角平分线模型的构造

角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

N M OAB P 2图4321A CP B D AB C图1A B DC模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

热搜精练1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。

求线段BC 的长。

A B DCPP O N M B A 图2DP AB C D C 1图P B A ABCD2．已知，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=108°，BD 平分∠ABC 。

⾓平分线四⼤模型总结+习题+解析（最全版）⾓平分线四⼤辅助线模型⾓平分线的性质为证明线段或⾓相等开辟了新的途径，同时也是全等三⾓形知识的延续，⼜为后⾯⾓平分线的判定定理的学习奠定了基础．涉及到⾓平分线的考点主要是性质、判定以及四⼤辅助线模型，在初⼆上期中、期末考试中都是经常考察的⽅向。

⾓平分线性质：⾓平分线上的点到⾓两边的距离相等．⾓平分线判定：到⾓的两边距离相等的点在⾓的⾓平分线上．四⼤模型1、⾓平分线+平⾏线，等腰三⾓形必出现已知：OC平分∠AOB，CD∥OB交OA于D．则△ODC为等腰三⾓形，OD=CD．2、⾓平分线+两垂线，线等全等必出现已知：OC平分∠AOB．辅助线：过点C作CD⊥OA，CE⊥OB．则CD=CE，△ODC ≌△OEC．3、⾓平分线+⼀垂线，中点全等必出现已知：OC平分∠AOB，DC垂直OC于点C．辅助线：延长DC交OB于点E．则C是DE的中点，△ODC ≌△OEC．4、⾓平分线+截长补短线，对称全等必出现已知：OC平分∠AOB,截取OE=OD，连接CD、CE．则△ODC和△OCE关于OC对称，即△ODC ≌△OEC．【核⼼考点⼀】⾓平分线的性质与判定1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:163．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB ，另⼀把直尺压住射线OA 并且与第⼀把直尺交于点P ，⼩明说：“射线OP 就是BOA ∠的⾓平分线．”他这样做的依据是( )A ．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B ．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C ．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确6．（2019秋?梁平区期末）如图，若BD AE ⊥于B ，DC AF ⊥于C ，且DB DC =，40BAC ∠=?，130ADG ∠=?，则DGF ∠=．7．（2018春?开江县期末）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，以顶点A 为圆⼼，适当长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆⼼，⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，射线AP 交边BC 于点D ．下列说法错误的是( ) A ．CAD BAD ∠=∠B ．若2CD =，则点D 到AB 的距离为2C ．若30B ∠=?，则CDA CAB ∠=∠D ．2ABD ACD S S ??=8．（2014秋?西城区校级期中）如图，点E 是AOB ∠的平分线上⼀点，EC OA ⊥，ED OB ⊥，垂⾜分别是C ，D ．下列结论中正确的有( )（1）ED EC =；（2）OD OC =；（3）ECD EDC ∠=∠；（4）EO 平分DEC ∠；（5）OE CD ⊥；（6）直线OE 是线段CD 的垂直平分线．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个9．（2019春?杜尔伯特县期末）如图：在ABC ?中，90C ∠=?，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，F 在AC 上，BD DF =，证明：（1）CF EB =．（2）2AB AF EB =+．10．（2019秋?垦利区期中）如图，ABC⊥⊥且平分BC，DE AB中，AD平分BAC∠，DG BC于E，DF AC⊥于F．（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；（2）如果8AB=，6AC=，求AE、BE的长．11．（2017秋?遂宁期末）某地区要在区域S内（即COD∠内部）建⼀个超市M，如图所⽰，按照要求，超市M到两个新建的居民⼩区A，B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等．这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【核⼼考点⼆】⾓平分线+⾓两边垂线12．（2019秋?肥城市期末）如图，//AB CD ，BP 和CP 分别平分ABC ∠和DCB ∠，AD 过点P ，且与AB 垂直，垂⾜为A ，交CD 于D ，若8AD =，则点P 到BC 的距离是．13．（2015?湖州）如图，已知在ABC ?中，CD 是AB 边上的⾼线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE ?的⾯积等于( )A ．10B ．7C ．5D ．414．（2010秋?涵江区期末）如图所⽰，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BC AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，求证：AB AC CD =+．15．（2012秋?蓬江区校级期末）如图，已知90∠=∠=?，M是BC的中点，DM平分B C∠．求证：ADC（1）AM平分DAB∠；（2）DM AM⊥．16．（2016秋?西城区校级期中）已知：如图，12∠=∠，P为BN上的⼀点，PF BC⊥于F，=，PA PC（1）求证：180∠+∠=?；PCB BAP（2）线段BF、线段BC、线段AB之间有何数量关系？写出你的猜想及证明思路．【核⼼考点三】⾓平分线+垂线17．（2017秋?和平区校级⽉考）如图．在ABC ?中，BE 是⾓平分线，AD BE ⊥，垂⾜为D ，求证：21C ∠=∠+∠．18．（2013秋?昌平区期末）已知：如图，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥于点D ，DCB B ∠=∠，若10AC =，6AD=，求AB 的长．19．如图所⽰，ABC ?中，ACB ABC ∠>∠，AE 平分BAC ∠，CD AE ⊥于D ，求证：ACD B ∠>∠．20．已知：如图，在ABC ?中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21．（2019秋?下陆区期中）如图，BD 是ABC ∠的⾓平分线，AD BD ⊥，垂⾜为D ，20DAC ∠=?，38C ∠=?，则BAD ∠=．22．（2019秋?曲⾩市校级⽉考）如图，在ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，过C 作CE BD ⊥交BD 延长线于E ．求证：12CE BD =．23．（2019?沂源县⼀模）（1）如图（a）所⽰，BD、CE分别是ABC的外⾓平分线，过点A作AD BD⊥，AE CE⊥，垂⾜分别为D、E，连接DE，求证：1() 2DE AB BC AC=++；（2）如图（b）所⽰，BD、CE分别是ABC的内⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边有怎样的数量关系？并证明这个数量关系；（3）如图（c）所⽰，BD为ABC的内⾓平分线，CE为ABC的外⾓平分线，其他条件不变，DE与ABC三边⼜有怎样的数量关系？并证明这个数量关系．24．（2017秋?夏⾢县期中）如图，在ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线相交于F ，过F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，那么下列结论：①BDF ?、CEF ?都是等腰三⾓形；②DE DB CE =+；③AD DE AE AB AC ++=+；④BF CF =．正确的有．25．（2019秋?垦利区期末）如图，平⾏四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =；，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ，交CD 延长线于点F ，则DE DF +的长度为．26．（2010秋?海淀区期末）如图，BD 是ABC ?的⾓平分线，//DE BC ，DE 交AB 于E ，若AB BC =，则下列结论中错误的是( )A ．BD AC ⊥B ．A EDA ∠=∠C ．2AD BC =D ．BE ED =27．如图，若BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过D 作//DE AB 交BC 于E ，作//DF AC 交BC 于F ，求证：BC 的长等于DEF ?的周长．28．（2018秋?邳州市期中）如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC平分BAD >，∠，AB AD 下列结论正确的是()A．AB AD CB CD->-B．AB AD CB CD-=-C．AB AD CB CD-<-D．AB AD-与CB CD-的⼤⼩关系不确定29．（2012?⿇城市校级模拟）在ABC∠的外⾓平分线，P是AD上的任意中，AD是BAC⼀点，试⽐较PB PC+与AB AC+的⼤⼩，并说明理由．30．（2018秋?万州区期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ∠，CE AB⊥于=+．E，且180B D∠+∠=?，求证：AE AD BE31．（2017秋?海淀区期中）如图，已知AD是BAC∠=?，C=+，31的⾓平分线，AC AB BD 求B∠的度数．32．（2019秋?平⼭县期中）如图，90∠=?，OM平分AOB∠，将直⾓三⾓板的顶点PAOB在射线OM上移动，两直⾓边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．33．（2016秋?丰宁县期中）如图，在ABC ?中，100A ∠=?，40ABC ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD ⾄E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+．34．（2018秋?丰城市期中）在ABC ?中，2ACB B ∠=∠，（1）如图1，当90C ∠=?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，当90C ∠≠?，AD 为BAC ∠的⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需要证明；（3）如图3，当AD 为ABC ?的外⾓平分线时，线段AB 、AC 、CD ⼜有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．35．（2019春?利津县期末）如图，在ABC∠平分线，AD的垂直平分线分中，AD是BAC别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）EAD EDA∠=∠；（2）//DF AC；（3）EAC B∠=∠．36．（2014?西城区⼆模）在ABC>，AD平分BAC∠交BC于点∠为锐⾓，AB AC，BACD．（1）如图1，若ABC是等腰直⾓三⾓形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若60∠=?，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；ABE②如图3，若AC AB+，求BAC∠的度数．⾓平分线四⼤辅助线模型--解析⼀．⾓平分线的性质与判定（共11⼩题）1．（2016?张家界模拟）如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上⼀个动点，若3PA =，则PQ 的最⼩值为( )A B ．2C ．3D ．【分析】⾸先过点P 作PB OM ⊥于B ，由OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，根据⾓平分线的性质，即可求得PB 的值，⼜由垂线段最短，可求得PQ 的最⼩值．【解答】解：过点P 作PB OM ⊥于B ， OP 平分MON ∠，PA ON ⊥，3PA =，3PB PA ∴==，PQ ∴的最⼩值为3．故选：C ．2．（2016秋?抚宁县期末）如图，在ABC ?中，AD 是它的⾓平分线，8AB cm =，6AC cm =，则:(ABD ACD S S ??= )A ．3:4B ．4:3C ．16:9D ．9:16【分析】利⽤⾓平分线的性质，可得出ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼相等，估计三⾓形的⾯积公式，即可得出ABD ?与ACD ?的⾯积之⽐等于对应边之⽐．【解答】解：AD 是ABC ?的⾓平分线，∴设ABD ?的边AB 上的⾼与ACD ?的AC 上的⾼分别为1h ，2h ，12h h ∴=，ABD ∴?与ACD ?的⾯积之⽐:8:64:3AB AC ===，故选：B ．3．（2017春?崇仁县校级⽉考）如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥于点D ，如果3AC cm =，那么AE DE +等于( )A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【分析】根据⾓平分线的性质得到ED EC =，计算即可．【解答】解：BE 平分ABC ∠，DE AB ⊥，90ACB ∠=?， ED EC ∴=，3AE DE AE EC AC cm ∴+=+==，故选：B ．4．（2018春?⼤东区期中）如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，BD 是⾓平分线，若CD m =，2AB n =，则ABD ?的⾯积是( )A ．mnB ．5mnC ．7mnD ．6mn【分析】过点D 作DE AB ⊥于E ，根据⾓平分线上的点到⾓的两边距离相等可得DE CD =，然后根据三⾓形的⾯积公式即可得到结论．【解答】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于E ，BD 是ABC ∠的平分线，90C ∠=?，DE CD m ∴==，ABD ∴?的⾯积122n m mn =??=，故选：A．5．（2019秋?樊城区期末）⼩明同学在学习了全等三⾓形的相关知识后发现，只⽤两把完全相同的长⽅形直尺就可以作出⼀个⾓的平分线．如图：⼀把直尺压住射线OB，另⼀把直尺压住射线OA并且与第⼀把直尺交于点P，⼩明说：“射线OP就是BOA∠的⾓平分线．”他这样做的依据是()A．⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在⾓的平分线上B．⾓平分线上的点到这个⾓两边的距离相等C．三⾓形三条⾓平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【分析】过两把直尺的交点C作CE AO=，再根据⾓⊥，CF BO⊥，根据题意可得CE CF的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上可得OP平分AOB∠；【解答】解：（1）如图所⽰：过两把直尺的交点P作PE AO⊥，⊥，PF BO两把完全相同的长⽅形直尺，PE PF∴=，∠（⾓的内部到⾓的两边的距离相等的点在这个⾓的平分线上），OP∴平分AOB故选：A．。

专题08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。

结论：△BDE 是等腰三角形。

条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。

2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。

A ．20︒B ．25︒【答案】B 【分析】根据作图可知AB 是CAE ∠【详解】解：∵12l l ∥，∴BCA ∠∵130BCA ∠=︒，∴50CAE ∠=︒例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．【答案】5【详解】由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，∵3AE =∴3AF =∵2DF =∴5AD AF DF =+=【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF 、△OEB 、△OFC 、△OBC 、△ABC 共5个，EF =BE +FC ；（2）有，△EOB 、△FOC ，存在；（3）有，EF =BE -FC ．ABC EBO模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图32【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质得出A ．1:1:1B ．1:2:3【答案】D 【分析】过点O 作OD BC ⊥于点条角平分线，根据角平分线的性质，OA ，OB ，OC 是ABC 的三条角平分线，ABC 的三边AB 、BC 、AC 长分别为111():():(222AB OF BC OD AC =⨯⨯⨯⨯证明：过C 作AD 的平行线交AB 于点E ．∵//EC AD ∴BD CD AB AE =::，∠1=∠3，∠∵AD 为∠BAC 的外角平分线∴∠1=∠2∴AE=AC ∴BD CD AB AC=::例5.（2022秋·北京·八年级北京八十中校考期中）在（3）∵AD DE =，∴由（1）知：:1:1ABD EBD S S =，∵10BDE S ∆=，∴10ABD S =△，∵3,5AC AB ==，AD 平分BAC ∠，∴由（2）知：::5:3ABD ACD S S AB AC ==△△，∴6ACD S =，∴10616ABC S =+=△，故答案为：16．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．课后专项训练A．1B．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理可验证结论①；如图所示，在△≌△，根据全等三角形的性质可验证结论②；如图所示，连接BOE BOK(ASA)∵,AE BD 是ABC 的角平分线，∴∴在,AOD AOK △△中，AD AO ⎧⎪∠⎨⎪⎩∵,AE BD 是ABC 的角平分线，OF AC ⊥，OF n =，∴OC 平分ACB ∠，OF OG OH n ==，且AB AC BC ++=∵111222ABC AOC AOB S S S S AB OG AB OF BC OH =++++△△△△∴11(ABC S OF AB BC mn mn =++=≠，故结论③错误；∴12AOBS AO BM=△，BOES EO BM△，∴1212BOEAOBOESS OA=△△∴13BE OEAB OA==，同理，ADAB，如图所示，1BE OE A．1个B．2个【答案】C【分析】①根据角相等推出线段相等，再将线段进行转化，即可证明；AEB ∵BE 平分ABC ∠，∴EM ∵CE 平分ACD ∠，∴EN 设ACE DCE x ∠=∠=，则1802BAC z ∠=︒-，∠FCA．EC＝EF B．FE＝FC【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠是等腰三角形，而可得A ．AD 是BAC ∠的平分线C ．点D 在线段AB 的垂直平分线上【答案】D【分析】由作图可得：AD 30B ∠=︒，2,AB AC ∴=ACAC A BC5∠【答案】95【分析】根据角平分线的判定与性质可知【详解】解：过点D作DF1【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题关键．11．（2023秋·安徽滁州·八年级统考期末）（1）如图1，当AD 平分BAC ∠时，若5AB =，延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，如果AC 【答案】53/2139AD 是BAC ∠的角平分线，5AB =，3AC =，12.（2023.广东九年级期中）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE 时，EP +BP =________.【答案】12【解答】解：如图，延长BQ 交射线EF 于点M .E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF //BC ，∴∠CBM =∠EMBBM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠CBM ，∴∠EMB =∠EBM ，∴EB =EM ，∴EP +BP =EP +PM =EM CQ =13CE ，∴EQ =2CQ由EF //BC 得，△EMQ ∽△CBQ∴2 212 12EM EQEM BC EP BP BC CQ==∴==∴+=(1)求证：CDM V 是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)1.8【分析】（1）根据题意和图形，可以求得（2）根据勾股定理可以求得BC 的长，设∵BD 平分ABC ∠，BCD ∠=∠设CD x =，则CM x =，DF x =∴6BC BF ==，∴AF AB BF =-在Rt ADF 中222AD AF DF =+【答案】见解析【分析】根据直角三角形两锐角互余求得对等边求得CE CF =，从而求得【详解】证明：∵在ABC（2）如图2，若将（1）中“ABC 中，10AB AC ==”改为“若ABC 为不等边三角形，8AB =，10AC =”其余条件不变，则图中共有________个等腰三角形；EF 与BE 、CF 之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF △的周长．（3）已知：如图3，D 在ABC 外，AB AC >，且BD 平分ABC ∠，CD 平分ABC 的外角ACG ∠，过点D 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于E 、F 两点，则EF 与BE 、CF 之间又有何数量关系呢？写出结论并证明．【答案】（1）5，EF BE CF =+，20（2）2，EF BE CF =+，证明见详解，18（3）EF BE CF =-，证明见详解【分析】（1）根据角平分线的定义可得,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再根据平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”可知DB DC =,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可求出AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，根据“等角对等边”可知,,BE DE CF DF AE AF ===，即可确定等腰三角形的数量，EF 与BE 、CF 之间的数量关系以及AEF △的周长；（2）若ABC 为不等边三角形，根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，然后解答即可；（3）根据角平分线的定义可知,EBD CBD FCD GCD ∠=∠∠=∠，再结合平线性的性质“两直线平行，内错角相等”可知,EDB CBD FDC GCD ∠=∠∠=∠，即可推导,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，然后根据“等角对等边”即可证明,BE DE CF DF ==，即可证明EF 与BE 、CF 之间的数量关系．【详解】解：（1）∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∴DBC DCB ∠=∠，∴DB DC =，∵EF BC ∥，∴,AEF ABC AFE ACB ∠=∠∠=∠，,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴AEF AFE ∠=∠，,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，∴,,BE DE CF DF AE AF ===，∴等腰三角形有,,,,ABC AEF DEB DFC DBC ，共计5个，∴EF DE DF BE CF =+=+，即EF BE CF =+，∴AEF △的周长AE EF AF =++AE DE DF AF =+++AE BE CF AF =+++AB AC =+1010=+20=，故答案为：5，EF BE CF =+，20；（2）若ABC 为不等边三角形，∵BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠，∴,EBD CBD FCD BCD ∠=∠∠=∠，∵EF BC ∥，∴,EDB CBD FDC BCD ∠=∠∠=∠，∴,EBD EDB FDC FCD ∠=∠∠=∠，个，故答案为：，最后依据三角形内角和求解即可．小明的解法如下：过点D 作DE AB ⊥于点∵AD 是BAC ∠的角平分线，且DE AB ⊥∴，1212ABD ADCAB DES AB S AC AC DF ⨯==⨯△△，的延长线交于点于【答案】(1)DE DF =(2)见解析(3)20(4)67【分析】(1)根据角的平分线性质定理解答即可．(2)过点D 作DN AB ⊥于N ，过点D 作DM AC ⊥于M AP BD ⊥于点P ．仿照第一问的解答求解即可．(3)过点D 作DN AB ⊥于N ，证明ADC ADN ≌，直接利用证明的结论，列式计算即可．(4)先算2210AC AB BC =+=，后两次运用证明的结论，依次计算即可．AC ⊥，∵AD 是NAM ∠的角平分线，∴DM DN =．∴1212ABD ADCAB DNS AB SAC AC DM ⨯==⨯，1212ABD ADCBD S S CD ⨯=⨯（3）∵Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠∵DC DN AD AD =⎧⎨=⎩，∴ADC ADN ≌，∴∴12820AB AN BN =+=+=，故答案为：（4）解：∵90ABC ∠=︒，6AB =∵将ABC 先沿BAC ∠的平分线AD ∴6AB AE ==，BAD EAD ∠=∠∴4EC =，由（1）可得AB BD AC DC =∴13462DECS =⨯⨯=，同理可求：∴318677DEFS=⨯=，∴6FCGS =(1)请你按照以上证明思路，结合图①完成剩余的证明；(2)如图②，ABC ，①画出BAC ∠的平分线（不写画法，保留作图痕迹，使用②若BAC ∠的平分线交BC 于D ，求证：AB BDAC CD=；(3)如图③，E 是平行四边形延长，交AD 的延长线于点F ，连接,AE CF ，若ADE V 的面积为2，则CEF △②证明：如图，过点D 作DE ⊥∵AD 是BAC ∠的平分线，∴DE ∴1212ABD ACDAB DE S AB SAC AC DF ⋅==⋅，由共高定理，得：∴,EDF ECB EFD ∠=∠∠又∵AD BC =，∴DF AD ∴,DEF DEFS S =S ∴AC CD。

专题16 角平分线四大模型(解析版)角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

在几何学中，角平分线是一种重要且常见的构造，它具有许多有用的性质和应用。

本专题将介绍角平分线的四大模型，并对其进行解析。

1. 模型一：角内角平分线模型角内角平分线是指从一个角的内部点出发，将该角分成两个相等的内角的线段。

这种模型在解决一些与角相关的问题时非常有用。

例如，考虑一个三角形ABC，D点在角BAC的内部，且BD与CD分别是角BAC的内角平分线，我们可以推导出：∠BDC = 1/2 * ∠BAC。

这个模型在证明角内角平分线性质时发挥了关键作用。

2. 模型二：角外角平分线模型角外角平分线是指从一个角的外部点出发，将该角的外角分成两个相等的外角的线段。

这种模型在解决一些与外角相关的问题时也非常有用。

以正五边形ABCDE为例，点F在边AB延长线上，且∠BCD为角ACD的外角，则可以得出：∠BCD = 1/2 * ∠ACD。

这个模型在讨论外接角平分线性质时起到了重要作用。

3. 模型三：角平分线的垂直性模型角平分线的垂直性模型是指在一个三角形中，三条角平分线相交于一个点，且该点与三个三角形的顶点连线垂直。

以三角形ABC为例，如果AD、BE、CF为三个角平分线，且它们交于点O，则有AO ⊥BC，BO ⊥ AC，CO ⊥ AB。

这个模型在解决垂直关系问题时具有重要的应用价值。

4. 模型四：角平分线的外角关系模型角平分线的外角关系模型是指一个三角形的三个外角等于一个直角的两倍。

以三角形ABC为例，∠BAC的外角是∠ACD，∠ABC的外角是∠BCE，∠BCA的外角是∠CAD，则∠ACD + ∠BCE + ∠CAD = 2 * 90°。

这个模型在研究外角关系时起到重要的辅助作用。

综上所述，角平分线四大模型提供了解决各种与角有关问题的有力工具。

这些模型不仅在几何学中具有广泛的应用，而且在其他科学领域中也有其独特的价值。

角平分线四大模型模型一：这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。

如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。

容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。

注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。

甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。

例题1：AF 是△ABC 的角平分线。

P 是AF 上任意一点。

过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。

证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。

拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是__2√2__E模型二：这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。

这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。

这个模型还可以得到P 是AB 中点。

注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。

并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。

如图中的PB 。

例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。

求证：DH=1/2（AB-AC ）提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。

模型三：这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。

容易证得△APO ≌△BPO 。

注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。

添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截取OB ，使得AP=BP 。

从而构造出一个轴对称。

这样的模型一般会出现在截长补短里。

BBN例题1：在△ABC 中，∠C=2∠B ，AD 是△ABC 的角平分线，则AC ，CD ，AB 三条线段之间的数量关系为_AC+CD=AB __ 模型四：这个模型是在角平分线上任意找一个点P 。

角平分线模型构造三角形全等
一、作垂线构造AAS型全等
1、如图，在四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，O为BD 的中点，且AO平分∠BAC.
求证∶（1）CO平分∠ACD；（2）0A⊥OC；（3）AB＋CD=AC.
2、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD⊥AB于点E，∠B+∠ADC=180°.
求证：（1）BC=CD；（2）AB+AD=2AE.
3、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，∠EAF=∠BAE.求证：AF=BC+FC.
二、截长补短构造SAS型全等
4、如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE=AD，连接EC，求证：AB+CE=BC.
5、如图，AD∥BC，E是CD上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=AD+BC.
三、角平分线+垂线——延长法构造ASA型全等
6、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，探究∠ACE，∠B和∠ECD之间的数量关系.
7、如图，在△ABC中，AB<BC，BP平分∠ABC，AP⊥BP，连接PC，若△ABC的面积为4，求△BPC的面积.
8、如图，在△AOB中，AO=BO，∠AOB=90°，BD平分∠ABO，AE⊥BD交BD延长线于点E，求证：BD=2AE.。

N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

专题07 角平分线的重要模型（一）全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段等）【模型解读与图示】已知如图1，OP为AOB∠的角平分线、PM不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB上截取ON OM=，连结PN即可.即有OMP∆≌ONP∆，利用相关结论解决问题.图1 图21．（2022·湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，△ACB＝2△B，如图①，当△C＝90°，AD为△BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．（1）如图②，当△C≠90°，AD为△BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．【答案】（1）AB AC CD=+；证明见解析；（2）AB AC CD+=；证明见解析．【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE△△ADC（SAS），则可得△AED＝△C，ED＝CD，又由△AED＝△ACB，△ACB＝2△B，所以△AED＝2△B，即△B＝△BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD△△CAD，可得ED＝CD，△AED＝△ACD，又由△ACBAB∥CD⇒AB+CD=BCFDEBAC＝2△B ，易证DE ＝EB ，则可求得AC ＋AB ＝CD ．【详解】（1）猜想：AB AC CD =+． 证明：如图②，在AB 上截取AE AC =，连结DE ，△AD 为ABC 的角平分线时，△BAD CAD ∠=∠，△AD AD =，△()SAS ADE ADC ≌△△， △AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠．△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE DE AC CD =+=+．（2）猜想：AB AC CD +=．证明：在BA 的延长线上截取AE AC =，连结ED ．△AD 平分FAC ∠，△EAD CAD ∠=∠．在EAD 与CAD 中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD =，△EAD CAD ≌△△． △ED CD =，AED ACD ∠=∠．△FED ACB ∠=∠．又2ACB B ∠=∠，FED B EDB ∠=∠+∠，EDB B ∠=∠．△EB ED =．△EA AB EB ED CD +===．△AC AB CD +=．【点睛】此题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2022·山东烟台·九年级期末）已知在ABC 中，满足2ACB B ∠=∠，(1)【问题解决】如图1，当90C ∠=︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，求证：AB AC CD =+．(2)【问题拓展】如图2，当90C ∠≠︒，AD 为BAC ∠的角平分线时，在AB 上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请你证明：若不成立，请说明理由．(3)【猜想证明】如图3，当AD 为ABC 的外角平分线时，在BA 的延长线上取一点E 使得AE AC =，连接DE ，线段AB 、AC 、CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】(1)证明见解析(2)成立，证明见解析(3)猜想AB AC CD +=，证明见解析【分析】（1）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得45B BDE ∠=∠=︒，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（2）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED C ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证；（3）先根据SAS 定理证出AED ACD ≅，根据全等三角形的性质可得ED CD =，AED ACD ∠=∠，从而可得FED ACB ∠=∠，再根据三角形的外角性质可得B BDE ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得EB ED =，从而可得EB CD =，最后根据线段和差、等量代换即可得证．证明：△AD 为BAC ∠的角平分线，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△ED CD =，AED ACD ∠=∠，又△90ACB ∠=︒，2ACB B ∠=∠，△45B ∠=︒，90AED ∠=︒，△45AED BDE B ∠=∠=∠-︒，△B BDE ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：△AD 为BAC ∠的角平分线时，△EAD CAD ∠=∠，在AED 与ACD △中，AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS ≅，△AED C ∠=∠，ED CD =，△2ACB B ∠=∠，△2AED B ∠=∠，又△AED B EDB ∠=∠+∠，△B EDB ∠=∠，△EB ED =，△EB CD =，△AB AE EB AC CD =+=+．解：猜想AB AC CD+=，证明如下：△AD平分EAC∠，△EAD CAD∠=∠，在AED与ACD△中,AE ACEAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()AED ACD SAS≅，△ED CD=，AED ACD∠=∠，如图，△180180AED ACD︒-∠=︒-∠，即FED ACB∠=∠，△2ACB B∠=∠，△2FED B∠=∠，又△FED B EDB∠=∠+∠，△EDB B∠=∠，△EB ED=，△AB AE EB ED CD+===，△AB AC CD+=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．3．（2022·浙江·九年级期中）（1）如图1，在△ABC中，△ACB＝2△B，△C＝90°，AD为△BAC的平分线交BC 于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE）（2）如图2，当△C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明．（3）如图3，当△ACB≠90°，△ACB＝2△B ，AD为△ABC的外角△CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）AB＝AC＋CD；（3）AB＝CD﹣AC【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到△1=△2．推出△ACD△△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到△AED=△C=90，CD=ED，根据已知条件得到△B=45°．求得△EDB=△B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论；（2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD△△AED，所以△B=△AED，BD=DE，又因为△B=2△C，所以△AED=2△C，因为△AED是△EDC的外角，所以△EDC=△C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC；（3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD△△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论．【详解】（1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC△AD为△BAC的平分线△△BAD=△CAD．在△ACD和△AED中，AE AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ACD △△AED （SAS ）．△△AED =△C =90°，CD =ED ，又△△ACB =2△B ，△C =90°，△△B =45°． △△EDB =△B =45°．△DE =BE ， △CD =BE ．△AB =AE ＋BE ， △AB =AC ＋CD ．（2）证明：在AB 取一点E 使AC=AE ，在△ACD 和△AED 中，AC AE BAD EAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠⎨⎪⎩, △△ACD△△AED ，△△C=△AED ，CD=DE ，又△△C=2△B ，△△AED=2△B ，△△AED 是△EDC 的外角，△△EDB=△B ，△ED=EB ，△CD=EB ，△AB=AC+CD ；（3）猜想：AB =CD ﹣AC证明：在BA 的延长线上取一点E ，使得AE =AC ，连接DE ，在△ACD和△AED中，AC AECAD EADAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD△△AED（SAS），△△ACD=△AED，CD=DE，△△ACB=△FED，又△△ACB=2△B△△FED=2△B，又△△FED=△B＋△EDB，△△EDB=△B，△DE=BE，△BE=CD，△AB=BE-AE△AB=CD﹣AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 4．（2022·北京九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．（1）如图（1），若AC平分BAE∠，90ACE∠=︒，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC平分BAE∠，EC平分AED∠，若120ACE∠=︒，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】（1）AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF＝AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC＝FC，∠ACB＝∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF＝ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF＝CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG＝CG＝12BD，从而可证得结论．【详解】解：（1）如图（1），在AE上取一点F，使AF＝AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC＝∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB AFBAC FACAC AC⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB≌△ACF（SAS）．∴BC＝FC，∠ACB＝∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC＝CD．∴CF＝CD．∵∠ACE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝90°，∠ACF＋∠ECF＝90°．∴∠ECF＝∠ECD．在△CEF和△CED中，CF CDECF ECDCE CE⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△CEF≌△CED（SAS）．∴EF＝ED．∵AE＝AF＋EF，∴AE＝AB＋DE．故答案为：AE＝AB＋DE；（2）AE＝AB＋DE＋12BD．证明：如图（2），在AE上取点F，使AF＝AB，连结CF，在AE上取点G，使EG＝ED，连结CG．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ． 在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG ∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ．∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ，∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．模型2.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.图1 图2 图3邻等对补模型：已知如图2，AP 是∠CAB 的角平分线，EP =DP辅助线：过点P 作PG ⊥AC 、PF ⊥AB结论：①︒=∠+∠180EPD BAC （D P E A 、、、四点共圆）；②EG DF =；③DF AE AD 2+= 1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____． D B【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，△AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，△1DF DE ==， △1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC ＝∠ACD ﹣∠ABC ＝2x °﹣（x °﹣40°）﹣（x °﹣40°）＝80°，∴∠CAF ＝100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，{PA PAPM PF ==，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP ＝∠PAC ＝50°．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM ＝PN ＝PF 是解题的关键．3．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在ABCD 中，BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，交AC 于点E G 、．(1)求证：,BE DG BE DG =∥；(2)过点E 作EF AB ⊥，垂足为F ．若ABCD 的周长为56，6EF =，求ABC ∆的面积． 【答案】(1)见详解(2)84【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA ∆≅∆即可求证；（2）作EQ BC ⊥，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；（1）证明：在ABCD 中，△//AB CD ，△BAE DCG ∠=∠，△BE 、DG 分别平分ABC ADC ∠∠、，ABC ADC ∠=∠，△ABE CDG ∠=∠，在ABE ∆和CDG ∆中，△ABCD的周长为AB BC+=BE平分∠EQ EF=ABCS S∆∆=4．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分△AOB，△DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA 于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD△OA，CE△OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若△AOB=120°，△DCE=△AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF =CG ；（2）CF =CG ，见解析【分析】（1）结论CF =CG ，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF =CG ，作CM △OA 于M ，CN △OB 于N ，证明△CMF △△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF =CG ；证明：△OP 平分△AOB ，CF △OA ，CG △OB ，△CF =CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF =CG ．理由如下：如图，过点C 作CM △OA ，CN △OB ，△OP 平分△AOB ，CM △OA ，CN △OB ，△AOB =120°，△CM =CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），△△AOC =△BOC =60°（角平分线的性质），△△DCE =△AOC ，△△AOC =△BOC =△DCE =60°，△△MCO =90°-60° =30°，△NCO =90°-60° =30°，△△MCN =30°+30°=60°，△△MCN =△DCE ，△△MCF =△MCN -△DCN ，△NCG =△DCE -△DCN ，△△MCF =△NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△MCF △△NCG （ASA ），△CF =CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型3.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】已知如图1，OP 为AOB ∠的角平分线，PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可。

角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。

练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。

一、常见模型 1. 角度计算：（1）角平分线＋高线：如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ， 则∠DAE ＝12B C ∠-∠ （2）角平分线的夹角模型（内心和旁心）： 如图①，点I 是△ABC 的内心，则∠I ＝90°＋12A ∠；如图②，点P 是△ABC 的一个旁心，则∠P ＝12A ∠；如图③，点Q 是△ABC 的一个旁心，则∠Q ＝90°－12A ∠.2. 角平分线＋平行线→等腰三角形3.角平分线＋高线（中线）：构造等腰三角形4.角平分线＋对角互补四边形： 如图，∠A ＋∠C ＝180°，BD 是∠ABC 的平分线，则AD ＝C D ．5.双角平分线＋梯形：如图，AD ∥BC ,AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，则 ①DE ＝CE ；②AB ＝AD ＋BC ；③AE ⊥BE .构造轴对称图形．．．．．．．截长补短 补形法（构造法） ：作另一边垂线ABC 中AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，若 B ＝40°，∠C ＝70°，求∠DAE.3.如图，△ABC的外角平分线AP，CP交于点P.（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若∠B＝50°，求∠APC；（3）若∠ACE＝110°，求∠AP B.6. 条件同上题，猜测∠A，∠C，∠P的关系，并证明.2. 【面积问题】1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，若AB＝14cm，AC＝10cm，DE＝3cm，求△ABC的面积.2.如图，点I是△ABC的内心，ID⊥BC于点D，△ABC 周长为18cm,ID＝3cm，求△ABC的面积.3.【角平分线＋平行线→等腰三角形】1. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F.若EF＝6,BE＝4,则CF＝.4. 5.2.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点I，过点I作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N.若AB＝14cm,AC＝10cm,求△AMN的周长.3. 已知：如图所示△ABC，∠ACB＝90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上.4.【角平分线＋角平分线的垂线】补形法2. 如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CE平分∠ACB交AB于点D，BE垂直CE于E.求证：CD＝2BE.5.【角平分线＋一边的垂线】1. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠AB C.求证：①DE＝CE；②AB＝AD＋BC；③AE⊥BE.B 1.2．如图，BD是∠ABC的平分线，BC＞AB,AD＝C D.若DE⊥BC于点E，求证：2BE＝BA＋B C.6.【截长补短】1．如图，BD是∠ABC的平分线，BC＞A B.（1）若∠A＋∠C＝180°，求证：AD＝CD；（2）若AD＝CD，求证：∠A＋∠C＝180°．2. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠AB C.求证：①DE＝CE；②AB＝AD＋BC；③AE⊥BE.3. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．（1）求∠AOC；（2）求证：OD＝OE；（3）求证：AC＝AE＋C D．。

专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。

结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。

初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。

不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。

实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。

能做到这三点，就能在解题时得心应手。

【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。

角平分线四大模型模型1 角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE.∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2.（2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ，求证：∠BAD＋∠BCD＝180°证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP，PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80°∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50°模型2 截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB≌△OPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PC＞AB+AC证明：在BA的延长线上取点E,使AE＝AB,连接PE，∵AD平分∠CAE∴∠CAD＝∠EAD，在△AEP与△ACP中，∵AE＝AB，∠CAD＝∠EAD,AP＝AP，∴△AEP≌△ACP （SAS），∴PE＝PC∵在△PBE中：PB+PE＞BE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－PB与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在△ABC中, 在AC上取一点E,使AE=AB ，∴AC-AE=AB-AC=BE ∵AD平分∠BAC ，∴∠EAP=∠BAP ，在△AEP和△ACP中∴△AEP≌△ABP (SAS) ，∴PE=PB ，∵在△CPE中CE>CP-PE ，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△ABC中，∠A＝2∠B,CD是∠ACB的平分线，AC＝16,AD＝8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE＝AC，连结DE，在△ACD和△ECD中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDECDACDECAC∴△ACD≌△ECD(SAS)∴AD＝DE ，∠A＝∠1 ，∵∠A＝2∠B，∴∠1＝2∠B，∵∠1＝∠B＋∠EDB ，∴∠B＝∠EDB，∴EBB＝ED ，∴EB＝DA＝8，BC＝EC＋BE＝AC＋DA＝16＋8＝242.在△ABC中，AB＝AC,∠A＝108°,BD平分∠ABC，求证：BC＝AB＋CD证明：在BC上截取BE＝BA，连结DE，∵BD平分∠ABC,BE＝AB,BD＝BD∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°＝72°∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝12(180°－108°)＝36°，∴∠EDC＝72°，∴∠DEC＝∠EDC，∴CE＝CD ，∴BE＋CE＝AB＋CD，∴BC＝AB＋CD3.如图所示，在△ABC中，∠A＝100°,∠ABC＝40°,BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE ＝AD，求证：BC＝AB＋CE证明：在CB上取点F，使得BF＝AB,连结DF，∵BD平分∠ABC，BD＝BD∴△ABD≌△FBD，∴DF＝AD＝DE,∠ADB＝∠FDB，∴BD平分∠ABC∴∠ABD＝20°,则∠ADB＝180°－20°－100°＝60°＝∠CDE∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△CDE和△CDF中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CDCDCDECDFDFDE∴△CDE≌CDF，∴CE＝CF，∴BC＝BF＋FC＝AB＋CE模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP丄OP于P点，延长AP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°, AB=AC, BD平分∠ABC, C£丄BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长CE、BA交于点F,∵CE丄BD于E, ∠BAC=90°，∴∠BAD=∠CED.∴∠ABD=∠ACF.又∵AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°, ∴△ABD≌△ACF.∴ BD=CF.∵BD平分∠ABC, ∴∠CBE=∠FBE. 又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴CE=EF. ∴BD=2CE.练习1.如图.在△ABC中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+∠C.证明：延长AD交BC于F,∵AD⊥BE, ∴∠ADB=∠BDF=90°, ∵∠ABD=∠FBD,∴∠2=∠BFD. ∵∠BFD=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C.2.如图.在△ABC中. ∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线, BE丄AD于点E.求证:1()2BE AC AB =-.(2)证明:延长BE 交AC 于点F.∵AD 为∠BAC 的角平分线,∴∠BAD=∠CAD.∵AE=AE, ∴∠BAE=∠FAE,则△AEB ≌△AEF ，∴AB=AF, BE=EF, ∠ 2=∠3.∴AC-AB=AC-AF=FC. ∵∠ABC=3∠C,∴∠2+∠1=∠3+∠1=∠1+∠C+∠1=3∠C.∴2∠1=2∠C 即∠1=∠C ∴BF=FO=2BE.∴()1122BE FC AC AB ==-模型4 角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线. 构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例 解答下列问题：(1)如图①.△ABC 中，EF ∥BC,点D 在EF 上,BD 、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB.写出线段EF 与BE 、CF 有什么数量关系？(2)如图②，BD平分∠ABC,CD平分外角∠ACG. DE//BC交AB于点E,交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③，BD、CD为外角∠CBM、∠BCN的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？解答：(1) ∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.∴BD平分∠EBC，∴∠EBD=∠DBC=EDB. ∴EB=ED.同理：DF=FC. ∴EF=ED+DF=BE+CF.(2)图②中有EF=BE=CF，BD平分∠BAC,∴∠ABD=∠DBC.又DE//BC、∴∠EDB=∠DBC.∴DE=EB.同理可证：CF=DF ∴EF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.练习1.如图. 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作MN∥BC交AB于M点. 交AC 于N点.若BM+CN=9，则线段MN的长为.解答：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E,∴MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB.∵MN//BC,∴∠EBC=∠MEB, ∠NEC=∠ECB. ∴∠MBE-∠MEB, ∠NEO=∠ECN.∴BM=ME, EN=CN.∴MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,∴MN=9.2. 如图. 在△ABC中,AD平分∠BAC.点E、F分別在BD，AD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点M,∵AB∥EF,∴CM∥EF.∴∠3=∠4.∵DE=CD, ∠5=∠6, ∴△DEF≌△DCM.∴EF=CM. ∵AB//CM,∴∠2=∠4. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠4.∴CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形ABCD中,AD∥BC,点E在CD上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长AD、BE交于点F.∵AD∥BC,∴∠2=∠F. ∵∠1=∠2,∴∠1=∠F.∴AB=AF.∵AE平分∠BAD∴BE=EF. ∵∠DEF=∠CEB, ∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.∴AD=AF-DF=AB-BC.。