角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD ECD ACD EC AC∴△ACD ≌△ECD(SAS)∴AD ＝DE ， ∠A ＝∠1 ，∵∠A ＝2∠B ，∴∠1＝2∠B ，∵∠1＝∠B ＋∠EDB ， ∴∠B ＝∠EDB ，∴EBB ＝ED ， ∴EB ＝DA ＝8，BC ＝EC ＋BE ＝AC ＋DA ＝16＋8＝242. 在△ABC 中，AB ＝AC,∠A ＝108°,BD 平分∠ABC ，求证：BC ＝AB ＋CD证明：在BC 上截取BE ＝BA ，连结DE ，∵BD 平分∠ABC,BE ＝AB,BD ＝BD∴△ABD ≌△EBD(SAS)，∴∠DEB ＝∠A ＝108°，∴∠DEC ＝180°－108°＝72°∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC ＝72° ， ∴∠DEC ＝∠EDC ，∴CE ＝CD ，∴BE ＋CE ＝AB ＋CD ，∴BC ＝AB ＋CD3.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝100°,∠ABC ＝40°,BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE ＝AD ，求证：BC ＝AB ＋CE证明：在CB 上取点F ，使得BF ＝AB,连结DF ，∵BD 平分∠ABC ，BD ＝BD∴△ABD ≌△FBD ，∴DF ＝AD ＝DE,∠ADB ＝∠FDB ，∴BD 平分∠ABC∴∠ABD ＝20°,则∠ADB ＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF ＝180°－∠ADB －∠FDB ＝60°，∴∠CDF ＝∠CDE ，在△CDE 和△CDF 中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD CD CDE CDF DF DE∴△CDE ≌CDF ，∴CE ＝CF ，∴BC ＝BF ＋FC ＝AB ＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP 丄OP 于P 点，延长AP 交ON 于点.B,则△AOB 是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED. ∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB=-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD 平分∠ABC,CD 平分外角∠ACG. DE//BC 交AB 于点E,交AC 于点F ，线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD 、CD 为外角∠CBM 、∠BCN 的平分线，DE//BC 交AB 延长线于点E.交AC 延长线于点F,直接写出线段EF 与BE 、CF 有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED. 同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC. ∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC, ∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN. ∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4. ∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD 、BE 交于点F.∵AD ∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF. ∵AE 平分∠BAD ∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB,∴△DEF ≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。
