高中数学1-1-3圆柱、圆锥、圆台和球新人教B版必修2
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- 1 - 高一数学必修2（人教B版）第一章各节同步检测1-1- 3圆柱、圆锥、圆台和球
一、选择题
1．过球面上两点可能作出球的大圆( )
A．0个或1个
B．有且仅有一个
C．无数个
D．1个或无数个
[答案] D
[解析] 当这两点与球心共线时，可做出无数个，当这两点与球心不共线时，过这两点和球心的平面只有一个，故与球相截只能得一个球的大圆．
2．有下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
[答案] D
[解析] 对于①，两点连线可能在圆柱内部；对于③，两点连线也可能在圆台内部，故②④正确．
3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的不可能图形是(
)
- 2 - [答案] D
[解析] 过球心与正方体的对角面时为B，过球心与正方体一组平行棱的中点时为C，过球心及一组平行棱的位于顶点和中点之间的某种分点时为A，∴不可能为D.
4．下列命题中，正确的是( )
A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形
[答案] C
5．如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是( )
A．24π
B．16π
C．8π
D．4π
[答案] B
[解析] 截面圆的半径为7＋12＝4，面积为πr2＝16π.
6．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是( )
A．1
B．7
C．3或4
D．1或7
[答案] D
[解析] 如图(1)所示，若两个平行平面在球心同侧，则CD＝52－32－52－42＝1.
如图(2)所示，若两个平行截面在球心两侧，则CD＝52－32＋52－42＝7.
7．正方体的内切球与外接球的半径之比为( )
A.31 B.32 C．13 D．23
[答案] C
- 3 - [解析] 设正方体的内切球半径为r，外接球半径为R，边长为a，则r＝a2，R＝32a，rR＝a232a＝13.
8．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为( )
A．4 B．3 C．2.5 D．2
[答案] B
[解析] 设截面圆半径为r，则πr2＝16π，∴r＝4.球心到截面的距离为d＝52－r2＝52－42＝3.
二、填空题
9．已知圆柱的底面半径是20cm，高是15cm，则平行于圆柱的轴且与此轴相距12cm的截面面积是________．
[答案] 480cm2
[解析] 设所求截面的底边长为x，则x22＝202－122，解得x＝32，∴S截＝32×15＝480cm2.
10．过球半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为48πcm2，则球的半径为________．
[答案] 8cm
[解析] 如图，过球心作垂直于截面的平面，
由截面面积为48πcm2，可得AC＝43cm ，
设OA＝R，则OC＝12R，
∴R2－12R2＝(43)2，解得R＝8(cm)．
11．下列叙述中，正确的是________．
①以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径．
[答案] ①③
三、解答题
- 4 - 12．一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
[解析] (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底的一半O1A＝2cm，
下底的一半OB＝5cm.
∵腰长为12cm，
∴高为AM＝122－(5－2)2
＝315(cm)．
(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，
可得l－12l＝25，∴l＝20(cm)
即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.
13．在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的半径．
[解析] ①若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C、C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R，截面圆的半径分别为r、r1.
由πr21＝49π，得r1＝7，由πr2＝400π，得r＝20.
在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，
在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400.
由题意可知，OC1－OC＝9，
即R2－49－R2－400＝9，
解得R＝25.
②若球心在两截面之间，如图(2)所示，
OC1＝R2－49，OC＝R2－400.
由题意可知，OC1＋OC＝9，
即R2－49＋R2－400＝9，
R2－49＝9－R2－400，
整理，得R2－400＝－15，此方程无解，
- 5 - 综上所述，此球的半径为25cm.
14．圆锥底半径为1，高为22，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．
[解析] ∵OA＝1，PO＝22，
∴PA＝3，∴∠APA′＝13×360°＝120°，
作PD⊥AA′，则∠APD＝60°，
∴AA′＝2AD＝2×3×sin60°＝33，
∴最短绳长为33.
15．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．
[解析] 圆台的轴截面如图所示，
设圆台上、下底面半径分别为xcm、2xcm、3xcm，
延长AA1交OO1的延长线于S.
在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x.
S轴截面＝12(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7.
故圆台的高OO1＝14cm，母线长A1A＝2OO1＝142cm，
两底面半径分别为7cm、21cm.
