《数学物理方法》第九章 定解问题

(
p)
pTk
(0)
Tk(0)
ka
l
2
Hk
(
p)
Fk
(
p)
Hk
( p)
Fk
( p) pTk (0)
p2 ka
Tk(0)
2
l
Tk
(t)
Tk
(0)
cos
ka
l
t
Tk(0)
l
ka
sin
ka
l
t
l
ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)d
即
Tk
(t)
Fk
cos
ka
l
t
Gk
l sin ka t l ka l ka
C1 0, C2 0
u(x,t) 0
无意义
ii) 0
X (x) C0 D0x 代入边界条件得
D0 0 X (x) C0
§9.2 齐定解问题的本征函数展开法 1. 定解问题的本征函数系
用分离变量法求解定解问题 齐方程 齐边界条件
得到的本征函数系，称为定解问题
0)
u t0 (x), ut t0 (x),
(0 x l)
的本征函数系.
例：用分离变量法求解问题
ut a2uxx 0, (0 x l, t 0)
u x0 0,
u 0, xl
(t 0)
得到的本征函数系
sin
n
l
x , 1
就是定解问题
uut
a2uxx 0,
x0
0, u
xl
a. 分离变量 化偏微为常微
b. 解本征值问题 求偏微特解 对λ进行讨论 λ < 0, λ = 0, λ > 0

无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。

含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。

根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。

令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。

通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。

第9章 格林函数法§9.1 格林函数的概念本节讨论：①格林函数的定义，②格林函数与基本解的比较，③格林函数与基本解的关系⒈ 格林函数的概念格林函数：称下述定解问题（B ）的解(,,,)G t x τξ为定解问题（A ）的格林函数。

（A ）：0(,)ϕ=⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩t S it i L u Lu f t x Bu g D u （B ）：0(,)00δτξ=⎧=+--⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩t S i t L G LG t x BG D G (9.1.1)此处：算子i D 对t 的i 阶导数，B 为边界算子，如第一、二、三类边界条件；式中ξ在边界域S 内部，式中0τ>即(0,)τ∈+∞。

其它同上述说明。

格林函数可细分为边值问题的格林函数、柯西问题的格林函数与混合问题的格林函数等。

例1 二维边值问题=∆=⎧⎨=⎩r R u f u g （边界为园）的格林函数为()0δξ=∆=-⎧⎨=⎩r R G x G 的解。

例2 常微分方程=Lu f 的格林函数为()δ=LG x 的解。

此时格林函数就是基本解。

例3 柯西问题20(,)()ϕ=⎧'=+⎪⎨=⎪⎩xx t u a u f t x u x 的格林函数为20(,)δτ=⎧=+-⎪⎨=⎪⎩t xx t G a G t x G 的解。

例4 传导问题2(,)(0,)()(,0)(),(,)()xx u a u f t x u x x u t g t u t l h t ϕ⎧'=+⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩的格林函数为2(,)(0,,,)0(,0,,)(,,,)0t xx G a G t x G x G t G t l δτξτξτξτξ⎧=+--⎪⎪=⎨⎪==⎪⎩的解。

注：例1与例2中的问题与t 无关，可取τ=t ；例2与例3中∈x R ，可取ξ为0。

⒉ 格林函数与基本解的比较将不同定解问题的格林函数与基本解的定义共同列表如下：表9.1基本解与格林函数的相似性注意：①边值问题没有基本解的提法。

⎛ nπ X n ( x) = sin ⎜ ⎝ a (n = 1, 2,.3,...)
⎞ x⎟ ⎠
⎛ mπ ⎞ Yn ( y ) = sin ⎜ y⎟ ⎝ b ⎠ (m = 1, 2,3,...)
（2）将非齐次方程的通解按齐次方程的本征解进行展开
⎛ nπ u ( x, y ) = ∑∑ Cnm sin ⎜ ⎝ a n =1 m =1
±1 时：
n −n
An ( r ) = d n r &# = 0
(3)泊松方程的解：
u (r ,θ ) =
1 2 a r − r 3 ) cos ϕ ( 8
§9.4 非齐次边界的处理
以如下齐次波动方程为例：
utt − a 2u xx = 0 ⎧u (0, t ) = u1 (t ) ⎨ ⎩ u (l , t ) = u 2 ( t ) ⎧u ( x, 0) = φ ( x ) (0 ≤ x ≤ l ) ⎨ ) = ψ ( x) ⎩ut ( x, 0)
u2 (t ) − u1 (t ) v ( x, t ) = x + u1 (t ) l
wtt − a 2 wxx = F ( x, t )
非齐次波动方程
(0 t ) = 0 ⎧ w(0, ⎨ 齐次边界条件 ⎩ w(l , t ) = 0 ) = Φ ( x) ⎧ w( x, 0) (0 ≤ x ≤ l ) ⎨ ⎩ wt ( x, 0) = Ψ ( x)
∫
2π
0
⎛ r ⎞ − inϕ − cos ϕ ⎜ ⎟ e dϕ ⎝ 2 ⎠
1 f ±1 (r ) = − r 2 f n (r ) = 0 (n ≠ ±1)
（1）当n =1,或 -1：
A±1 ( r ) = c1r + c2 r −1 −