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第3章 静定梁与静定刚架
3.1 复习笔记
【知识框架】
【重点难点归纳】
一、单跨静定梁 ★★★★
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1．内力
表3-1-1 内力的基本概念
图3-1-1
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图3-1-22．内力与外力间的微分关系及积分关系（1）由平衡条件导出的微分关系式
计算简图如图3-1-3所示，微分关系式为
（Ⅰ）d
d
d
d
d
ds
s
NF
qx
x
M
F
x
F
px
x
-（）
（）
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图3-1-3
（2）荷载与内力之间的积分关系
如图3-1-4所示，结合式（Ⅰ）可得梁的内力积分公式，积分公式及其几何意义见表
3-1-2。
图3-1-4
表3-1-2 内力的积分公式及几何意义
3．叠加法作弯矩图
表3-1-3 常用叠加法及其作图步骤
5
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图3-1-5
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图3-1-6
二、多跨静定梁 ★★★★
多跨静定梁是由构造单元（如简支梁、悬臂梁）多次搭接而成的几何不变体系，其计
算简图见图3-1-7，几何构造、计算原则、传力关系见表3-1-4。
直杆弯矩图的叠加法
直杆弯矩图的叠加法 ,
绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。直杆弯矩图的叠加法 可叙述为:任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2-1所示。作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。
直杆内力图的特征 ,
在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV/dx=q，dM/dx=V、d2M/dx2=q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征(表2—1)。
表2—1 更多结构工程师好资料～
无外力区集中力偶M。梁上情况 均布力q作用区段 集中力P作用处 铰处 段
作用处
有突变(突剪力图 水平线 斜直线 为零处 如变号 无变化 变值,P)
抛物线(凸有尖角(尖一般为斜有突变(突弯矩图 出方向同有极值 角指向同P有极值 为零 直线 变值—M。) q指向) 指向)
注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。 (二)三铰拱的合理拱轴 ,
在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。
三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (2—4)等于零，得合理拱轴方程为 更多结构工程师好资料～
y,M0,H (2—7)
图2—8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式(2,7)推导如下:
按图2—8a所示坐标系，将代梁(图2—8b)的弯矩方程
M0,qx(l,x),2
及拱的水平推力
H,MC0,f,ql2,8f
代人式(2—7)得拱的合理拱轴方程为
y,4fx(l,x),l2 (2—8)
顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线;在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。
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叠加法在绘制弯矩图中的应用
作者：詹景元 石煜威 朱芳振
来源：《建材发展导向》2015年第03期
摘 要：弯矩图是结构力学最为重要和基础的知识点，是后续变形和位移计算的关键内容。但是现在的大部分教材对于弯矩图的绘制技巧和一些特殊情况的处理方法的介绍并不是很多，只是通过几道例题去将弯矩图的画法展现出来，让学生自己去理解，这便使得不少学生对于弯矩图的绘制感到无从下手。文章通过对书本上例题的理解分析，总结出叠加法运用在绘制弯矩图中的一些简单的基本理念和分析方法。
关键词：弯矩图；叠加法；静定结构
1 叠加法的介绍
1.1 叠加法的前提条件
材料力学讨论的杆件均满足几个基本假设，其中，小变形假设是指构件在承受荷载作用时，所产生的变形和构件的原始尺寸相比非常微小。由于变形量微小，我们在研究杆件的支反力、内力、应力、变形等问题时都可以用构件的原始尺寸和形状进行计算，不必考虑构件受荷变形后尺寸变化给计算带来的影响。同时，采用构件的原始尺寸进行计算所得的支反力、内力、应力、变形均与梁上的荷载保持线性关系。
1.2 叠加法的使用条件
叠加法的理论依据就是叠加原理，它不仅可以用来梁的位移，也可用来计算梁的支反力、内力和应力；它不仅可用于梁，也可用于拉（压）杆和其他结构。一般来说，当构件或结构上同时作用几个荷载时，如果各荷载产生的效果（应力、反力、内力和位移等）互不影响（或影响甚小可忽略不计），则它们所产生的总效果即等于各荷载单独作用时所产生的效果总和（或为代数和，或为矢量和，由所求的物理量的性质而定）。在土木工程实践中，一般的梁工作时变形很小，由梁上荷载产生的剪力和弯矩与荷载呈线性关系，并且其跨长的改变可以略去不计。因此当梁上同时受到几个载荷作用时，由每一个载荷所引起的梁的内力将不受其他载荷的影响，满足叠加原理的条件，即可用叠加法来计算梁的内力（包括剪力、弯矩等）。
第三章 静定结构的内力计算
学习目的和要求
不少静定结构直接用于工程实际，另外，它还是静定结构位移计算及超静定结构的计算基础。所以静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容之一。通过本章学习要求达到：
1、 练掌握截面内力计算和内力图的形状特征。
2、 练掌握截绘制弯矩图的叠加法。
3、 熟练掌握截面法求解静定梁、刚架及其内力图的绘制和多跨静定梁及刚架的几何组成特点和受力特点。
4、 了解桁架的受力特点及按几何组成分类。熟练运用结点法和截面法及其联合应用，会计算简单桁架、联合桁架既复杂桁架。
5、 掌握对称条件的利用；掌握组合结构的计算。
6、 熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。了解三铰拱的内力图绘制的步骤。掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征
学习内容
梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接内力算式法；内力图的形状特征；叠加法绘制内力图；多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。静定梁的弯矩图和剪力图绘制。桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的计算。三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。
§3.1梁的内力计算回顾
一、截面法
1、 平面杆件的截面内力分量及正负规定：
轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。
剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力 以绕隔离体顺时针转为正。
弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正负，但弯矩图画在拉侧。
2、 截面内力计算的基本方法：
截面法：截开、代替、平衡。
内力的直接算式：直接由截面一边的外力求出内力。
1、轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。
2、剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面 形心顺时针转动，投影取正否则取负。
