上海市晋元中学2006学年第一学期高二数学期末试卷

晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为4. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．7．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．8．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．10. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .11. 一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12. 已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件14．下列选项中不正确的是（）A．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B．如果方程Ax+By+C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足A≠0，B＝C＝0C．Ax+Bx+C＝0和2Ax+2Bx+C+1＝0表示两条平行直线的等价条件是A2+B2≠0且C≠1D．（x﹣y+5）+k（4x﹣5y﹣1）＝0表示经过直线x﹣y+5＝0与4x﹣5y﹣1＝0的交点的所有直线15．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（）（1）AC⊥BD（2）AC∥截面PQMN（3）AC＝BD（4）异面直线PM与BD所成的角为45°A．1 B．2 C．3 D．416．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P在线段B 1C1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．B．C．D．三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l1：mx+3y+3＝0，直线l2：x+（m﹣2）y+2＝0，求当m为何值时，直线l1与l2分别有如下位置关系：（1）平行；（2）垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．晋元高级中学 2019学年第一学期期末考试高二年级数学试卷 2020.01一．填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．直线a ，b 分别在长方体的上、下底面所在平面内，则a 与b 的位置关系是 【答案】平行或异面 2．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为【答案】36π3．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为【答案】 5. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积为【答案】36π5．两条相交直线l ，m 都在平面α内，且都不在平面β内，若有甲：l 和m 中至少有一条直线与β相交，乙：平面α与平面β相交，则甲是乙的 条件【答案】充要6．图中的三个直角三角形是一个体积为30cm 3的几何体的三视图，则侧视图中的h＝ cm ．【答案】67．过点（﹣1，）且与直线x ﹣y +1＝0的夹角为的直线方程为 ．【答案】x +1＝0或x ﹣+4＝08．现有n 个正方体，它们的棱长可以构成首项为1，公比为2的等比数列，则这n 个正方体的体积之和为 ．【答案】9.已知直线1l ：3410x y ++=和点A （1,2）．设过A 点与1l 垂直的直线为2l .则直线2l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．【答案】1610. 已知等比数列{}n a 中0>n a ，且168721=⋅⋅⋅⋅a a a a Λ，则54a a +的最小值为 .【答案】2211.一直线过点P (-5,-4),且与两坐标轴围成的三角形面积为5,则此直线方程为 .12.已知1b >，直线2(1)20b x ay +++=与直线(1)10x b y ---=互相垂直，则a 的最小值等于【答案】222+二．选择题（本大题共4小题，共12分）13．下面四个命题中正确的是（ ）A ．“直线a 、b 不相交”是“直线a 、b 为异面直线”的充分非必要条件B ．“l ⊥平面α”是“直线l 垂直于平面α内无数条直线”的充要条件C ．“a 垂直于b 在平面α内的射影”是“直线a ⊥b ”的充分非必要条件D ．“直线a 平行于平面β内的一条直线”是“直线a ∥平面β”的必要非充分条件【答案】D14．下列选项中不正确的是（ ）A ．两直线的斜率存在时，它们垂直的等价条件是其斜率之积为﹣1B ．如果方程Ax +By +C ＝0表示的直线是y 轴，那么系数A ，B ，C 满足A ≠0，B ＝C ＝0C ．Ax +Bx +C ＝0和2Ax +2Bx +C +1＝0表示两条平行直线的等价条件是A 2+B 2≠0且C ≠1D ．（x ﹣y +5）+k （4x ﹣5y ﹣1）＝0表示经过直线x ﹣y +5＝0与4x ﹣5y ﹣1＝0的交点的所有直线【答案】D15．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，正确的个数为（ ）（1）AC ⊥BD （2）AC ∥截面PQMN（3）AC ＝BD （4）异面直线PM 与BD 所成的角为45°A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段B 1C 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C三．解答题（本大题共5小题，共52分）17.（本题满分8分）已知直线l 1：mx +3y +3＝0，直线l 2：x +（m ﹣2）y +2＝0，求当m 为何值时，直线l 1与l 2分别有如下 位置关系：（1）平行；（2）垂直．【解析】（1）由m（m﹣2）﹣3＝0，解得m＝3或﹣1．经过验证可得：m＝3或﹣1都满足两条直线平行．∴m＝3或﹣1．（2）由m+3（m﹣2）＝0，解得m＝．∴m＝时两条直线相互垂直．18. （本题满分8分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1＝0，∠A的平分线所在直线方程为y＝0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．【答案】（1）A（﹣1，0），C（5，﹣6）；（2）x﹣y+1＝0．【解析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，由得，故A（﹣1，0）．由k AC＝﹣k AB＝﹣1，所以AC所在直线方程为y＝﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2＝﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1＝0，所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）＝0，即x﹣y+1＝0．19. （本题满分10分）已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为30°，（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为30°，AP＝r，所以：，（2）∵，∴∴V C﹣OEF＝V O﹣CEF，∴，∴20. （本题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F分别是A′B′和AB的中点．求：（1）异面直线A′F与CE所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）；（3）二面角A﹣CE﹣F的大小．【答案】（1）arccos；（2）arccos；（3）arccos．【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，A′（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），＝（0，1，﹣2），＝（2，﹣1，2），设异面直线A′F与CE所成的角为θ，则cosθ＝|cos＜，＞|＝＝＝．∴异面直线A′F与CE所成的角的大小为arccos．（2）＝（0，1，﹣2），A（2，0，0），B（2，2，0），D′（0，0，2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），设平面ABC′D′的法向量＝（x1，y1，z1），则，取x1＝1，得＝（1，0，1），设直线A′F与平面ABC′D′所成的角为α，则sinα＝|cos＜，＞|＝＝＝，∴直线A′F与平面ABC′D′所成的角的大小为arcsin．（3）A（2，0，0），C（0，2，0），E（2，1，2），F（2，1，0），＝（2，﹣1，2），＝（﹣2，2，0），＝（2，﹣1，0），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，﹣），设平面CEF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，2，0），设二面角A﹣CE﹣F的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣CE﹣F的大小为arccos．21.（本题满分14分）已知函数f（x）＝x2+3x，数列{a n}的前n项和为S n，且对一切正整数n，点P n（n，S n）都在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，等差数列{b n}的任一项b n∈A∩B，其中b1是A∩B中最的小数，且88＜b8＜93，求{b n}的通项公式；（3）设数列{c n}满足，是否存在正整数p，q（1＜p＜q），使得c1，c p，c q成等比数列？若存在，求出所有的p，q的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a n＝2n+2；（2）b n＝12n﹣6；（3）p＝2，q＝12.【解析】（1）∵点P n（n，S n）都在函数f（x）＝x2+3x的图象上，∴．当n＝1时，a1＝S1＝4；当n≥2时，，当n＝1时，也满足．故a n＝2n+2．（2）∵A＝{x|x＝a n，n∈N*}，B＝{x|x＝2（a n﹣1），n∈N*}，∴A＝{x|x＝2n+2，n∈N*}，B＝{x|x＝4n+2，n∈N*}∴A∩B＝B，又∵b n∈A∩B，∴b n∈B即数列{b n}的公差是4 的倍数又A∩B中的最小数为6，∴b1＝6，∴b8＝4k+6，k∈N*，又∵88＜b8＜93∴，解得k＝21．等差数列{b n}的公差为d，由b8＝6+7d＝90得d＝12，故b n＝12n﹣6（3）∵，∴若c1，c p，c q成等比数列，则，即．可得，所以﹣2p2+4p+1＞0，从而又p∈N*，∴p＝2，此时q＝12．故当且仅当p＝2，q＝12，使得c1，c p，c q成等比数列．。

2006－2007学年度高二数学第二学期期末考试试题答案二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 129; 14.4； 15. 34a >; 16.17. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、解：圆2217yx +=的圆心为(0,0)o ,有1,4OA k =-则圆在点A 的切线的斜率k=4……………………2分22221,yx a b-=设双曲线的方程为……………………3分44bb a a==由于圆在点A 的切线和双曲线的渐近线平行，有，即.………5分2222116y x a a-=双曲线方程化为22552,1625516A a a ===2将点坐标（4，－1）代入可得则b ………9分 22125525516yx-=所以双曲线的方程为………………10分18、解：（Ⅰ）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系.则 A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），D （0，0，0），A 1（1，0，1），B 1（1，1，1），C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），……………4分由于M 、N 分别是BB 1和B 1C 1的中点，所以M （1，1，12），N （12，1，1）.从而MN =（－12，0，12）， 1CD ＝（0，－1，1），……………6分由1cos ,MN CD <>＝11||||MN CD MN CD ⋅＝112.……………8分故MN 与CD 1所成的角3π； …………………………………10分19、解：①依题意得：84047=A ……………3分②依题意得：33604714=⋅A A ……………6分③依题意得： 5520)(553523451355=++A C C C C C ……………9分 ④依题意得：360331336=A A C ……………12分20、解：（Ⅰ） 记打给甲的电话为事件A 、打给乙的电话为事件B 、打给丙的电话为事件C , 则事件A 、B 、C 为互斥事件且相互独立，这三个电话是打给同一人的事件是A A AB B BC C C⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅………………………………………2分 由互斥事件有一个发生的概率公式和相互独立事件同时的概率公式，得所求事件概率为333()()()()()()()()()()()()()111()()()63216P A A A B B B C C C P A A A P B B B P C C C P A P A P A P B P B P B P C P C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=. 答; 这三个电话是打给同一人的概率是16.…………………………6分 （Ⅱ）“这三个电话中恰有两个是打给甲”的事件是13,6n P ==的独立重复试验，故所求的概率为223315(2)C ()66P =⨯⨯＝572…………………………11分 答：这三个电话中恰有两个是打给甲的概率是572.……………12分21、解：由已知：01237n n n C C C ++=，用组合数公式得：0722=-+n n ，解得）n n 舍去或(98-==…………………………2分（Ⅰ）348418812r r rrr r r T C C x ---+== 知且,,80434Z r r Z r ∈≤≤∈-：8,4,0=r ………………………………………4分∴展开式中x 的有理数项为295412561,835,-===x T x T x T .……………7分 （Ⅱ）设第1+r 项的系数1+r a 最大，……………8分则⎩⎨⎧≥≥+++211r r rr a a a a 展开整理得：32≤≥r r 且……………10分3,2=∴r ∴系数最大的项为：4742537,7x T x T == ……………12分22、解法一：（Ⅰ）证明：以C 为原点，CA 、CB 、CC 1分别为x 、y 、z 轴建立如图的空间直角坐标系. ………………………………………1分 则 A （2，0，0），B （0，2，0），C （0，0，0），A 1（2，0C 1（0，0，2），…………………2分 由于E 为1BB 的中点，D 点在AB 上且3=DE .则E （0，2，1），D （1，1，0），从而CD ＝（1，1，0），AB ＝（－2，2，0）， 1AA ＝（0，0，2）， ………………………4分 ∵ CD ·AB ＝0，CD ·1AA ＝0，且AB ∩AA 1＝A ， ∴ 11ABB A CD 面⊥. ……………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知CD ＝（1，1，0）是平面A 1ED的法向量，设n ＝（x ，y ，z ）是平面A 1EC 的法向量，……………………………8分则100CE n CA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，………………………………………………………………10分 即20220y z x z +=⎧⎨+=⎩，取x ＝2，则n ＝（2，1，－2），………………………………12分又cos ,CD n <>＝||||CD nCD n ⋅＝＝2.……………………………………13分故二面角D E A C 1--的大小为4π.…………………………………………………14分解法二：（Ⅰ）证：依题意知32AB 1=，1AB 21DE =且 E 为1BB 的中点，则 D 也为AB 中点，∴ AB CD ⊥， ……………………………………………………………3分 又∵三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱∴A A CD 1⊥…………………………………………………………5分 又 A AB AA 1= 且 1AA 、11ABB A AB 平面⊂故 11ABB A CD 面⊥. …………………………………………………………7分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知11ABB A CD 面⊥，在ADE ∆中过D 作E A DF 1⊥交AE 于F ， 连CF ，由三垂线定理知，DFC ∠为所求二面角的平面角 ………………………9分 易知2CD =，在DE A 1∆中，6D A 1=，3DE =，3E A 1=故︒=∠90DE A 1 11A D D EDF A E⋅==10分在CDE Rt ∆中 122DFCDDFC tan ===∠……………12分故所求二面角的大小为4π. …………………………………………………………14分。

2007年上海市普陀区晋元高级中学高二第一学期期末试卷一、选择题：(每小题给出的答案中至少．．有一项是正确的，请将正确答案前的字母填在题后的方括号内)1. 若带正电的小球只受电场力的作用，则它在任一段时间内［］A. 一定沿电场线由高电势处向低电处运动B. 一定沿电场线由低电势处向高电势处运动C. 不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动D. 不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动2. 宇航员在探测某星球时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电量为Q，表面无大气。

在一次实验中，宇航员将一带电-q( q<<Q )的粉尘置于离该星球表面h高处，该粉尘恰处于悬浮状态；宇航员又将此粉尘带到距该星球表面2h处，无初速释放，则此带电粉尘将［］A. 背向星球球心方向飞向太空B. 仍然处于悬浮状态C. 沿星球自转的线速度方向飞向太空D. 向星球球心方向下落3. 如图所示，实线是一个电场中的电场线，虚线是一个电子在这个电场中的轨迹，若电子是从a处运动到b处，以下判断正确的是： [ ] ArrayA．电子从a到b加速度减小B．电子在b处的电势能大于a处的电势能C．b处电势高于a处电势D．电子在b处速度最小4. 关于电动势，以下说法中正确的是 [ ]A．电源电动势等于电源正、负极之间的电势差B．用电压表直接测量电源两极得到的电压数值，总是略小于电源电动势的准确值C．电源电动势总等于内、外电路上的电压之和，所以它的数值与外电路的组成有关D．电源电动势数值上总等于电路中通过一个单位正电荷时，电源提供的能量5. 如图所示为简单的计数器和传送物体的装置，R l为定值电阻，R2为光敏电阻（有光照射时其电阻值要减小），ab 部分为计数器的信号处理系统。

当细光束照射在R 2上时，由于传送带上的物体每经一定时间会遮住细光束，故光敏电阻R 2会发生变化，信号处理系统会实现自动记数。

以下说法正确的是 ［ ］A. 当有光照在R 2上时ab 间获得高压B. 当有光照在R 2上时ab 间获得低压C. 当ab 间获得高压时，计数器计数一次D. 当ab 间获得低压时，计数器计数一次6. 如图所示是一个家用台灯，它的插头插在交流电源的插座上。

晋元高级中学2024学年第一学期期中考试高一年级数学学科试卷考试时间：90分钟 满分：160分一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}1,2,3,4C =，则()A B C = ______.【答案】{}1,2,4【解析】【分析】直接利用集合计算规律计算即可.【详解】由题可知，{}1,2,4,6A B = ，所以(){}1,2,4A B C = .故答案为：{}1,2,42. 已知函数23x y a -=+（0a >且1a ¹）的图象恒过定点P ，P 点的坐标是______.【答案】()2,4【解析】【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定P 的坐标．【详解】令20x -＝，解得2x =，此时034y a =+=，\点P 的坐标为()2,4.故答案为：()2,4.3. 若幂函数222(33)mm y m m x --=-+×的图像不经过原点，则m 的值为____________.【答案】1m =或2m =.【解析】【分析】由幂函数的定义可得2331m m -+=，求出m 的值，再根据幂函数的性质判断即可．【详解】解：由题意可知，2331m m -+=，解得1m =或2，当1m =时，2y x -=，定义域为{|0}x x ¹，图象不经过原点，的当2m =时，0y x =，其图象也不经过原点，所以，1m =或2m =.故答案：1m =或2m =.4. 若集合{}240A x x =-=，{}10B x ax =-=，且B A Í，则实数a 组成的集合是______.【答案】11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】计算集合A ，再分别求B =Æ和B ¹Æ时，a 的值即可.【详解】由题意，{}2,2A =-，又B A Í，若0a =，则B =Æ，满足题意；若0a ¹，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以1122a a =-Þ=-或1122a a =Þ=.故答案为：11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.5. 已知lg2a =，103b =，则6log 2=______（结果用a 、b 表示）.【答案】a ab +【解析】【分析】根据给定条件用常用对数表示b ，再利用换底公式及对数运算法则计算作答.【详解】由103b =，则lg 3b =，又6lg 2lg 2log 2lg 6lg 2lg 3a a b===++，故答案为：a a b+.6. 若13x x -+=，则112222x xx x --+=+__________.为【分析】将目标式分子、分母转化为含已知条件1x x -+的代数式，进而求值【详解】13x x -+=，易知0x >而21112225x x x x --æö+=++=ç÷èø∴1122x x -+=又由()222127x x x x --+=+-=综上，有：112222x x x x --+=+【点睛】本题考查了利用指数幂运算化简求值，应用指数幂运算化简含a a x x -+形式的代数式并求值7. 若34311x x -+-³对所有实数x 恒成立，则当等号成立时，x 的取值范围是______.【答案】R ##(),-¥+¥【解析】【分析】分1x <，43x >，413x ££讨论可得答案.【详解】当1x <时，()()3431671x x x ----=-+³，解得1x <，当43x >时，()()3431671x x x -+-=-³，解得43x >，当413x ££时，()()343111x x --+-=³，解得413x ££因此可得x 的取值范围是R .故答案为：R .8. 已知集合261|13x x A x --⎧⎫ïïæö=<⎨⎬ç÷èøïï⎩⎭，(){}3|log 2B x x a =³+.若“x A Δ是“x B Δ的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.【答案】(),6-¥【分析】先由指数函数和对数函数性质解不等式26113x x --æö<ç÷èø和()3log 2x a +³，从而求出集合A 、B ，接着由“x A Δ是“x B Δ的必要不充分条件得集合B 是集合A 的真子集，进而得93a ->，解该不等式即可得解.【详解】解不等式26113x x --æö<ç÷èø即解2601133x x --æöæö<ç÷ç÷èøèø，因为13x y æö=ç÷èø是减函数，所以260x x -->即()()320x x -+>，解得2x <-或3x >，所以{261|1|23x x A x x x --⎧⎫ïïæö=<=<-⎨⎬ç÷èøïï⎩⎭或}3x >，解不等式()3log 2x a +³即解()33log log 9x a +³，因为3log y x =是增函数，所以9x a +³，解得9x a ³-，所以(){}{}3|log 2|9B x x a x x a =+³=³-.因为“x A Δ是“x B Δ的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集，所以936a a ->Þ<.所以实数a 的取值范围是(),6¥-.故答案：(),6¥-.9. 设关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x <，则关于x 的不等式021ax b x +³-的解集为______.【答案】1,22æùçúèû【解析】【分析】分式不等式转化为整式不等式后由二次不等式求得解集.【详解】由题意可得20b a a ⎧-=ï⎨ï<⎩，解021ax b x +³-，整理得()()210210ax b x x ⎧+-³⎨-¹⎩，为∵20b a a ⎧-=ï⎨ï<⎩，∴解集为122x <£.故答案为：1,22æùçúèû.10. 已知1,1a b >>，若log 2log 163a b +=，则2log ()ab 的最小值为_______．【答案】3【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．【详解】令=log 2,log 16a b x y =，则412,2,3y x a b x y ==+=，所以()222log log 14log ab a b x y=+=+，所以()141141411453333y x x y x y x y x y ææöæö+=++=+++³+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当1,2x y ==时取等号，故()2log ab 的最小值为3.【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用．11. 已知22113,log (61)42x x y y =--=-，则2x y +=______．【答案】4【解析】【分析】由2log (61)42y y -=-，化简得到2log (61)223log (61)11y y -+-=，令2log (61)t y =-，可得2311t t +=，设()3x f x x =+，得到()f x 为增函数，得出2log (61)x y =-，求得612x y -=，结合12(321)3x x y x +=++，即可求解.【详解】由2log (61)42y y -=-，可得22log (61)4y y +-=，则2(61)3log (61)11y y -+-=，即2log (61)22113log (61)y y -=--，令2log (61)t y =-，可得2311t t +=，因为2113x x =-，设()3xf x x =+，可得()f x 为单调递增函数，所以2log (61)x y =-，所以612x y -=，则21112(321)124333x x x y x x ++=+=++=´=.故答案为：412. 对于实数m 和正数n ，称满足不等式x m n -<（R m Î，0n >）的实数x 的集合叫做m 的n 邻域，已知12a >，若122a -的12a -邻域中恰有2个整数，则a 的取值范围是______.【答案】{}45,233æùçúèû 【解析】【分析】先将题意转化为绝对值不等式，然后解不等式得31a x a <<-，利用恰有两个整数解得到该范围的两个端点值大于1小于3缩小a 的范围，然后得到可能存在的整数，然后讨论得到a 的范围即可.【详解】由题可知11222x a a -+<-有恰两个整数解，得111231222a x a a a x a -<-+<-Þ<<-，所以(),31a a -中恰有两个整数，故131312a a a <--£Þ<£，所以315a -£当两个整数为2,3时，得12,3314a a <<<-£，解得4533a <£；当两个整数为3,4时，2a =，所以315a -=，综上所述，{}45,233a æùÎçúèû.故答案为：{}45,233æùçúèû.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16愿每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13. 若R a b c Î,,，且满足a b c >>，则下列不等式成立的是（ ）A. 33a b < B. 2211a b > C. 2211a b c c >++ D. 22ac bc >【答案】C【解析】【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果.【详解】当0a b >>时，33a b>，A 选项错误；当3a =，1b =-时，2119a =，211b =，2211a b<，B 选项错误；∵a b >且210c +>，∴2211a b c c >++，C 选项正确；当2c =0时，220ac bc ==，D 选项正确.故选：C.14. 如果某种放射性元素每年的衰减率是8%，那么akg 的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t 等于（ ）A. 0.5lg 0.92 B. 0.92lg 0.5 C. 10.5lg 0.92g D. lg 0.92lg 0.5【答案】C【解析】【分析】设物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t ，可以得出一个方程，两边取对数，即可求出t .【详解】a 千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t ，(18%)(18%)221t t a a -=Þ-=，两边取对数，lg 0.92lg 0.5t =，即lg 0.92lg 0.5t ×=，lg 0.5lg 0.92t \=.故选C.【点睛】本题以实际问题为问题载体，考查指数函数模型的构建及解指数方程，属于基础题．15. 函数2y ax bx =+与函数()0ay x b a =+¹在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同.详解】A 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <<，由指数型函数图像可知：0,0a b ，A 选项错误；B 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <=，B 选项错误；C 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b ，C 选项正确；D 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <<，D 选项错误；故选：C.16. “群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①任意,a b G Î.有a b G*Î②如,,a b c G Î，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对任意a G Î，都有e e a a a *=*=，称e 为G 的单位元；④任意a G Î，在G 中存在唯一确定的b ，使e a b b a *=*=，称b 为a 的逆元；此时称(),G *一个群例如实数集R 和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群()R,+，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A. Q G =，则(),G +为一个群B. },Z G n =+Î，(),G +为一个群C. {}1,1G =-，则(),G ´为一个群【为D. {}21,Z G x x k k ==+Î，则(),G ´为一个群【答案】D【解析】【分析】分别判断每一个选项，是否为一个群即可.【详解】A 选项：有理数的和还是有理数，求和满足结合律，设Q a Î，单位元为e ，则e a a +=，故e 0=，所以每一个数的相反数为其逆元，故(),G +为一个群，选项A 正确；B 选项：}Z G n =Î中的任何两个数相加还是属于}Z G n =+Î，求和满足结合律，,,Z G x y ÎÎ，单位元为e ，e +=+，所以e 0=，每一个数的相反数为其逆元，(),G +为一个群，故选项B 正确；C 选项：{}1,1G =-中的两个元素相乘，其积可能为1或1-，又1G Î，1G -Î，设a G Î，单位元为e ，则e a a ´=，故e 1=，1的逆元为1，1-的逆元为1-，所以则(),G ´为一个群，故C 正确；D 选项：两个奇数相乘还是奇数，乘法满足结合率，设a G Î，单位元为e ，则e a a ´=，故e 1=，又3G Î，故存在b G Î，使得31b =，则13b =，矛盾，故(),G ´不为一个群，故D 错误.【点睛】关键点点睛：需要判断题中说的所有条件，先利用条件③判断单位元，然后再利用条件④判断逆元.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （1）解关于x 的不等式组32163412x x x x -⎧£ï-⎨ï-³+⎩（2）设n ÎZ ，证明：若3n 是奇数，则n 是奇数.【答案】（1）[)32,5,65éù-Èêúëû；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解分式不等式和解绝对值不等式进行求解即可；（2）用反证法进行证明即可.【详解】（1）由()()2460323224110066660x x x x x x x x x ⎧+-£--+£Û-£Û£Û⎨----¹⎩，解得26x -£<，当340x -³，即43x ³时，34123412x x x x -³+Û-³+，解得5x ≥，当340x -<，即43x <时，34124312x x x x -³+Û-³+，解得35x £，则32163412x x x x -⎧£ï-⎨ï-³+⎩的解集为[)32,5,65x éùÎ-Èêúëû.（2）假设n 不是奇数，则n 是偶数，设2,n k k =ÎZ ，则()33328n k k ==，因为k ÎZ ，则3k ÎZ ，所以k 38是偶数，即3n 是偶数，这与已知3n 是奇数矛盾，故假设不成立，因此证得若3n 是奇数，则n 是奇数.18. （1）已知指数函数x y a =（0a >且1)a ¹在区间[]1,1-上的最大值与最小值之和等于52，求实数a 的值.（2）已知幂函数()2710Z m m y x m ++=Î的图像关于y 轴对称，且在()0,¥+上严格递减.若()()22710710112m m m m a a ++++-³+.求实数a 的取值范围.【答案】（1）2或12（2）(][),20,-¥-+¥ 【解析】【分析】（1）指数函数一定是单调函数，故在端点处取最大最小值，代入等式即可求得实数a 的值；（2）由幂函数的单调性得到指数的不等式，解出m 的取值范围，求出指数值，由指数函数图像的性质解不等式，从而求得a 的取值范围.【详解】（1）指数函数x y a =在区间[]1,1-上单调，∴1152a a -+=，∴2a =或12a =（2）由题意可知27100m m ++<，∴52m -<<-，又∵m ÎZ ，∴4m =-或3m =-，当4m =-时，22710m m x y x ++-==，为偶函数，当3m =-时，22710m m x y x ++-==，为偶函数，∴27102m m ++=-，∴()()22112a a ---³+，∴112a a -£+，∴2a £-或0a ³∴(][),20,a ¥¥Î--È+19. 如图所示，一条笔直的河流l （忽略河的宽度）两侧各有一个社区,A B （忽略社区的大小），A 社区距离l 上最近的点0A 的距离是2km,B 社区距离l 上最近的点0B 的距离是1km ，且004km A B =.点P 是线段00A B 上一点，设0km A P a =.现规划了如下三项工程：工程1：在点P 处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形0AA P 地块全部修建为面积至少21km 的文化主题公园，且每平方千米造价为2912a æö+ç÷èø亿元；工程3：将直角三角形0BB P 地块全部修建为面积至少2025km .的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为W 亿元.（1）求实数a 的取值范围；（2）问点P 在何处时，W 最小，并求出该最小值.【答案】（1）71,2éùêúëû （2）当点P 满足03A P =时，W 最小，最小值为5.1亿元.【解析】【分析】（1）由直角三角形0BB P 地块全部修建为面积至少2025km .和直角三角形0AA P 地块全部修建为面积至少21km 的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案.（2）由题意可得294110.122a W a a -æö=+×+´+ç÷èø，由基本不等式求解即可.【小问1详解】因为直角三角形0BB P 地块全部修建为面积至少2025km .的湿地公园，所以()00011140.2522BB P S B P BB a ==´×-³V ，解得：72a £直角三角形0AA P 地块全部修建为面积至少21km 的文化主题公园，所以000112122AA P S A P AA a ==´×³V ，解得：1a ³,故实数a 的取值范围为71,2éùêúëû.【小问2详解】依题意可得：294110.122a W a a -æö=+×+´+ç÷èø9490.1 2.1 2.12222a a a a a -=+++=++³+32 2.1 5.12=´+=，当且仅当922a a=，即3a =时取等.所以当点P 满足03A P =时，W 最小，最小值为5.1亿元.20. 若有限个正整数组成的集合A 中至少有两个元素，且对于任意的(),x y A x y Î>，都有2y A x yÎ-，则称A 为“双J 集合”.（1）判断{}1,2,4是否为“双J 集合”，说明理由；（2）若双元素集M 为“双J 集合”，且2M Î，求所有满足条件的集合M ；（3）求所有满足条件的“双J 集合”.【答案】（1）{}1,2,4不是为“双J 集合”，理由见解析.（2）{}1,2M =或{}2,4M =（3）{}()*,2Nk k k Î【解析】【分析】（1）直接按照题中概念判断即可；（2）直接按照题中概念计算；（3）先根据（2）讨论有两个元素时的情况，然后再讨论多余两个元素的情况即可.【小问1详解】假设4,1x y ==，则213y A x y =Ï-，故{}1,2,4不是为“双J 集合”.【小问2详解】假设2x =，则另一个元素为y ，因为2y A x yÎ-，若222y y=-解得1y =-±若22y y y=-解得1y =（符合题意）或0y =（不符合题意）所以此时{}1,2M =假设2y =则另一个元素为x ，因为2y A x yÎ-，若2222x =-解得4x =符合题意；若222x x =-解得1x =±不符合题意所以此时{}2,4M =【小问3详解】若满足条件的“双J 集合”，只有两个元素，仿照（2）讨论，可得满足“双J 集合”的有{}()*,2N k k k Î当“双J 集合”有两个以上的元素时，设最小的元素为b ，最大元素为a ，第二大的元素为n ，所以有22,b n a b a n--是“双J 集合”中的元素所以22b b a b a b³Þ£-若22n n a n a n£Þ³-与已知矛盾，故2n a a n£-解得n =，显然a 与n 不可能同时为整数，故该假设不成立所以“双J 集合”不可能有两个以上的元素；故所有满足的“双J 集合”为{}()*,2N k k k Î21. 勾股容方问题是数学史中一个非常著名的问题.《九章算术》勾股章有云：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”这个问题（图1）已知直角三角形两条直角边长，要求一个与直角三角形ABC 有公共直角的正方形GFEB 的边长（即“勾股容方”）.记BC a =，BA b =.（1）若5a =，正方形GFEB 的边长不小于d ，求b 的取值范围；（2）图1中直角三角形ABC 斜边上的中线记为BM ，比较线段BM 与BF 长度的大小，并证明你的结论；（3）事实上，直角三角形ABC 还有另一个内接正方形D G F E ¢¢¢¢（图2），该正方形的一边与直角三角形ABC 斜边AC 部分重合，即“弦中容方”.那么“斜”能否压“正”呢？请求出正方形GFEB 与正方形D G F E ¢¢¢¢面积，并比较它们的大小.【答案】（1）55d b d³- （2）BM BF ³,证明见解析（3）正方形GFEB 的面积为()222a b a b +，正方形D G F E ¢¢¢¢面积为()()2222222a b a b a b ab +++，()()()2222222222a b a b a b a b a b ab +>+++【解析】【分析】（1）正方形GFEB 的边长为x ，然后利用相似建立等式，求得ab x a b =+，然后代入数据解不等式即可；（2）分别用,a b 表示线段BM 与BF 长度，然后利用基本不等式比较大小即可.（3）（1）已经求出正方形GFEB 的边长，然后求出其面积即可；利用三角函数的定义表示出正方形D G F E ¢¢¢¢的边长，然后计算其面积即可，最后比较面积的大小.【小问1详解】设正方形GFEB 的边长为x ，有x d ³由题可知，AGF V 与FEC V 相似所以有b x x xa x-=-解得abx a b=+因为5a =，x d ³，显然5d < 所以55b d b³+得55d b d ³-【小问2详解】BM BF ³,理由如下，有题可知12BM AC ==由（1）可知，BF ==由基本不等式可知，BM =³BF =£=故BM BF =³³=，当且仅当a b =时等号成立；所以BM BF ³.【小问3详解】我们比较正方形面积的大小，只需要比较其边长的大小即可；由（1）可知正方形GFEB 的边长为abBE a b=+所以正方形GFEB 的面积为()222a b a b +我们设正方形D G F E ¢¢¢¢的边长为y ，A a Ð=,易知BD E CE F A a¢¢¢¢Ð=Ð=Ð=所以有sin 1cos sin cos y a a BE CE y y a a a a¢¢=+=+Þ=+显然sin BC AB AC AC a a ====所以1sin cos ay a a ==+所以正方形D G F E ¢¢¢¢面积为()()2222222a b a b a b ab +++因为220a b >所以()()()()42422222a b ab a b a b a b ab a b +-++>+-+()()()22222a b ab a b a b ab éùéùÞ+->++-ëûëû()()()222222a b ab a b a b Þ++>++(22a b ab a b Þ++>+1a b Þ>+ab a b Þ>+所以BE y>所以正方形GFEB 的面积大于正方形D G F E ¢¢¢¢面积【点睛】关键点点睛：（1）需要找到边之间的关系，利用相似；（2）利用,a b 表示线段BM 与BF 长度后，根据两个的关系利用基本不等式求解即可；（3）当求出两个正方形面积过后，我们可以先比较两者不同的部分，此时基本不等式不适用，我们只需要化简比较不同部分的大小，要注意需要将()2a b +看做一个整体，最后写过程时，反过来写即可.。