几何证明——角平分线模型中级
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专题01 角平分线的五种模型模型一、角平分线垂两边例1.如图,AD是△ABC的角平分线,且AB:AC=3:2,则△ABD与△ACD的面积之比为()A.3:2B.6:4C.2:3D.不能确定【答案】A【详解】过点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF,又AB:AC=3:2,∴S△ABD:S△ACD=(12AB•DE):(12AC•DF)=AB:AC=3:2.故选A.例2.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC//OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD的长为___.【答案】2【详解】解:过P作PE⊥OB,交OB与点E,∵∠AOP=∠BOP,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE,∵PC//OA,∴∠CPO=∠POD,又∠AOP=∠BOP=15°,∴∠CPO=∠BOP=15°,又∠ECP为△OCP的外角,∴∠ECP=∠COP+∠CPO =30°,在直角三角形CEP 中,∠ECP =30°,PC =4,∴PE =12PC =2,则PD =PE =2.故答案为:2. 【变式训练1】如图所示,在四边形ABCD 中,DC //AB ,∠DAB =90°,AC ⊥BC ,AC =BC ,∠ABC 的平分线交A D ,AC 于点E 、F ,则BFEF的值是___________.11221BCBC BC ==--【详解】解:如图,作FG ⊥AB 于点G ,∠DAB -90°,∴FG /AD ,∴BF EF =BGAGAC ⊥BC ,∴∠ACB =90° 又BF 平分∠ABC ,∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中BF BFCF GF=⎧⎨=⎩ ∴△BGF ≌△BCF (HL ),∴BC =BGAC =BC ,∴∠CBA =45°,∴AB =2BC1BF BG BC EF AG AB BG ∴====- 【变式训练2】如图,BD 平分ABC 的外角∠ABP ,DA =DC ,DE ⊥BP 于点E ,若AB =5,BC =3,求BE 的长.【答案】1【详解】解:过点D 作BA 的垂线交AB 于点H ,∵BD平分△ABC的外角∠ABP,DH⊥AB,∴DE=DH,在Rt△DEB和Rt△DHB中,DE DHDB DB=⎧⎨=⎩,∴Rt△DEB≌Rt△DHB(HL),∴BE=BH,在Rt△DEC和Rt△DHA中,DE DHDC DA=⎧⎨=⎩,∴Rt△DEC≌Rt△DHA(HL),∴AH=CE,由图易知:AH=AB−BH,CE=BE+BC,∴AB−BH=BE+BC,∴BE+BH=AB−BC=5−3=2,而BE=BH,∴2BE=2,故BE=1.【变式训练3,的平分线相交于点E,过点E作交AC于点F,则EF的长为.【答案】【解析】延长FE交AB于点D G H,如图所示:四边形BDEG是矩形,平分CE平分,四边形BDEG是正,,设,则,,,解得,,即,解得,.模型二、角平分线垂中间例.如图,已知,90,,BAC AB AC BD ∠=︒=是ABC ∠的平分线,且CE BD ⊥交BD 的延长线于点E .求证:2BD CE =. 【答案】见解析【详解】证明:如图,延长CE 与BA 的延长线相交于点F ,∵90,90EBF F ACF F ∠+∠=︒∠+∠=︒,∴EBF ACF ∠=∠,在ABD △和ACF 中,EBF ACF AB AC BAC CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()ABD ACF ASA △≌△,∴BD CF =,∵BD 是ABC ∠的平分线,∴EBC EBF ∠=∠.在BCE ∆和BFE ∆中,EBC EBF BE BE CEB FEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴()BCE BFE ASA ≌△△, ∴CE EF =,∴2CF CE =, ∴2BD CF CE ==.【变式训练1】如图,已知△ABC ,∠BAC =45°,在△ABC 的高BD 上取点E ,使AE =BC . (1)求证:CD =DE ;(2)试判断AE 与BC 的位置关系?请说明理由;【答案】(1)见解析;(2)AE BC ⊥,理由见解析;(3)【详解】(1)证明:∵BD AC ⊥,45BAC ∠=︒,∴90,45EDA BDC ABD BAD ∠=∠=︒∠=∠=︒,∴AD BD =,在Rt ADE △和Rt BDC 中,∵AD BDAE BC =⎧⎨=⎩ ∴()Rt ADE Rt BDC HL ≅,∴CD =DE ; (2)AE BC ⊥,理由如下:如图,延长AE ,交BC 于点F , 由(1)得,90EAD EBF EAD AED ∠=∠∠+∠=︒,∵AED AEF ∠=∠,∴90BEF EBF ∠+∠=︒,∴90EFB =︒,即AE BC ⊥;【变式训练2】如图,D 是△ABC 的BC 边的中点,AE 平分∠BAC ,AE ⊥CE 于点E ,且AB =10,AC =16,则DE 的长度为________【答案】3【解答】解:如图,延长CE ,AB 交于点F .AE 平分∠BAC ,AE ⊥EC ,∴∠F AE =∠CAE ,∠AEF =∠AEC =90°在△AFE 和△ACE 中,EAF EAC AE AE AEF AEC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠,∴△AFE ≌ACE (ASA ),∴AF =AC =16,EF =EC ,∴B F =6又D 是BC 的中点,∴BD =CD ,∴DE 是△CBF 的中位线,∴DE =12BF =3,故答案为:3. 【变式训练3】如图,在ABC ∆中,CD 是ACB ∠的平分线,AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ,求证:EA EB =.【答案】见解析【解答】证明:延长AD 交BC 于点F .CD 平分ACF ∠, ACD FCD ∴∠=∠.又,,AD CD CD CD ⊥=ADC ∴∆≌FDC ∆,AD FD ∴=. 又DE ∥BC ,EA EB ∴=.模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形例.如图所示,在△ABC 中,BC =6,E 、F 分别是AB 、AC 的中点,动点P 在射线EF 上,BP 交CE 于D,∠CBP 的平分线交CE 于Q ,当CQ =13CE 时,EP +BP =________.【答案】12【解答】解:如图,延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点,∴EF //BC ,∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ,∴∠ABM =∠CBM ,∴∠EMB =∠EBM ,∴EB =EM ,∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ,∴EQ =2CQ由EF //BC 得,△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=【变式训练1】如图,平分于点C ,,求OC 的长?【解析】如图所示:过点D 作交OA 于点E ,则,平分,,中,,.【变式训练2C=90°,AD平分∠CAB,BE平分∠ABC,AD、BE相交于点F,且,则AC=.【解析】过点E于G,连接CF,如图所示:分别是,CF是的平分线,,,由勾股定理可得.模型四、利用角平分线作对称例.平分.【答案】见解析【解析】证明:在AB上截取,连接DE,如图所示:.【变式训练】AD是△ABC的角平分线,过点D作DE⊥AB于点E,且DE=3,S△ABC=20.(1)如图1,若AB=AC,求AC的长;(2)如图2,若AB=5,请直接写出AC的长.【答案】(1)203;(2)253【详解】解:(1)如图1,作DF⊥AC于F,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DF =DE =3, 由题意得,12×AB ×3+12×AC ×3=20,解得,AC =AB =203; (2)如图2,作DF ⊥AC 于F ,∵AD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,∴DF =DE =3, 由题意得,12×5×3+12×AC ×3=20,解得,AC =253. 模型五、内外模型例.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=30°,E 为BC 延长线上一点,∠ABC 与∠AC E 的平分线相交于点D ,则∠D 的度数为( )A .15°B .17.5°C .20°D .22.5°【答案】A4321DA【解析】∵∠ABC与∠AC E的平分线相交于点D,∴∠DCE=∠DCA,∠CBD=∠ABD,即.的外角的平分线CP与内角BP交于点P,若,则.【解析】平分平分又,过点P的延长线,垂足分别为点E、F、G,如图所示:由角平分线的性质可得,AP是.课后训练1.如图,BD是ABC的外角∠ABP的角平分线,DA=DC,DE⊥BP于点E,若AB=5,BC=3,则BE 的长为()A .2B .1.5C .1D .0【答案】C【详解】解:如图,过点D 作DF AB ⊥于F ,BD 是ABP ∠的角平分线,DF AB ⊥,DE ⊥BP ,DE DF ∴=,在Rt BDE 和Rt BDF 中,BD BDDE DF =⎧⎨=⎩,()Rt BDE Rt BDF HL ∴△≌△,BE BF ∴=,在Rt ADF 和Rt CDE △中,DA DCDE DF=⎧⎨=⎩,()Rt ADF Rt CDE HL ∴△≌△,AF CE ∴=,AF AB BF =-,CE BC BE =+,AB BF BC BE ∴-=+,2BE AB BC ∴=-,5AB =,3BC =,2532BE ∴=-=,解得:1BE =.故选:C .2.如图,AD 是ABC 中BAC ∠的平分线,DE AB ⊥交AB 于点E ,DF AC ⊥交AC 于点F ,若7ABC S =△,32=DE ,5AB =,则AC 的长为( )A .133B .4C .5D .6【答案】A【详解】∵AD 是ABC ∆中BAC ∠的平分线,DE AB ⊥于点E ,DF AC ⊥交AC 于点F ,∴32DF DE ==. 又∵ABCABD ACDSSS=+,5AB =,∴1313752222AC =⨯⨯+⨯⨯,∴133AC =.故选:A . 3.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,∠BAC 的平分线交BC 于点D ,CD =2,BD =3,Q 为AB 上一动点,则DQ 的最小值为( )A.1B.2C.2.5D【答案】B【详解】解:作DH⊥AB于H,如图,∵AD平分∠BAC,DH⊥AB,DC⊥AC,∴DH=DC=2,∵Q为AB上一动点,∴DQ的最小值为DH的长,即DQ的最小值为2.故选:B.4.如图,已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD 的面积是______.【答案】30【详解】过D作DE⊥AB,交BA的延长线于E,则∠E=∠C=90°,∵∠BCD=90°,BD平分∠ABC,∴DE=DC=4,∴四边形ABCD的面积S=S△BCD+S△BAD=12×BC×CD+12×AB×DE=12×9×4+12×6×4=30,故答案为:30.5.如图,在△ABC中,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,若AB=5,AC=3,DF=2,则△ABC的面积为______.【答案】8【详解】解:∵AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=2,∴△ABC的面积=12×5×2+12×3×2=8,故答案侍:8.6.在△ABC中,∠ABC=62°,∠ACB=50°,∠ACD是△ABC的外角∠ACD和∠ABC的平分线交于点E,则∠AEB=_____︒【答案】25【详解】解:如图示:过点E ,分别作EF BD ⊥交BD 于点E ,EG AC ⊥交AC 于点G ,EH AB ⊥,交AB 延长线于点H , ∵BE 平分ABC ∠,CE 平分ACD ∠,∴EH EF =,EG EF =,∴EH EG =,∴AE 平分HAC ∠, ∵62ABC ∠=︒,50∠=°ACB ,∴6250112HAC ABC ACB ∠=∠+∠=︒+︒=︒,∴111125622EAO HAC ∠=∠=⨯︒=︒, ∵BE 平分ABC ∠,62ABC ∠=︒∴11623122EBC ABC ∠=∠=⨯︒=︒ 在AOE △和BOC 中,OBC OCB OAE AEB ∠+∠=∠+∠∴31505625AEB OBC OCB OAE ∠=∠+∠-∠=︒+︒-︒=︒,故答案是:25. 7.如图,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,若BD =CD ,BE =CF .(1)求证:AD 平分∠BAC :(2)已知AC =18,BE =4,求AB 的长. 【答案】(1)见解析;(2)10AB =.【详解】(1)证明:DE AB ∵⊥,DF AC ⊥,90E DFC ∴∠=∠=︒,在Rt BED 和Rt CFD △中,BD CD BE CF =⎧⎨=⎩,∴Rt BED Rt CFD ≅()HL ,DE DF ∴=,DE AB ∵⊥,DF AC ⊥,AD ∴平分BAC ∠;(2)解:DE DF =,AD AD =,Rt ADE Rt ADF ∴≅()HL ,AE AF ∴=,AB AE BE AF BE AC CF BE =-=-=--,184410AB ∴=--=.8.如图1,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点A (-4,0),B (0,4),AD ⊥BC 交BC 于D 点,交y 轴正半轴于点E (0,t )(1)当t=1时,点C 的坐标为 ; (2)如图2,求∠ADO 的度数;(3)如图3,已知点P (0,3),若PQ ⊥PC ,PQ=PC ,求Q 的坐标(用含t 的式子表示). 【答案】(1)点C 坐标(1,0);(2)∠ADO =45°;(3)Q (-3,3-t ). 【详解】(1)如图1,当t =1时,点E (0,1), ∵AD ⊥BC , ∴∠EAO +∠BCO =90°, ∵∠CBO +∠BCO =90°,∴∠EAO =∠CBO ,在△AOE 和△BOC 中,∵90EAO CBOAO BO AOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠︒⎩=,∴△AOE ≌△BOC (ASA ),∴OE =OC =1,∴点C 坐标(1,0). 故答案为:(1,0);(2)如图2,过点O 作OM ⊥AD 于点M ,作ON ⊥BC 于点N ,∵△AOE ≌△BOC ,∴S △AOE =S △BOC ,且AE =BC , ∵OM ⊥AE ,ON ⊥BC ,∴OM =ON ,∴OD 平分∠ADC ;AD ⊥BC ,90ADC ∴∠=︒∴∠ADO =1452ADC ∠=︒;(3)如图3,过P 作GH ∥x 轴,过C 作CG ⊥GH 于G ,过Q 作QH ⊥GH 于H ,交x 轴于F ,∵P (0,3),C (t ,0),∴CG =FH =3,PG =OC =t , ∵∠QPC =90°,∴∠CPG +∠QPH =90°, ∵∠QPH +∠HQP =90°,∴∠CPG =∠HQP ,∵∠QHP=∠G=90°,PQ=PC,∴△PCG≌△QPH,∴CG=PH=3,PG=QH=t,∴Q(-3,3-t).。
★初中几何证明专题★1、角平分线:(1 )角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:(2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
条射线是一个角的角平分线)。
2、角平分线常见用法(或辅助线作法)3、角平分线比例定理AB如图6, AD为ABC的角平分线,则——AC几何证明角平分线模型(中级)【知识要点】①垂两边: 如图1,已知BP平分ABC,过点P 作PA AB,PC BC,贝y PA PC。
②截两边: 如图2,已知BP平分MBN,点A BM上,在BN上截取BC BA,贝y ABP也CBP。
③角平分线+平行线7等腰三角形:如图3, 已知BP平分ABC , PA/ /AC ,则AB AP ;BP如图4, 已知(1)④三线合一(利用角平分线+垂线7等腰三角形)如图5,已知AD平分BAC,且AD BC,贝y AB AC , BD CD。
证明两条线段相等);(作用:证明两角相等或一BD AB--- 或----CD BDACOCD【经典例题】已知如图,ABC 中,BC AC ,AD 平分 CAB ,若C 90,求证:AB AC CD ;如图,在Rt ABC 中, ACB 90,CD AB 于D ,AF 平分 CAB 交CD 于E ,交CB 于F , 且EG // AB 交CB 于G 。
试求:CF 与GB 的大小关系如何?已知如图, ABC 中,BC AC ,AD 平分 CAB ,若 C 108,求证:AB AC BD ;例4、如图:已知I 是 ABC 的内心,DI//AB 交BC 于点D ,EI//AC 交BC 于E 。
求证: 长等于BC 。
ABDE C例1、DIE 的周例5、如图:已知在 ABC 中, ABC 的平分线与 ACB 的外角平分线交于点 D , DE // BC ,交AB 于 点E ,交AC 于点F ,求证:EF例6、如图,已知 ABC 中 BAC 90 ,AB AC,CD 垂直于 ABC 的平分线BD 于D , BD 交AC 于E ,求证:BE 2CD 。
角平分线模型知识点什么是角平分线模型?角平分线模型是几何学中的一个重要概念,用于描述一个角被一条直线平分的情况。
角平分线模型在数学和物理学中有广泛的应用,特别是在三角函数的计算和几何图形的构建中起着重要的作用。
角平分线的性质角平分线有一些重要的性质,我们来逐一介绍:1.角平分线将一个角分为两个相等的角。
这意味着如果一条直线与一个角的两边相交,并且将这个角分为两个相等的角,那么这条直线就是这个角的平分线。
2.角平分线与角的两边相交于角的顶点。
也就是说,角平分线从角的顶点开始,穿过角的两边,并且与两边相交。
3.角平分线与角的两边垂直。
这意味着角平分线与角的两边形成的角是直角。
4.在三角形中,三条角的平分线的交点是三角形的内心。
内心是三角形内部到三条边的距离之和最小的点。
角平分线的应用角平分线模型在实际应用中有很多用途,下面我们列举几个常见的应用场景:1.三角函数的计算:角平分线可以帮助我们计算三角函数的值。
通过将一个角平分为两个相等的角,我们可以简化三角函数的计算,并且减少计算的复杂性。
2.几何图形的构建:在绘制几何图形时,角平分线模型可以帮助我们确定图形的对称性和角度的关系。
通过绘制角平分线,我们可以准确地构建各种形状的几何图形。
3.三角形的内心:角平分线的交点是三角形的内心,内心是三角形内部到三条边的距离之和最小的点。
在解决与三角形相关的问题时,内心的位置和性质都是非常重要的。
4.证明几何定理:在几何证明中,角平分线模型可以用于证明一些重要的几何定理。
通过利用角平分线的性质,我们可以简化证明过程,提高证明的效率。
总结角平分线模型是几何学中的一个重要概念,用于描述一个角被一条直线平分的情况。
角平分线具有许多重要的性质,包括将角分为两个相等的角、与角的两边相交于角的顶点、与角的两边垂直等。
角平分线模型在数学和物理学中有广泛的应用,特别是在三角函数的计算和几何图形的构建中起着重要的作用。
在实际应用中,角平分线模型可以帮助我们计算三角函数的值、构建几何图形、确定三角形的内心位置,以及证明几何定理。
角平分线定理角平分线定理是高中数学中的重要定理之一。
它描述了角平分线与三角形内部的关系。
在本文中,我们将简要介绍角平分线定理的定义、证明和应用。
角平分线定理是指:在一个三角形中,如果一条线段从一个顶点出发,将对角线平分成两条相等的线段,那么这条线段就是该角的平分线。
证明角平分线定理的一个常用方法是通过角的对等性。
我们可以假设在三角形ABC中,角BAD的平分线CE将角BAD平分成两个相等的角,即∠CAE≅∠EAD。
我们需要证明线段CE平分了角BAC。
首先,我们延长线段CE,使其与边BC相交于点F。
根据三角形内角和定理,可知∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°。
由于∠CAE≅∠EAD,所以∠CAF≅∠EAF。
将这个结论代入上述等式中得到∠CAF+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAF+∠BAC+∠BFA=180°。
通过对等性,我们还可以得出∠EAD≅∠EAF。
将这一事实代入上述等式得到∠EAD+∠BAC+∠BFA=180°变为∠EAD+∠BAC+∠BAD=180°。
由于∠BAC+∠BAD=180°(三角形内角和定理),可得∠EAD+∠BAD=∠EAD+∠BAC+∠BAD。
根据等式两边的角相等性,我们可以得出∠EAD=∠EAD+∠BAC,进一步得出∠BAC=0°。
这说明线段CE平分了角BAC,从而证明了角平分线定理。
角平分线定理的应用非常广泛。
在几何证明中,我们常常可以利用角平分线定理来证明一些关于三角形的性质。
例如,利用角平分线定理可以证明等腰三角形的底角相等,证明三角形内角平分线交于一点等。
此外,在解题中角平分线定理也经常被使用。
根据角平分线定理,我们可以推导出一些重要的性质,如外接角平分线定理和内接角平分线定理。
这些性质可以帮助我们解决各种与角平分线有关的问题,例如求证两条角平分线垂直相交、求证两条角平分线平行等。
总结一下,角平分线定理是一条非常重要的几何定理,它描述了角平分线与三角形内部的关系。
双角平分线模型模型讲解【结论1】如图所示,在△ABC中,BD,CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线,则∠BDC=90°+12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC= x,∠ACD=∠BCD = y.由△ABC的内角和为180°,得∠A+2x+2y=180°.①由△BDC的内角和为180°,得∠BDC+x+y=180°.②由②得x+y=180°-∠BDC.③把③代入①,得∠A+2(180°-∠BDC) =180°,即2∠BDC =180°+∠A,即∠BDC=90°+12∠A.【结论2】如图所示,△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D,则∠BDC = 90°−12∠A.【证明】设∠EBD=∠CBD = x,BCD=∠FCD = y.由△BCD的内角和为180°,得x+y+∠BDC=180°,①易得2x+2y=180°+∠A.②由①得x+y=180°-∠BDC.③把③代入②,得2(180°―∠BDC) =180°+∠A,即2∠BDC = 180°-∠A,即∠BDC = 90°−12∠A.【结论3】如图所示,△ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D,则∠D=12∠A.【证明】设∠ABD=∠DBC = x,∠ACD=∠ECD = y.由外角定理得2y=∠A+2x,①y=∠D+x.②把②代入①,得2(∠D+x)=∠A+2x,即∠D=12∠A.典型例题典例1如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,若∠BAC=80°,则∠BOC的度数是( ).A.130°B.120°C.100°D.90°典例2如图,BA1和CA1,分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的平分线,CA2是∠A1CD的平分线,BA3是∠A2BD的平分线,CA3是∠A2CD的平分线,……以此类推,若∠A=α,则A2020 =___________.典例3【问题】如图1,在△ABC中,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB.若∠A=80°,则∠BEC=________;若∠A=n°,则∠BEC=______.【探究】(1)如图2,在△ABC中,BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,若∠A=n°,则∠BEC=________;(2)如图3,O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点,试分析∠BOC和∠A有怎样的关系,并说明理由;(3)如图4,O是三角形ABC的外角∠DBC与∠BCE的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系? (只写结论,不需要证明)初露锋芒1.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,若∠A=60°,则∠BFC等于( ).A.121°B.120°C.119°D.118°2.如图,五边形ABCDE在∠BCD,∠EDC处的外角分别是∠FCD,∠GDC,CP,DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P.若∠A=160°,∠B=80°,∠E=90°,则∠CPD=_________.感受中考1.(2019黑龙江大庆中考真题)如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,CE是∠ACM的平分线,BE与CE相交于点E. 若∠A=60°,则∠BEC的度数为( ).A.15°B.30°C.45°D.60°参考答案典例1【答案】A【解析】∵BO,CO是△ABC的内角平分线,由“内内90°加一半”得,∠BOC=90°+12∠BAC,即∠BOC=90°+ 12×80°=130°.故选A.典例2【答案】(12)2020·α【解析】∵BA1为△ABC的内角平分线,CA1为△ABC的外角平分线,∴由“内外就一半”,得∠A1= 12∠A=12·α.同理,∠A2= 12∠A1=(12)2·α,∠A3= 12∠A2=(12)3·α,......∴∠A2020 = ( 12)2020·α.典例3【解析】【问题】130°;90°+ 12n°【探究】(1)由三角形内角和定理,得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- n°.∵BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB,∴∠EBC= 23∠ABC,∠ECB =23∠ACB,∴∠EBC+∠ECB= 23(∠ABC+∠ACB)=23×(180°- n°)=120°−23n°,∴∠BEC =180°- (∠EBC+∠ECB)=180°- (120°-23n°)= 60°+ 23n°.(2)∠BOC= 12∠A. 理由如下:由三角形的外角性质,得∠ACD=∠A+∠ABC,∠OCD=∠BOC+∠OBC.∵O是∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO的交点,∴∠ABC =2∠OBC, ∠ACD =2∠OCD,∴∠A+∠ABC=2 (∠BOC+∠OBC),∴∠A=2∠BOC,∴∠BOC = 12∠A.(3)∠BOC=90°−12∠A.初露锋芒1.【答案】B【解析】∵BE,CD均为△ABC的内角平分线,∴由“内内90°加一半”,得∠BFC=90°+12∠A = 90°+12×60°=120°.故选B.2.【答案】105°【解析】如图,延长BF,EG交于点H.在△CDH中,CP,DP分别平分∠HCD和∠HDC,∴由“内内90°加一半”,得∠CPD=90°+ 12∠H.又∠A+∠B+∠H+∠E =360°,∴∠H = 360°−160°−80°−90°= 30°,∴∠CPD = 90°+ 12×30°=105°.感受中考1.【答案】B【解析】∵BE为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,∴由“内外就一半”,得∠BEC= 12∠A=12×60°=30°.故选B.11。
专题05三角形中的角平分线模型【模型1】如图,已知OP 平分AOB ∠,过点P 作OA PD ⊥,OB PE ⊥;可根据角平分线性质证得ODP ∆≌OEP ∆,从而可得OPE OPD ∠=∠,PE PD OE OD ==;。
【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法【辅助线作法一】如图,已知OP 平分AOB ∠,点C 是OA 上的一点,通常情况下,在OB 上取一点D,使得OC OD =,连接PD,结合OP OP =,POD POC ∠=∠,可证得OPC ∆≌OPD ∆。
从而可得PD PC =,PDO PCO ∠=∠,DPO CPO ∠=∠。
【辅助线作法二】如图,已知OP 平分AOB ∠,OP CP ⊥,通常情况下,延长CP 交OB 于点D,结合OP OP =,POD POC ∠=∠,︒=∠=∠90OPD OPC ,可证得OPC ∆≌OPD ∆。
从而可得PD PC =,PDO PCO ∠=∠,OD OC =。
【辅助线作法三】如图,已知OP 平分AOB ∠,通常情况下,过点P 作PC//OB,根据平行线性质:两直线平行内错角相等;结合POD POC ∠=∠,从而可得PC OC =,CPO COP ∠=∠。
【例1】如图,OC 为∠AOB 的角平分线,点P 是OC 上的一点,PD ⊥OA 于D ,PE ⊥OB 于E ,F 为OC 上另一点,连接DF ,EF ,则下列结论:①OD =OE ;②DF =FE ;③∠DFO =∠EFO ;④S △DFP =S △EFP ,正确的个数为()A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】D 【分析】证明△ODP ≌△OEP (AAS ),由全等三角形的性质可推出OD =OE ,证明△DPF ≌△EPF (SAS ),由全等三角形的性质可推出DF =EF .∠DFP =∠EFP ,S △DFP =S △EFP ,则可得出答案.【解析】解:①∵OC 平分∠AOB ,∴∠DOP =∠EOP ,∵PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E ,∴∠ODP =∠OEP =90°,∵OP =OP ,∴△ODP ≌△OEP (AAS ),∴OD =OE .故①正确;②∵△ODP ≌△OEP ,∴PD =PE ,∠OPD =∠OPE ,∴∠DPF =∠EPF ,∵PF =PF ,∴△DPF ≌△EPF (SAS ),∴DF =EF .故②正确;③∵△DPF ≌△EPF ,∴∠DFO =∠EFO ,故③正确;④∵△DPF ≌△EPF ,∴S △DFP =S △EFP ,故④正确.故选:D .【例2】如图,已知OC 平分∠MON ,点A 、B 分别在射线OM ,ON 上,且OA =OB .求证:△AOC ≌△BOC.【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立.【解析】证明:∵OC 平分∠MON ,∴∠AOC =∠BOC ,在△AOC 和△BOC 中,OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AOC ≌△BOC (SAS ).【例3】请阅读以下材料,并完成相应的问题:角平分线分线段成比例定理:如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,则AB BD AC CD=,下面是这个定理的部分证明过程:证明:如图2,过C 作CE ∥DA ,交BA 的延长线于E .…任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分;(2)如图3,已知Rt △ABC 中,AB =3,BC =4,∠ABC =90°,AD 平分∠BAC ,求BD 的长.(请按照本题题干的定理进行解决)【答案】(1)见解析;(2).【分析】(1)如图2:过C 作CE ∥DA .交BA 的延长线于E ,利用平行线分线段成比例定理得到BD CD =BA EA,利用平行线的性质得∠2=∠ACE ,∠1=∠E ,由∠1=∠2得∠ACE =∠E ,所以AE =AC 即可证明结论;(2)先利用勾股定理计算出AC =5,再利用(1)中的结论得到AC AB =CD BD ,即53=CD BD ,则可计算出BD =32,然后利用勾股定理计算出AD =2,从而可得到△ABD 的周长.【解析】(1)解:如图2:过C 作CE ∥DA .交BA 的延长线于E ,∵CE //AD ,∴BD CD =BA EA,∠2=∠ACE ,∠1=∠E ,∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2,∴∠ACE =∠E ,∴AE =AC ,∴AB AC =BD CD;(2)∵AB =3,BC =4,∠ABC =90°,∴AC =5,∵AD 平分∠BAC ,∴AC AB =CD BD ,即53=4BD BD -,∴BD =32,∴AD∴△ABD 的周长=32+3+2=92+.一、单选题1.如图,ABC 中,5AB =,6BC =,10CA =,点D ,E 分别在BC ,CA 上,DE AB ∥,F 为DE 中点,AF 平分BAC ∠,则BD 的长为()A .32B .65C .85D .2【答案】B【分析】根据角平分线和平行可得EA EF =,从而可得2DE AE =,然后证明EDC ABC △△∽,利用相似三角形的性质即可求出AE ,DE ,进而求出CD ,最后进行计算求出BD 即可解答.【解析】解:∵F 为DE 中点,∴2ED EF =,∵AF 平分BAC ∠,∴EAF FAB ∠=∠,∵DE AB ∥,∴FAB AFE ∠=∠,∴EAF AFE ∠=∠,∴EA EF =,∴2DE AE =,设AE x =,则2DE x =,∵DE AB ∥,∴EDC B ∠=∠,∵C C ∠=∠,∴EDC ABC △△∽,∴ED EC DC AB AC BC==,∵5AB =,6BC =,10CA =,∴210510x x -=,∴2x =,∴24DE x ==,∴456CD =,∴245CD =,∴246655BD BC CD =-=-=.故选:B .2.如图,平行四边形ABCD 中,∠A 的平分线AE 交CD 于E ,若AB =5,BC =3,则EC 的长为()A .1B .2C .2.5D .4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得AB =CD =5,AD =BC =3,AB ∥CD ,然后根据平行线的性质可得∠EAB =∠AED ,然后根据角平分线的定义可得∠EAB =∠EAD ,从而得出∠EAD =∠AED ,根据等角对等边可得DA =DE =3,即可求出EC 的长.【解析】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,AB =5,BC =3,∴AB =CD =5,AD =BC =3,AB ∥CD∴∠EAB =∠AED∵AE 平分∠DAB∴∠EAB =∠EAD∴∠EAD =∠AED∴DA =DE =3∴EC =CD -DE =2故选B .3.如图,OP 平分MON ∠,PA ON ⊥于点A ,点Q 是射线OM 上的一个动点,则下列结论正确的是()A .PA PQ=B .PA PQ <C .PA PQ >D .PA PQ≤【答案】D 【分析】连接PQ ,当PQ ⊥OM 时,根据角平分线的性质得出PQ =PA ,利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论.【解析】解:连接PQ ,当PQ ⊥OM 时,∵OP 平分∠MON ,PQ ⊥OM ,PA ⊥ON ,∴PQ =PA ,此时点P 到OM 的距离PQ 最小,∴PA ≤PQ ,故选:D .4.如图,CD ,CE ,CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是()A.2AB BF=B.12ACE ACB∠=∠C.AE BE=D.CD BE⊥【答案】C【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.依此即可求解.【解析】解:∵CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,∴CD⊥AB,∠ACE=12∠ACB,AB=2BF,无法确定AE=BE.故选:C.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据题中条件,结合图形及角平分线的性质得到结论,与各选项进行比对,排除错误答案,选出正确的结果.【解析】解:∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAE,∵∠C=90°,DE⊥AB,∴∠C=∠E=90°,∵AD=AD,∴△DAC≌△DAE,∴∠CDA=∠EDA,∴①AD平分∠CDE正确;无法证明∠BDE =60°,∴③DE 平分∠ADB 错误;∵BE +AE =AB ,AE =AC ,∴BE +AC =AB ,∴④BE +AC =AB 正确;∵∠BDE =90°-∠B ,∠BAC =90°-∠B ,∴∠BDE =∠BAC ,∴②∠BAC =∠BDE 正确.综上,正确的个数的3个,故选:C .6.如图,∠BAC =30°,AD 平分∠BAC ,DF ⊥AB 交AB 于F ,DE ⊥DF 交AC 于E ,若AE =8,则DF 等于()A .5B .4C .3D .2【答案】B 【分析】过点D 作DG AC ⊥,根据角平分线的性质可得DF DG =,根据角平分线的定义,平行线的性质以及等腰三角形的判定,可得AE ED =,进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.【解析】如图,过点D 作DG AC ⊥ AD 平分∠BAC ,DF ⊥AB ,DG AC⊥∴DF DG =,CAD BAD∠=∠DE DF ⊥ ,DF ⊥AB ,AB DE∴∥BAD EDA∴∠=∠EAD EDA∴∠=∠EA ED∴=8AE = 8DE AE ∴== ∠BAC =30°,30DEG ∴∠=︒142DG DE ∴==4DF ∴=故选B二、填空题7.如图,已知AD 是△ABC 的角平分线,DE ∥AC 交AB 于点E ,请你添加一个条件________,使四边形AEDF 是菱形.【答案】DF ∥AB【分析】添加DF ∥AB ,根据DE ∥AC 交AB 于点E ,DF ∥AB 交AC 于点F ,可以判断四边形AEDF 是平行四边形,再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立.【解析】解:DF ∥AB ,理由如下:∵DE ∥AC 交AB 于点E ,DF ∥AB 交AC 于点F ,∴四边形AEDF 是平行四边形,∠EAD =∠ADF ,∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠EAD =∠FAD ,∴∠ADF =∠FAD ,∴FA =FD ,∴平行四边形AEDF 是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).8.如图,在平行四边形ABCD 中,DE 平分∠ADC ,AD =8,BE =3,则AB 的长为________.【答案】5【分析】首先由在平行四边形ABCD 中,AD =8,BE =3,求得CE 的长,然后由DE 平分∠ADC ,可证CD =CE =5,即可求解.【解析】∵在平行四边ABCD 中,AD =8,∴BC =AD =8,AD //BC ,∴CE =BC -BE =8-3=5,∠ADE =∠CED ,∴DE 平分∠ADC ,∴∠ADE =∠CDE ,∴∠CDE =∠CED ,∴CD =CE =5=AB ,故答案为:5.9.如图,在ABC 中,ACB ∠的平分线交AB 于点D ,DE AC ⊥于点E .F 为BC 上一点,若DF AD =,6ACD CDF S S -=△△,则AED 的面积为______.【答案】3【分析】在CA 上截取CG =CF ,连接DG .根据题意易证()CDG CDF SAS ≅ ,得出DG DF =,CDG CDF S S = .即可求出AD DG =,6ADG S = .最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出ADE S .【解析】如图,在CA 上截取CG =CF ,连接DG,∵CD 平分ACB ∠,∴ACD BCD ∠=∠.在CDG 和CDF 中,CG CF GCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()CDG CDF SAS ≅ ,∴DG DF =,CDG CDF S S = .∵6ACD CDF S S -=△△,∴6ACD CDG S S -= ,即6ADG S = .∵AD DF =,∴AD DG=.∴AE=EG,∴132ADE GDE ADGS S S===.故答案为:3.10.如图,AB=BE,∠DBC=12∠ABE,BD⊥AC,则下列结论正确的是:_____.(填序号)①BC平分∠DCE;②∠ABE+∠ECD=180°;③AC=2BE+CE;④AC=2CD﹣CE.【答案】①②④【分析】根据已知∠DBC=12∠ABE,BD⊥AC,想到构造一个等腰三角形,所以延长CD,以B为圆心,BC长为半径画弧,交CD的延长线于点F,则BF=BC,就得到∠FBC=2∠DBC,然后再证明△FAB≌△CBE,就可以判断出BC平分∠DCE,再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE,交CE的延长线于点G,从而证明△ABD≌△EBG,即可判断.【解析】解:延长CD,以B为圆心,BC长为半径画弧,交CD的延长线于点F,则BF=BC,过点B作BG⊥CE,交CE的延长线于点G,∵FB=BC,BD⊥AC,∴DF=DC,∠DBC=∠DBF=12∠FBC,∵∠DBC=12∠ABE,∴∠FBC=∠ABE,∴∠FBA=∠CBE,∵AB=AE,∴△FAB≌△CBE(SAS),∴∠F=∠BCE,∵BF=BC,∴∠F=∠BCD,∴∠BCD=∠BCE,∴BC平分∠DCE,故①正确;∵∠FBC+∠F+∠BCD=180°,∴∠ABE+∠BCE+∠BCD=180°,∴∠ABE+∠DCE=180°,故②正确;∵∠BDC=∠BGC=90°,BC=BC,∴△BDC≌△BGC(AAS),∴AD=GE,CD=CG,∵AC=AD+DC,∴AC=AD+CG=AD+GE+CE=2GE+CE,∵GE≠BE,∴AC≠2BE+CE,故③错误;∵AC=CF﹣AF,∴AC=2CD﹣CE,故④正确;故答案为:①②④.11.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点E,BE=2,则DE的长是___.【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD,根据平行线的性质得到∠ABD=∠BDE,等量代换得到∠DBE=∠BDE,得到DE=BE,于是得到结论.【解析】解:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE,∴∠DBE=∠BDE,∴DE=BE,∵BE=2,∴DE=2.故答案为:2.12.如图,△ABC中,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF,AD∥BC.以下结论:①∠ABC=∠ACB;②∠ADC+∠ABD=90°;③BD平分∠ADC;④2∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有____________.(填序号)【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD,根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC,∠CAD=∠ACB,求得∠ABC=∠ACB,故①正确;根据角平分线的定义得到∠ADC=90°12-∠ABC,求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确;根据全等三角形的性质得到AB=CB,与题目条件矛盾,故③错误,根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC,故④正确.【解析】解:∵AD平分∠EAC,∴∠EAD=∠CAD,∵AD∥BC,∴∠EAD=∠ABC,∠CAD=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB,故①正确;∵AD,CD分别平分∠EAC,∠ACF,∴可得∠ADC=90°12-∠ABC,∴∠ADC+12∠ABC=90°,∴∠ADC+∠ABD=90°,故②正确;∵∠ABD =∠DBC ,BD =BD ,∠ADB =∠BDC ,∴△ABD ≌△BCD (ASA ),∴AB =CB ,与题目条件矛盾,故③错误,∵∠DCF =∠DBC +∠BDC ,∠ACF =∠ABC +∠BAC ,∴2∠DCF =2∠DBC +2∠BDC ,2∠DCF =2∠DBC +∠BAC ,∴2∠BDC =∠BAC ,故④正确,故答案为:①②④.三、解答题13.如图,AC =BC ,∠1=∠2,求证:OD 平分∠AOB .【答案】见详解【分析】证明△ACO ≌△BCO 即可求证.【解析】证明:∵∠1=∠2,∠1+∠ACO =180°,∠2+∠BCO =180°,∴∠ACO =∠BCO ,∵AC =BC ,CO =CO ,∴△ACO ≌△BCO ,∴∠AOC =∠BOC ,∴OD 平分∠AOB .14.如图,在ABC 中,AE 平分BAC BE AE ∠⊥,于点E ,延长BE 交AC 于点D ,点F 是BC 的中点.若35AB AC ==,,求EF 的长.【答案】1【分析】根据角平分线的定义结合题意,即可利用“ASA”证明BAE DAE ≅ ,即得出3AD AB ==,BE DE =,从而可得出2CD =,点E 为BD 中点,从而可判定EF 为BCD △的中位线,进而可求出EF 的长.【解析】∵AE 平分BAC BE AE∠⊥,∴BAE DAE ∠=∠,90AEB AED ∠=∠=︒.又∵AE =AE ,∴BAE DAE ≅ (ASA),∴3AD AB ==,BE DE =,∴2CD AC AD =-=,点E 为BD 中点.∵F 是BC 的中点,∴EF 为BCD △的中位线,∴112EF CD ==.15.已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠A =100°,BD 是∠ABC 的平分线,BD =BE .求证:(1)△CED 是等腰三角形;(2)BD +AD =BC .【答案】(1)见解析;(2)见解析【分析】(1)由AB =AC ,∠A =100°求出∠ABC =∠C =40°,再由BD 是∠ABC 的平分线求出∠DBC =12∠ABC =20°,根据BD =BE 求出∠BED =∠BDE =80°,再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC =40°,则∠EDC =∠C ,从而证明ED =EC ,即△CED 是等腰三角形;(2)在BE 上截取BF =BA ,连结DF ,先证明△FBD ≌△ABD ,则FD =AD ,∠BFD =∠A =100°,可证明∠EFD =∠FED =80°,则AD =FD =ED =EC ,即可证明BD +AD =BE +EC =BC .【解析】(1)∵AB =AC ,∠A =100°,∴∠ABC =∠C =12×(180°-100°)=40°,∵BD 是∠ABC 的平分线,∴∠DBC =12∠ABC =20°,∵BD =BE ,∴∠BED =∠BDE =12×(180°-20°)=80°,∴∠EDC =∠BED -∠C =80°-40°=40°,∴∠EDC =∠C ,∴ED =EC ,∴△CED 是等腰三角形.(2)如图,在边BC 上取点F ,使BF BA =,在ABD △和FBD 中∵AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD FBD≌△△∴AD DF =,100BFD A ∠=∠=︒,∴18010080DFE ∠=︒-︒=︒,∴DFE DEF∠=∠∴DF DE=∴AD EC=∴BD AD BE EC BC +=+=.16.如图,AD 为△ABC的角平分线.(1)如图1,若CE ⊥AD 于点F ,交AB 于点E ,AB =8,AC =5.则BE =_______.(2)如图2,若∠C =2∠B ,点E 在AB 上,且AE =AC ,AB =a ,AC =b ,求CD 的长;(用含a 、b 的式子表示)(3)如图3,BG ⊥AD ,点G 在AD 的延长线上,连接CG ,若△ACG 的面积是7,求△ABC 的面积.【答案】(1)3;(2)CD =a -b ;(3)ABC S =14【分析】(1)利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ,得AE =AC =5,得出答案;(2)利用ASA 证明△ADE ≌△ADC ,得∠C =∠AED ,DC =DE ,再证明∠B =∠BDE ,得出BE =DE ,即可得到结论;(3)利用ASA 证明△AGB ≌△AGH ,得出BG =HG ,即可得出△ABC 的面积.【解析】(1)∵AD 是△ABC 的平分线,∴∠BAD =∠CAD ,∵CE ⊥AD ,∴∠CFA =∠EFA ,∵在△AEF 和△ACF 中EAF CAF AF AF AFE AFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩===,∴△AEF ≌△ACF (ASA ),∴AE =AC =5,∵AB =8,∴BE =AB −AC =8−5=3,故答案为:3;(2)∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD ,在△ADE 和△ADC 中AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC∴∠C =∠AED ,DC =DE又∵∠C =2∠B ,∠AED =∠B +∠BDE∴∠B =∠BDE∴DE =BE ,∴DC =DE =BE =AB -AE =AB -AC=a -b ;(3)如图,分别延长AC ,BG 交于点H ,∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD ,∵AG ⊥BH ,∴∠AGB =∠AGH =90°,∵在△AGB 和△AGH 中BAD CAD AG AG AGB AGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△AGB ≌△AGH ,∴BG =HG ,∴22BCH BCG HCG S S S == ,又∵2ABC BCH ACG CGH S S S S +=+ ()∴ABC S =14.17.已知:如图1,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,60B ∠=︒,AD ,CE 是角平分线,AD 与CE 相交于点F ,FM AB ⊥,FN BC ⊥,垂足分别为M ,N .【思考说理】(1)求证:FE FD =.【反思提升】(2)爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“90ACB ∠=︒”去掉,其他条件不变,观察发现(1)中结论(即FE FD =)仍成立.你认为小强的发现正确吗?如果不正确请举例说明,如果正确请仅就图2给出证明.【答案】(1)证明见详解;(2)正确,证明见详解;【分析】(1)由角平分线的性质、三角形内角和定理证()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠即可求解;(2)在AB 上截取CP =CD ,分别证()CDF CPF SAS ∆≅∆、()AFE AFP ASA ∆≅∆即可求证;【解析】证明:(1)∵AD 平分∠BAC ,CE 平分∠ACB ,∴点F 是ABC ∆的内心,∵FM AB ⊥,FN BC ⊥,∴FM FN =,∵90ACB ∠=︒,60ABC ∠=︒,∴30CAB ∠=︒∴15CAD ∠=︒∴75ADC ∠=︒∵45ACE ∠=︒∴75CEB ∠=︒∴ADC CEB∠=∠∴()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠∴FE FD=(2)如图,在AB 上截取CP =CD ,在CDF ∆和CPF ∆中,∵CD CP DCF PCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDF CPF SAS ∆≅∆∴FD FP =,∠CFD =∠CFP ,∵AD 平分∠BAC ,CE 平分∠ACB ,∴∠CAD =∠BAD ,∠ACE =∠BCE ,∵∠B =60°,∴∠ACB +∠BAC =120°,∴∠CAD +∠ACE =60°,∴∠AFC =120°,∵∠CFD =∠AFE =180°-∠AFC =60°,∵∠CFD =∠CFP ,∴∠AFP =∠CFP =∠CFD =∠AFE =60°,在AFE ∆和AFP ∆中,∵AFE AFP AF AF PAF EAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AFE AFP ASA ∆≅∆∴FP =EF∴FD =EF .18.如图,∠MAN 是一个钝角,AB 平分∠MAN ,点C 在射线AN 上,且AB =BC ,BD ⊥AC ,垂足为D.(1)求证:BAM BCA ∠=∠;(2)动点P ,Q 同时从A 点出发,其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动;动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动.已知AC =5,设动点P ,Q 的运动时间为t 秒.①如图②,当点P 在射线AM 上运动时,若点Q 在线段AC 上,且52ABP BQC S S =△△,求此时t 的值;②如图③,当点P 在直线AM 上运动时,点Q 在射线AN 上运动的过程中,是否存在某个时刻,使得 APB 与 BQC 全等?若存在,请求出t 的值;若不存在,请说出理由.【答案】(1)见解析(2)①2517t =;②存在,54t =或52t =【分析】(1)①先证Rt △BDA ≌Rt △BDC (HL ),推出∠BAC =∠BCA .再由角平分线的定义得∠BAM =∠BAC ,等量代换即可证明BAM BCA ∠=∠;(2)①作BH ⊥AM ,垂足为M .先证△AHB ≌△ADB (AAS ),推出BH =BD ,再由S △ABP =52S △BQC ,推出52AP CQ =,结合P ,Q 运动方向及速度即可求解;②分“点P 沿射线AM 方向运动,点Q 在线段AC 上”,以及“点P 沿射线AM 反向延长线方向运动,点Q 在线段AC 延长线上”两种情况讨论,利用三角形全等得出AP 与CQ 的关系即可求解.【解析】(1)证明:∵BD ⊥AC ,∴90BDA BDC ∠=∠=︒,在Rt △BDA 和Rt △BDC 中,BD BD AB CB=⎧⎨=⎩,∴Rt △BDA ≌Rt △BDC (HL ),∴∠BAC =∠BCA .∵AB 平分∠MAN ,∴∠BAM =∠BAC ,∴∠BAM =∠BCA .(2)解:①如下图所示,作BH ⊥AM ,垂足为M .∵BH ⊥AM ,BD ⊥AC ,∴∠AHB =∠ADB =90°,在△AHB 和△ADB 中,AHB ADB BAH BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,,,∴△AHB ≌△ADB (AAS ),∴BH =BD ,∵S △ABP =52S △BQC ,∴151222AP BH CQ BD =⨯ ,∴52AP CQ =,∴5(53)2t t =-,∴2517t =.②存在,理由如下:当点P 沿射线AM 方向运动,点Q 在线段AC上时,如下图所示,∵AB =BC ,又由(1)得∠BAM =∠BCA ,∴当AP =CQ 时,△APB ≌△CQB ,∴53t t =-,∴54t =;当点P 沿射线AM 反向延长线方向运动,点Q 在线段AC 延长线上时,如下图所示,由(1)得∠BAM=∠BCA,∴∠BAP=∠BCQ,又∵AB=BC,∴当AP=CQ时,△APB≌△CQB,∴35t t=-,∴52 t=.综上所述,当54t=或52t=时,△APB和△CQB全等.。
学案学科初中数学年级九年级班级教师王春艳课题中考几何——角平分线辅助线添加技巧上课时间学习目标复习角平分线的性质与意义,认识中考几何中常用的四大角平分线模型的添加技巧,并能运用中几何证明中去。
学习重点中考几何中常用的四大角平分线模型的添加技巧学习难点巧找突破口、秒杀中考角平分线类型题教学流程国学:老鹰是世界上寿命最长的鸟类,但在40岁时,它锋利的爪子开始老化,无法有效地捕抓猎物。
它的羽毛长得又浓又厚,飞翔十分吃力,昨日雄风不再。
于是不得不面临两种选择:一种是等死,另一种是必须经过持续5个月,自我“虐待”和“煎熬”的漫长“修炼”。
它费尽全力奋飞到一个绝高山顶,筑巢于悬崖之上,停留在那里,不得飞翔,从此开始过苦行僧般的生活。
5个月后,新的羽毛长出来了,一生一次“脱胎换骨”的工程便告结束。
老鹰又开始飞翔,无限广阔的大地,再次成为它的天堂。
重生后,寿命可再添30年!如果能象老鹰一样,给自己一片没有退路的悬崖,不找理由找方法,面临后无退路的境地,集中精力奋勇向前,从生活中争得属于自己的位置,给自己一个向生命高地冲锋的机会,才能站的更高、望的更远。
一、知识梳理在中考几何中,角平分线有着非常重要的技巧,借助于角平分线我们可以构造许多常见基本模型,比如全等三角形、等腰三角形等,从而使许多复杂的几何题找到突破口,下面我们便一起来学习一下它的神奇之处吧!模型一、角分线,截两边,造全等模型二、角分线,垂两边,成全等过角平分线上一点向角两边作垂线,利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
模型三、角分垂,等腰现延长垂线段:题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,构成等腰三角形。
NMAPBB NMAP模型四、角分平,等腰呈做平行线:以角分线上一点做角的另一边的平行线,构造等腰三角形有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。
或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。
全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位,角平分线常作为压轴题中的常考知识点,需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法,且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点,本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结,需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边(角平分线+外垂直)【模型解读与图示】条件:如图1,OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时,过点C 作CA OB ⊥.结论:CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1 图2常见模型1(直角三角形型)条件:如图2,在ABC ∆中,90C ∠=︒,AD 为CAB ∠的角平分线,过点D 作DE AB ⊥.结论:DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.(当ABC ∆是等腰直角三角形时,还有AB AC CD =+.)图3常见模型2(邻等对补型)条件:如图3,OC 是∠COB 的角平分线,AC =BC ,过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论:①180BOA ACB ∠+∠=︒;②AD BE =;③2OA OB AD =+.例1.(2022·北京·中考真题)如图,在ABC ∆中,AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____.【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ,由角平分线的性质推出1DF DE ==,再利用三角形面积公式求解即可.【详解】解:如图,作DF AC ⊥于点F ,∵AD 平分BAC ∠,DE AB ⊥,DF AC ⊥,∴1DF DE ==, ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=.故答案为:1. 【点睛】本题考查角平分线的性质,通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键. 例2.(2022·山东泰安·中考真题)如图,△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ,若∠BPC =40°,则∠CAP =( )A .40°B .45°C .50°D .60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数,再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定,得出∠CAP =∠FAP ,即可得出答案.【详解】解:延长BA ,作PN ⊥BD ,PF ⊥BA ,PM ⊥AC ,设∠PCD =x °,∵CP 平分∠ACD ,∴∠ACP =∠PCD =x °,PM =PN ,∵BP 平分∠ABC ,∴∠ABP =∠PBC ,PF =PN ,∴PF =PM ,∵∠BPC =40°,∴∠ABP =∠PBC =∠PCD ﹣∠BPC =(x ﹣40)°,∴∠BAC=∠ACD﹣∠ABC=2x°﹣(x°﹣40°)﹣(x°﹣40°)=80°,∴∠CAF=100°,在Rt△PFA和Rt△PMA中,{PA PA PM PF==,∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL),∴∠FAP=∠PAC=50°.故选C.【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识,根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解题的关键.八年级校联考期中)如图,ABC中,ACF∠A.①②B.①③C.②③④D.①②③④【答案】D【分析】过点P作PD AC⊥于D,根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论;证明()Rt Rt HLPAM PAD≌,()Rt Rt HLPCD PCN≌,得出APM APD∠=∠,CPD CPN∠=∠,进而得到2MPN APC∠=∠,再利用四边形内角和,即可判断②结论;根据角平分线的定义和三角形的外角性质,即可判断③结论;根据全等三角形的性质,即可判断④结论.【详解】解:①如图,过点P作PD AC⊥于D,BP 平分ABC ∠,PM BE ⊥,PN BF ⊥,PM PN ∴=, AP 平分EAC ∠,PM BE ⊥,PD AC ⊥,PM PD ∴=,PN PD ∴=,PN BF ⊥,PD AC ⊥,CP ∴平分ACF ∠,①结论正确;②PM BE ⊥,PD AC ⊥,PN BF ⊥,90PMA PDA PNB ∴∠=∠=∠=︒,在Rt PAM 和Rt PAD △中,PM PD PA PA =⎧⎨=⎩,()Rt Rt HL PAM PAD ∴≌,APM APD ∴∠=∠,同理可得,()Rt Rt HL PCD PCN ≌,CPD CPN ∴∠=∠,()22MPN APM APD CPD CPN APD CPD APC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠,360ABC PNB MPN PMA ∠+∠+∠+∠=︒,360180ABC MPN PNB PMA ∴∠+∠=︒−∠−∠=︒,2180ABC APC ∴∠+∠=︒,②结论正确;③AP 平分EAC ∠, 2CAE MAP ∴∠=∠,CAE ABC ACB ∠=∠+∠,MAP ABP APB ∠=∠+∠,()2ABC ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠, BP 平分ABC ∠,2ABC ABP ∴∠=∠,222ABP ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠,2ACB APB ∴∠=∠,③结论正确; ④由②可知,Rt Rt PAM PAD ∴≌,Rt Rt PCD PCN ≌,PAM PAD SS ∴=,PCD PCN S S =, PAC PAD PCD S S S =+,PAC PAM PCN S S S =+APM CPN APC S S S ∴+=△△△,④结论正确,∴正确的结论是①②③④,故选:D【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理,全等三角形的判定和性质,四边形内角和,三角形的外角性质,熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键. 例4.(2023秋·浙江·八年级专题练习)如图,四边形ABDC 中,90D ABD ∠=∠=︒,点O 为BD 的中点,且OA平分BAC ∠.(1)求证:OC 平分ACD ∠;(2)求证:OA OC ⊥;(3)求证:AB CD AC +=.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)过点O 作OE AC ⊥于E ,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等,可得OB OE =,从而求出OE OD =,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可;(2)利用HL ,证明Rt Rt ABO AEO ≌,根据全等三角形对应角相等,可得AOB AOE ∠=∠,同理可得COD COE ∠=∠,然后求出=90AOC ∠︒,再根据垂直的定义即可证明;(3)根据全等三角形对应边相等,可得AB AE =,CD CE =,然后根据线段之间的数量关系,即可得出结论.【详解】(1)证明:过点O 作OE AC ⊥于E ,∵90ABD Ð=°,OA 平分BAC ∠∴OB OE =,∵点O 为BD 的中点,∴OB OD =,∴OE OD =,又∵90D Ð=°,∴OC 平分ACD ∠;(2)证明:在Rt ABO △和Rt AEO △中,AO AO OB OE =⎧⎨=⎩,∴()Rt Rt HL ABO AEO △≌△,∴AOB AOE ∠=∠,在Rt CEO △和Rt CDO △中,CO CO OE OD =⎧⎨=⎩,∴()Rt Rt HL CEO CDO ≌,∴COD COE ∠=∠,∴1180902AOC AOE COE ∠=∠+∠=⨯︒=︒,∴OA OC ⊥;(3)证明:∵Rt Rt ABO AEO ≌,∴AB AE =,∵Rt Rt CEO CDO ≌,∴CD CE =,∵AE CE AC +=,∴AB CD AC +=.【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义,熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.例5.(2022·河北·九年级专题练习)已知OP平分∠AOB,∠DCE的顶点C在射线OP上,射线CD交射线OA于点F,射线CE交射线OB于点G.(1)如图1,若CD⊥OA,CE⊥OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120°,∠DCE=∠AOC,试判断线段CF与CG的数量关系,并说明理由.【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120°,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60°(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°,∴∠MCO=90°-60° =30°,∠NCO=90°-60° =30°,∴∠MCN=30°+30°=60°,∴∠MCN=∠DCE,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,∴∠MCF=∠NCG,在△MCF和△NCG中,CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG(ASA),∴CF=CG (全等三角形对应边相等).【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.模型2.角平分线垂中间(角平分线+内垂直)【模型解读与图示】条件:如图1,OC 为AOB ∠的角平分线,AB OC ⊥,结论:△AOC ≌△BOC ,OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
B
B
B
D
A
B
C
几何证明——角平分线模型(中级)
【知识要点】
1、角平分线:
(1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等); (2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
(作用:证明两角相等或一
条射线是一个角的角平分线)。
2、角平分线常见用法(或辅助线作法):
①垂两边:如图1,已知BP 平分ABC ∠,过点P 作PA AB ⊥,PC BC ⊥,则PA PC =。
②截两边:如图2,已知BP 平分MBN ∠,点A BM 上,在BN 上截取BC BA =,则ABP ∆≌CBP ∆。
③角平分线+平行线→等腰三角形:
如图3,已知BP 平分ABC ∠,//PA AC ,则AB AP =; 如图4,已知BP 平分ABC ∠,//EF PB ,则BE BF =。
(1) (2) (3) (4)
④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形):
如图5,已知AD 平分BAC ∠,且AD BC ⊥,则AB AC =,BD CD =。
(5)
3、角平分线比例定理
如图6,AD 为ABC ∆的角平分线,则
AB BD AC CD =或AB AC
BD CD
=。
(6)
【经典例题】
例1、已知如图,ABC ∆中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο
90=∠C ,求证:CD AC AB +=;
C
例2、如图,在ABC Rt ∆中,ο
90=∠ACB ,AB CD ⊥于D ,AF 平分CAB ∠交CD 于E ,交CB 于F ,
且AB EG //交CB 于G 。
试求:CF 与GB 的大小关系如何?
E C
A
B
D
F
G
例3、已知如图,ABC ∆中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο
108=∠C ,求证:BD AC AB +=;
例4、如图:已知I 是ABC ∆的内心,//DI AB 交BC 于点D ,//EI AC 交BC 于E 。
求证:DIE ∆的周长等于BC 。
A
B
C
I
D
E
例5、如图:已知在ABC ∆中,ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ,DE ∥BC ,交AB 于点E ,交AC 于点F ,求证:FC BE EF -=。
F
E
D
A
B
C
M
例6、如图,已知ABC ∆中CD AC AB BAC ,,90==∠ο
垂直于ABC ∠的平分线BD 于D ,BD 交AC 于E ,
求证:CD BE 2=。
E
D A
B
C
【提升训练】
1、如图,已知ABC ∆的周长是OC OB ,,21分别平分ABC ∠和ACB ∠,BC OD ⊥于D ,且3=OD ,求
ABC ∆的面积.
D
O
B C
A
2.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO
:S△BCO:S△CAO=.
3.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,
PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,那么PD等于.
4.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,求△EDF的面积.
5.已知如图在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠A的平分线交CD于F,BC于E,过点E作EH⊥AB 于H.求证:EC=CF=EH.
6.已知:如图,平行四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:四边形EFGH是矩形.
7.如图,等边△ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边且在CD 下方作等边△CDE ,连接BE .
(1)求证:△ACD ≌△BCE ;
(2)延长BE 至Q ,P 为BQ 上一点,连接CP 、CQ 使CP=CQ=5,若BC=8时,求PQ 的长.
8.如图,已知在△ABC 中,∠B=90°,两直角边AB=7,BC=24,在三角形内有一点P 到各边的距离都相等,则这个距离是多少?
9.已知:如图在△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC ,交BC 于D ,若BC=32,且BD :CD=9:7,求:D 到AB 边的距离.
10.如图,△ABC 中,点D 在BC 上,记△ABD 的面积为S 1,△ACD 的面积为S 2,若S 1:S 2=AB :AC ,则AD 是△ABC 的角平分线.请说明理由.
11、如图,已知在ABC ∆中,分别以BC AC ,为边向外作正BCE ∆、正ACD ∆,BD 与AE 交于M ,求证:(1)BD AE =。
(2)MC 平分DME ∠。
12、已知:如图,AP 、CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线,它们交于点P ,求证:BP 为
MBN ∠的平分线。
B
N
13、如图,DB DA DAC BAD AC AB =∠=∠=,,2,求证:AC DC ⊥。
B
14、如图,已知AC ∥BD 、EA 、EB 分别平分CAB ∠和CD DBA ,∆过点E ,求证:BD AC AB +=。
D
A
15、如图,ABC ∆中,AD 是A ∠的平分线,F E ,分别为AC AB ,上一点,且ο
180=∠+∠BAF EDF ,求证:DF DE =。
B
16、已知:AC 平分BAD ∠,AB CE ⊥,ο
180=∠+∠D B ,求证:BE AD AE +=。
D
17、已知,在ABC ∆中,BP 、CP 为角平分线,过P 点作BC EF //交AB 于E ,交AC 于F 。
求证:CF BE EF +=。
B
18、已知如图,AD 平分BAC ∠,BD AB AC +=,求证:C B ∠=∠2。
B
19、如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作AB CE ⊥于E ,并且)(2
1
AD AB AE +=,求证:︒=∠+∠180ADC ABC 。
A
20、已知ABC ∆中,AB AC =,GE 过A 且GE //BC ,B ∠的平分线与AC 和GE 分别交于D 、E ,C ∠ 的平分线与AB 和GE 分别交于F 、G 。
求证DE FG =。
21、如图,已知线段AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点F ,BE 平分ABC ∠,AD AE 2
1
=
,猜想线段AB 、
BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。
A
22、如图,已知ABC ∆中,CE 平分ACB ∠,且CE AE ⊥,︒=∠+∠180CAE AED ,求证:BC DE //。
B
23.如图所示,在四边形ABCD 中,∠A=90°,AD=4,连接BD ,BD ⊥CD ,∠ADB=∠C .若P 是BC 边上一动点,则DP 长的最小值为 .。