授二项分布与超几何分布概念时,教师千叮万嘱它们之间的区别,但涉及到具体问题时,学生往往混为一谈.教师心急如焚,学生忧心忡忡,依然重复“昨天的故事”.由于教科书只是直接给出二项分布期望公式,没有任何推理过程;而超几何分布,教科书更是连期望公式都没有,因此笔者特意设置两个相似的具体问题(限于篇幅,略去),结果绝大部分学生依然拿不准到底是按照二项分布还是超几何分布去计算期望.奇怪的是所有学生结果都是相同的,这是为什么呢?笔者抓住这一普遍性错误,好好利用这一难得的机会,严密证明了为何它们的期望结果都是相同的. 案例2论证二项分布与超几何分布的数学期望相同(1)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生次数,设每次试验A发生概率为p,则P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),则称随机变量X服从二项分布,列表:评注黑格尔有言:“错误本身乃是达到真理的一个必然环节.”错误是正确的先导,错误是通向成功的阶梯.教师应该把学生的错误视作珍贵资源,这与文[2]提出概念教学基本策略:“通过正反案例辨析概念”一脉相承.事实证明:通过列出上述表格,借助不同组合公式计算且经过严密论证,涉及二项分布与超几何分布期望方面的错误大面积减少.案例2有力地说明了“有意差错”能够充分暴露学生的思维过程,同时错误也是概念教学中重要的教学资源,预设并在课堂教学中及时发现、暴露学生出现的典型错误,引发学生思考,引导学生反思,让学生的思维在错误中“拨乱反正”,厘清概念,走出误区,生成新思维.2.3有意差错——深度剖析、巩固概念中学数学中有这样一类概念:表面看似简单,但在应用中会出现各种错误.对有些错误,不要说学生,就是教师及专家一时也很难发现其中“秘密”.其中立体几何中的“多面体”概念就是如此,为巩固这一概念,笔者特意设置一道看似简单且给出三种解法的试题:上述解法看似都是正确的,可结果截然不同,这是为什么呢?原因何在呢?俗话说得好:“擒贼先擒王.”既然是求空间几何体体积,那么我们必须从空间多面体概念:“一般地,我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.”入手方能解开谜团. 这一概念就这么短短的一句话,看似极其简单,但要真正理解,却是十分不易.我们顺着解法1思路,即按棱台处理.要利用棱台来计算体积,首先EFC1—DBC必须是多面体,那这个几何体是多面体吗?显然,由图1可知△EFC1、△DBC、四边形DCC1E、四边形BCC1F 都是平面图形,但BDEF根本就不是平面四边形,为什么?我们从反证法视角来看:若BDEF是平面四边形,由于平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,依据面面平行性质定理可得EF与BD平行,又BD与B1D1平行,则EF与B1D1平行,这是不可能的.因为C1E=4,C1F=3,因此四边形BDEF不是平面四边形,当然EFC1—DBC不可能是多面体.既然不是多面体,那更不可能是棱台,故解法1按棱台处理是错误的.事实上,棱台可以视为用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间部分叫做棱台.既然棱台“祖宗”是棱锥,那么棱台就可以还原为棱锥,即棱台的各条侧棱延长后必然相交于一点.我们从逆否命题视角来看:若侧棱延长不是相交于一点,那么就不是棱台.为此我们假设DE与BF延长线相交点P,则P点必然在直线CC1上,利用相似性质可得PC1PC=FC1BC=36,PC1PC=EC1DC=4636=46.出现矛盾!故几何体EFC1-DBC不可能是棱台,再一次说明解法1是错误的.初看似乎解法2与解法3本质是一致,其实不然!因为通过图3可以发现所求几何体EFC1—DBC是凹多面体,而解法2本质上默认了所求EFC1—DBC是凸多面体,因此解法2是错误的.这一凸一凹正好相差6,这就是为何解法2比解法3的答案多6的原因所在.评注由于教科书上呈现多面体一般都是凸多面体,因此学生(甚至部分教师)误以为多面体都是凸多面体,因此教师在教学中应该明确指出并非所有几何体都是凸多面体,并适当举一些凹多面体的案例让学生辨析,预防这些错误发生.正如文[3]所言,深度剖析就是“照镜子”,即教师深刻反思概念教学失误之处,诚恳看作检查自己教学效果的一面镜子,提高自身业务水平;深度剖析也是“治病根”,即顺着思路,追根溯源,深究错误起因、深挖错误根源,真正巩固概念.2.4有意差错——凸显思想、应用概念文[4]在主编寄语中明确指出“数学是有用的”,特别强调数学源于生活,数学服务于生活,培养学生用数学的眼光和数学的头脑来数学地观察身边的现象并用数学的思维、数学的知识来解决实际问题,这正是新一轮课改的精髓所在,这正是数学价值和育人功能的突出体现,更是数学教育的出发点和归宿点.案例 4 最近流传一条有趣的微信:钝角统统等于直角!微信中是这样证明的:在矩形ABCD(DC 由中垂线性质及已知条件易得:HB=HEHA=HDAB=DE△HAB≌△HDE∠HAB=∠HDE∠BAD=∠EDA.由于ABCD是矩形,因此∠BAD必为直角.因E在矩形ABCD 外面,因此∠EDA必为钝角,因点E的任意性,故得到结论:钝角统统等于直角.“钝角统统等于直角”,这是小学生都觉得荒谬的结论!但上述推理看似严谨,这到底是怎么回事?问题出在哪儿呢?上述论证过程的依据是按照图4来实施的,那图4是如何得到的呢?其实点E的轨迹就是以D为圆心,以DC长为半径的圆周在矩形的外面的部分曲线上运动,如图5所示.利用几何画板立即发现“秘密”:即不可能出现图4,只能是图5.数学是严谨的,因此必须加以严格证明.以AD所在直线为x轴,以DC所在直线为y轴,建立图6所示直角坐标系,设DC=b,AD=2a(a>0,b>0),则圆D方程为:x2+y2=b2;B(-2a,b),C(0,b);再设E(m,n)(m>0,n 这就足以说明:当E在圆D所在第一象限运动时,直线HE永远在直线HD下方,故不可能出现上述图4,也就是说我们从理论上推翻了上述微信中给出的看似“严谨”的论证. 评注有趣的是,当我们继续用几何画板演示,有更多发现:当点E从图5所示的位置开始按逆时针旋转时,上述两条中垂线交点H在下方而且越来越远,如图7所示;当点E无限接近点C时,此时交点H在下方的无穷远处.继续逆时针旋转,当点E开始进入矩形内部时,此时交点H“突变”到上方无穷远处,并且随着旋转,交点H的位置慢慢下降,如图8所示. 继续逆时针旋转,当点E逐步靠近边AD时,交点H进入矩形内部,并且呈逐步下降趋势,如图9所示.当继续旋转,且点E离开矩形内部时,交点H再一次“突变”到下方,开始新一轮的周期变化.充分印证量变到质变、偶然与必然、运动与静止的辩证唯物主义哲学原理,有效渗透数形结合、或然与必然、转化与化归、方程与函数、分类与讨论、有限与无限等七大数学思想,欣赏到数学的对称美、奇异美、周期美与和谐美.其实这样的案例在教科书上多次出现,比如文[4]第90页“探究与发现”栏目中“魔术师的地毯”问题与案例4异曲同工,都是为了强化直线斜率(倾斜角)这一概念的应用,这就是为何教科书主编将“魔术师的地毯”安排在文[4]的直线方程后面的原因所在,也再一次说明数学概念的学习与研究,不仅要关注其定义,还要关注教科书后面的例题、习题,更要关注教科书中的“探究与发现”、“阅读与思考”等栏目中的问题,这正是培养学生数学概念应用意识的最佳素材.正如文[5]所指出,数学概念的学习不是一节课,也不是一天,对于有些核心概念(如函数、三角函数、定积分等)的研究将是一个长期跟踪过程,需要全方位关注概念的形成过程.3慎用“有意差错”哲学家波普尔说过:“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素.”在对数学概念进行正面阐述时,还要注重“有意差错”来深度剖析概念,适当、有意识地“预设”经典错误案例,加深对概念的理解与把握,培养思维批判性、缜密性及深刻性.“有意差错”是一门学问,更是一门艺术.事实证明准确、恰当、适时的“有意差错”,有利于导入概念,有利于厘清概念,有利于巩固概念,有利于应用概念.正如心理学家盖耶感叹:“谁不考虑尝试错误,不允许学生犯错误,就将错过最富有成效的学习时刻.”但必须指出:“有意差错”只是概念教学的一种策略而已,是一种必要补充,毕竟弘扬“正能量”才是概念教学的主流,因此数量过多、频率过滥的“有意差错”反而冲淡概念本质,失去概念本来面目,甚至误导学生.参考文献[1]任勇.任勇的中学数学教学主张[M].北京:中国轻工业出版社,2012.[2]邵光华,章建跃.数学概念分类、特征以及教学探究[J] .课程·教材·教法,2009(7):47-51.[3]王淼生.概念教学不妨尝试“事后补救”[J].中小学数学(高中版),2015(12):40-43.[4]课程教材研究所,中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书.数学(A版,必修2)[M].北京:人民教育出版社,2011(第1次印刷).[5]章建跃,陶维林.概念教学必须体现概念形成过程[J].数学通报,2010(1):25-29;33.。
PCK视角下初中数学若干难点概念教学的研究作者:朱红梅来源:《中学生数理化·教与学》2015年第06期数学概念是学习数学的基础.数学概念是人脑对实际对象数量之间关系以及空间形式的一种反映形态,是人们进行实践,研究多种数学对象的属性,概括出其中最基本的属性.在数学中,作为基础思维形态的推理和判别,要以公式推论、原则定理的形式表现出来,而数学概念就是其基本的组成前提.完整的解答和正确的运用数学概念,是学习数学基础知识、掌握数学运算、进行逻辑推理以及发挥空间思维的基础.根据师范类教学课程的排置,70年代之前主要考查教师的基本知识和专业知识,70年代之后强调教师的学科教育知识.80年代之后,一些学者开始注重研究学科教学知识的重要性.现在,教育体系不断发展完善,学校注重学生的全面发展,而PCK对于促进高质量教学及培养教师的高素养有着重要作用.一、PCK研究的意义PCK是Pedagogical Content Knowledge的缩写,即学科教学知识.PCK这一概念出现于1986年美国舒尔曼教授在《教育研究者》上发表的研究报告中,主要研究分析美国斯坦福大学一些职前教师的学科知识水平和教学方式之间的关系.在研究报告中,舒尔曼教授把Pedagogical Content Knowledge定义为教师个人的教学经验、学科知识内容及教育学学科的特殊结合.教师需具有所教授学科的概念原理知识,以及把专业的学科知识转化为学生易于理解学习的知识.为了实现学科知识转变为教学内容,舒尔曼教授开展了“教师知识发展”的探讨,把教师所拥有的知识分成学科内容、学科教学与课程方面的知识.随着对于学科知识问题探讨的深入,关于学科知识概念的理解越来越明确.学习的主体是学生自身,教师只是在学生对学习内容理解的前提下,选择合适有效的教学方法,促使学生能够在特定的学习环境下有效地理解学习,并且提高教师本身的教学认知水平.可见,PCK是将教师自身的教学经验、学科专业知识和教育学的内容进行特殊的整合,可以明确区别出什么是学科专家和什么是教师.二、数学概念和数学概念教学1.数学概念概念是客观存在事物的基本内容和思维形态的反映.数学概念就是真实世界的三维形态和数量关系基本特征的反映.2.数学概念教学数学概念的教学在于把原本文字化的东西形象地表达出来,让学生更易于理解和学习.教师需要依据学生目前的知识水平为前提,适合学生的思维发展和心理发育,指导学生规划合理的学习计划,让学生可以感受到学习的乐趣,在数学学习上更加长远的发展.数学概念教学现在备受关注,实现数学概念教学实践的系统化,有利于提升教师的教学能力,也有利于培养学生的学习兴趣.例如,在讲“数轴”时,教师可以用温度计来表示数轴,让学生深刻地认识数轴,明白数轴的含义,并且让学生会用数轴来表示有理数.三、数学难点概念教学的研究数学概念教学的目标是:准确说明概念的本质和外延,使学生能够深刻理解并灵活地掌握运用学习的概念.学生能否准确理解数学难点概念是学好数学的重点,教师需要把数学概念讲准确清楚,让学生明白概念的意思及能够运用概念去解决问题,这才算真正学会了数学概念.1. 对概念进行深入分析数学概念有时候需要纯文字性的描述,有时候会用公式、符号及数字来表示,难以理解,对于这类概念,教师需要紧扣概念中的关键字进行详细分析,把每一个词语、公式符号的意思都揭示出来,让学生从概念的根本去理解并掌握.例如,在讲“正比例函数的表达式”时,只能归纳为y=kx (k≠0),而不能归纳为yx=k(k≠0),因为这样正比例函数的自变量的取值范围缩小了,所以教师在分析难点概念时要精准深入地讲解,使学生能够深刻地记忆概念的特点.2.多方面去认识难点概念的内容对一个概念进行定义时,需要从多种不同的特征中综合出此概念的本质.在教学时,教师需要指导学生从不同的层面来理解概念,系统化地掌握概念的内涵.例如,在引入平行四边形这一概念时,教师可以列举一些生活中常见的平行四边形物体,如汽车防护链、门框、国旗等.除了画一般的平行四边形外,还要画矩形、菱形、正方形.一可说明这类图形的特点是两组对边分别平行,与夹角的大小、边的长短变化无关;二可使学生直观地认识到矩形、菱形、正方形均是平行四边形的特例,为学生后面的学习埋下伏笔.总之,本文通过阐述数学概念及数学难点概念的含义,说明在初中数学难点教学中存在的一些问题.为了更加完善初中数学教学,教师要在学科教学知识即PCK的视角下分析如何实行初中数学的难点概念教学,不断加强专业知识的学习,根据学生目前的学习水平制定相应的教学计划,对难点概念进行解析,让学生理解数学概念,从而促进学生数学概念的学习.。
基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以“平均数(1)”
为例
陈燕梅;王淼生
【期刊名称】《数学通报》
【年(卷),期】2018(057)012
【摘要】2017年11月17日,厦门教育迎来盛典.为了探讨我国基础教育学生
发展核心素养的落地问题,人民教育出版社在厦门举办“第七届基础教育改革与发展论坛”.论坛主题:学生发展核心素养落地与基础教育课程教学变革.著名教育学者福建师范大学教育学院院长余文森教授,清华大学附属小学校长、著名特级教师窦桂梅,深圳明德实验学校校长、著名特级教师程红兵,清华大学附属中学校长王殿军等教育专家共襄盛会.
【总页数】4页(P5-8)
【作者】陈燕梅;王淼生
【作者单位】福建省厦门第一中学 361003;福建省厦门第一中学 361003
【正文语种】中文
【相关文献】
1.MPCK视角下的高中函数概念教学 [J], 周波;
2.反思与重构:MPCK视角下的数学概念教学——以《认识小数》一课为例 [J], 陈怡农
3.基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以\"平均数(1)\"为例 [J], 陈燕梅
4.反思与重构:MPCK视角下的数学概念教学——以《认识小数》一课为例 [J],
陈怡农
5.MPCK视角下的数学概念教学
——以七年级"4.3.1角"新授课为例 [J], 张世钦
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MPCK下的“二次函数与一元二次方程”教学
阮雯婧;孙海
【期刊名称】《中学数学:初中版》
【年(卷),期】2022()6
【摘要】MPCK是教师从事教学工作和促进专业发展的重要基础,本文中基于黄毅英教授提出的MPCK理论从MK,PK,CK三个维度,对新人教版初中数学九年级上册第二十二章第2节“二次函数与一元二次方程”这一内容进行教学分析,力图为众多一线教师提供教学新视角.
【总页数】3页(P27-28)
【作者】阮雯婧;孙海
【作者单位】西华师范大学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.认知建构视角下的衔接课教学设计
——以"二次函数与一元二次方程、不等式"为例2.“三会”视角下“二次函数与一元二次方程(1)”教学实录及评析3.基于课程标准的单元教学设计——以《从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式》为例4.提升“看、想、做”的水平提高学习数学的能力--以二次函数与一元二次方程教学为例5.单元整体视角下“数学思想方法”的教学——以《二次函数与一元二次方程、不等式》为例
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基于MPCK视角下的初中数学概念教学——以“平均数(1)”为例(福建省厦门第一中学陈燕梅,王淼生 361003)摘要:概念是数学教学的核心.基于MPCK视角对“加权平均数”概念教学进行评析,并探讨优化教师MPCK的策略.关键词:概念教学;MPCK;权;加权平均数一、MPCK理论舒尔曼1986年提出PCK理论后,立即引起各国学者关注,从而使数学教师特有的学科教学知识从PCK泛学科的研究中独立出来,形成MPCK(数学教学内容知识)理论.MPCK 理论要求教师必须具备数学学科知识( MK)、一般教学法知识( PK) 、有关数学学习的知识( CK) 以及教育技术知识( TK)[1],才能够把学术形态的数学知识有效转化为教育形态的数学知识,促进学生的数学理解,提高数学能力和提升数学素养.而这4类知识的综合与融合就是数学教学内容知识( MPCK) ,即数学教师从事数学教学所应具备的核心知识[2].概念是思维的基本单位,数学概念是导出全部数学定理法则的逻辑基础,是建立理论系统的中心环节,同时也是解决数学问题的前提.在日常教学中,教师让学生记忆、理解、题海训练是概念教学的普遍现象,往往忽视概念的本质,因而学生在运用概念解决问题时常常出现生搬硬套甚至束手无策的现象.基于此,教师在教学中启发学生建构概念、理解概念的内涵和外延尤为重要.一个具有优秀MPCK的教师会让学生认识到:数学概念不仅仅具有冰冷的美丽,在形成和应用数学概念的过程中更蕴含着火热的思考[3].二、MPCK视角下的概念新授课不久前笔者在厦门市开了一节公开课《平均数(1)》.以下分享基于MPCK视角下的教学设计、反思以及专家评析.本节选自义务教育课程标准实验教科书《数学》(人教版)八年级下册,是第20章“数据的分析”第1节“数据的集中趋势”第1课时的内容[4].本节是数据分析这一章节的起始课.学生在七年级时学习了数据的收集、整理和描述,知道可以用统计图表整理和描述数据.以前通过数据计算,学生学习了算术平均数,知道它可以反映一组数据的平均水平.根据教材内容和学生情况,本节学习的主要内容是让学生在实际生活背景中理解算术平均数、加权平均数、权的意义;能从统计图表中获取信息,计算一组数据的算术平均数以及加权平均数,体会权的作用.1.【活动一】创设情境,建构概念设计意图:让学生感受引入“权”的合理性,理解“权”的意义.数据分析与日常生活息息相关.之前我们已经学习了如何用统计图表来整理和描述数据.为了进一步获取有效信息,还需要对相关数据进一步分析,用数据说话.问题:老师根据学生的期中考试成绩和期末考试成绩计算学期总评,小明同学期中考60分,期末考90分(百分制).(1)你能算出他的平均成绩吗?追问:如何计算n个数的算术平均数?(2)若以这个算术平均数作为学期总评,你认为合理吗?追问1:为什么不合理?追问2:期末考试是学期综合考查,如何体现期末考试的重要性?(3)你是怎么算的?为什么这么算?(4)在这个问题中,3和7(举例)有什么用?本文系全国教育科学“十二五”规划2015年度单位资助教育部规划课题《基于数学教学内容知识追问1:什么是“权”?什么是“加权平均数”?追问2:还有哪些也是权?(5)如何把这种加权平均数的计算方法推广到一般情况?(6)期中考和期末考的分数不变,为何得到不同的总评成绩?我校正高级教师王淼生对本节课进行了评析,以下简称“专家评析”.专家评析:活动一是本节的核心内容.教师运用“概念同化”提出并建构“权”与“加权平均数”的概念,概念同化过程是学生对概念的主动理解过程,是学生利用已有认知结构对概念进行重新建构的过程.曹才翰、章建跃在《数学教育心理学》中提出,概念教学得以充分展开的根本原动力是学生已有的认知结构与新概念之间的不平衡.根据皮亚杰的认知发展理论,学生在遇到新概念时,总是先用已有的认知结构去同化,如果获得成功,就得到暂时的平衡;如果同化不成功,则会调节已有认知结构或重新建立新的认知结构,以顺应新概念,从而达到新的平衡.教师应该根据学生概念学习的这种机制,利用新概念与学生已有认知结构之间的差异来设置相应的教学情境,以使学生能够意识到这种不平衡,从而引起学生的认知需要,促使学生展开积极主动的学习活动.从MK上看,教师在引入新课时关注本章知识与已有知识的联系,让学生明确感受到,在收集数据后,要进一步获取信息,需通过计算统计量进行分析.数学源于生活,教师用学生熟悉的考试成绩计算总评来创设问题情境,通过问题串设计引导学生从已有的认知(算术平均数)中寻找差异,自主建立“权”的概念.问题简洁易懂,跳出繁杂的计算,激发学生的学习兴趣,凸显统计的意义.从PK上看,教师通过启发式的讲授引领学生思考.从“权”的存在,到“权”的含义、加权平均数的计算,再反思“权”对结果的影响,新概念逐步浮出水面.在探究加权平均数的计算方法时,教师采用特殊与一般的数学思想,启发学生自主获得计算公式.从C K上看,教师在问题(2)环节,鼓励学生思考,并相互交流、讨论.课堂上,当学生回答“合理”时,教师及时引导学生阐述原因,并点拨关键点:“同样重要”;当学生回答“不合理”时,教师进一步追问原因,启发学生思考如何体现重要性不同.对于学生回答的不同形式的权,教师给予了肯定,学生感受到了“权”的存在.2.【活动二】例题教学,应用新知设计意图:从统计图表中获取信息,计算算术平均数及加权平均数,进一步理解权的意义.例1:一次演讲比赛中,评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示:(1)按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%,计算选手的综合成绩.(2)若演讲内容、演讲能力、演讲效果按照1:3:1的比确定,计算选手的综合成绩.专家评析:从MK上看,教师灵活处理了教材的例题,增加设计第(2)题,设计不同形式、不同数据的权,给予学生计算便利的同时,在对比中识记,巩固新知,从而感受权的重要性.从PK上看,第(1)题先由学生猜想判断,然后师生共同完成,教师规范书写解答,为后续学生解题提供良好的示范.教师展示学生第(2)题的答题情况,并由学生进行点评.从C K上看,在解答第(1)题时,教师不是直接让学生计算,而是设问:“不用计算,聪明的你能否直接判断出他们哪一个的成绩高?”,鼓励学生分析、推断,让学生对“权”的作用有更深的体会.在解决问题的过程中,教师引导学生关注以下内容:这两名选手的平均成绩一样吗?让学生发现加上权重之后颠覆性的结论,引发认知冲突,凸显权的意义;通过设问加深对概念的理解,如85的权是多少,40%是谁的权;关注第(1)问列式中的分母(50%+40%+10%),与前面权的计算公式统一.3.【活动三】应用迁移,巩固提高设计意图:掌握计算加权平均数,进一步理解权的意义.练习:某广告公司欲招聘一名职员,A,B,C 三名应聘者的测试成绩(百分制)如下表所示:(1)如果公司招聘的职员分别是创作总监、网络维护员和客户经理各一名,给三项成绩赋予相同的权合理吗?(2)请你设计合理的权重,为公司招聘一名职员:①创作总监;②网络维护员;③客户经理.专家评析:从MK上看,此练习背景源于生活,解决问题的过程中需灵活运用加权平均数.设计开放题问题,有利于培养学生的发散思维.从PK上看,教师根据加权平均数的计算公式预先设计好如下excel表格程序,根据学生的回答输入“权”,计算机直接显示A、B、C的成绩.将现代信息技术有机融入数据处理,让学生透过现象发现规律.从C K上看,教师通过开放性问题让学生主动运用“权”影响一组数据的平均水平,帮助学生内化对权意义的理解,发展数据分析的观念.4.【活动四】独抒己见,畅谈所得设计意图:知识与方法的梳理,进一步理解本节新知识.问题1:这节课你学习了什么知识?有什么感受?追问1:加权平均数在数据分析中的作用是什么?追问2:权的作用是什么?问题2:在这节课中,“权”出现的形式有哪些?追问:“权”的不同形式之间可以相互转化吗?(课后思考)问题3:我们今天学习的“加权平均数”和之前的“算术平均数”都属于平均数,想一想它们之间有什么区别和联系?问题4:数学源于生活,从刚才的学习中,我们知道权与生活息息相关.你还能举出其他的例子吗?问题5:关于本节的学习,你还有什么疑问吗?专家评析:从MK上看,教师紧扣教材重点难点,从以下几个方面进行引导归纳:(1)“权”与实际生活息息相关;(2)当一组数据中各个数据重要程度不同时,加权平均数能更好地反映这组数据的平均水平;权反映数据的相对重要程度,数据权的改变一般会影响这组数据的平均水平.(3)如何计算加权平均数.教师适时点评,引导学生提升自我综合素养,关注不同的考核方式,有针对性地提高专业水平,树立正确的价值观.问题2教师从学生的回答出发,指出百分比的形式有时也以小数或分数的形式出现,当然,体现数据的相对重要程度,不止上述形式,比如下节课将学习“权”出现的另一种形式,鼓励学生提前预习,为新课学习做下铺垫.问题3教师启发学生议关联,理头绪,建构知识体系.在获得概念的过程中,通过概念之间的关系认识新概念,同时使学生对已有的相关概念获得更深刻的理解.从PK上看,教师组织学生小组讨论,课堂气氛浓厚.从C K上看,教师设置层层递进的问题引导学生思考、讨论、举例.课堂教学中,学生畅所欲言,列举了许多生活中的实例.比如有的学生谈到中考总分计算的方式(不同学科不同权重),对应于自己的学习,应如何科学合理分配时间才更加高效;有的学生谈到将来自己在参加招聘或招聘员工时,要注意根据岗位需求关注或设置权重等.三、反思优化教师MPCK的策略1. 钻研教材,力透纸背分析,发展教师MK钻研教材有助于发展教师MK,因为教材是许多专家、学者智慧的结晶,是师生对话的“话题”,是引导学生认知、建构学科知识的范例,也是促进学生智力和能力发展的平台.章建跃教授提出一堂好的数学课基于三个理解:理解数学、理解学生、理解教学,这里的“理解数学”的前提就是挖掘教材中数学知识蕴含的价值资源.因此,在备一堂新课时,教师不但要“逐字逐句”研读教材,还要“力透纸背”,“精致”地处理教材,从而发展MK.教师要解读课标,把握本节的教学目标,确定本节课的重点和难点;遵循学生的认知规律和思维发展水平,巧妙设计新知识的生成过程,并根据学情进行教学内容的增减;挖掘本节课蕴含的数学思想方法,挖掘本节课对学生后续学习最重要的迁移价值,挖掘本节课的教育意义等.研读本节教材,明确本节教学的重点是理解加权平均数的意义,体会权的意义;难点是对“权”意义的理解,用加权平均数描述数据的集中趋势;关键点是引导学生了解权的含义,进而认识加权平均数的统计意义及加权平均数从一个侧面反映一组数据的集中趋势,即平均水平.统计的教学价值在于发展学生的理性思维,让人讲道理,以理服人.数据分析是统计的重要环节,平均数是衡量一组数据集中趋势的重要统计量,它反映了一组数据的平均水平,是度量一组数据波动大小的基准,为后续学习方差奠定坚实的基础.2.实践课改,体现学生主体,提升教师CK实践课改,教师作为学生学习活动的组织者、引导者、合作者,应关注学情,体现学生的主体地位,提升自我的CK.章建跃的“理解学生”就是以学生为主体的最好的体现,它的核心是“理解学生的数学认知规律和情感发展规律”.因此,提升教师CK,需以学生为基点设计新知识的发生和发展过程.本节的授课对象是八年级的学生,他们思维活跃,对观察、猜想、探索性的问题充满好奇.针对学生的心理特征,本课时在“权对于结果的影响”的教学环节,采用让先学生分析、推断的探究方式,让学生感受到探索的乐趣.由于生活经验的局限,同时受认知水平的影响,学生对权的意义和作用的理解存在一定的困难.因为缺乏对概念本质的理解,在运用加权平均数分析数据时,容易混淆数据和权,部分学生往往只会记住公式,而不会解释数据分析结果的实际意义或统计意义,把统计问题的学习仅仅停留在计算层面.基于此,教学中要让学生感受引入“权”的必要性、凸显“权”的重要性、揭示“权”的本质性.同时,让学生了解在现实生活中有许多问题可以通过分析数据做出判断,体会数据中蕴含着信息;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法,培养数据分析的意识,发展数据分析素养.3.立足目标,导航教学全程,灵活选择PK教学目标是一切教学活动的出发点和最终归宿,以教学目标为基点导航教学全程,灵活选择PK.本节的知识与技能教学目标为:理解平均数、加权平均数、权的意义;能从统计图表中获取信息,计算一组数据的算术平均数以及加权平均数. 过程与方法:学生通过加权平均数分析一组数据的集中趋势,发展数据分析能力,逐步形成数据分析观念.情感态度与价值观:在课堂互动中鼓励学生全程参与数学活动,诱发好奇心,激发求知欲;进一步培养学生独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.在对“权”统计意义理解的基础上,渗透公平公正、实事求是的价值观.围绕着教学目标,细化到每一个教学环节,灵活选择PK.本节中教师进行启发性的讲授,设计层层递进的问题引领学生思考;设计有效的例题与巩固训练题(如活动二、三),学生对于新知理解掌握,迁移应用.综上所述,提升数学教师所应具备的核心知识(MPCK),需准确理解教材内容,充分理解教学和课程目标,以及教材中蕴涵的数学思想等;掌握学生已有的知识储备、活动经验,预设学生学习过程中存在的困难,从而遵循学生的认知规律和思维发展水平,确定科学有效的教学方法和教学策略.每一次公开课,都是优化教师MPCK的重要平台,而教学中教师对数学知识的自觉追问和不断反思是优化MPCK的重要策略,最终构建魅力课堂.参考文献:[1] 李渺,宁连华.数学教学内容知识( MPCK) 的构成成分表现形式及其意义[J].数学教育学报,2011( 2) :10-14.[2] 黄毅英,许世红.数学教学内容知识结构特征与研发举例[J].数学教育学报,2009,18( 1) :5-9.[3] 彭红亮.MPCK视角下的数学概念教学[J].数学通讯,2014 (7) :84-87.[4] 课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准试验教科书(数学)八年级下册[M].北京:人民教育出版社,2013.。