2021年3月数学定位考试试题终稿

2021年山东省菏泽市中考数学质检试卷（3月份）一．选择题（共8小题）.1．下列各数中，比﹣2小的数是（）A．﹣1B．﹣3C．0D．2．下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．a6÷a2＝a3C．（a+2）2＝a2+4D．（﹣x﹣1）（x﹣1）＝﹣x2+13．如下摆放的几何体中，主视图与左视图不同的是（）A．B．C．D．4．若不等式2x+5＜1的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式4x+1＜x﹣m成立，则m的取值范围是（）A．m＞5B．m≤5C．m＞﹣5D．m＜﹣55．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，使点C'落在AB上，连接BB'，则BB'的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm D．4cm6．某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是（）A．B．C．D．7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，下列结论：（1）b＜0，（2）3a+c＞0，（3）a+b≤am2+bm（m为任意实数），其中结论正确的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）9．分解因式：x2（x﹣3）﹣x+3＝．10．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为．11．关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0的根的情况是．12．如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣，0），（，1），连接AB，以AB为边作等边△ABC，则点C的坐标为．14．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，点C落在点N处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2，设AM＝t，四边形CDEF的面积为S，则S关于t的函数表达式为．三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）15．计算：（）﹣1+sin60°﹣|﹣|﹣（﹣3）0．16．先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣1．17．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE．18．如图，为测量楼CD的高度，从楼AB的顶点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°，底部C的俯角为30°，已知楼AB的高为30米，求楼CD的高度．19．某中学为了解学生学习校本课程《文明礼仪》的情况，随机抽取了20名学生的测试成绩，经过整理，得到了频数分布表和扇形统计图．等级成绩/分频数A95≤x≤100aB90≤x＜958C85≤x＜905D80≤x＜854（1）求a，b的值；（2）若成绩不低于90分为优秀，估计该校1200名学生中，达到优秀等级的人数．20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝，求反比例函数与一次函数的表达式．21．某园林部门购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且购买乙种树苗的棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的金额为9000元．（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）为了保证绿化效果，该园林部门决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求有哪几种购买方案？22．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若CE＝2，BE＝2．求⊙O的半径．23．如图，△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．（1）求∠BDE的度数；（2）F是EC延长线上的点，且∠CDF＝∠DAC．①判断DF和PF的数量关系，并证明；②求证：＝．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C （0，3），顶点为点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的函数表达式；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

2021年高三3月总复习质检数学（理）试题含解析一、选择题.1.设集合M＝{x|x2＋x－2＜0，}，N＝{x|0＜x≤2}，则M∩N＝（）A、（－1,2）B、（－2,1］C、（0,1］D、（0,1）2.在复平面内，复数的对应点位于（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3.下列命题中的假命题是（）4.已知向量＝（）A、2B、－2C、－3D、35.阅读右面的程序框图，则输出的S＝（）A、14B、20C、30D、55【答案】C【解析】试题分析：第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环，结束循环，输出考点：循环结构程序框图.6.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A、B、 C、D、7.如图，设D是图中连长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（）8.在实数集R中定义一种运算“*”，对于任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质；（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；（2）对任意a∈R，a*0=a；（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）－2c．关于函数f(x)＝(2x)*的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为奇函数；③函数f(x)的单调递增区间为(−∞，−)，（，+∞)．其中所有正确说法的个数为（）A、0B、1C、2D、3【答案】B【解析】二、填空题（一）必做题（9－13题）9.函数，则的值为____________.10.的展开式中的项的系数是____________.（用数字作答）11.已知双曲线C的焦点、实轴端点恰好是椭圆的长轴的端点、焦点，则双曲线C的方程是____________.【答案】12. 已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0 }，B＝{x|ax2＋bx＋c≤0}，若A∩B＝{x|3＜x≤4}，A∪B＝R，则的最小值为____________.13.已知函数f（x）＝x－［x］，其中［x］表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f（x）＝kx＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是____________.考点：根据函数图像求交点个数（二）选题题（14－15题，只能选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（参数tR），圆C的参数方程是（参数θR），则圆C的圆心到直线l的距离为____________．15.（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知PA ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则圆O 的半径等于＿＿＿＿【答案】 【解析】试题分析：设半径为，则,.根据割线定理可得，即，所以，所以. 考点：切割线定理.三、解答题16.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示。

2021年高三3月统一测试（一模）数学（理）试题含解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（） A． {1，2} B．{x|x≤1} C． {﹣1，0，1} D． R【考点】：交集及其运算．【专题】：计算题；集合．【分析】：由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B⊆A，由此能求出结果．【解析】：解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．【点评】：本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）在极坐标系中，圆ρ=2被直线ρsinθ=1截得的弦长为（）A．B． 2 C． 2 D． 3【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解析】：解：圆ρ=2的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=4．直线ρsinθ=1转化成直角坐标方程为：y=1．所以：圆心到直线y=1的距离为1．则：弦长l==．故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S=48，则输入k的值可以为（）A． 4 B． 6 C．8 D．10【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=48时，由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=1不满足条件n＞k，n=4，S=6不满足条件n＞k，n=7，S=19不满足条件n＞k，n=10，S=48由题意，此时应该满足条件n=10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，根据退出循环的条件分析k的取值范围是解题的关键，属于基础题．4．（5分）已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．（5分）二项式（2x+）6的展开式中，常数项的值是（）A．240 B．60 C．192 D．180【考点】：二项式系数的性质．【专题】：概率与统计．【分析】：利用通项公式T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．即可得出．【解析】：解：T r+1==x6﹣3r，令6﹣3r=0，解得r=2．∴常数项的值是==240．故选：A．【点评】：本题考查了二项式定理的通项公式、常数项，属于基础题．6．（5分）等差数列{a n}中，a，a k=（m≠k），则该数列前mk项之和为（）A．B．C．D．【考点】：等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求出等差数列的公差，得到a mk，然后代入前n项和公式得答案．【解析】：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的性质以及已知条件得d==，∵a1+（m﹣1）d=a m，∴a1=﹣（m﹣1）=，∴a mk=+（mk﹣1）=1，∴s mk==．故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）（xx•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．【解析】：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．【点评】：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）如果双曲线的离心率e=，则称此双曲线为黄金双曲线．有以下几个命题：①双曲线是黄金双曲线；②双曲线y是黄金双曲线；③在双曲线中，F1为左焦点，A2为右顶点，B1（0，b），若∠F1 B1 A2=90°，则该双曲线是黄金双曲线；④在双曲线中，过焦点F2作实轴的垂线交双曲线于M、N两点，O为坐标原点，若∠MON=120°，则该双曲线是黄金双曲线．其中正确命题的序号为（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：对于①②求出双曲线的离心率判断正误；对于③通过∠F1B1A2=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；对于④，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误．【解析】：解：①双曲线中a=，c=，离心率是，故不是黄金双曲线，即①正确；②由双曲线y，可得离心率e==，故该双曲线是黄金双曲线，即②正确；③∵∠F1B1A2=90°，∴，∴b2+c2+b2+a2=（a+c）2，化为c2﹣ac﹣a2=0，由③可知该双曲线是黄金双曲线；④如图，MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=120°，∴NF2=OF2，∴，∴b2=3ac，∴c2﹣a2=3ac，∴e2﹣3e﹣1=0，∴e=，∴该双曲线不是黄金双曲线，故选：B【点评】：本题考查双曲线的基本性质，a，b，c的关系，离心率的求法，考查计算能力．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）z=1+i，为复数z的共轭复数，则z+=1+．【考点】：复数代数形式的混合运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数的模，共轭复数化简求解即可．【解析】：解：z=1+i，=1﹣i，z+=1+i+（1﹣i）+|1+i|﹣1=1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10．（5分）如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=30°．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：欲求：“∠CBD”，根据圆中角的关系：∠COD=2∠CBD，只要求出∠COD即可，把它放在三角形COD中，可利用切割线定理求出CD的长，从而解决问题．【解析】：解：由割线定理得，PA×PB=PC×PD，∵PA=4，PC=5，∴4×10=5×PD，∴PD=8，∴CD=8﹣5=3，∴△CDO是等边三角形，∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．故填：30°或．【点评】：此题中要通过计算边长，发现直角三角形或等腰三角形或等边三角形．本题主要考查与圆有关的比例线段、圆周角定理、圆中的切割线定理，属于基础题．11．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落在圆x2+y2=1内的概率为．【考点】：几何概型；简单线性规划．【专题】：概率与统计．【分析】：首先分别画出区域D、M，然后分别计算面积，利用几何概型的公式解答即可．【解析】：解：平面区域D以及满足条件的M如图阴影部分区域D的面积为=4，区域M的面积为，由几何概型的公式得点M落在圆x2+y2=1内的概率为；故答案为：．【点评】：本题考查了几何概型的概率公式的运用；关键是明确区域的面积，利用公式解答．12．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．【考点】：向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据向量的运算法则以及向量的基本定理进行运算即可．【解析】：解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x+y，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则=，故答案为：．【点评】：本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．13．（5分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：根据分步计数原理，先选2门确定为甲乙相同的2门，再从剩下的4门中任选2门分配给甲乙即可．【解析】：解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42=180种情况，故答案为：180．【点评】：本题考查分步计数原理，关键是如何分步，属于基础题14．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，都存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=e x﹣2；④M={（x，y）|y=sinx+1．其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：导数的综合应用．【分析】：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．【解析】：解：由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M={（x，y）|y=}，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足=﹣1，化为=﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”，②M={（x，y）|y=log2x}，（x＞0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x2＞0），满足1×x2+0=0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M={（x，y）|y=e x﹣2，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M={（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④．【点评】：本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x1，y1），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q（x2，y2）记f（α）=y1+y2（1）求函数f（α）的值域；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=，且a=，c=1，求b．【考点】：任意角的三角函数的定义；直线与圆的位置关系．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．【解析】：解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y1=sinα，y2=sin（α+）=cosα，f（α）=y1+y2=cosα+sinα=sin（α+），∵角α为锐角，∴＜α+＜，∴＜sin（α+）≤1，∴1＜sin（α+）≤，则f（α）的取值范围是（1，]；（Ⅱ）若f（C）=，且a=，c=1，则f（C）═sin（C+）=，即sin（C+）=1，则C=，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即1=2+b2﹣2×b，则b2﹣2b+1=0，即（b﹣1）2=0，解得b=1．【点评】：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．16．（13分）国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市xx年3月某时刻实时监测到的数据：（Ⅰ）求x的值，并根据上表中的统计数据，判断东、西部城市AQI数值的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随机选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据AQI的平均数及其它几个城市的AQI值即可求出x，带入方差公式即可求出并比较出东西部城市AQI数值的方差；（Ⅱ）根据古典概型的求概率方法求出随机变量ξ分别取1，2，3时的概率，从而列出其分布列，带入数学期望公式即可求出其数学期望．【解析】：解：（Ⅰ）x=82，；（Ⅱ）“优”类城市有2个，“轻度污染”类城市有4个；根据题意ξ的所有可能取值为：1，2，3；P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=；∴ξ的分布列为：所以E（ξ）=．【点评】：考查对数据平均值的理解，方差的概念及计算方差的公式，古典概型的概率求解，以及组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，数学期望的概念及求解公式．17．（14分）如图，多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，正方形ADEF的边长为2，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=AD=2，CD=4．（Ⅰ）求证：BC⊥平面BDE；（Ⅱ）试在平面CDE上确定点P，欲使点P到直线DC、DE的距离相等，且AP与平面BEF 所成的角等于30°．【考点】：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）欲证BC⊥平面BDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面BDE内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知ED⊥平面ABCD，则ED⊥BC，根据勾股定理可知BC⊥BD，满足定理所需条件；（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，求出D，A，E，B，F，以及，，设P（o，y，z）通过|y|=|z|．设是平面BEF 的法向量，利用，求出，推出与所成的角为60°或120°．通过cos=和y|=|z|．求出P的坐标．【解析】：解：（Ⅰ）在正方形ADEF中，ED⊥AD．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD．所以ED⊥BC．（3分）在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得在△BCD中，，所以BD2+BC2=CD2．所以BC⊥BD．（5分）所以BC⊥平面BDE．（6分）（Ⅱ）DE，DA，DC两两垂直，以D为顶点，DA，DC，DE分别为x轴y轴z轴，建立直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（2，0，2）=（2，0，0），设P（o，y，z）则|y|=|z|．令是平面BEF的法向量，则，∴令y′=1，得∴∵AP与平面BEF所成的角等于30°∴与所成的角为60°或120°．∴cos===．∴y2+z2+4yz﹣4=0又∵|y|=|z|．∴y=z或y=﹣z，当y=z时y=z=，当y=﹣z时，上式无解，∴P（0，），或P（0，﹣）．【点评】：本题考查直线与平面垂直，直线与平面所成的角，空间向量的运算，考查空间想象能力，计算能力已经逻辑推理能力．18．（13分）已知函数f（x）=x﹣alnx，g（x）=﹣（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a ＜e，求得单调区间和最小值即可．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．当a=1时，f′（x）=．由f′（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x=1时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（1）=1﹣ln1=1；（Ⅱ）h（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣alnx+，其定义域为（0，+∞）．又h′（x）==．由a＞0可得1+a＞0，在0＜x＜1+a上，h′（x）＜0，在x＞1+a上，h′（x）＞0，所以h（x）的递减区间为（0，1+a）；递增区间为（1+a，+∞）．（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，由（II）可知h（x）在[1，e]上单调递减．故h（x）在[1，e]上的最小值为h（e），由h（e）=e+﹣a＜0，可得a＞．因为＞e﹣1．所以a＞．②当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，由（II）可知h（x）在（1，1+a）上单调递减，在（1+a，e）上单调递增．h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）．因为0＜ln（1+a）＜1，所以0＜aln（1+a）＜a．则2+a﹣aln（1+a）＞2，即h（1+a）＞2不满足题意，舍去．综上所述：a∈（，+∞）．【点评】：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．19．（14分）已知椭圆C：离心率e=，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）利用短轴长及离心率即得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），由（I）可得直线PA、QA的方程，从而可得以MN为直径的圆，化简后令y=0，则x=，即得结论．【解析】：（Ⅰ）解：由短轴长为，得b=，由=，得a2=4，b2=2．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点F（，0）．证明如下：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，∴Q（0，），直线QA方程为：，∴N（0，），以MN为直径的圆为，即，∵，∴，令y=0，则x2﹣2=0，解得x=．∴以MN为直径的圆过定点F（，0）．【点评】：本题考查椭圆，及其与直线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设数列{a n}满足：①a1=1；②所有项a n∈N*；③1=a1＜a2＜…＜a n＜a n+1＜…设集合A m={n|a n≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{b n}为数{a n}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．（Ⅰ）若数列{a n}的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列{a n}；（Ⅱ）设a n=3n﹣1，求数列{a n}的伴随数列{b n}的前30项之和；（Ⅲ）若数列{a n}的前n项和S n =n2+c（其中c常数），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前m项和T m．【考点】：数列的求和．【专题】：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】：（Ⅰ）根据伴随数列的定义直接可得答案；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*），分1≤m≤2，3≤m≤8，9≤m≤26，27≤m≤30（m∈N*）四种情况考虑即可；（III）由题意和a n与S n的关系式求出a n，代入a n≤m得n的最大值为b m，并求出伴随数列{b m}的各项，再对m分类讨论，分别求出伴随数列{b m}的前m项和T m．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，易得数列为1，4，7；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m （m∈N*）当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2当9≤m≤26，m∈N*时，b9=b10=…=b26=3当27≤m≤30，m∈N*时，b27=b28=b29=b30=4∴b1+b2+…+b30=1×2+2×6+3×18+4×4=84；（III）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1，∴a n=2n﹣1 （n∈N*）由a n=2n﹣1≤m得：（m∈N*）因为使得a n≤m成立的n的最大值为b m，所以b1=b2=1，b3=b4=2，…，b2t﹣1=b2t=t （t∈N*）当m=2t﹣1 （t∈N*）时：=t2=，当m=2t （t∈N*）时：=t2+t=所以．【点评】：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，属难题．b32711 7FC7 翇C^30925 78CD 磍v34413 866D 虭29139 71D3 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2021年高三年级3月统一考试数学（理）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8 页．共150分．测试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．一、选择题：本大题共12个小题．每小题5分；共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合13{|,11},{|2,01}A y y x xB y x x==-≤≤=-<≤，则AB等于（）A．(，一1) B．[一1，1]C．D．{1}2．如果且，那么a、、-a、- 的大小关系是（）A．>a>- >-a B．-a> >- >aC．-a> >a>- D．>-a>a>3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝4 ，b＝4 ，则角B＝（）A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对4．若数列{ }的前n项和为，且满足，则数列{}的通项公式是（）A．B．C．D．5．以3x士4y＝0渐近线的双曲线过点(3，一4)，则此双曲线的离心率e等于（）A．B．C．D．6．已知向量a=(1，3)，b＝(2，1)，若(a+2b)与(3a+b)平行，则实数的值等于（）A．一6 B．6 C．2 D．一27．由及x轴围成的图形的面积为（）A．28 B．26 C．30 D．8．关于函数f(x)＝2sin(3x-)，有下列四个命题：（）①其最小正周期为；②其图象由y＝2sin3x向左平移个单位而得到；③其表达式可写成．f(x)＝2cos(3x+)；④在上为单调递增函数．则其中真命题为（）A．①③④B．②③④ C.①②④D．①②③9．已知函数y＝log2x，其反函数为y＝f-1(x)，则函数f-1(x一1)的图象是（）10．已知正三棱锥V—ABC的主视图，俯视图如下图所示，其中V A＝4，AC＝2则该三棱锥的左视图的面积为A．9 B．6 C．3 D．11．已知直线l: ax +by-1＝0与圆x2+y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标都是整数，那么这样的直线l共有（）A．66条B．72条C．78条D．84条12．定义在实数集R上的奇函数f(x)的最小正周期为20，在区间(0，10)内仅有f(3)＝0，则函数f(+3)在[一100，400]上零点的个数为（）A．20 B．26 C．27 D．25二、填空题：本大题共4个小题．每小属4分；共16分．把答案填在题中横线上．13．定义—种运算如下：=ad-bc，则复数的共轭复数是________。