信号与线性系统分析(吴大正第四版)第四章习题答案

第四章习题4.6求下列周期信号的基波角频率Ω和周期T O（1) e j100t( 2）cos[^(t—3)](3) cos（ 2t) —Sin(4t）( 4）cos( 2nt) +cos（3πt） +cos（ 5nt)（5）cosC t) - Sin( t) ( 6）cos（：t）∙ cos( t) cosC t）2 4 23 5亠?Tr 解(I)角频率为Ω= IOO rad∕s.周期T=三=÷⅛SIoU⑵角频率为Ω =rad∕sτ周期= 4 s⑶角频率为Ω = 2 rad厂周期T = ~ = π S(4)角频率为Ω = πrad∕s,周期 T=I^ = 2 sΩ(5)角频率为Ω —rad∕s∙周期T =-^ — 8 S4 £2⑹角频率为C =盒r^d∕s，周期T = = 60 s4.7用直接计算傅里叶系数的方法，求图4-15所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。

—4 —IO 1 4图4-15C ¢)解 (1 )周期T = 4 ι∩ ==于F 则有U 4⅛ — 1 ≤ r ≤ 4⅛+ 1 口）=［∣07 4⅛ + 1 < r 〈 4⅛ + 3由此可得。

T ＊U rt = ～ f TT/（z ） cos （fiΩr） dt = -∣—f /（r ）cos(^)drJ ・』—⅛Z ・』—2 乙=£ I sin = 0,？J = 12—ZJ —I 24.10利用奇偶性判断图 4-18示各周期信号的傅里叶系数中 所含有的频率分量。

∕∣∖fΛ -√ 1 √√f /）—rV 1 WZ T "T/1r¥Λlr>/VVVYV NT]/AtJVN*1幷TCOS(^y^)Clr = 2 .——SIn 打Tr窗川=0,12・・ τ f{t)s ∖n(fi∩t)dt = -∣-j ^∕C^)sin(^y^)df (2)周期 T= 2.Ω =■ sin(πf)・0,"≤ r ≤加十1 2⅛ + 1 < r < 2⅛ + 2由此可得=⅛ τ∕(r)^dr = ^J. J —T 艺呢1 + e^pfir ■1r ∣/(t)e"HFFtnidf =SinaCE Or dr—1 Z 」*?! = 0，±1, 土2,…nκ» = O , ± 1. + 2—图4—18=∕1C-z） =—∕l（r⊂ j)/(r）cos（τιΩt) drT n = 0 * 1 * 2 * …du = 盘？= 盘＄= ＊”= 血=久=仏=…・=0 则fΛt)的傅里叶级数中含有的频率分量为奇次余弦波亠（2）由∕2Cr）的波形可知y⅛ (f) =Z-fz(—t)严I J - I J则有丿 4 CT ^ 小=1，2,…I b rt=亍y(f )sιn（^iΩf ）df则fz（t＞的傅里叶级数中含有的频率分量为正弦波G ¢3）rfl ∕3cn的波形可知人⑺=∕3(-r)则有牛=0Jl 4 「壬・耐=0・1 ＊ 2 ＊・”＊应Ff =〒f(t）co^(ιiΩt )dzJiJG即∕s（r）的傅里叶级数中含有的频率分量为偶次余弦波*⑷ 由Λ(r）的波形可知/⑴ 为奇谐函数，即T.行⑴=—∕√r ± T)则有J = az = a A= = b2= ⅛= ⅛= φ,φ = 0即人（门的博里叶级数中只含有奇次谐波•包拈正弦波和余弦波”4—11某1 Ω电阻两端的电压u(t）如图4-19所示,（1 )求u（t）的三角形式傅里叶系数。

(1)由∕ι<r)的波形可如(2)利用(1）的结果和u（1)=ι，求下列无穷级数之和2S =1 —1丄-1•……3 5 7(3)求1Ω电阻上的平均功率和电压有效值。

(4)利用（3)的结果求下列无穷级数之和1 1 1S =1 2 2牙。

3 5 7图4—19解(1)由UCt）的波形图可知T = 2.∏⅛= π,则则有TO r÷⅛Γτ=i J=干衬I I d f= 1J QΓ~T UCZ）CO）dz = yCDS（）dz JQ0 拧=1 9 2 τ…j4u(Z）sin（n∩Z ）d＃=J β⅜I —CQS（^π)2T.v（r>cos（wπt）dru(r)sin（Nm(If=SinC?j;rr）d/则Mf）三角形式的傅里叶级数为守 + Y 仇=- ！¢= H（2）波形图可知W(T) = T+∑w≡ I1 - (- I)Ffnπ则有£Ff=［1 M⅛÷Σ厶N=』1 —CO 与（"TC）∙rc∖----------- sιπ( J1 一C- I）Ff>in(—yπ)712—1-⅛-⅛—4_ π=～2（3)则可得无穷级数 S=I-J 1R 电阻上的平均功率为 则电压有效值为ftl «Cr）的波形图可知rL2Tπru 2（z ）dr⅛3（r ）dr =2。

d rI ；将认⑺的傅里叶级数代入上式得 4。

17=√77=丄 V√22 J-I ⅛（r)dz = ' 2. u （t)dt -1P 1 — C0s （z77r ） ∙ f 科応八「I ∣。

1-—^ ⅛ 一品一Sm （T r)］dr =1PLJ-In τt£ 1-（-1）”Ff= IFf=1Σ—？=］JITC9H —1 ------- -----------＊ J-［l —COS(^y)］ nπ WTTI并 Tr「I—COS —]TT 2T根据傅里叶变换对称性求下列函数的傅里叶变换（1) f （t) （2) f (t) （3）f （t)二（t —2) 2：■2 X2 ：工亠tIL 2 二tsin ［ 2 7： (t - 2)］，q c t c°o解（I)由于宽度为“幅度为1的门函数g f(r)的频谱函数为rSm（亍"即乩⑺ 〈―> rSa(y)= -------L ω～2取r = 2・幅度为根据傅里叶变换线性性质有1 1〈7 yg2^）= y × 2Sa(ω) = Sa（ω)即*gz(r) V一＊Sa（α>)注意到g2（r)是偶函数•根据对称性可得Sa（r) 〈~～A 2π × ＊g2 （S）= πg2(ω)根据时移性和尺度变换性可知3CS 匸2＊1 —2）二=—yg4√ω）e^j2wSm一亍(打2）_= 2SaΓ2π（r—2)］可知Tr（T —根据对称性可知sin（2π？）幻IT（S),根据频域卷积积分性质可得Fh /(r) (2) 由于= g4√ω)e*j2ω =WI ≤ 2ηr rad/s I 3 I > 2τr rad∕S可知2αa2 j r ωy—2πe^σr = 2πe^σlωQ. I t ・(3) 即/(r)由于j⅛7,-∞<y∞的傅里叶变换为决一⅛2 (Z)-Sin(2πf) η22πf又有1_]丄I —亠1 = <l 2_4兀-Jb4。

18求下列信号的傅里叶变换（1) f (t) = e 八（t -2) ( 2) f （t) =e *（t」l ’（t 一1)(3)2f （t ） = Sgn （ t — 9）（4)f (t) = e ②；(t T)（5） t f ⑴=；( 1)2解 （1）已知＆⑺■1由时移性质可得-2） —e^j2”再由频移性质可得八门的傅里叶变换 即F （j ω） = L"（2） /Cr ） = _ I ） = ^(f - 1）— (-3）(J （r- 1)=δf(t — 1） +3⅞<t — 1）又⑴ —一 j 站由时移特性可知/(z ）的博里叶变换为 F〈jω） = (j ⅛ + 3 ) e -iw¢3) /C?） = Sgn （^ 一 9) = 1 - 2g ⅛（f ）又乳乐〈『）］=P 烧 W ）EwdF= Γ e -j”j d∕ =2s ,n (3aJ)J -™ J —3ω=2π⅛（ω）则有a < 4兀 rad S ω > 4π rad∕ S∖--<z <∞ LTtt的傅里叶变换为切 < 4竈 rad/s 少 > 4:T rad/s疹in(3⅛}) ^2∕(r)Z =2π⅛(ω)图 4-23(5) 由利用时移特性可得再rtι尺度变换特性可得ε(^- — 1)—2[ττ⅛(2ω) — J-L 佻]=π⅞(ω) + Λe~j -ω Z jZω - Jtv 即/(r)的傅里叶变换为FC jω) = π<5L (OJ) ÷ τ^-e -j2wJCtJ4.19试用时域微积分性质，求图£(r) —► π⅛(ω) + ±i∕ι(i)解（1)由∕1（r)的波形可得其闭合表达式为/i （z) = —Γε（? T）—ε（z — r）’ r由此可得f∖（）=丄一€（f + r)—eCt— r)_ —t - T） - d(f+ r)又有ε（f）〈—►πδ^(ω) +T—JS^r) *—〉 1可得ε（f ± r) ～►π^（ω） +—JS5（1 ± 丁)V_A C=∙ωr则有〈∕1⑺］=丄・'sins)一2cos(ωr)r当3 = 0时上式值为0，则有S =吟=2ωcos(ωr）— 2sin（α∕r)2ω^τC2）由九U)的波形可得其闭合表达式为 九⑺=—Γ(r —⅛)ε(f + ≡—） - J BZZ e 4 丄(r —：)ε—F (r ——宁442 2由此可得∕2(r)=生+手）一车Q —手）+ ，^ Z B Z44Z当4 = O 时，上式为0，则有16sin （ ) * Sin8 ωB r4。

20若已知F ［f ⑴］=F(p ∙)，试求下列函数的频谱：又有 可得则有£（/L ） Y ＊f 7Γ⅞（ω) — 7—p ZtjwyY —A π⅞（ω）——一： -----jωE (f 土 ～） Y —X π⅞（ω） 一 48（1) tf(2t)(3)tdf （t) dt(5） （i —t)f(i-t ）（8） ejtf （3—2t ）f 3LL ∙,Γ ∙⅛烈九⑺］=兀心⑴］（9 )df （t）1 ____ * 一dt解(1）根据频域微分特性可知(—jr)f（t y） V~A -AF(jω）dω—j⅛(jω)则有ClCO根据尺度变换特性可得<∕(2f) 一 j* 舟F（j 号）则可得兀/⑵门一j y £r（j号）（3）由时域微分特性可得斗 F 一(jGF（jG又由频域微分特性可得（—"）优)^~* ^2jωF(jω）］则有予t∙^^./(?） = j 3F(j3)］ =— -F(jα>）—H ω -J-F （jω) （O)由频域微分特性可得tf（t) j ⅛(jω）（ACjL)由反转特性可得—屮_门—-j⅛(-jω)aω又由时移性质可得(—t —r 1） f (一 1 + 1） <—►一 je~^w—γ-F (—∖ω）* ciω即5^L(1—r)∕(l — r）2 =— je^x' -^-F(― jω)¢8）由尺度变换特性可得八一2" -＊F(—j 号〉由时移特性可得 /C3 -2D — ^e^⅛F(-j ≤-) 又由频移特性可得(3 — 2/) ■*—► 2 F (j 1 予 IV ）M S即 Mev （3 —2z ）］ = —Ie —^F （j(9)由时域微分特性可得jωF(jω）则由时域卷积定理可得- <—— jα〉F(jcd ） • (—j ）sgn （ω）4.21求下列函数的傅里叶变换2 ,2sin 「—心 ι) ■。