2018届高考数学二轮14个填空题综合仿真练(8)专题卷(江苏专用)

14个填空题专项强化练(十三) 双曲线和抛物线A 组——题型分类练题型一 双曲线1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 26＝1的离心率为________．解析：由已知得，a ＝3，b ＝6，则c ＝a 2＋b 2＝3，所以e ＝c a＝ 3. 答案： 32．已知双曲线x 2a －y 220＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的焦距为________．解析：由题意得，25a＝2，所以a ＝5，所以c ＝5＋20＝5，所以该双曲线的焦距为10.答案：103．已知双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．解析：由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故双曲线的方程为x 28－y 28＝1.答案：x 28－y 28＝14．已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．解析：由题意得E (a,0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，显然△ABE 是等腰三角形，故当△ABE 是锐角三角形时，∠AEB ＜90°，从而b 2a＜a ＋c ，化简得c 2－ac －2a 2＜0，即e2－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2.答案：(1,2)5．若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则PF ＋PA的最小值是________．解析：由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知，PF ＋PA ＝4＋PB ＋PA ≥4＋AB ＝4＋－2＋－2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．答案：96．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：7 题型二 抛物线1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________．解析：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，设PA ⊥l ，A 为垂足，所以PF ＝PA ＝x P －(－1)＝3， 所以点P 的横坐标是2. 答案：22．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .答案：x 2＝12y3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.直线OA 的方程y ＝33x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x＝6.即得A 的坐标为(6,23)，所以AB ＝4 3.故正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 34．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：∵抛物线方程为y 2＝6x ，∴焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线l 的方程为x ＝－32.∵直线AF 的斜率为－3，∴直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －32， 当x ＝－32时，y ＝33，由此可得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33. ∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33，∴PF ＝PA ＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.答案：65．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ―→＝4FQ ―→，则QF ＝________.解析：如图，过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ―→＝4FQ ―→，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3.答案：36.如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若AF ＋BF ＝6，则点D 的横坐标为________．解析：由题意知，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，如图，设AB 的中点为H ，A ，B ，H 在准线上的射影分别为A ′，B ′，H ′，连结AA ′，BB ′，HH ′，则HH ′＝12(AA ′＋BB ′)．由抛物线的定义可得，AF ＝AA ′，BF＝BB ′，又AF ＋BF ＝6，所以AA ′＋BB ′＝6，HH ′＝12×6＝3，故点H 的横坐标为2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入抛物线的方程，可得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2＞0，解得k ＜13且k ≠0，又x 1＋x 2＝4－6k k 2＝4，所以k ＝－2或k ＝12(舍去)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋3，AB 的中点为H (2，－1)，AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝12(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，故点D 的横坐标为4.答案：4B 组——高考提速练1．若抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点，则实数a 的值为________．解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点为(a 2＋3，0)，由题意得，a 2＋3＝2，解得a ＝1.答案：12．若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m 1＝3，解得m ＝2.答案：23．已知直线2x －3y ＝0为双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意得，b a＝23，可设a ＝3k ，b ＝2k ，则c ＝a 2＋b 2＝7k ，所以离心率e＝c a ＝213. 答案：2134．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得的弦长为2，则p ＝________. 解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为2，圆心到准线的距离为p2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋1＝(2)2，解得p＝2.答案：25．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN ＝________.解析：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.答案：66．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1与直线l ：x ＋ky ＋4＝0，若直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的右焦点到直线l 的距离是________．解析：由题意得，双曲线C ：x 23－y 2＝1的右焦点F (2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x ，又直线l ：x ＋ky ＋4＝0与双曲线C 的一条渐近线平行，所以k ＝±3，所以直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0，所以双曲线C 的右焦点到直线l 的距离d ＝|2＋4|2＝3.答案：37.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．解析：连结AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝F 1F 2AF 2－AF 1＝2c3c －c＝3＋1.答案：3＋18．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为______________．解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5，所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：x 24－y 25＝19．对于给定的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，称圆心是双曲线的焦点且与双曲线只有一个公共点的圆是双曲线C 的“焦点圆”．若双曲线C 的一个焦点为F 1(5,0)，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫13，83，则圆心为F 1的“焦点圆”的方程是________． 解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，13a 2－649b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4，故双曲线的方程为x 29－y 216＝1，右顶点为(3,0)，根据新定义可知，所求圆的半径r ＝2，从而所求“焦点圆”的方程为(x －5)2＋y 2＝4.答案：(x －5)2＋y 2＝410．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若PF 1＋PF 2＝12，则抛物线的准线方程为________．解析：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a2＝1，y 2＝8ax⇒x ＝3a ，而由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝12，PF 1－PF 2＝2a ⇒PF 2＝6－a ，∴PF 2＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，其准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－211．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则AB ＋DE 的最小值为________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2， ∴|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：1612．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．解析：设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m ，且与x 轴的交点为M (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，∵OA ―→·OB ―→＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2. 又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO＝12·OM ·|y 1|＋12·OM ·|y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝12OF ·|y 1|＝18y 1，∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立．答案：313.如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b＞0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为________．解析：由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连结QF 2，由对称性可知，QF 2＝QF 1＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为PF 2＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，PH ＝3c ，HF 2＝c ，则P (2c ，3c )，连结PF 1，则PF 1＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝PF 1－PF 2＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a＝13－1＝3＋12. 答案：3＋1214．已知直线l ：y ＝2x ＋3a 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3a ，x 2a 2－y2b2＝1消去y ，得(b 2－4a 2)x2－12a 3x －9a 4－a 2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝12a 3b 2－4a 2，x 1x 2＝－9a 4＋a 2b2b 2－4a 2， ∵直线AB 与双曲线的左支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1＋x 2＝12a 3b 2－4a 2＜0，x 1x 2＝－9a 4＋a 2b2b 2－4a2＞0，得b 2＜4a 2，即c 2－a 2＜4a 2，∴c 2＜5a 2，∴e 2＜5，故1＜e ＜ 5.法二：由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，直线l ：y ＝2x ＋3a 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0，且与双曲线的左支交于A ，B 两点，则直线l 要比渐近线更陡，即2＞ba，b ＜2a ，即b2＜4a 2，c2－a2＜4a2，∴c2＜5a2，∴e2＜5，故1＜e＜ 5.答案：(1，5)。

14个填空题综合仿真练(一)1. ______________________________________________________ 已知集合A= {0,3,4} , B= { —1,0,2,3}，贝U A n B= ________________________________________________________________________ .解析：因为集合A= {0,3,4} , B= { —1,0,2,3}，所以A n B= {0,3}.答案：{0,3}22. 已知x> 0,若(x —i)是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x= ________________ .解析：因为x>0, (x—i) 2= x2— 1 —2x i是纯虚数(其中i为虚数单位)，所以x2— 1 = 0 且—2X M0,解得x= 1.答案：13. ___________________________________________________________ 已知函数f (x) = x2—2x —3，则该函数的单调递增区间为__________________________________ .解析：设t = x2—2x—3,由t >0, 即卩x2—2x —3>0,解得x<—1或x>3,所以函数f(x)的定义域为(一汽—1］U ［3 , ),因为函数t = x2—2x—3的图象的对称轴为x= 1,所以函数t = x2—2x—3在(—g, —1］上单调递减，在［3 ,+^)上单调递增，所以函数f (x) 的单调递增区间为［3 ,+^).答案：［3 ,+^)4. _________ 从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是___ .解析：将2个白球记为A, B,2个红球记为C, D,1个黄球记为E,则从中任取两个球的所有可能结果为(A, B) , (A, C), (A, D) , (A, E) , (B, C) , (B, D) , ( B, E) , (C, D) , (C,日，(D,日，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A, C), (A , D) , (B, C) , (B, D) , ( E,6 3C) , (E , D)共6个，故所求概率为P=^ =-.10 5答案：355. 执行如图所示的伪代码，若输出的_________ y的值为13 ,则输入的x的值是.1 / 49.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为2 / 413解析：若6x = 13,则x = >2,不符合题意；若 x + 5= 13，则x = 8>2,符合题意，故6x = 8.答案：86 . 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)分别为：3 / 4解得 a = 2 ..：5.答案：2 ：5119.已知a ,卩€ (0 , n ),且tan( a —卩)=~ , tan 卩=—匚,则tan a 的值为 __________________2 5答案：右10.已知关于x 的一元二次不等式 ax 2 + bx + c >0的解集为(一1,5),其中a , b , c 为常 数.则不等式cx 2+ bx + a <0的解集为 ____________________ .. _ 2解析：因为不等式 ax + bx + c >0的解集为(一1,5),所以a (x + 1)( x — 5)>0 ,且a <0 ,222即 ax — 4ax — 5a >0 ,贝U b =— 4a , c =— 5a ,贝U cx + bx + a <0 即为一5ax — 4ax + a <0,从21 而 5x + 4x —1< 0,解得—1< x w .5答案：-1, 11 1解析：这组数据的平均数为 5(9.4 + 9.7 + 9.8 + 10.3 + 10.8) = 10，方差为号[(10 — 9.4)2 2 2 2+ (10 — 9.7) + (10 — 9.8) + (10 — 10.3) + (10 — 10.8) ] = 0.244.答案：0.2 44n7.已知函数 f (x ) = sin( 3x +0 )(0< co <2,0< 0 <n ).若 x =——为函数 f (x )的一个零n点，X =~3为函数f (x )图象的一条对称轴，则 o 的值为 ______________n n解析：函数f (x )的周期T = 4X — + — T =生,所以o = 2nX 呉=7.o7 n 7答案：6&在厶ABC 中,角A , B, C 所对的边分别为 a , b , c , 且满足 cos== 2~5, AB • AC =253, b + c = 6,贝U a =2A 3 丄 ,••• cos A = 2陀—1 = 5 又由 2A2-- > --- > AB • AC = 3,得 bc cos A = 3 ,••• bc = 5 ,由余弦定理得 2 2 2a =b +c — 2bc cos A = ( b + c )2bc (1 + cos A ) = 36 — 10X 5= 20 ,5解析：tana = tan[(tan a — S + tan SB ) + S] = 1 — tan a —S tan S =311.9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为4 / 4y y 2y - 2+ 2 2x = y —2>0,则 log 次+ log 2y = log 2xy = log 2y —2 = log 2 y —2+ 上2+ 4 >log 28= 3，当且仅当(y — 2)2= 4,即y = 4时等号成立, y — 2+ log 2y 的最小值为3.答案：3 12.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： x 2+ y 2+ 2x — 8= 0,直线I :y = k (x — 1)( k€ R)过定点A,且交圆C 于点B, D,过点A 作BC 的平行线交 CD 于点己，则厶AEC 的周长为解析：易得圆 C 的标准方程为(x — 1)2+ y 2= 9,即半径r = 3,定点A —1,0)，因为AE // BC 所以 EA= ED 贝U EC + EA= EC + ED= 3,从而△ AEC 的周长为 5.答案：513. 设集合 A = {x | x = 2 , n € N}，集合 B= {x |x = b n , n € N}，满足 A n B = ?，且 A U B =N .若对任意的 n € N , b n <b n + 1 ,贝U b 2 017 = _________________ .解析：因为210= 1 024<2 017,2 11= 2 048>2 017，所以小于等于 2 017的正整数中有10 个是集合A 中的元素，所以由集合B 的定义可知b 2 017 = 2 017 + 10 = 2 027.答案：2 0271 214. 已知函数f (x ) = kx , g (x ) = 2ln x + 2e -<x <e ，若f (x )与g (x )的图象上分别存e在点M N 使得M N 关于直线y = e 对称，则实数k 的取值范围是 ________________________ .1 2设曲线 y = — 2ln x -W x We 上的点 P (x o ,— 2lne解析：设直线y = kx 上的点Mx , kx )，点M 关于直线y = e 的对 称点Nx, 2e — kx )，因为点N 在g (x ) = 2ln x + 2e x <e 2的图象上, e 所以 2e — kx = 2lnx + 2e ,所以 kx = — 2ln x .构造函数y = kx , y = —2ln画出函数 1 2 y =— 2ln x e W x <e 的图象如图所示,切点).因为y '22，所以过点P 的切线方程为y + 2ln X 。

14个填空题综合仿真练(六)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z}，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z}＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z}＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}．答案：{6,7}2．已知复数z 满足(1－i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则z 的模为________．解析：由(1－i)z ＝2i ，得z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝2i (1＋i )2＝－1＋i ，则z 的模为(－1)2＋12＝ 2.答案： 23．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n ＝900.答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋I I ←I ＋2End WhilePrint S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8； S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8；S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8；S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8；S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17.答案：175．设双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x ，则tan 30°＝1a ，即a ＝3，则c ＝2，所以e ＝233. 答案：233 6．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425. 答案：425 7．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：3π38．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和．若a 1＝1q 2，且S 5＝S 2＋2，则q 的值为________．解析：由题意可得：S 5－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＝a 1(q 2＋q 3＋q 4)＝1q 2(q 2＋q 3＋q 4)＝1＋q ＋q 2＝2，结合q >0可得q ＝5－12. 答案：5－129．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．解析：f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，且f (e)＝e ，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，因为f (x )为奇函数，所以f (－e)＝－f (e)＝－e ，故结合函数图象得f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．答案：(－∞，－e)10．若点(x ，y )位于曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包含边界)，则2x －y 的最小值为________．解析：作出曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包括边界)如图：设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A 时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，y ＝－2x ＋1，解得A (－1,3)，此时z ＝2×(－1)－3＝－5. 答案：－511．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3和g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－πx 的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M ，N ，已知O 为原点，则OM ―→·ON ―→＝________.解析：令f (x )－g (x )＝0，化简得2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6＝0，则πx ＋π6＝k π，k ∈Z ，x ＝k －16，k ∈Z ， 则M ⎝⎛⎭⎫－16，32，N ⎝⎛⎭⎫56，－32， 故OM ―→·ON ―→＝⎝⎛⎭⎫－16，32·⎝⎛⎭⎫56，－32＝－89. 答案：－8912．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为__________．解析：设AB 的中点为M ，则|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|⇒2|OM |≥3|2AM |⇒|OM |≥32|OA |＝62，又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以62≤|OM |<2，而|OM |＝21＋b 2，所以62≤21＋b 2<2⇒1<b 2≤53，解得1<b ≤153或－153≤b <－1，即b 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎤1，153. 答案：⎣⎡⎭⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎤1，153 13．设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当1≤m ≤2时，不等式x |x －m |≥m －2显然成立；当2<m <3时，令f (x )＝x |x －m |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (m －x )，1≤x <m ，x (x －m )，m ≤x ≤3，f (x )min ＝f (m )＝0，故不等式x |x －m |≥m －2不恒成立； 当m ≥3时，令f (x )＝x (m －x )，则f (1)＝m －1，f (3)＝3(m －3)，显然m －1>m －2恒成立，令3(m －3)≥m －2，解得m ≥72， 故m 的取值范围为[1,2]∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. 答案：[1,2]∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________． 解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，得cos A sin A ＋cos B sin B ＝4cos C sin C， 即sin (A ＋B )sin A sin B ＝4cos C sin C ， 化简得sin 2C ＝4sin A sin B cos C .由正、余弦定理得c 2＝4ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2(a 2＋b 2－c 2)， 即3c 2＝2(a 2＋b 2)，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13，当且仅当“a ＝b ”时等号成立． 所以cos C 的最小值为13，故sin C 的最大值为223. 答案：223。

14个填空题专项强化练(四) 导数及其简单应用A 组——题型分类练 题型一 导数的概念与运算 1．y ＝ln xx 的导数为________．解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln xx 22．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1.答案：13．若曲线y ＝a cos x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝________. 解析：因为y ＝a cos x ＋1的导函数为y ′＝－a sin x ，所以曲线在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线的斜率为k ＝－a ，由于切线与直线2x ＋y ＋3＝0垂直，则(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.答案：－124．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.答案：6题型二 导数与函数的单调性1．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，令f ′(x )<0，解得0<x <1，所以单调递减区间是(0,1)．答案：(0,1)2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx 在区间(－∞，－3)和(2，＋∞)上是增函数，在(－3,2)上是减函数，则ab ＝________.解析：因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，由已知条件可得－3,2是f ′(x )＝0的两根，所以a ＝－32，b ＝－18，从而ab ＝27.答案：273．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－ax ＋3a 在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得，f ′(x )＝x 2＋2x －a ，根据题意知f ′(x )≥0，即x 2＋2x ≥a ，而x 2＋2x ＝(x ＋1) 2－1≥(1＋1) 2－1＝3，所以a ≤3.答案：(－∞，3]4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，当x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.答案：(1,2]题型三 导数与函数的极值、最值 1．函数y ＝2x －1x2的极大值是________．解析：y ′＝2＋2x 3，令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′>0；当－1<x <0时，y ′<0. 所以当x ＝－1时，y 取得极大值－3. 答案：－32．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．解析：因为函数f (x )在(1,2)上有极值，则需函数f (x )在(1,2)上有极值点．法一：令f ′(x )＝x 2＋2x －2a ＝0，得x 1＝－1－1＋2a ，x 2＝－1＋1＋2a ，因为x 1∉(1,2)，因此则需1<x 2<2，即1<－1＋1＋2a <2，即4<1＋2a <9，所以32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.法二：f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.答案：⎝⎛⎭⎫32，43．函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，所以f ′(x )＝0在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π上的解为x ＝π2.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝π12＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f (π)＝－1，所以函数f (x )＝x sin x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤π6，π上的最大值为π2.答案：π24．已知函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，则函数f (x )在[1，e]上的最大值为________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax－2bx ，因为函数f (x )＝a ln x －bx 2的图象在x ＝1处与直线y ＝－12相切，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝a －2b ＝0，f (1)＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12，即函数f (x )＝ln x －x 22.又当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1x －x ≤0， 所以函数f (x )在[1，e]上单调递减， 其最大值为f (1)＝－12.答案：－12B 组——高考提速练1．已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________．解析：由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x ＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.答案：12．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(0)＝－a sin 0＝0，∴g ′(0)＝2×0＋b ＝0，∴b ＝0， 又m ＝1＝a ，∴a ＋b ＝1. 答案：13．若直线y ＝ax 是曲线y ＝2ln x ＋1的一条切线，则实数a ＝________.解析：依题意，设直线y ＝ax 与曲线y ＝2ln x ＋1的切点的横坐标为x 0，则有y ′| x ＝x 0＝2x 0，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x 0，ax 0＝2ln x 0＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝2e －12.答案：2e －124．函数f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________． 解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2. 由f ′(x )<0，得x <－2或x >1. 由f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－125．已知曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：因为y ＝a ln x ，所以y ′＝ax ，所以在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0，故切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a .所以三角形面积S ＝12×a ×1＝4，所以a ＝8.答案：86．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．解析：求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.则f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x .由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，所以对m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.答案：－47．已知函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的导函数f ′(x )＝1＋a ·cos x ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立．令cos x ＝t ，t ∈[－1,1]，问题转化为g (t )＝at ＋1≥0在t ∈[－1,1]上恒成立，即g (－1)≥0，g (1)≥0成立，所以－1≤a ≤1.答案：[－1,1]8．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，故f (x )在⎝⎛⎭⎫－1，－23，(1,2)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－23，1上单调递减，故f (x )在x ＝1处取得极小值，且f (1)＝72，f (－1)＝112，故f (x )min ＝72，所以a <72.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，72 9．f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为________．解析：f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )<0时，－2<x <2. f ′(x )>0时，x <－2或x >2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，在(－2,2)上是减函数． ∴f (x )极小值＝f (2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m ＝－43.∴m ＝4. 答案：410．已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )<12，则f (x )<x 2＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x 2＋12， 则F (1)＝f (1)－⎝⎛⎭⎫12＋12＝1－1＝0，F ′(x )＝f ′(x )－12，对任意x ∈R ，有F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减，则F (x )<0的解集为(1，＋∞)，即f (x )<x 2＋12的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)11．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．解析：因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， 所以a ＝1.所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.故由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合f (x )的图象(如图所示)可知，实数m 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)12．已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数h (x )＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为____________________．解析：由h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )，得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 答案：5x －16y ＋3＝013．设直线y ＝a 分别与曲线y 2＝x 和y ＝e x 交于点M ，N ，则当线段MN 取得最小值时a 的值为________．解析：由题意，a >0，M (a 2，a )，N (ln a ，a )，故MN 的长l ＝|a 2－ln a |，设f (a )＝a 2－lna (a >0)，所以f ′(a )＝2a －1a ＝2a 2－1a ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋22⎝⎛⎭⎫a －22a ，令f ′(a )>0，得a >22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫22，＋∞上单调递增；令f ′(a )<0，得0<a <22，所以f (a )在⎝⎛⎭⎫0，22上单调递减，所以当a ＝22时，f (a )min ＝f ⎝⎛⎭⎫22＝12－ln 22>0，所以l ＝|a 2－ln a |＝a 2－ln a ＝f (a )，所以当a ＝22时，线段MN 的长取得极小值，也是最小值．答案：2214．若函数f (x )＝e x ＋x 3－12x －1的图象上有且只有两点P 1，P 2，使得函数g (x )＝x 3＋m x的图象上存在两点Q 1，Q 2，且P 1与Q 1，P 2与Q 2分别关于坐标原点对称，则实数m 的取值集合是________．解析：设函数f (x )的图象上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则Q 1(－x 1，－y 1)，Q 2(－x 2，－y 2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫e x 1＋x 31－12x 1－1＝－x 31＋m －x 1，－⎝⎛⎭⎫e x 2＋x 32－12x 2－1＝－x 32＋m －x 2，即方程－⎝⎛⎭⎫e x ＋x 3－12x －1＝－x 3－m x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即方程x e x －12x 2－x ＝m 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两解，即函数h (x )＝x e x －12x 2－x (x ≠0)的图象与y ＝m 的图象有两个交点，令h ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)＝0得，x ＝0(舍去)或x ＝－1，作出函数h (x )图象知，当且仅当x ＝－1时有两解，所以m ＝h (－1)＝e －22e.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫e －22e。