(4)角平分线构造全等

构造全等三角形证题

在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形

例1. 如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。

证明：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE。如图2。

∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD。

又∵∠1＝∠2，AD＝DE，

∴△ABD≌△ECD（SAS）。AB＝CE。

∵在△ACE中，CE＋AC＞AE，

∴AB＋AC＞2AD。

二、沿角平分线翻折构造全等三角形

例2. 如图3，在△ABC中，∠1＝∠2，∠ABC＝2∠C。求证：AB＋BD＝AC。

证明：将△ABD沿AD翻折，点B落在AC上的E点处，即：在AC上截取AE＝AB，连接ED。如图4。 ∵∠1＝∠2，AD＝AD，AB＝AE，

∴△ABD≌△AED（SAS）。

∴BD＝ED，∠ABC＝∠AED＝2∠C。

而∠AED＝∠C＋∠EDC，

∴∠C＝∠EDC。所以EC＝ED＝BD。

∵AC＝AE＋EC，∴AB＋BD＝AC。

三、作平行线构造全等三角形

例3. 如图5，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。

证明：过E作EM∥AC交BC于M，如图6。

则∠EMB＝∠ACB，∠MEF＝∠CDF。

∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。

∴∠B＝∠EMB。故EM＝BE。

∵BE＝CD，∴EM＝CD。

又∵∠EFM＝∠DFC，∠MEF＝∠CDF，

∴△EFM≌△DFC（AAS）。EF＝FD。

四、作垂线构造全等三角形 例4. 如图7，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC。M是AC边的中点。AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB＝∠DMC。

证明：作CF⊥AC交AD的延长线于F。如图8。

∵∠BAC＝90°，AD⊥BM，

∴∠FAC＝∠ABM＝90°－∠BAE。

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-1 全等三角形问题中常见的辅助线的作法

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3.角平分线添辅助线

4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．

2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用百度文库 - 好好学习，天天向上

-2 DCBAEDFCBA的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．

3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4321DEABC八年级数学第十二章 全等三角形

第1讲

知识点一：尺规作图

已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线OC

知识点二：角平分线

1、角平分线的性质定理：角平分线上的点到_________________距离相等；

2、角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在_________的平分线上。

3、角平分线的判定定理与角的平分线的性质在应用上有什么不同？

注：1、角分线，分两边，对称全等要记全。（牢记，角平分线所在的直线就是一个对称轴，所以可以将其中的一个部分翻转180度，构造全等。也可以应用角分线定理作垂直）

2、角平分线＋垂线，角平分线＋平行线，等腰三角形要呈现，线段和差倍分都实现。

检测练习：

1、O是△ABC内一点，且O到△ABC的三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠A=80°，则∠BOC=_____

2、如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE=90°，AD=AB，AC=AE，

1）求证：△ACD≌△AEB.

2）试猜想∠AFD和∠AFE的大小关系，并证明你的结论。

3、已知，四边形ABCD中，AB与CD平行，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。

图221DECABABCDEP图 ⑴图十21ECBAD4、已知，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BE。求证：BD＝2CE。

5、已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．

7、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CE⊥AB，AE＝21（AB＋AD）。

求证：∠D＋∠B＝180°。

1 AAS，HL证全等及角平分线的性质知识点总结和重难点精析

知识点总结：

1、AAS定理：两个三角形中，如果两条对应边及其夹角相等，那么这两个三角形全等。简写成对应角相等的角边角定理。

2、HL定理：两个直角三角形中，如果一条直角边和斜边相等，那么这两个三角形全等。简写成对应边相等的直角边和斜边定理。

3、角平分线的性质：角平分线是将角分成两个相等的角的射线，角平分线上点到角的两边距离相等。

重难点精析：

1、AAS定理的应用难点在于如何通过已知条件构造出至少一组边角相等的关系，这对于推导证明过程至关重要。对于初学者来说，可以尝试通过画图和模拟过程来理解，逐渐提高空间想象能力。

2、HL定理的应用主要难点在于直角三角形的判断，需要学生熟悉勾股定理的相关知识。在解决实际问题时，需要灵活运用直角三角形的性质，如等角对等边等。

3、角平分线的性质在学习中容易被忽视，其重要性在于为证明线段相等提供了一种重要的方法。对于初学者来说，需要加强对此性质的练习和理解，能够熟练地应用到各种几何问题中。

总结：

AAS，HL定理和角平分线的性质是八年级数学中的重要知识点，

2 它们在几何学中的应用广泛且具有挑战性。通过对这些定理的深入学习和实践，学生可以提升自身的几何思维能力和问题解决能力。