第6章系统时域分析习题解090211

145 第6章 系统及系统的时域分析 6.1学习要点 1. 系统的分类 （1）连续（时间）系统与离散（时间）系统 （2）即时系统与动态系统 （3）确定性系统与随机性系统 （4）单输入-单输出系统与多输入-多输出系统 （5）线性系统与非线性系统 （6）时变系统与时不变系统 （7）因果系统与非因果系统 （8）稳定系统与非稳定系统 2. 线性时不变因果稳定系统的基本特性 （1）线性（齐次性、可加性）： )()()()(2121yyff （6-1） （2）时不变性： )()(dfdttyttf （对连续系统） （6-2）

)()(dfdkkykkf （对离散系统） （6-3） （3）微积分特性： )(')('tytff （6-4）

dxxydxxftft)()( （6-5） （4）因果性： 如果0)(f，0tt（或0kk），则0)(fy，0tt（或0kk） （5）稳定性： 如果系统的激励)(f时，则零状态响应)(fy 3. 系统分析的任务及方法 系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信号（激励）求系统的输出信号（响应）。系统分析方法包括时域分析法和变换域分析法。本章讨论的时域分析法是直接分析时间变量t(或 146

n)函数（或序列），研究系统的时间响应特性（或称时域特性），其主要优点是物理概念清楚。 4. LTI系统的数学模型（输入输出方程）

一个n阶LTI连续系统，若其激励为)(tf，响应为)(ty，则描述该系统输入输出关系的数学模型是n阶常系数线性微分方程，它可以写为： mjjjniiitfbtya0)(0)(

)()( （6-6）

式中，),,1,0(niai和),,1,0(mjbj都是常数，且1na。 一个N阶LTI离散系统，若其激励为)(nf，响应为)(ny，则描述该系统输入输出关系的数学模型是N阶线性常系数差分方程，它可以表示为： MjjMNiiNjnfbinya00)()( （6-7）

式中，),,1,0(Niai和),,1,0(Mjbj都是常数，且1Na。 5. 系统的框图表示 表6-1中给出了常用基本运算单元的框图表示符号和系统激励)(f与响应)(y之间的运算关系（箭头表示信号传输的方向）。 表6-1 常用的系统基本运算单元 名称 框图符号 输入输出关系

加法器 )(y

)(2f

)(1f )()()(21ffy

数乘器 a)(f)(y

a)(f)(y

)()(afy

乘法器 )(2f

)(1f)(y )()()(21ffy

延时器 T)(ty)(tf

)()(Ttfty

积分器 )(ty)(tf



tdfty)()(

移位器 )(ny)(nfD

)1()(nfny

系统的数学模型（即输入输出方程）直接反映系统响应与激励之间的关系，便于数学分析与计算；系统框图除此之外，还以图形方式直观地表现各单元在系统中的地位与作用。两者可 147

以相互转换，可以从系统方程画出系统框图，也可以由系统框图写出系统方程。 6. LTI系统时域分析法主要包含两个方面 LTI连续系统分析与离散系统分析在许多方面是相互平行的，它们有许多类似之处。 （1）时域经典法：直接求解描述系统的微分（或差分）方程，算出齐次解和特解，从而

得到系统的完全响应。这种方法便于从物理概念说明各响应分量之间的关系，但求解过程比较麻烦，在解决具体问题时不宜采用，当学习了变换域分析方法后，很多复杂的计算问题便能迎刃而解。 （2）卷积法：利用卷积积分（或卷积和）运算求系统的零状态响应（至于零输入响应可以利用求齐次解的方法得到）。卷积法在连续系统分析中占有比较重要的地位。 需要指出：对于LTI离散系统，由于差分方程具有递推关系，利用迭代法可求其数值解。迭代法简单易懂，便于编程实现，但只能得到数值解，不能得到闭式解。 7. LTI系统全响应的分解 （1）自由响应与强迫响应（从微分方程经典解求解规律考虑） 根据时域经典法，微分（或差分）方程的全解由齐次解和特解组成。从系统分析的角度来

说，齐次解)(hy的形式仅依赖于系统本身的特性，与激励)(f的函数形式无关，可称为自由响应或固有响应，表示系统特性的特征方程的根称为系统的固有频率或自由频率，它们决定了系统自由响应的全部形式；而特解)(py的形式是由激励信号)(f决定的，故称为是强迫响应。 从而，系统的全响应可分解为自由响应和强迫响应两种分量，即： )(y = )(hy + )(py （6-8） （2）瞬态响应与稳态响应（从nt或的状态考虑） 对于一个稳定的系统，自由响应必定随着时间的增长而逐渐趋于零。强迫响应则根据激励函数的性质可能随时间的增长趋于零，也可能趋于稳定，或者两者皆有。系统响应中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应；随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。 可见，系统的全响应可以又分解成瞬态响应和稳态响应两种分量。 （3）零输入响应与零状态响应（从区分起始储能与激励作用的角度考虑）

系统在任意时刻的响应)(y可以用初始状态{)0(x}和区间],0[t或],0[n上的激励{)(f}完全地确定。初始状态代表系统的起始储能情况，可以看作是系统的另一种激励（有的书上称之为“内部激励”），这样系统的完全响应)(y将取决于两种不同的激励，即输入信号{)(f}

和初始状态{)0(x}。即： )}]0({)},([{)(xfTy （6-9） 148

零输入响应——输入信号为零、仅由初始状态引起的响应，即： )}]0({},0[{)(xTyx （6-10） 零状态响应——初始状态为零、仅由输入信号引起的响应，即： }]0{)},([{)(fTyf （6-11）

从而，系统的全响应还可以分解为零输入响应和零状态响应两种分量，即： )()()(fxyyy （6-12）

例如，对于一个n阶LTI系统，若其特征根i),,2,1(ni均为单根，则全响应可写为：

)()()(111tyeCeCtyeCtyptnifitnixiptniiiii

（6-13）

式中 tnifitnixitniiiiieCeCeC111＋＝ （6-14）

且系统响应分量中随着时间增长而趋于零的部分称为瞬态响应，随着时间增长趋于稳定的部分称为稳态响应。 根据响应各分量的定义，可以得到一些重要的结论： 1）自由响应和零输入响应都满足齐次方程的解。 2）自由响应和零输入响应的系数不同。零输入响应的系数仅由起始储能情况决定，而自由响应的系数要同时依赖于初始状态和激励信号。 3）自由响应由两部分构成，其中一部分由初始状态决定，另一部分由激励信号决定，两者都与系统自身参数有关。确切地说，自由响应包含零输入响应和零状态响应的一部分。 4）若系统初始状态为零（无初始储能），那么零输入响应为零，但自由响应可以不为零，由激励信号与系统参数共同决定。

5）对LTI连续系统，零输入响应由0t时刻到0t时刻不跳变（因为此时微分方程

右边为0，不含)(t或其各阶导数项）。若全响应由0t时刻到0t时刻发生跳变，只可能出现在零状态响应分量中。 6）一般来说，对于稳定系统，当激励信号为等幅（或指数增长）情况下，瞬态响应等于自由响应，而稳态响应等于强迫响应。 7）当外加激励为零时，系统的零输入响应对于各初始状态呈线性（包括齐次性和可加性），即零输入线性，这可表示为：

)]0(},0[{)]0(},0[{)]0()0(},0[{2121xTxTxxT （6-15） 而当初始状态为零时，系统的零状态响应对于各外加激励信号呈线性，即零状态线性，这可表示为：

强迫响应自由响应零输入响应零状态响应 149

}]0{),([}]0{),([}]0{),()([2121fTfTffT （6-16） （注意理解“线性系统”的概念：一个同时具有分解特性、零输入线性和零状态线性的系统才能称之为线性系统。这里，分解特性是指系统全响应可以分解为零输入响应和零状态响应。）

8. LTI系统时域分析中根据初始状态（0状态）求初始条件（0状态）

“初始条件”（或0状态）：在0t时刻，系统的响应及其各阶导数的值，即)0()(iy，

其中1,,1,0ni。)0()(iy包含输入信号（激励）的作用，不便描述系统的历史信息。 “初始状态”（或0状态）：在0t时刻，系统响应及其各阶导数的值，即)0()(iy。

)0()(iy可以反映系统的历史情况，而与激励无关（因为此时激励尚未接入），它们为求得0t

的响应)(ty提供了以往历史的全部信息。 通常，实际工程上，对于具体的系统，初始状态常常容易得到。这样，为求解描述LTI系统的微分方程，就需要从已知的初始状态)0()(iy设法求得初始条件)0()(iy。 需要指出的是，当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0状态到0状态有没有跳变取决于微分方程右边激励项是否包含冲激信号)(t或其各阶导数。如果方程右边不包含)(t或其各阶导数，说明相应的0状态到0状态没有发生跳变，即)()(tyi在0t处连续，所以)0()(iy=)0()(iy。否则，如果方程右边包含)(t或其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变，即)0()0(yy或)0(')0('yy等等。 为确定初始条件)0()(iy（1,,1,0ni）的值，在时域分析中有两种方法: 1）利用物理概念对电路模型进行分析判断。 2）奇异函数匹配法（也称为奇异函数平衡法）。其基本原理是根据微分方程左右两端的)(t

及其各阶导数应该平衡相等。 前者适用于给定具体电路图的情形，后者虽然比较抽象,但却是普遍适用的一般方法。不过，在学习了拉普拉斯变换后，还会有更加简便的方法。

另外，可补充说明的是，对于LTI离散系统，可认为)1(y，)2(y„，)(Ny是激励作用之前在因果系统中存储的数据，与激励信号无关，这组条件与微分方程的初始状态（0状态）相对应；由这组数据与激励信号约束共同求得的)0(y，)1(y，„，)1(N-y则