第3讲三角形一边的平行线（二）知识框架本讲主要讲解三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理；重点是理清该判定定理及其推论之间的区别和联系，难点是灵活运用本节的三个定理及两个推论，并理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．3.1 三角形一边的平行线判定定理及推论我们来讨论三角形一边平行线性质定理的逆命题是否正确．如图，在ABC△中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD AEDB EC=，那么DE//BC吗？解析：要肯定上述问题结论的正确，只要证明有一个平行四边形的相对两边分别在直线DE和BC上．如图，过点C作平行于AB的直线CF，交直线DE于点F，得四边形BCFD．证明：∵CF//AB∵AD AECF EC=（三角形一边平行线性质定理的推论）又∵AD AE DB EC=∵ AD ADCF DB=，得CF DB=．由CF//DB，CF DB=，可知四边形BCFD是平行四边形∵ DF//BC，即DE//BC．根据比例的性质可知，在关系式∵AD AEDB EC=、∵AD AEAB AC=、∵BD CEAB AC=中，由其中一个可推出其余两个．因此，以关系式∵、∵、∵之一为已知条件，都可推出DE//BC．这样，就得到以下定理：三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，如果点D 、E 分别在边AB 、AC 的延长线或反向延长线上，且具备条件∵、∵、∵之一，那么也可以用上述同样的方法推出DE //BC ．由此由得到：三角形一边的平行线判定定理的推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．思考：如图，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果DE ADBC AB=，那么能否得到DE //BC ，为什么？例1. 如图，在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，根据下列条件，试判断DE 与BC是 否平行． （1）3cm AD =，4cm DB =， 1.8cm AE =， 2.4cm CE =； （2）6cm AD =，9cm BD =，4cm AE =，10cm AC =； （3）8cm AD =，16cm AC =，6cm AE =，12cm AB =；（4）2AB BD =，2AC CE =．例2. 如图，::1:3AM MB AN NC ==，则:MN BC =__________．例1题图 例2题图例题分析例3. 如图，ABC △中，E 点在边AB 上，F 点在边AC 上，下列命题中不正确的是（ ）（A ）若EF //BC ，则AE AFEB FC=； （B ）若AE AFEB FC=，则EF //BC ； （C ）若EF //BC ，则AE EFAB BC=；（D ）若AE EFAB BC=，则EF //BC ． 例4. 如图，点D 、F 在ABC △的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC ，AF ADAD AB=．求证：EF //DC ．例5. 点D 、E 分别在ABC △的边AB 、AC 上，且DE //BC ，以DE 为一边作平行四边形DEFG ，延长BG 、CF 交于点H ，连接AH ，求证：AH //EF ．例6.如图，M为AB的中点，EF//AB，联结EM、FM分别交AF、BE于点C和点D．求证：CD//AB．例7.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BAF DAE∠=∠，AE与BD交于点G，又DF AD FC DF=．求证：四边形BEFG是平行四边形．3.2 平行线分线段成比例定理如图，已知ABC△，直线1l与边AB、AC分别相交于点D、E，直线2l与边AB、AC分别相交于点F、G，12////l l BC．那么所截得的线段是否成比例？解析：对于这个问题，只需讨论DF EGFB GC=是否成立即可．证明：如图，过点D作直线AC的平行线'l，设直线'l与BC、2l分别交于点'C、'G，则'DG EG=，''G C GC=.利用三角形一边的平行线的性质定理和等量代换，可得DF EGFB GC=．根据上述结论，在利用比例的性质，可知截得的线段成比例．如图，将ABC△的三边AB AC BC、、改为三条直线，则上述结论表述为：直线DB与EC被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．于是得到：平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．如图5，当直线2l过DB中点M，即DM MB=时，则EN NC=．也就是说：两直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．这是平行线分线段成比例定理的特例，也称为平行线等分线段定理．例1.如图，1l//2l//3l，3AB=，8AC=，10DF=，则EF的长为__________．例1题图知识精讲例题分析例2. 如图，直线1l 、2l 、3l 分别交直线4l 于点A 、B 、C ，交直线5l 于点D 、E 、F ，且1l //2l //3l ．已知3AB =，5AC =，9DF =，则EF 的长为________．例3. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，四边形EDFC 为内接正方形，5AC =，3BC =，则:AE DF =___________．例2题图 例3题图例4. 命题“梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 、F 在AB 、CD 上，且::AE EB DF FC =，则EF //BC ”是__________命题．（填“真”或“假”） 例5. 已知线段a 、b 、c ，求作线段x ，使::a b c x =．例6. 如图，AB 、CD 、EF 都垂直于直线l ，12AB =，7EF =，:2:3BD DF =，求CD 的长．例7. 如图，ABC △中，M 为BC 中点，O 为AM 上一点，BO 的延长线交AC 于点D ，CO的延长线交AB 于点E ，PQ //BC ，且PQ 过点O 与AB 、AC 分别交于点P 和点Q ．求证：（1）PO OQ =；（2）DE //BC ．例8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，过点O 作EF//AB ，且10EF =，若:1:3AE ED =，求梯形ABCD 中位线的长．例9. 如图，已知点A 、C 、E 和点B 、F 、D 分别是O ∠两边上的点，且AB //ED ，BC//EF ．求证：AF //CD ．例10.如图，M、N分别是ABC△两边AB、AC的中点，P是MN上任一点，延长BP、CP交AC、AB于K、H，求AH AKHB KC+的值．例11.如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE BC⊥于点E．（1）连接DE交OC于点F，作FG BC⊥于点G，求证：点G是线段BC的一个三等分点；（2）请你仿照（1）的作法，在原图上作出BC的一个四等分点（要求保留作图痕迹,可不写作法及证明过程）．3.3 课堂检测1. 如图，ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知=3AD ，5AB =，2AE =，43EC =，由此判断DE 和BC 的位置关系是__________，理由是_________________________．2. 在ABC △中，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，以下能推出DE //BC 的条件是（ ）（A ）23AB AD =，12EC AE =； （B ）23AD AB =，23DE BC =；（C ）23AD DB =，23CE AE =； （D ）43AD AB =，43AE EC =．3. 在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，2AD =，3DB =，10BC =，要使DE//AC ，则BE =__________． 4. 如图，ABC △中，DE //BC ，AF ADDF DB=，求证：EF //CD ．5. 如图，已知AD //BE //CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．（1）如果6AB =，10BC =，8EF =，求DE 的长； （2）如果:3:5DE EF =，24AC =，求AB 、BC 的长．6. 如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，2AB =，3BC =，1AF =，BA的延长线交OF 的延长线于点E ，求AE ．7. 如图，在ABC △中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且EF //BC ，D 为BC 的中点，ED 、FD 的延长线分别交AC 、AB 的延长线于点H 、点G ，连接HG ，求证：EF //GH ．8. 如图1，在菱形ABCD 中，点G 是CD 边上的一点，联结BG 交AC 于F ，过F 作FH//CD 交BC 于H ，可以证明结论FH FGAB BG=成立（不必证明）． （1）如图2，上述条件中，若点G 在CD 的延长线上，其他条件不变时，结论FH FGAB BG=是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）在（1）的条件下，若已知4AB =，60ADC ∠=︒，9CG =，求线段BG 与FG 的长．BC=，在线段AB上9.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，4AB=，3取一点P，过点P作AC的平行线交BC于点E，连接EO，并延长交AD于点F，连接PF．（1）求证：PF//BD；（2）设的AP长为x，PEF△的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域．3.4 课后作业1. 在A ∠的一边上顺次有B 、C 两点，在另一边上顺次有D 、E 两点，下列条件能判断BD //CE 的个数是（）．（1）3cm AB =，4cm BC =， 1.8cm AD =， 2.2cm DE =； （2）:2:3AB AD =， 1.8cm AE =， 1.2cm AC =； （3）5cm AB =，6cm BC =， 4.4cm AE =， 2.4cm DE =； （4）10cm AB =，15cm AC =，10cm BD =，15cm EC =． （A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个2.ADE △中，点B 和点C 分别在AD 、AE 上，且2AB BD =，2AC CE =，则:BC DE =_______．3. 已知点D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 的反向延长线上的点，如果25AD AB =， 当=AEAC_______时，BD //CE ． 4. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上，且3DE =， 4.5BF =，25AD AE AC AB ==．求证：EF //AC ．5. 如图，在梯形ABCD 中，EF //AB //CD ，两对角线AC 和BD 相交于点O ，且分别与EF相交于点M 、N ，下列比例式中正确的是（ ）（A ）AO BO ABCO DO CD ==； （B ）AM BN MNCM DN AB ==； （C ）AE AB BF DE CD CF==；（D ）BD AC ABDN CM MN==． 6. 如图，1l //2l ，:2:5AF FB =，:4:1BC CD =，则不成立的是（ ）（A ）:2:1AE EC =； （B ）:2:5FG GD =； （C ）:2:5GF FD =；（D ）:1:2AG BC =第5题图 第6题图7. 如图，直线1l //2l //3l ，若5cm AB =，8cm BC =，2cm EG =，3cm GF =，求线段DE 与GC 的长．8. 如图，已知线段AB ，在线段AB 上求作一点C ，使得:1:2AC BC =．9. 如图，ABC △中，90C ∠=︒，点G 是三角形的重心，8AB =． （1）求GC 的长；（2）过点G 的直线MN //AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．AB10. 如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的点，且AE FD EB AF ⋅=⋅，BG HC GC DH ⋅=⋅，连接EH 、GF 相交于点O ．求证：OE GO FO OH ⋅=⋅．11. 如图，D 是线段BC 上一点，且23BD DC =，CE 交AB 于点F ，:1:3AE ED =， 求:AF BF 的值．12. 梯形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且AD a =，BC b =．（1）如图（a ），如果点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：EF //BC 且2a bEF +=； （2）如图（b ），如果AE DF mEB FC n==，判断EF 和BC 是否平行，并证明你的结论，并用a 、b 、m 、n 的代数式表示EF ．图（a ） 图（b ）。
