第二章__连续系统的时域分析习题解答

X2.1 (东南大学2002年考研题)一线性时不变连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为(e-3t+e-t) (t)，强迫响应为(1-e-2t) (t)，则下面的说法正确的是______________(A)该系统一定是二阶系统(B)该系统一定是稳定系统(C)零输入响应中一定包含(e-3t+e-t) (t)(D )零状态响应中一定包含(1-e-2t) (t)X2.2(西安电子科技大学2005年考研题)信号f1(t)和f2(t)如图X2.2所示,f=f1(t)* f2(t)，则f(-1)等于__________图X2.2X2.3 (西女电子科技大学2005年考研题)下列等式不成立的是(A) f1(t t。

)* f2(t t°) 锂) * f2(t)(B)-J—f1(t)* f2(t) dtd f1(t)dt-J* — f2(t) dt 2(C) f(t)* (t) f (t)(D) f(t)* (t) f (t)答案：X2.1[D] , X2.2[C], X2.3[B]、判断与填空题T2.1 (北京航空航天大学2001年考研题)判断下列说法是否正确，正确的打错误的打“X” 。

(1 )若y(t) f(t)*h(t)，则y(2t) 2f(2t)*h(2t)。

[](2)如果x(t)和y(t)均为奇函数，贝U x(t)*y(t)为偶函数。

[](3)卷积的方法只适用于线性时不变系统的分析。

[](4 )若y(t) f(t)*h(t)，则y( t) f( t)*h( t)。

[](5)两个LTI系统级联，其总的输入输出关系与它们在级联中的次序没有关系。

[]第二章、单项选择题连续系统的时域分析(C) 1.5 ( D)-0.5(A)T2.2 (华中科技大学2004年考研题)判断下列叙述或公式的正误，正确的在方括号中打“/，错误的在方括号中打“X”。

(1)线性常系数微分方程表示的系统，其输出响应是由微分方程的特解和齐次解组成，或由零输入响应和零状态响应所组成。

第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况； （7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。

； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。

2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di L t v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv C t i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解 齐次解和特解。

齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=--- 当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++= bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++ 特解的函数形式与激励函数的形式有关。

第二章 连续时间系统的时域分析1．与()t δ相等的表达式为：A ．1()4t δ B ．2(2)t δ C ．(2)t δ D ．1(2)2t δ解：由()t δ函数的性质1()()t t δαδα=可得，选B2．()j tet dt ωδ∞--∞'=⎰。

解：运用性质0()()()(0)t f t t dt f t f δ∞=-∞'''=-≡-⎰，得到()()j tet dt j j ωδωω∞--∞'=--=⎰。

3．两个线性时不变系统的级联，其总的输入-输出关系与它们在级联中的次序没有关系。

（正确）解：以冲击响应为例。

因为级联时，系统总的冲击响应等于各子系统冲击响应的卷积，而卷积与顺序没有关系，所以冲击响应与子系统顺序没有关系。

4．若()()()y t x t h t =*，则()()()y t x t h t -=-*-。

（错误）解：由()()()y t x h t d τττ∞-∞=-⎰，得()()()y t x h t d τττ∞-∞-=--⎰。

而()()()()()x t h t x h t d y t τττ∞-∞-*-=--+≠-⎰5．已知(21)f t -+波形如图所示，试画出()f t 的波形。

解：根据1反2展36．用图解法求图中信号的卷积()()()t f t f t f 21*=。

（03北邮A,8分）解：当10t -<时，即1t <时，由图1所示，12()()*()0f t f t f t ==图1当1020t t ->⎧⎨-<⎩时，即12t <<时，由图2所示，11201()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===+⎰图2当1220t t -<⎧⎨->⎩时，即23t <<时，由图3所示，11222()()*()sin()cos()t t f t f t f t d t πττππ--===⎰图3当1222t t ->⎧⎨-<⎩时，即34t <<时，由图4所示，21221()()*()sin()[cos()1]t f t f t f t d t πττππ-===-⎰图4当4t >时，如图5所示，12()()*()0f t f t f t ==图57．如图所示系统由几个子系统组成，各子系统的冲激响应为)()(1t u t h =，)1()(2-=t t h δ，)()(3t t h δ-=，试求此系统的冲激响应)(t h ；若以()()t u e t e t -=作为激励信号，用时域卷积法求系统的零状态响应。

第二章 连续时间系统的时域分析1．已知连续时间信号1()e ()t f t u t -=和2()e ()t f t u t =-，求卷积积分12()()()f t f t f t =*，并画出()f t 的波形图。

解：1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰反褶1()f τ得1()f τ-，右移t 得11[()]()f t f t ττ--=-，作出2()f τ图形及不同t 取值的1()f t τ-图形，由此可得：当0t ≤时，21()e e ee e 2ttt tt f t d d τττττ---∞-∞===⎰⎰当0t ≥时，0021()e e e e e 2t t t f t d d τττττ----∞-∞===⎰⎰综上，||111()e ()e ()e 222t t t f t u t u t --=-+=()f t 是个双边指数函数。

讨论：当1()f t 、2()f t 为普通函数（不含有()t δ、()t δ'等）时，卷积结果()f t 是一个连续函数，且()f t 非零取值区间的左边界为1()f t 、2()f t 左边界之和，右边界为1()f t 、2()f t 右边界之和，也就是说，()f t 的时宽为1()f t 、2()f t 时宽之和。

τttt2．计算题图2（a ）所示函数)(1t f 和)(2t f 的卷积积分)()()(21t f t f t f *=，并画出)(t f 的图形。

解法一：图解法1212()()()()()f t f t f t f t f d τττ∞-∞=*=-⎰其中1()f t τ-的波形见题图2(b)，由此可得： 当10t +≤，即1t ≤-时，()0f t = 当011t ≤+≤，即10t -≤≤时，120()2(1)t f t d t ττ+==+⎰当11t +≥但10t -≤，即01t ≤≤时，1()21f t d ττ==⎰当011t ≤-≤，即12t ≤≤时，121()21(1)t f t d t ττ-==--⎰当11t -≥，即2t ≥时，()0f t =综上，220,1,2(1),10()1,011(1),12t t t t f t t t t ≤-≥⎧⎪+-≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪--≤≤⎩ ()f t 波形见题图2(c)。

— P2-1 —第二章 连续系统的时域分析习题解答2-1 图题2-1所示各电路中，激励为f (t )，响应为i 0(t )和u 0(t )。

试列写各响应关于激励微分算子方程。

解：.1)p ( ; )1(1)p ( , 111 , 1111)( )b (;105.7)625(3 102 ;)(375)()6253(4)()()61002.041( )a (0202200204006000f i p f p u p f p p p u i f p p p ppft u pf i p pu i t f t u p t f t u p =+++=++⇒++=+=+++=++=⨯=+⇒⨯==+⇒=++-- 2-2 求图题2-1各电路中响应i 0(t )和u 0(t )对激励f (t )的传输算子H (p )。

解：.1)()()( ; 11)()()( )b (;6253105.7)()()( ; 6253375)()()( )a (220 20 40 0 +++==+++==+⨯==+==-p p p p t f t i p H p p p t f t u p H p p t f t i p H p t f t u p H f i f u f i fu2-3 给定如下传输算子H (p )，试写出它们对应的微分方程。

.)2)(1()3()( )4( ; 323)( )3(; 33)( )2( ; 3)( )1( +++=++=++=+=p p p p p H p p p H p p p H p p p H解：; 3d d 3d d )2( ; d d 3d d)1( f tf y t y t f y t y +=+=+ . d d 3d d 2d d 3d d )4( ; 3d d 3d d 2 )3( 2222t f tf y t y t y f t f y t y +=+++=+ 2-4 已知连续系统的输入输出算子方程及0– 初始条件为：.4)(0y ,0)(0y )y(0 ),()2(13)( )3(; 0)(0y ,1)(0y ,0)y(0 ),()84()12()( )2(;1)(0y ,2)y(0 ),()3)(1(42)( )1(---2---2--=''='=++==''='=+++-=='=+++=t f p p p t y t f p p p p t y t f p p p t yf (u 0(t ) (b) u 0(t ) (a)图题2-1— 2 —试求系统的零输入响应y x (t )(t /0)。

第二章 连续时间系统的时域分析经典法：双零法卷积积分法：求零状态响应求解系统响应→定初始条件满足换路定则起始点有跳变：求跳变量零输入响应：用经典法求解零状态响应：卷积积分法求解()()()()⎩⎨⎧==-+-+0000L L c c i i u u例题•例题1：连续时间系统求解（经典法，双零法） •例题2：求冲激响应（n >m ） •例题3：求冲激响应（n ＜m ） •例题4：求系统的零状态响应 •例题5：卷积 •例题6：系统互联例2-1分析在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是： ：起始状态，它决定零输入响应；()()()()()()()()()强迫响应。

状态响应，自由响应，并指出零输入响应，零，求系统的全响应，已知 系统的微分方程为描述某t u t e r r t e t t e t r t t r t t r =='=+=++--,00,206d d 22d d 3d d LTI 22()-0)(k r ⎩⎨⎧状态变量描述法输出描述法—输入建立系统的数学模型：跳变量，它决定零状态响应； ：初始条件，它决定完全响应；这三个量之间的关系是 分别利用 求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。

解：方法一：利用 先来求完全响应，再求零输入响应，零状态响应等于完全响应减去零输入响应。

方法二：用方法一求零输入响应后，利用跳变量 来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。

本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。

方法一1. 完全响应 该完全响应是方程 （1）方程（1）的特征方程为 特征根为 方程（1）的齐次解为因为方程（1）在t >0时，可写为 （2）显然，方程（1）的特解可设为常数D ，把D 代入方程（2）求得 所以方程（1）的解为下面由冲激函数匹配法定初始条件 由冲激函数匹配法定初始条件 据方程（1）可设代入方程（1），得匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得 所以，所以系统的完全响应为()+0)(k zsr ()+0)(k r ()()()+-+=-000)()()(k zs k k r r r ()()++00)()(k k zs r r ，()()代入原方程有将t u t e =()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()++'0,0r r ()()++''0,0zs zs r r ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足00,20='=--r r 0232=++αα2121-=-=αα，()t t e A e A t r 221--+=()()()()t u t r t t r tt r 62d d 3d d 22=++3=D ()3221++=--tt e A e A t r ()()()t u b t a t t r ∆+=δ22d d ()()t u a t t r ∆=d d ()无跳变t r ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ2=a ()t δ()()22000=+=+'='-+a r r ()()200==-+r r ()()代入把20,20=='++r r ()3221++=--t t e A e A t r 1,021-==A A 得()0 32≥+-=-t e t r t ()t r zi 再求零输入响应2.求零输入响应 （3）（3）式的特征根为 方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为所以，系统的零输入响应为 下面求零状态响应零状态响应=完全响应—零输入响应，即 因为特解为3，所以强迫响应是3，自由响应是方法二（5）以上分析可用下面的数学过程描述 代入（5）式 根据在t =0时刻，微分方程两端的 及其各阶导数应该平衡相等，得 于是t >0时，方程为 齐次解为 ，特解为3，于是有所以，系统的零状态响应为方法一求出系统的零输入响应为()是方程响应因为激励为零，零输入t r zi ()()()02d 3d d 22=++t r dt t r t t r ()()()()()()的解．，且满足 0000 2000='='='===--+--+r r r r r r zi zi zi zi 2121-=-=αα，()t t zi e B e B t r 221--+=()()式解得，代入，由)4(0020='=++zi zi r r 2,421-==B B ()0 242≥-=--t e e t r t t zi ()0 342≥++-=--t e e t r t t zs t t e e 24--+-()是方程零状态响应t r zs ()()()()()t u t t r t t r t t r 622d d 3d d 22+=++δ()()的解且满足000='=--zs zs r r ()项由于上式等号右边有t δ()应含有冲激函数，，故t r zs "()将发生跳变，即从而t r zs '()()-+'≠'00zs zs r r ()处是连续的．在而0=t t r zs ()()()()()t u a t r t t u b t a t r tzs zs∆=+∆+=+d d ,d d 22δ()()()()()()t u t t r t u a t u b t a 6223+=+∆+∆+δδ()t δ2=a ()()()()002000===+'='-+-+zs zs zs zs r r a r r ()()()()t u t r t t r t t r 62d d 3d d 22=++ 221t t e D e D --+()3221++=--t t zi e D e D t r ()()得由初始条件0,200=='++zs zs r r 1,421=-=D D ()0) ( 342≥++-=--t e e t r t t zs ()0 242≥-=--t e e t r t t zi完全响应=零状态响应+零输入响应，即例2-2冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。

第二章连续时间系统的时域分析1、选择题1．若系统的起始状态为0，在x (t)的激励下，所得的响应为 D 。

A 强迫响应 B 稳态响应 C 暂态响应 D 零状态响应2．若系统的起始状态为0，在e(t)的激励下，所得的响应为 D 。

A 强迫响应 B 稳态响应 C 暂态响应 D 零状态响应3．线性系统响应满足以下规律 a 。

A)、若起始状态为零，则零输入响应为零。

B)、若起始状态为零，则零状态响应为零。

C)、若系统的零状态响应为零，则强迫响应也为零。

D)、若系统的起始状态为零，则系统的自由响应为零； 4．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由 A 决定。

A 系统函数极点的位置B 激励信号的形式C 系统起始状态D 以上均不对。

5. 已知系统的传输算子为)23(2)(2+++=p p p p p H ，求系统的自然频率为 b a)、 -1 , -2 b)、 0 , -1 , -2 c)、 0, -1 d)、 -26．已知某线性时不变系统的单位阶跃响应为)()(2t U e t t -=δ，激励为)()(3t U e t f t-=时零状态响应为 d 。

a) )()32t U e e t t ---（ b))()32(32t U e e t t --- c) )()23t U e e t t ---（ d))()2323t U e e tt ---（ 7．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由 B 决定。

A 激励信号B 齐次微分方程的特征根C 系统起始状态D 以上均不对 8．线性时不变稳定系统的自由响应是 C 。

A 零状态响应B 零输入响应C 瞬态响应D 稳态响应 9．对线性时不变系统的响应，下列说法错误的是 B 。

A 零状态响应是线性的B 全响应是线性的C 零输入响应是线性的D 自由响应等于零输入响应10．线性时不变系统的响应，下列说法错误的是 C 。

A 零状态响应是线性时不变的B 零输入响应是线性时不变的C 全响应是线性时不变的D 强迫响应是线性时不变的 11． 传输算子)2)(1(1)(+++=p p p p H ，对应的微分方程为 b 。