高中数学第一章导数及其应用1.1导数课堂探究新人教B选修2-2创新

描述：高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案

第一章 导数及其应用 1.2 导数的运算

一、学习任务

1. 理解导数的定义，能根据导数的定义，求函数 ，，，，，

的导数．

2. 了解基本初等函数的导数公式；了解导数的四则运算法则；能利用导数公式表中的导数公式

和导数的四则运算法则求简单函数的导数；能求简单的复合函数（仅限于形如）

的导数．

二、知识清单

导数的计算 利用导数求函数的切线方程

三、知识讲解

1.导数的计算

基本初等函数的导数公式

导数的运算法则

；

；

．

复合函数的导数

对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称

这个函数为函数 和 的复合函数（composite function），记作y=cy=x

y

=

x2

y=x3

y=1

x

y=x√

f(ax+b)

基本初等函数

f(x)=c（c为常数）

f(x)=（α∈）xαQ∗

f(x)=sinx

f(x)=cosx

f(x)=（a>0且a≠1）ax

f(x)=ex

f(x)=xlog

a

f(x)=lnx基本初等函数的导函数

(x)=0f′

(x)=αf′

xα−1

(x)=cosxf′

(x)=−sinxf′

(x)=lnaf′

ax

(x)=f′ex

(x)=f′1

xlna

(x)=f′1

x

=(x)±(x)[f(x)±g(x)]′

f′

g′

=(x)g(x)+f(x)(x)[f(x)⋅g(x)]′

f′

g′

=(g(x)≠0)[]f(x)

g(x)′

(x)g(x)−f(x)(x)f′

g′

[g(x)]2

y=f(u) u=g(x) u y x

y=f(u) u=g(x)

y=f(g(x)) .

例题：

描述：

例题：复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为

是 对 的导数，即对的导数等于对的导数与对 的导数的乘积．

2.利用导数求函数的切线方程

利用导数求函数的切线方程

步骤一：求出函数 在点 处的导数 ；

步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 ． y=f(g(x)) .

y=f(g(x)) y=f(u) u=g(x)

第一章导数及其应用知识点及练习题

知识点1：导数概念的引入

1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是000()()limxfxxfxx，

我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy，

即0()fx=000()()limxfxxfxx

2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx

3. 导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数. ()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx

考点：导数的几何意义及其应用

[例题] 已知曲线y＝13x3＋43.

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；

(3)求斜率为4的曲线的切线方程．

[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

知识点2：导数的计算

1）基本初等函数的导数公式:

1若()fxc(c为常数)，则()0fx；

2 若()fxx,则1()fxx;

3 若()sinfxx,则()cosfxx

4 若()cosfxx,则()sinfxx;

5 若()xfxa,则()lnxfxaa

6 若()xfxe,则()xfxe

7 若()logxafx,则1()lnfxxa

8 若()lnfxx,则1()fxx

1.1.3 导数的几何意义

明目标、知重点

1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．

2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．

3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．

1．导数的几何意义

(1)割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，

即f′(x)＝y′＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx.

[情境导学]

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．

探究点一 导数的几何意义

思考1 如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

答 当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线，该切线的斜率为limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)．

.

精品word文档 高中数学选修2-2课后习题答案

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

练习（P6）

在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率上升.

练习（P8）

函数()ht在3tt附近单调递增，在4tt附近单调递增. 并且，函数()ht在4t附近比在3t附近增加得慢.

说明：体会“以直代曲”的思想.

练习（P9）

函数33()4VrV(05)V的图象为

根据图象，估算出(0.6)0.3r，(1.2)0.2r.

说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.

习题1.1 A组（P10）

1、在0t处，虽然1020()()WtWt，然而10102020()()()()WtWttWtWtttt.

所以，企业甲比企业乙治理的效率高.

说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.

2、(1)(1)4.93.3hhthttt，所以，(1)3.3h.

这说明运动员在1ts附近以3.3 m／s的速度下降.

3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数()st在5t时的导数.

(5)(5)10sststtt，所以，(5)10s..

精品word文档 因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能213101502kE J.

4、设车轮转动的角度为，时间为t，则2(0)ktt.

由题意可知，当0.8t时，2. 所以258k，于是2258t.

车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数()t在3.2t时的导数.

(3.2)(3.2)25208tttt，所以(3.2)20.