上海市复兴高级中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，班级写在姓名后面。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集U={1,2,3,4},集合M={1,2},N={2,3},则N∪(∁UM)=( ) A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3} D．{4}2．复数的虚部是（）A． 2i B． 2 C． i D．13．已知命题，则为( )A． B．C．D．4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是( )A．0.16 B．0.24C．0.96 D．0.045.已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s的值等于( )A．－10 B．－3C．0 D．－27．设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( ) A．22 B．8C．7 D．238．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.45 B．0.75C．0.6 D．0.89．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )A．30B．20C．15 D．1010. 某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1,2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是( ) A．1,2,3,4,5,6 B．6,16,26,36,46,56C．1,2,4,8,16,32 D．3,9,13,27,36,5411．曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－212. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.14.已知x，y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为＝1.46x＋，则实数的值为________．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)等于16.设a>0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组研发新产品是否成功相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．18. (本小题满分12分)“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的众数和平均数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望．20.（本小题满分12分）有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为.(1)请完成上面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝，21.（本小题满分12分）已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,2]的最值．22.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．奈曼旗实验中学2018--2019学年度（下）期末考试高二理科数学试卷出题人：秦绪钰(本试题卷共4页，考试用时120分钟，满分150分。

2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（每题 3分）1- （ 3 分）11血（1丄）= _________ -2. ____________________________________________________ （ 3 分）已知等差数列 a i = 3, a n = 21, d = 2，贝U n = __________________________________ .3. （ 3 分）数列｛a n ｝中，已知 a n = 4n - 13?2n +2, n €N* , 50 为第 _______项.4. ________________________________________________________________ （ 3 分）｛a n ｝为等比数列，若 a 1+a 2+a 3= 26, a 4 - a 1= 52,贝U a n = ______________________ .n*5. （3 分）用数学归纳法证明（n+1） （ n+2） （n+3）•••（ n+n ）= 2 ?1?3?5•••（2n - 1） （n€N ）时，从n = k 到n = k+1时左边需增乘的代数式是 __________ .6. ___________________________________________________________________________ （3 分）数列｛ a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 3, a n+1= （2n - a n （n = 1, 2,…），贝U a 3 等于 _______ .7. （ 3 分）数列｛x n ｝满足 x n+1 = x n - x n -1, n 》2, n €N*, x 1= a , x 2= b ,贝U x 2019= ______ . & （ 3分）数列｛a n ｝满足下列条件：a 1 = 1，且对于任意正整数 n ,恒有a 2n = a n +n ，贝U a 二9. ( 3 分)数列｛a n ｝定义为 a 1 = cos 0, a n +a n+1 = nsin 肝cos B , n 》1,贝U S 2n+1 = ___ 10. （3分）已知数列｛a n ｝是正项数列，S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足11. （3分）若三角形三边成等比数列，则公比 q 的范围是 ________12. （3 分）数列｛a n ｝满足 a 1 = 1, a 2= 2, a 3 = 3 , a 4 = 4 , a 5= 5,当 n 》5 时，a n+1 = a 1?a 2?…?a n - 1,则是否存在不小于 2的正整数 m ,使a 1?a 2?…？ a m = a 1 +a 2 +…+a m 成立？若存 在，则在横线处直接填写 m 的值；若不存在，就填写"不存在" ____________ . 、选择题（每题 3 分） 已知等差数列｛a n ｝的公差为2,前n 项和为S n ,且S 10= 100 ,则a 7的值为LI * I右b n ,T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，贝y T 99= _________13. (3 分)A . 11B . 12C . 13D . 142C . 514. (3 分) 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 3= a 2+10a 1, a 5= 9，贝U a 1=（g15. （3分）设等差数列｛ a n ｝的前n 项和为 3,若 S m- 1 =- 2, S m = 0, S m+1 = 3，贝V m =16. ( 3 分)设 0v aV兀~2 LT * . ■，右 x 1= sin a,x n+1 = (sin a) V- ( n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是( )A .递增数列B .递减数列C •奇数项递增，偶数项递减的数列D •偶数项递增，奇数项递减的数列三、解答题17. (8分)等差数列｛a n｝的前n项和为S n, S4=- 62, S6=- 75设b n= |a n|,求数列｛b n｝的前n项和T n.218. (10 分)已知数列｛ a n｝的前n 项和S n= n - 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n｝的通项公式；(2)若数列｛b n｝满足：a n+1+log3n = log3b n ( n€N*),求｛ b n｝的前n项和T n (结果需化简) 19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件.若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为(n- 1)千元时多卖出亠件，(n讯*).2口(1)试写出销售量s与n的函数关系式；(2)当a= 10, b= 4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？2 S |i ? Io20. (10 分)设数列｛a n｝的前n 项和S n,已知a1= 1, = a n+1 - - n-—, n€N*.n 3 3(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)是否对一切正整数n,有1丄十…丄＜?注?说明理由.Sj a 2 3 n+121. (14 分)设集合S n= ｛(x1, x2,…，x n) X：€｛0 , 1｝(i = 1, 2,…，n) ｝，其中n €N*,n》2.(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1?2°+b2?21 + - +b n?2n-1“的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；a n, ,(b1, b2,…b n,…)€S，使得a1?(=) +a2? )2+…+an?(丄)•= A,且(3)设集合S= { (X1, x2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1, 2…，n…)}设(a1, a2,…,b1?( —) 1+b2?(^) 2+ …+b n?(—) "+ •-= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)的什么条件并说明理由.2018-2019学年上海中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析填空题（每题3分）（3 分）lim（1 丄）=1.n【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可【解答】解：lim （1丄）=1 - 0= 1.故答案为：1.【点评】本题考查数列的极限的运算法则的应用，是基本知识的考查.2. （3 分）已知等差数列a i= 3, a n= 21, d = 2，贝U n = 10 .【分析】直接把已知代入等差数列的通项公式求得n值.【解答】解：在等差数列｛a n｝中，由a1 = 3, a n= 21, d= 2，得21 = 3+2 （n - 1）,解得：n= 10.故答案为：10.【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题.3. （3 分）数列｛a n｝中，已知a n= 4n- 13?2n+2, n €N* , 50 为第4 项.【分析】令a n= 4n- 13?2n+2= 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0，解出n即可得出. 【解答】解：令a n= 4n- 13?2n+2 = 50,可得：（2n- 16）（2n+3）= 0,••• 2n= 16,解得n= 4.故答案为：4.【点评】本题考查了数列通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.n —14. （3 分）｛a n｝为等比数列，若a1+a2+a3= 26, a4 - a1= 52,贝U a n= 2?3 .【分析】利用等差数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出通项公式.2【解答】解：••• ｛a n｝为等比数列，a1+a2+a3= 26, a4 - a1 = 52,2aj +a 十日iq =26a J q _a J 二52 .目十9十『) ][巧(『一1] Q_1戈解得q= 3, a i = 2,n_ 1…a n= 2?3 •故答案为：2?3n一1•【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.n * 5. (3 分)用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2 ?1?3?5•••(2n- 1) (n€N )时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是4k+2 .【分析】从n= k到n= k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k) (k+1+k+l)，化简即可得k+1出.【解答】解：用数学归纳法证明(n+1) ( n+2) (n+3)•••( n+n)= 2n?1?3?5-( 2n- 1)(n €N*)时，从n = k到n= k+1时左边需增乘的代数式是^ = 2 (2k+1).k+1故答案为：4k+2.【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 3, a n+1 = ( 2n -入a n (n = 1, 2,…),贝V a3等于15 .【分析】先由a1 = 1, a2= 3, a n+1 =( 2n-入)a n,可求出人然后由n = 2时，代入已知递推公式即可求解【解答】解：T a1 = 1, a2= 3, a n+1=( 2n - Z) a n.a2=( 2 -入)a1 即3 =( 2 -入).Z=- 1, a n+1=( 2n+1) a n•. a3= 5a2 = 15故答案为：15【点评】本题主要考查了利用递推公式求解数列的项，解题的关键是求出参数入7. ( 3 分)数列｛x n｝满足x n+1= x n - x n-1, n》2, n €N*, x1= a, x2= b，贝U x2019= b—a .【分析】本题可根据题中递推公式列出前面几项会发现数列｛X n｝是一个周期数列.然后根据周期数列的性质特点可得出X2019的值.【解答】解：由题中递推公式，可得：x i = a,x2= b,x3= x2 - x i = b - a,x4= x3 - x2= b - a - b=- a,x5= x4 - x3=- a -( b - a)=- b,x6= x5 - x4=- b - (- a) = a - b,x7= x6 - x5= a - b - (- b)= a,x8= x7 —x6= a -( a - b)= b,x9= x8 - x7= b - a,「•数列｛X n｝是以6为最小正周期的周期数列.•/ 2019-6= 336…3.• X2019= x3= b - a.故答案为：b- a.【点评】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求出任一项的值•本题属中档题.& （3分）数列｛a n｝满足下列条件：a i = 1,且对于任意正整数n,恒有a2n= a n+n，则a加| = 512 .【分析】本题主要根据递推式不断的缩小，最后可得到结果，然后通过等比数列求和公式可得结果.【解答】解：由题意，可知：a）i: = a256+256=a128+128+256=a64+64+128+256=a32+32+64+128+256=a16+16+32+64+128+256=a8+8+16+32+64+128+256=a4+4+8+16+32+64+128+256=a2+2+4+8+16+32+64+128+256=a i+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=1+1+2+4+8+16+32+64+128+256=2+21+22+23+ …+28=2+2 X( 1+2+22+ (27)1-21- 29=2+2 X_—=29=512.故答案为：512.【点评】本题主要考查根据递推公式不断代入，以及等比数列的求前n项和公式•本题属基础题.9. (3 分)数列｛a n｝定义为a1 = cos B, a n+a n+1 = nsin 肝cos B, n》1,贝U S2n+1 = (n+1) cos B+2(n +n) sin B【分析】由题意可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+ a5) +…+ (a2n+a2n+1),运用并项求和和等差数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：数列｛ a n｝定义为a1 = cos0, a n+a n+1 = nsin 0+cos 0, n》1,可得S2n+1 = a1+ (a2+a3) + (a4+a5) + …+ (a2n+a2n+1) = cos 0+ (cos 0+2sin 0) + (cos 0+4sin 0) + …+ (cos 0+2nsin 0) = ( n+1) cos 0+ ( 2+4+ …+2n) sin 0i 2=(n+1) cos 0+—n ( 2+2n) sin 0=( n+1) cos 0+ (n2+n) sin 02故答案为：(n+1) cos 0+ (n2+ n) sin 0.【点评】本题考查数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，考查化简运算能力，属于基础题.10. ｛a n｝是正项数列，S n是数列｛a n｝的前n项和，且满足(an ),若b n= ,T n是数列｛b n｝的前n项和，则T99 =【分析】求得数列的前几项，归纳a n =「- ，S n =|(,求得b n = 一LVnVn+1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用归纳法，考查数列的裂项相消求和,以及化简运算能力，属于中档题.代入，分q 》1和q v 1两种情况分别求得 q 的范围，最后综合可得答案. 【解答】解：设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,(1)当q 》1时a+qa > q 2a ,等价于解二次不等式：q 2-q — 1v 0，由于方程q 2— q — 1 = 0 两根为：1,2 L 、——I -V S20n d , IIA /S即 1 w q v -----1【解答】解：数列｛a n ｝是正项数列, 再由裂项相消求和，计算可得所求和.S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且满足S n =(a n可得a i = S 1 =(a 1+)，可得a l同样求得a 3= 一 一:-.爲…，猜想 代入S n =A2a 1 = 1 ； a 1+a 2= 2)，解得 a 2={^ — 1,an =Vii -"□_], Sn ^Vn ,(an+ard-LVn+1 Vn)，即有T 99= 1 - LU--=1 —111010=_9_ =To故答案为:1011 • (3 分)【分析】q 的范围是_ ： ： , 1 _ ：■-•设三边：a 、qa 、q 2a 、q >0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b >c ,把a 、若三角形三边成等比数列，则公比 2qa 、 q2故得解：一v q v 上二-且q 》1,( 则b n =洽烧—^+…沽2(2)当q v 1时，a为最大边，qa+q2a>a即得q2+q- 1>0，解之得q> _ "或q v —综合(1) ( 2),得：q —故答案为：］心)2 2 ｝【点评】本题主要考查了等比数列的性质•属基础题.12. (3 分)数列｛a n｝满足a1= 1, a2= 2, a3 = 3, a4 = 4, a5= 5,当n>5 时，a n+1 = a1?a2?…?a n- 1,则是否存在不小于2的正整数m,使a1?a2?…？a m= a1 +a2 +…+a m成立？若存在，则在横线处直接填写m的值；若不存在，就填写“不存在”70 .【分析】设b m= a1?a2?…？a m- a12- a22------------- a m2中，令n= 5代入数据计算即可求出b5.由b5 = a1?a2?…？a5—a1 - a2 a5 中构造出b m+1 = a1?a2?…？a m+1- a1 - a2-a m+12，两式相减，并化简整理，可以判断出当m》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列•利用等差数列通项公式求解即可.【解答】解：设b m= a1?a2?…？a m-a12- a22-…-a m2,由已知，b5= a1 ?a2?…？a5 —a12- a22a52=1 X 2X 3X 4X 5-( 12+22+32+42+52)=120 - 55=65当m》5 时，由a m+1= a1?a2?…？a m- 1，移向得出a1?a2?…？a m= a m+1+1 ①2 2 2T b m= a1?a2?…？a m-a1 - a2 a m ,②2 2 2•- b m+1 = a1?a2?…？a m+1 —a1 - a2 -…—a m+1 ③2③-②得b m+1 - b m= a1?a2?•…？a m a m+1 - a1?a2?•…？a m- a m+1=a1?a2?…？a m (a m+1 - 1) - a m+1 (将①式代入)2 2 2=(a m+1 + 1) (a m+1 - 1) - a m+1 = a m+1 - 1 - a m+1=-1•••当n》5时，数列｛b n｝的各项组成等差数列，• b m= b5+ ( m - 5) X( - 1) = 65 -( m - 5)= 70 - m.2 2 2右a1?a2?…？a m= a1 + a2 + …+a m 成立，•- b m= 0，即m= 70故答案为：70.【点评】本题考查等差关系的判定、通项公式.考查转化、变形构造、计算能力.二、选择题(每题3分)13. (3分)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S10= 100,则a7的值为()【分析】由S10= 100及公差为2 .利用求和公式可得a1= 1.再利用通项公式即可得出.【解答】解：由S10= 100及公差为2.10a1+ ——-x 2= 100,2联立解得a1 = 1.--a n= 2n- 1,故a7= 13.故选：C.【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.14. （3分）等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3= a2+10a1, a5= 9，贝U a1=（）A. 1 B .丄 C .— D •曰3~39g【分析】设等比数列｛an｝的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到日 1 +乩1口十已1q =a1q+10 at，解出即可.s j q■丄【解答】解：设等比数列｛a n｝的公比为q,•S3= a2+10a1, a5= 9,r 2日i + a i q+a i q•，解得•臥二g故选：C.【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.15. （3分）设等差数列｛a n｝的前n项和为3,若S m-1=- 2, S m= 0, S m+1 = 3,贝y m=（）A . 3B . 4C . 5D . 6【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m,进而得到公差d，由前n项和公式及S m = 0可求得a1,再由通项公式及a m= 2可得m值.【解答】解：a m= S m- S m-1 = 2, a m+1 = S m+1 - S m= 3,所以公差d= a m+1 - a m= 1,A . 11B . 12 C. 13 D. 14得 a 1 =- 2, 所以 a m =- 2+ ( m - 1 )?1 = 2,解得 m = 5,S另解：等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,即有数列｛——｝成等差数列,n解得m = 5.故选：C .【点评】本题考查等差数列的通项公式、 前n 项和公式及通项 a n 与S n 的关系，考查学生 的计算能力.16. ( 3 分)设 0v aV ^j ，若 x 1= sin a, x n+1=( sin a) % (n = 1, 2, 3…)，则数列｛x n ｝是 ( )A .递增数列B .递减数列C .奇数项递增，偶数项递减的数列D .偶数项递增，奇数项递减的数列【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0 V sin aV 1，进而可得函数y =( sin a)x为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案. 【解答】解：根据题意，0 V aV —，则0V sin aV 1 ,m - 1 > 0, m > 1,因此 m 不能为0, 又一解：由等差数列的求和公式可得(m - 1) (a 1+a m-1 )=- 2,(a 1 + a m ) =0, 可得 a 1 =- a m ,(m+1) (a 1+a m+1)= 3,[6 .-4m+1S m =则5 ：,」，"「成等差数列，HL'1 in m 十 12a m + a m+1 +a 0,指数函数y=( sin a) x为减函数,■'■( sin a) 1<( sin a) sin y ( sin a) 0= 1, 即—「〔八「I ]…，：(sinU ) '< (sinQ ) (日 )Z]< (吕 in a )打< (sin^ )^ = 1， 即 0 < X 1 < X 3< X 4< X 2< 1 ,(sinQ ) 'W (sin 口)(si 门 a ) (sin^ )勺< (曰 in a )Xj < (sin ) 0 =1即 0 < X 1 < x 3< x 5< x 4< x 2< 1，…，0< x 1< x 3 < x 5< x 7<・・・< x 8< x 6< x 4< x 2< 1 . 「•数列｛x n ｝是奇数项递增，偶数项递减的数列 故选：C .【点评】本题考查数列通项公式，涉及数列的函数特性，属中档题. 三、解答题17. （ 8分）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 4=- 62, S 6=- 75设b n = |a n |,求数列｛b n ｝的 前n 项和T n .【分析】由已知条件利用等差数列前 n 项和公式求出公差和首项，由此能求出 a n = 3n -1 < n < 7 时，T n =- S n =…，当 n 》8 时，T n =【解答】解：I S 4=- 62, S 6=- 75,4a16 a |解得 d = 3, a 1=- 20,「. a n = 3n - 23,设从第n+1项开始大于零,• n = 7,即 a 7< 0, a 8> 0 当 1 < n W 7 时，T n =- S n =—V "23，且 a 7< 0, a 8> 0.当 3 3 43 2 n ~T一启.a^-20+3 Cn-lKOS+l 二-'【点评】本题考查数列的前 n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数 列的性质的合理运用.18. (10 分)已知数列｛ a n ｝的前 n 项和 S n = n 2 — 2n+1 (n €N*).(1 )求｛a n ｝的通项公式；(2)若数列｛b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n ( n€N*),求｛ b n ｝的前n 项和T n (结果需化简) 【分析】(1)运用数列的递推式得 n = 1时，a 1= S 1, n 》2时，a n = 3-S n -1，化简计算 可得所求通项公式；(2)求得b n = n?32n — 1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算 可得所求和. 【解答】解：(1) S n = n 2 — 2n+1，可得 a 1 = S 1 = 0,22n 》2 时，a n = S n - S n -1= n — 2n+1 —( n - 1) +2 ( n - 1) — 1 = 2n - 3,(2)数列｛ b n ｝满足：a n+1+log 3n = log 3b n (n€N*), 可得 2n - 1+log 3n = log 3b n ,即 b n = n?3 ,前 n 项和 T n = 1?3+2?33+ …+ n?3勿 1, 9T n = 1?33+2?34+…+ n ?32n+1,两式相减可得-8T n = 3+33+35+ …+32n 1 - n?32n+1 =-n?32n+1,化简可得T n【点评】 本题考查数列的递推式的运用，考查数列的错位相减法求和，以及等比数列的 求和公式，考查运算能力，属于中档题.19. (10分)某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣 传且每件获利a 元的前提下，可卖出 b 件.若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费综上有，T n =当n 》8时，T进而可求S 的最大值【解答】（1）解法一、直接列式：由题,费为1千元时，s = b+L ；2千元时，s = b+ 2s = b + !■o —2 丄+ 丄；22+」••• +_L2n=b （2 -丄）（广告 2n…n 千元时s = b 也乙223+ …+-!^-23 2n解法二、（累差叠加法）设 S 0表示广告费为0千元时的销售量, 由题: b 巧r 盯，s 2~s 1 ~~~2，相加得S n - S3 b b b 12 22 23 + b bb u / o 1) 2 22 + ■ + + 1沪2n =b (2 2n ) 即 S n = b+ (2) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄),设获利为 t ,则有 t = s?10- 1000n = 40000 (2-丄) 2n 2n-1000n为（n - 1）千元时多卖出 亠件，（n 讯*）.2n（1） 试写出销售量s 与n 的函数关系式；（2） 当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品,做几千元广告，才能获利最大?【分析】对于（1）中的函数关系，设广告费为 n 千元时的销量为s n ,则s n -1表示广告费s n --s n - 1=丄，可知数列｛s n ｝不成等差也不成等比数2n为（n - 1）元时的销量，由题意,列，但是两者的差上-构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接2n列式：由题，s = b+2 + ■■ +…+ ■ 23-b s i-一,S s-S rp-；-〉，累加结合等比数列的求和公式可求 &(2)) b = 4000 时，s = 4000 (2-丄)，设获利为 T n ,则有 T n = s?10- 1000n = 40000 (22n欲使T n 最大，根据数列的单调性可得，代入结合n 为正整数解不等式可求 n ,=b ( 2-)22 解法二、利用累差叠加法： -1000n ,(小)项，解题中要注意函数思想在解题中的应用.(1)求数列｛a n ｝的通项公式; 1 1 ”5 12“ 3 n+1【分析】(1)运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求; (2)对一切正整数n,有--引 a欲使T n 最大，则，得，故 n =5,此时 s = 7875.即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告, 能使获利最大.【点评】本题主要考查了数列的叠加求解通项公式, 利用数列的单调性求解数列的最大1 =1 V 12 nn £-l=—( 2 h-1 n+1),再由裂项相消求和，即可得证.【解答】解：(1)v=a n+1—n| 32• 2S n = n a n+1 —二 n — n —二 n = n a n+1 — 3 3 2nCn+1) (n+2) •••当 n 》2 时，2S n -1=( n — 1) a n—3Cn-L)n(n +1) 由①—②，得 2S n — 2S n -1 = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),T 2a n = 2S n — 2S n -1,.°. 2a n = na n+1 —( n — 1) a n — n (n+1),=1，•数列｛ A ｝是以首项为n1，公差为1的等差数列.2(n — 1)= n ,. a n = n (n 》2),当n = 1时，上式显然成立.••• a n = n 2, n€N* n ,有亠四］曰 2 a n 3 n+1(2)对一切正整数丄+_!n n-1 n+120. (10分)设数列｛a n ｝的前n 项和S n ,已知a 1= 1,=a n+1 -丄二-n —,n€N*.(2)是否对一切正整数 n ,有"•?说明理由..考虑当n > 3时,可得—（_+, ）＞-,2n n+1 n+1即有_-_ （_+」^）v丄-」^,3 2 n n+1 3 口十1则当n》3时，不等式成立；检验n= 1, 2时，不等式也成立，综上可得对一切正整数n,有丄丄宀丄夺亠.衍日2 S 3"1【点评】本题考查数列递推式，考查数列求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键.21 . (14 分)设集合S n= { (x1, x2,…，x n) X：€{0 , 1} (i = 1, 2,…，n) }，其中n €N*,n》2 .(1 )写出集合S2中的所有元素；(2)设(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,证明：“ a1?20+ a2?21 + …+ a n?2n 1=b1 ?20+ b2?21 + …+ b n?2n 1“的充要条件是"a i = b i (i = 1, 2，…,n)”；(3)设集合S= { (X1, X2,…x n,…)|x i €{0, 1} (i = 1,2…，n…)}设(a1, a2,…,)2+…+an?(丄)a n，…),(b1, b2,…b n，…)€S,使得a1?(一 ) +a2?b1?( —) 1+b2?^—) 2+ …+b n?^—) "+ •• •= B，试判断"A= B”是"a i= b i (i = 1, 2,…)”的什么条件并说明理由.【分析】(1)由题意求得S2中；(2)分别从充分性及必要性出发，分别证明即可，在证明必要性时，注意分类讨论；(3)将原始的式子同乘以2n,然后利用(2)即可求得答案.【解答】解：(1) S2中的元素有(0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1).0 1 n -1 0 1(2)充分性，当a i = b i (i = 1, 2,…，n),显然a1?2 +a2?2 + …+a n?2 = b1?2 +b2?2 + … +b n?2n-1成立，必要性，因为a1?20+a2?21 + - +a n?2n 1= b1?20+?21 + …+b n?2n 1,0 1 n -1所以(a1 - b1)?2 + (a2- b2)?2 + …+ (a n - b n)?2 = 0,因为(a1, a2,…，a n), (b1, b2,…，b n) €S n,所以a n- b n€{1 , 0, - 1},若a n- b n= 1,则(a1 - b1)?2°+ (a2 - b2)?21+ …+ (a n - b n)?2n 1= 20+21 + —+2n 1= 2n-1工0,当a n - b n=- 1,贝V (a1 - b1 )?2°+ (a2 - b2)?21 + ^ + (a n - b n) ?2n 1=- (20+21 + —+2 n 1)=-(2n - 1 )工 0,若a n - b n 的值有m 个1和n 个-1,不妨设2的次数最高次为r 次，其系数为1,贝U 2r-2r - 1 - 2r — 1 -……-1 = 2r - —= 2r -（ 2r - 1）= 1>0,1-2说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理只要最高次的系数是负的，整 个式子就是负的,说明最咼次的系数只能为，就是a n -b n = 0，即a i = b i , =2n ?A ,1+b 2?^) 2+ …+ b n ?(二)n + •••= B ,等价于 b 1?2n —1 由(2)得“ 2n ?A = 2n ?B “的充要条件是“ a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;即 A = B 是 a i = b i （i = 1, 2，…，n ）”充要条件.【点评】 本题考查数列的综合应用，考查重要条件的证明，考查逻辑推理能力，考查分 类讨论思想，属于难题.综上可知：“ a 1?20+a 2?21+ …+a n ?2n —1= b 1?20+b 2?21+ …+b n ?2n — 1“的充要条件是 a a i = b i (i = 1, 2，…，n )”;(3)由a 1(^) 1+a 2(^) 2+…+ a n(—) n + •••= A ,等价于 a 1?2n 1+a 2?2n —2+- +a n ?2°+ … +b 2?2n —2+ …+b n ?20+ •••= 2n ?。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡书写作答，在试题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考教师将答题卡收回。

第I卷（选择题共60分）—、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的代号为A．B．C．D的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知复数，若为纯虚数，则A. -1B. 1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和纯虚数的概念求得.【详解】由已知得：，所以解得：故选B.【点睛】本题考查复数的除法运算和纯虚数的概念,属于基础题.2.焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在y轴上可知，设双曲线的方程为，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质，求解出的值，即可求出答案。

【详解】由题意知，设双曲线的方程为，化简得。

解得。

所以双曲线的方程为，故答案选A。

【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为，若，则双曲线的焦点在x轴上，若，则双曲线的焦点在y轴上。

3.设，，若，则的最小值为A. B. 8 C. 9 D. 10【答案】C【解析】分析】根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。

【详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。

上海市2018-2019学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知i 为虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数（1+ai ）（2+i ）＝2﹣a +（1+2a ）i 是纯虚数，∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a ＝2． 故答案为：2．【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题． 2.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______.【答案】6 【解析】 【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．3.以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F （±1，0），，0）；则双曲线的顶点为（±1，0），0）， ∴a ＝1，c，∴b ==1， ∴双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．4.某圆锥体的侧面图是圆心角为23π的扇形，当侧面积是27π时，则该圆锥体的体积是______.【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，则侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l 2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，则2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h === ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题．5.已知实数x 、y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为______.【答案】5 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的体积相等，则它们的表面积之比:S S =圆柱球______.（用数值作答） 【答案】76【解析】【分析】由已知中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 则球的表面积S 球＝4πR 2又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 则S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=， ∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76. 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．7.若虛数1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，则pq =______.【答案】1 【解析】 【分析】设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R ），根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为共轭复数，设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R 且b 0≠），又212z z =，则222abi a b -+=a ﹣bi ，∴（2a +b ）+（a +2b ）i ＝1﹣i ，∴22122ab 2a a b a b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=±⎪⎩．∴z 1＝12-，z 2＝12-i ，（或z 2＝12-，z 1＝12-i ）由根与系数的关系，得p ＝﹣（z 1+z 2）＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．8.已知双曲线221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，则直线2PA 的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，202011y x =-，由A 1（﹣1，0），A 2（1，0），知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线PA 2的斜率． 【详解】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，∴202011y x =-， ∵A 1（﹣1，0），A 2（1，0），设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=． 故答案：2．【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．9.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R =______.【答案】【解析】 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：．【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题．10.关于x 的方程1x +m 的取值范围是______.【答案】m 1≥-． 【解析】 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y =的m 分类，分别画出y =的图象，可求出实数m 的取值范围．【详解】∵关于x 的方程x+1=故直线y＝x+1的图象和函数y=的图象有一个交点．在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y=的图象．由于函数y====和直线y＝x+1的图象如图：当m=0时，y x满足有一个交点；当m>0时，y=y2﹣x2＝m(y>0)此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，如图：只要m>0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y=的图象有一个交点，当m<0时，y=x2﹣y2＝﹣m(y>0)，此双曲线x2﹣y2＝﹣m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为（0），如图：1≤时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y =是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．11.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动（不包括线段端点），且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②若点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，则由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确．③设=BN 1λB C ，则MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立； ④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确；【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确；②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，则由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确． ③设=BN 1λB C ，则M BCN V -＝13BCNS d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =,∴BCN S=1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时取得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1B A 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③ 故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，则22a b +的最小值为______. 【答案】1100【解析】 【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，从而可得，从而可得a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得．【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0， 由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，≥所以a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-， ∵x ﹣252x +-在[3，4]是减函数，∴252+≤x ﹣252x +≤-1+5； 即92≤x ﹣252x +≤-6； 故2115100(24)2x x ≥-++-；当x ＝3，a 225=-，b 350=-时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100．故答案为：1100． 【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a ，b 的直线方程（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0是难点，属于较难题．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13.设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 不平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直【答案】C 【解析】 【分析】由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案．【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题．14.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是（ ） A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D.221a b +>【答案】C 【解析】 【分析】先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z＝x+yi，则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆x2+y2=0的点集，若A∩B＝∅，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=0没有交点，d1=，即a2+b2＜1故选：C．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．15.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（）A. 0B. 79C. 0或79D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE=AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ9947 2339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为7 9故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误； 【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确； 对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误； ∴只有命题①正确． 故选A ．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1.（1）求二面角1B AC B --的大小；（用反三角函数表示） （2）求直线1A B 与平面11BDD B 所成角的大小.【答案】（1）；（2）6π. 【解析】 【分析】（1）连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，先说明1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角，再在1Rt BO B 中求得1tan BOB ∠即可．（2）取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1AO ⊥平面11BDD B ，可得11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B 中，计算11sin A BO ∠即可.【详解】（1）连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，因为AB BC =，则BO AC ⊥， 因为11AB CB =，则1B O AC ⊥，所以1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角.因为1B B ⊥平面ABCD ，2BO =，11BB =，所以11tan BB BOB BO ∠==所以1BOB ∠=，即二面角1B AC B --的大小为. （2）取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1A O ⊥平面11BDD B ， 所以11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角.在直角三角形11AO B 中，112A O =，1A B =所以111111sin 2A O A BO A B ∠==，所以116A BO π∠=， 所以直线1AB 与平面11BDD B 所成角的大小为6π. 【点睛】本题考查线面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题．18.已知抛物线24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点. （1）若1a =，求PA 的最小值；（2）已知O 为坐标原点，若PA 的最小值为OA ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）2a ≤. 【解析】 【分析】（1）由题意及抛物线的定义可得PA =P 到准线的距离，可得P 为抛物线的顶点时，PA 的最小值为1.（2）将PA 表示为关于x的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】（1）当a=1时，A （1，0）为抛物线的焦点，此时PA =P 到准线的距离， ∴当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离最小为1，即PA 的最小值为1. （2）||PA ===||PA 的最小值为||OA ，即当0x =时||PA 取得最小值，所以20a -≤，即2a ≤.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了二次函数最值问题，考查了分析转化能力，属于基础题.19.如图，已知四面体ABCD 中，DA DB DC ===且DA DB DC ==两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.（1）过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；（2）将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围.【答案】（1；（2）0cos θ≤≤. 【解析】 【分析】（1）由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的高，底为3，代入圆锥的体积公式，即可得到答案． （2）以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得cos θ=，令t y =+，结合点A 的轨迹方程求得t 的范围，可得结果.【详解】（1）过E 作EH DO ⊥，经计算得DO =，=OA 2OE =，由此得EH =所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积213V π==⎝⎭. （2）过O 作OGAC 交AB 于G ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D ，()10y f x π=-，3,0)C -，设(, ,0)A x y ，则(33,3,0)BC =-，(,AD x y =--，所以cosθ=，在xOy 平面上，点A 的轨迹方程为2212x y +=，令t y =+，将t y =+看作直线y=，则直线y=与圆2212x y +=有公共点，则||2t d =≤所以0t ≤≤0cos 3θ≤≤. 【点睛】本题考查了旋转体的体积，考查了利用空间向量进行异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题．20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积；（3）若平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD 所成角.试判断曲线Γ的形状并说明理由.【答案】（1）；（2）163；（3）双曲线.【解析】 【分析】 （1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，求出向量CD ，BE 的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用几何体的体积V ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣CEF ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．（3）利用向量夹角公式直接可得关于x ，y 的表达式，满足双曲线方程，可得结果.【详解】（1）∵AD DC ⊥且90ADF ︒∠=，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥如图建系，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(2,4,2)BE =--，(0,2,0)CD =-u u u r设异面直线BE 和CD 所成角的大小为θ，则6cos 1||||BE CD BE CD θ⋅==⋅所以异面直线BE 和CD 所成角的大小为. （2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2．∵V EF ﹣ABCD ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣ECF()1111111642222223332323ABCDEFCS DE S BN =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． ∴几何体EF ﹣ABCD 的体积为163．（3）设(, , 0)Q x y ，则(,,2)EQ x y =-，由题意知EQ 与CD 所成角的大小为所以|3||EQ CD EQ CD ⋅==‖化简得22184y x -=所以曲线Γ的形状是双曲线.【点睛】本题考查了利用向量法求异面直线所成角，考查了组合几何体体积的计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．21.椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .若OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；（3）设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S+的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2245x y +=；（3）5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知a ＝2b=，由此能求出椭圆方程．（2）先考虑直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m ，k的关系式，从而求得||5OD =．再验证斜率不存在时也满足，则可得点D 的轨迹方程.（3）设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出12S S S+的取值范围． 【详解】（1）由题可知，2a b =，解得：2a =，1b =，故椭圆的方程为：2214x y +=.（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=∴()()12120x x kx m kx m +++=由韦达定理代入化简得：22544m k =+∵OD 垂直直线l，∴ ||5OD == 当直线l 斜率不存在时，设l ：x t =，易求t =?，此时||5OD = 所以点D 的轨迹方程为2245x y +=. （3）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵212k k k =⋅，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++=⋅=，即()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =. ∵0k >，∴12k = 此时()21620m∆=->，即(m ∈⋃.故121||2S AB d x =⋅=-||||m m ==又()22221211224S S x y x y π+=⋅+++2212332444x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ ()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值.∴1254S S S π+=5544ππ=≥ ∴当且仅当1m =±时等号成立.综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题．。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文注意事项：1．高二（文科）数学试题卷共页．满分分．考试时间分钟．2．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．3．回答第Ⅰ卷选时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．4．回答第Ⅱ卷选时，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在复平面内，复数对应的点在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）函数的定义域为（A）（B）（C）（D）（3）若集合，则（A）（B）（C）（D）（4）用反证法证明命题：“若关于的方程有两个不相等的实数根，则”时，应假设（A）（B）关于的方程无实数根（C）（D）关于的方程有两个相等的实数根（5）在两个变量与的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，且它们的的值的大小关系为：，则拟合效果最好的是（A）模型1 （B）模型2 （C）模型3 （D）模型4（6）已知一段演绎推理：“一切奇数都能被3整除，是奇数，所以能被3整除”，则这段推理的（A）大前提错误（B）小前提错误（C）推理形式错误（D）结论错误（7）若函数（）在上是增函数，则m 的取值范围是（A）（B）（C）（D）（8）已知函数（）的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x0.50.531250.56250.6250.751f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精确度0.05）可能是（A）0.625 （B）-0.009 （C）0.5625 （D）0.066（9）已知是偶函数，若当时，，则当时，（A）（B）（C）（D）（10）已知，，，若，则，，的大小关系是（A）（B）（C）（D）（11）某镇2008年至2014年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：年份2008200920102011201220132014年份代号t 0123456人口总数y 6659111214若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线一定过点（A）（B）（C）（D）（12）已知函数，对任意的，，且，则下列四个结论中，不一定正确的是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）复数的共轭复数是_____________．（14）若幂函数的图象过点，则__________．（15）按下面流程图的程序计算，若开始输入x的值是，则输出结果的值是________．输入x计算的值输出结果x是否（16）已知函数，若，则________．三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设全集，集合，集合.（Ⅰ）当时，求，；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.（18）（本小题满分12分）已知函数（m，n∈R），，且方程有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求函数的值域．（19）(本小题满分12分)不患胃病患胃病总计生活有规律6040生活无规律60100总计100为了调查生活规律与患胃病是否与有关，某同学在当地随机调查了200名30岁以上的人，并根据调查结果制成了不完整的列联表如下：（Ⅰ）补全列联表中的数据；（Ⅱ）用独性检验的基本原理，说明生活无规律与患胃病有关时，出错的概率不会超过多少？0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式和数表如下:（20）（本小题满分12分）在数列中，，（）．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）猜想这个数列的通项公式，并证明你猜想的通项公式的正确性．（21）（本小题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：对于每位销售人员，均以10万元为基数，若销售利润没超出这个基数，则可获得销售利润的5%的奖金；若销售利润超出这个基数（超出的部分是a万元），则可获得万元的奖金．记某位销售人员获得的奖金为y（单位：万元），其销售利润为x （单位：万元）．（Ⅰ）写出这位销售人员获得的奖金y与其销售利润x之间的函数关系式；（Ⅱ）如果这位销售人员获得了万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？（22）(本小题满分10分)已知函数（）是奇函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；（Ⅲ）对任意的，若不等式恒成立，求实数的取值范围．2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文注意事项：1．高二（文科）数学试题卷共页．满分分．考试时间分钟．2．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．3．回答第Ⅰ卷选时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．4．回答第Ⅱ卷选时，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在本试卷上无效．5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）在复平面内，复数对应的点在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）函数的定义域为（A）（B）（C）（D）（3）若集合，则（A）（B）（C）（D）（4）用反证法证明命题：“若关于的方程有两个不相等的实数根，则”时，应假设（A）（B）关于的方程无实数根（C）（D）关于的方程有两个相等的实数根（5）在两个变量与的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，且它们的的值的大小关系为：，则拟合效果最好的是（A）模型1 （B）模型2 （C）模型3 （D）模型4（6）已知一段演绎推理：“一切奇数都能被3整除，是奇数，所以能被3整除”，则这段推理的（A）大前提错误（B）小前提错误（C）推理形式错误（D）结论错误（7）若函数（）在上是增函数，则m的取值范围是（A）（B）（C）（D）（8）已知函数（）的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x0.50.531250.56250.6251f(x)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099由二分法，方程的近似解（精确度0.05）可能是（A）0.625 （B）-0.009 （C）0.5625 （D）0.066（9）已知是偶函数，若当时，，则当时，（A）（B）（C）（D）（10）已知，，，若，则，，的大小关系是（A）（B）（C）（D）（11）某镇2008年至2014年中，每年的人口总数y（单位：万）的数据如下表：年份200820092010201120122013年份代号t123456人口总数y6659111214若t与y之间具有线性相关关系，则其线性回归直线一定过点（A）（B）（C）（D）（12）已知函数，对任意的，，且，则下列四个结论中，不一定正确的是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）复数的共轭复数是_____________．（14）若幂函数的图象过点，则__________．（15）按下面流程图的程序计算，若开始输入x的值是，则输出结果的值是________．输入x计算的值输出结果x是否（16）已知函数，若，则________．三、解答题：本大题共6小题，第17题～第21题，每小题12分，第22题10分，共70分．解答应写出字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）设全集，集合，集合.（Ⅰ）当时，求，；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.（18）（本小题满分12分）已知函数（m，n∈R），，且方程有两个相等的实数根．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求函数的值域．（19）(本小题满分12分)不患胃病患胃病总计生活有规律6040生活无规律60100总计100为了调查生活规律与患胃病是否与有关，某同学在当地随机调查了200名30岁以上的人，并根据调查结果制成了不完整的列联表如下：（Ⅰ）补全列联表中的数据；（Ⅱ）用独性检验的基本原理，说明生活无规律与患胃病有关时，出错的概率不会超过多少？0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式和数表如下:（20）（本小题满分12分）在数列中，，（）．（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）猜想这个数列的通项公式，并证明你猜想的通项公式的正确性．（21）（本小题满分12分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：对于每位销售人员，均以10万元为基数，若销售利润没超出这个基数，则可获得销售利润的5%的奖金；若销售利润超出这个基数（超出的部分是a万元），则可获得万元的奖金．记某位销售人员获得的奖金为y（单位：万元），其销售利润为x（单位：万元）．（Ⅰ）写出这位销售人员获得的奖金y与其销售利润x之间的函数关系式；（Ⅱ）如果这位销售人员获得了万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？（22）(本小题满分10分)已知函数（）是奇函数．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；（Ⅲ）对任意的，若不等式恒成立，求实数的取值范围．。

上海中学高二下期末数学试卷2019.6一、填空题1．在Rt A B C △中，90C ∠=︒，1A C =，2B C =，以B C 边所在直线为轴，把A B C △旋转一周，得到的几何体的侧面积为．2．一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人．3．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为．4．袋中有6个黄色、4个白色的兵乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，则第二次才取到黄色球的概率为．5．已知6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0126,,,,a a a a ⋅⋅⋅中的所有偶数的和等于．6．12322019202020201222C C C C ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅被10除得的余数是．7．设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++，则2202101311()()a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+的值为．8．长方体1111A B C D A B C D -的8个顶点在同一球面上，且2A B =，A D =，11A A =，则顶点A 、B 的球面距离是．9．如图所示，一只小蚂蚁正从圆锥底面上的点A 沿圆锥体的表面爬行一周，又绕回到点A ．已知该圆锥体的底面半径为r ，侧面母线长为3r ，则小蚂蚁爬行的最短路径长为．10．已知四面体A B C D （非正四面体），过四面体A B C D 内切球球心的任意截面，若将该四面体分成体积相等的两个小多面体，假设这两个小多面体的表面积分别是12,S S ，则12S S =．11．对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,,}n ⋅⋅⋅进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅和{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅（m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个不同元素，组成样本（样本中共4个元素）．用i j P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则所有(1)i j P i j n <≤≤的和等于．12．今有6个人组成的旅游团，包括4个大人2个孩子，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，孩子乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有种．13．晚会上共有8个演唱节目和3个舞蹈节目，要求任何2个舞蹈节目之间至少要有2个演唱节目，则一共有种不同的节目顺序表．14．设1210,,,x x x ⋅⋅⋅为1,2,,10⋅⋅⋅的一个排列，则满足对任意正整数,m n ，且110m n <≤≤，都有m n x m x n ++≤成立的不同排列的个数为．二、选择题15．把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件A 表示“甲分得红牌”，事件B 表示“乙分得红牌”，则A 与B 是（）A ．对立事件B ．互相独立的事件C ．互斥但不对立事件D ．以上均不对16．某游戏中，一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下，从最下面的六个出口中的某一个出口出来，规定猜中出口者为胜．如果你在该游戏中猜测珠子从出口3出来，那么你取胜的概率为（）A ．516B ．532C ．16D ．以上都不对17．若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（）A ．48对B ．24对C ．12对D ．66对18．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（）A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π三、解答题19．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12、13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，求该总体方差的最小值．20．甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三名学生的平时成绩分析，甲、乙、丙三名学生笔试合格的概率分别是0.6、0.5、0.4，面试合格的概率分别是0.6、0.6、0.75，求（1）甲、乙、丙三名学生中恰有一人笔试合格的概率；（2）经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．21．在一次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件．组委会决定将裁判由原来的9名增至14名，任取其中7名裁判的评分作为有效分，若全部14名裁判中有2名受贿，7个有效评分中有受贿裁判评分的概率称为“不公正率”，求（1）“不公正率”为多大？n n 个裁判中任取其中7名裁判的评分作为有效分，受贿人数仍为2人，要（2）若从(9)使“不公正率”降至40%以下，请问裁判团人数n至少为多少人？从本题计算所得数值中你有何感想？22．所有含数字5的三位正整数（例如：105，551等等）构成集合A，求（1）集合A中的元素个数；（2）集合A中所有元素的和．23．有一张形状为矩形11A B B A 的纸，边长1A A 为16cm π，边A B 长为16cm ，其内有两点,P Q ，点P 到1A A 、11A B 的距离分别为4cm 、4cm π，点Q 到A B 、1B B 的距离分别为43cm π和6cm ，现将矩形卷成一圆柱的侧面，使A B 和11A B 重合，求：（1）P 、Q 两点间的距离；（2）四面体A B P Q 的外接球的表面积．24．已知祖暅原理的两个推论如下：推论1：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果所截得的两个截面的面积之比恒等于:a b ，那么这两个几何体的体积之比也等于:a b ．推论2：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任何直线所截，如果截得的两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等；如果截得的两条线段的长度之比恒等于:a b ，那么这两个平面图形的面积之比也等于:a b ．对于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，利用以上两个推论求解下列问题：（1）求圆222:D x y b +=与椭圆C 的面积之比；（2）将椭圆C 绕y 轴旋转一周得到一个椭球体，求该椭球体的体积．参考答案一、填空题12．103．484．4155．326．17．1045⨯8．229．10．111．612．34813．846720014．512【第1题解析】1S rl ππ==⋅⋅侧．【第2题解析】258010200⨯=（人）．【第3题解析】132448C P ⋅=（2和4两个偶数任选1个排在个位，余下4个数字4选3排在其余3个数位）．【第4题解析】114611109415C C P C C ⋅==⋅．【第5题解析】偶数为1166a C ==，33620a C ==，5566a C ==，和为32．【第6题解析】原式122332020202020202011(22222)[1(12)]22C C C C =+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=++201008177181010101031(101)150(101010)4922C C C C +-+===⋅-⋅+-⋅+- ，被10除得的余数是1．【说明】计算器输入20111((20)2)x x C x -=+⨯∑，可得1743392201，∴其被10除得的余数是1．【第7题解析】令1x =-，可得012112a a a a +++⋅⋅⋅+=-，令3x =-，可得100121125a a a a -+-⋅⋅⋅-=-⨯，于是，原式100121101211()()45a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+-+-⋅⋅⋅-=⨯．【第8题解析】长方体的体对角线即为球直径，其值为，∴球半径r =，由于A O B O ==，2A B =，∴2A O B π∠=，∴球面距离 22A B A O B r =∠⋅=．【第9题解析】将圆锥的侧面展开图为半径为3r ，弧长为2r π的扇形，其圆心角为23π，于是小蚂蚁爬行的最短路径为图中的线段A A '，其长为．【第10题解析】内切球的球心O 到四面体A B C D 的四个面的距离均为球半径r ，记两个小多面体的体积分别为1V 、2V ，截面面积为S ，由12V V =可知，1211()()33S S r S S r ⋅-⋅=⋅-⋅，从而12S S =，∴121S S =．【第11题解析】从{1,2,,}m ⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2m C ，从{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中随机抽取2个元素的所有的抽法有2n m C -，∴从每个子总体中各随机抽取2个不同元素组成样本的所有抽法有22m n m C C -⋅．①当,{1,2,,}i j m ∈⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m m n ++⋅⋅⋅中需再抽2个元素，∴22221n m i j m n m mC P C C C --==⋅，这样的情况有2m C 个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为2211m mC C ⋅=；②当,{1,2,,}i j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须被抽取，子总体{1,2,,}m ⋅⋅⋅中需再抽2个元素，∴22221m i j m n m n mC P C C C --==⋅，这样的情况有2n m C -个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为2211n m n mC C --⋅=；③当{1,2,,}i m ∈⋅⋅⋅，{1,2,,}j m m n ∈++⋅⋅⋅时，元素,i j 必须抽取，且还需在两个子总体剩余的1m -个和1n m --个元素中各抽取1个，∴1111224()m n m i j m n m C C P C C m n m ----⋅==⋅-，这样的情况有11m n m C C -⋅个（确定,i j 分别为哪2个元素），∴此情况中i j P 的和为1144()m n m C C m n m -⋅⋅=-；∴所有(1)i j P i j n <≤≤的和等于6．【第12题解析】方法一：直接法①2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]：23336360C C C =（种）；②3辆缆车（1+2+3）[单独乘缆车的必须是大人]先确定4个大人哪一个单独乘哪一辆缆车，另外2辆缆车各1个孩子或1个大人陪同2个孩子：11211114323223()[()]216C C P C C C C +=（种）；③3辆缆车（2+2+2）先确定2个孩子乘坐的缆车，再安排4个大人的2人乘余下的一辆缆车，剩余的2个大人分别陪同1个孩子：22234272P C P =（种）；∴答案为6021672348++=（种）．方法二：排除法总情况：3辆缆车（1+2+3或2+2+2）[先分组再排列，注意有平均分组]或2辆缆车（3+3）[3辆缆车选2辆]，2221233233642653336333()510C C C C C C P C C C P +⋅+=（种）；2个孩子乘同一缆车，且无大人陪同的情况：2+2+2或1+2+3，121113434242C C C C C +=（种）；1个孩子单独乘1辆缆车的情况：1+2+3，11212352120C C C C =（种）；∴答案为51042120348--=（种）．【第13题解析】（隔板法）8个演唱节目先全排列，然后在这8个演唱节目隔开的9个空插入3个舞蹈节目并排序．第1个舞蹈节目之前，第1、2个舞蹈节目之间，第2、3个舞蹈节目之间，第3个舞蹈节目之后的演唱节目的个数依次记作1a 、2a 、3a 、4a ，由题意，12340,2,2,0a a a a ≥≥≥≥，则123411,11,12,11a a a a +--+≥≥≥≥，问题转化为8个舞蹈节目除头、尾外的7个空插入3个舞蹈节目并排序，∴共有83878467200P P ⋅=（种）．【第14题解析】（1）1,2的排列有1,2和2,1共2个满足题意；（2）1,2,3的排列有1,2,3、1,3,2、2,1,3、3,2,1共4个满足题意，其中1,2,3和1,3,2可由（1）中排列1,2插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前，其中2,1,3和3,2,1可由（1）中排列2,1插入3得到，3在排尾或者（1）中最大元素2之前；（3）1,2,3,4的排列有1,2,3,4、1,2,4,3、1,3,2,4、1,4,3,2、2,1,3,4、2,1,4,3、3,2,1,4、4,3,2,1共8个满足题意[可由（2）中排列插入4得到，4在排尾或者（2）中最大元素3之前]；…，排列的个数构成2为公比的等比数列，∴所求的不同排列的个数为92512=．二、选择题15．C16．A17．B18．A【第16题解析1至6号口的情况依次为05C 、15C 、…、55C ，所求的概率为2555216C P ==，选A ．【第17题解析】如图，11A B C △为等边三角形，将11A B C △相邻两边的其中一边用和它平行的直线替换即可得到一对“黄金异面直线对”，如11A C A C ∥，∴A C 与1A B ，A C 与1C B 为“黄金异面直线对”；于是由11A B C △可得6对；类似1A C D △、11A B D △、1B C D △均可得6对，共24对，选B ．【第18题解析】如图，该几何体为78个球，3774288833V V r ππ==⋅=球，2r ⇒=，∴227171343178484S S S r r πππ=+⋅=⋅+⋅⋅=圆球，选A ．三、解答题19．10.5a b ==，方差35.808．20．（1）0.6(10.5)(10.4)(10.6)0.6(10.4)(10.6)(10.5)0.40.38P =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=；（2）先计算甲、乙、丙都不被录取的概率，分别为10.60.60.64-⨯=、10.50.60.7-⨯=、10.40.750.7-⨯=，再由排除法（去掉三人都不被录取的概率），可得所求概率为10.640.70.70.6864P =-⨯⨯=．21．（1）排除法（去掉没有受贿裁判的概率），71271410113C P C =-=；（2）72721325n n C P n C -=-<⇒≥，即裁判团人数n 至少为32人；感想略．22．（1）所有的三位正整数，去掉不含5的，答案为111899900252C C C -⨯⨯=（个）；（2）①百位为5的有100个；②百位不为5的有152个，其中百位为1，2，3，4，6，7，8，9的各有19个，百位为1的元素的和为1010(105115195)(150151159)1552890+++++++-=个个，百位为2的元素的和比百位为1的元素的和多了19个100，以此类推，所有元素的和为100(500501599)[289081900(1235678)]138870++++⨯+⨯++++++=个．23．记圆柱下底面的圆心为O ，P 、Q 在下底面的投影分别记作1P 、1Q ，设底面圆半径为r ，2168r r ππ=⇒=，由已知， 1142A P A O P r A O P ππ=∠⋅=⇒∠=， 11436A Q A O Q r A O P ππ=∠⋅=⇒∠=，（1）如图建立空间直角坐标系，由题意，14P P =，116610Q Q =-=，则(8,0,4)P、(Q -，∴||P Q =（2）设外接球的方程为2222()()(8)(0)x a y b z r r -+-+-=>，该球过(0,8,0)A 、(8,0,4)P、(Q -，∴22222222229734(8)642173(8)164(4)(43)4380734a a b r a b r b a b r r ⎧+=⎪⎪⎧+-+=⎪⎪+⎪-++=⇒=⎨⎨⎪⎪--++=⎩⎪-=⎪⎪⎩，从而，外接球的表面积为224(3803)S r cmππ==-．24．（1）如图，直线y h =与椭圆交于A 、B 两点，与圆交于C 、D 两点，易得222222222||22||21C D b h b h b a A B ah b h a bb --=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴由推论2，S bS a=圆椭圆；（2）用平面z h =截椭球体与球，则2222222222222221()()()h a a b h b S a b S b h b b h ππππ⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎝⎭===--椭球截球截，∴2232224433a a V Vb a b b b ππ==⋅=球椭球．。

2018-2019学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12C ．13D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。

2018--2019学年度第二学期期末质量检测试题高二数学（文科）注意：本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后，卷Ⅰ由自己保存，只交卷Ⅱ。

卷Ⅰ一、选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把符合要求的选项选出来。

）1、若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为（ ） A . 4- B . 4i 5 C . 4 D . 452、函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）A ．sin x xB ．sin x x -C ．cos x xD ．cos x x - 3、设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则a b =”的否命题是( ) A ．若a b ≠-，则a b ≠ B ．若a b =-，则a b ≠ C ．若a b ≠，则a b ≠-D ．若a b =，则a b =-4、用反证法证明命题“设a ，b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程30x ax b ++=没有实根B.方程30x ax b ++=至多有一个实根C.方程30x ax b ++=至多有两个实根D.方程30x ax b ++=恰好有两个实根5、设命题p :函数sin 2y x =的最小正周期为错误！未找到引用源。

；命题q :函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真6、设x R ∈，则“11x +<”是“220x x +-<”的( )条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要 7、若抛物线22y px =上一点()02,P y 到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．24y x =B ．26y x = C ．28y x = D ．210y x =8、以下命题中，真命题有（ ）①对两个变量y 和x 进行回归分析，由样本数据得到的回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ； ②若数据123,,,,n x x x x 的方差为2，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为4；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题文（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、座位号填写清楚。

2．选择题的每小题选出答案后，把答案代码填在答题纸前面的选择题答题表内，不能答在试卷上。

3．填空题和解答题应在指定的地方作答，否则答案无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡指定区域内作答．1.若，则A. 1B. -1C. iD. -i【答案】C【解析】试题分析：，故选C．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．2.已知命题p为真命题，命题q为假命题．在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】因为p为真命题，则为假命题，因为q为假命题，则为真命题。

然后根据真值表，对①②③④进行分析判断。

【详解】因为p为真命题，则为假命题，因为q为假命题，则为真命题。

由真值表知，①为假命题；②为真命题；③为真命题；④为假命题。

故选C。

【点睛】本题主要考查复合命题的真假判断，较简单。

3.下列说法错误的是（）A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数越大，模拟的效果越好【答案】C【解析】对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，则抽到的32人中，编号落入区间的人数为A. 7B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以为通项公式的等差数列，令，解不等式可得结果。

2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）本试题共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考号填写在答题卡与试卷上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区城内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只交答题卡。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数的共扼复数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据虚数单位的性质化简复数z，然后再求它的共轭复数.【详解】，．故选A.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，侧重考查数学运算的核心素养.2.某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为（）A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.8【答案】C【解析】【分析】直接利用期望的公式求解.【详解】由已知得.故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.3.如图所示，阴影部分的面积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用定积分的几何意义写出阴影部分的面积的表达式得解.【详解】由定积分的几何意义及数形结合可知阴影部分的面积为.故选：D【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.4.下列曲线中，在处切线的倾斜角为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】在x=1处切线的倾斜角为,即有切线的斜率为tan=−1.对于A,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为5；对于B,y=xlnx的导数为y′=1+lnx，可得在x=1处切线的斜率为1；对于C,的导数为，可得在x=1处切线的斜率为；对于D,y=x3−2x2的导数为y′=3x2−4x，可得在x=1处切线的斜率为3−4=−1.本题选择D选项.5.将A，B，C，D，E，F这6个宇母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.6.某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为，，，，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】分两种情况讨论得到该选手能进入第四关的概率.【详解】第一种情况：该选手通过前三关，进入第四关，所以,第二种情况：该选手通过前两关，第三关没有通过，再来一次通过，进入第四关，所以.所以该选手能进入第四关的概率为.故选：D【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.的计算结果精确到个位的近似值为（）A. 106B. 107C. 108D. 109【答案】B【解析】【分析】由题得，再利用二项式定理求解即可.【详解】∵，∴.故选：B【点睛】本题主要考查利用二项式定理求近似值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.若，则，.设一批白炽灯的寿命（单位：小时）服从均值为1000，方差为400的正态分布，随机从这批白炽灯中选取一只，则（）A. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.8186B. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.8186C. 这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率为0.9545D. 这只白炽灯的寿命在600小时到1800小时之间的概率为0.9545【答案】A【解析】【分析】先求出，，再求出和，即得这只白炽灯的寿命在980小时到1040小时之间的概率.【详解】∵，，∴，，所以，，∴.故选：A【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质，考查指定区间的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数的最小值为（）A. -1B.C.D. 0【答案】B【解析】【分析】利用换元法，令，可得函数，求导研究其最小值。

上海市2018-2019学年高二数学下学期阶段性检测试题（含解析）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知i 为虚数单位，若复数()()12ai i ++是纯虚数，则实数a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】∵复数（1+ai ）（2+i ）＝2﹣a +（1+2a ）i 是纯虚数，∴20120a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a ＝2． 故答案为：2．【点睛】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键，本题属于基础题． 2.椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为______.【答案】6 【解析】 【分析】消参求出椭圆的普通方程，即可求出椭圆的焦距．【详解】将5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩变形为cos 5sin 4xy θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，平方相加消去参数θ可得：2212516x y +=， 所以，c ==3，所以，焦距为2c ＝6．故答案为6．【点睛】本题考查椭圆的参数方程，考查椭圆的性质，正确转化为普通方程是关键．3.以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.【答案】221x y -= 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆2212x y +=的焦点为F （±1，0），0）；则双曲线的顶点为（±1，0），0）， ∴a ＝1，c，∴b ===1， ∴双曲线的方程为221x y -=， 故答案为：221x y -=．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．4.某圆锥体的侧面图是圆心角为23π的扇形，当侧面积是27π时，则该圆锥体的体积是______.【答案】 【解析】 【分析】由圆锥体侧面展开图的半径是圆锥的母线长，展开图的弧长是底面圆的周长，可以求出圆锥的母线和底面圆半径，从而得出高和体积．【详解】设圆锥的侧面展开图扇形的半径为l ，则侧面展开图扇形的面积S 1223π=⨯ l 2＝27π；∴l ＝9．又设圆锥的底面圆半径为r ，则2πr ＝23πl ， ∴r 13=l ＝3； ∴圆锥的高h == ∴该圆锥体的体积是：V 圆锥13=•πr 2•h 13=•π•9•=．故答案为：．【点睛】本题考查圆锥的体积公式，考查了空间想象能力，计算能力，关键是弄清楚侧面展开图与圆锥体的关系,属于基础题．5.已知实数x 、y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为______.【答案】5 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(1,1),(2,1),(1,0)A B C -，直线2z x y =-过点C 时取最大值1.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的体积相等，则它们的表面积之比:S S =圆柱球______.（用数值作答） 【答案】76【解析】【分析】由已知中圆柱M 与球O 的体积相等，可以求出圆柱的高与圆柱底面半径的关系，进而求出圆柱和球的表面积后，即可得到S 圆柱：S 球的值．【详解】∵设圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径均为R ，M 的高为h 则球的表面积S 球＝4πR 2又∵圆柱M 与球O 的体积相等 即2343R h R ππ= 解得h ＝43R ， 4πR 2＝2πR 2+2πR •h 则S 圆柱＝2πR 2+2πR •h=2143R π，S 球24R π=， ∴S 圆柱：S 球147436==：， 故答案为：76. 【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中根据已知求出圆柱的高，是解答本题的关键．7.若虛数1z 、2z 是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，且212z z =，则pq =______.【答案】1 【解析】 【分析】设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R ），根据两个复数相等的充要条件求出z 1，z 2，再由根与系数的关系求得p ，q 的值．【详解】由题意可知z 1与z 2为共轭复数，设z 1＝a +bi ，则z 2＝a ﹣bi ，（a ，b ∈R 且b 0≠），又212z z =，则222abi a b -+=a ﹣bi ，∴（2a +b ）+（a +2b ）i ＝1﹣i ，∴22122ab a a b a b b ⎧=-⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩． ∴z 1＝12-，z 2＝12--i ，（或z 2＝12-，z 1＝12-i ）由根与系数的关系，得p ＝﹣（z 1+z 2）＝1，q ＝z 1•z 2＝1， ∴pq ＝1． 故答案为：1.【点睛】本题考查实系数一元二次方程在复数集的根的问题，考查了两个复数相等的充要条件，属于基础题．8.已知双曲线221x y -=，1A 、2A 是它的两个顶点，点P 是双曲线上的点，且直线1PA 的斜率是12，则直线2PA 的斜率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，202011y x =-，由A 1（﹣1，0），A 2（1，0），知k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--，由此能求出直线PA 2的斜率． 【详解】设P （x 0，y 0），则22001x y -=，∴202011y x =-， ∵A 1（﹣1，0），A 2（1，0），设直线PA 1的斜率为k 1，直线PA 2的斜率为k 2，∴k 1k 2200020001111y y y x x x =⋅==+--， ∵k 112=， ∴k 22=．故答案：2．【点睛】本题考查两直线的斜率之积的求法，考查曲线上点的坐标与曲线方程的关系，考查了分析问题的能力，属于基础题．9.已知半径为R 的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ，且经过这三个点的小圆周长为4π，则R =______.【答案】【解析】 【分析】根据题意，得出AB ＝BC ＝CA ＝R ，利用其周长得到正三角形ABC 的外接圆半径r ，故可以得到高，设D 是BC 的中点，在△OBC 中，又可以得到角以及边与R 的关系，在Rt △ABD 中，再利用直角三角形的勾股定理，即可解出R ．【详解】∵球面上三个点，其中任意两点间的球面距离都等于3Rπ， ∴∠ABC ＝∠BCA ＝∠CAB 3π=，∴AB ＝BC ＝CA ＝R ，设球心为O ，因为正三角形ABC 的外径r ＝2，故高AD 32=r ＝3，D 是BC 的中点． 在△OBC 中，BO ＝CO ＝R ，∠BOC 3π=，所以BC ＝BO ＝R ，BD 12=BC 12=R ．在Rt △ABD 中，AB ＝BC ＝R ，所以由AB 2＝BD 2+AD 2，得R 214=R 2+9，所以R ＝故答案为：【点睛】本题考查了球的基本概念及性质应用，考查了空间想象能力，是基础题．10.关于x 的方程1x +=m 的取值范围是______.【答案】m 1≥-． 【解析】 【分析】由题意可得，函数y ＝x +1的图象和函数y =的图象有一个交点，对函数y m分类，分别画出y=的图象，可求出实数m的取值范围．【详解】∵关于x的方程x+1=故直线y＝x+1的图象和函数y=在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y=的图象．由于函数y===和直线y＝x+1的图象如图：当m=0时，y x满足有一个交点；当m>0时，y=y2﹣x2＝m(y>0)此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，如图：只要m>0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y=的图象有一个交点，当m<0时，y =x 2﹣y 2＝﹣m(y>0)，此双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的渐近线方程为y ＝±x ，其中y=x 与直线y ＝x +1平行，而双曲线x 2﹣y 2＝﹣m 的顶点坐标为（0），如图：1时，满足函数y ＝x +1的图象和函数y =即当1m 0-≤<时符合题意； 综上： m 1≥-， 故答案为：m 1≥-．【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y ＝x +1的图象和函数y =于中档题．11.棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别在线段1AB 、1BC 上运动（不包括线段端点），且AM BN =.以下结论：①1AA MN ⊥；②若点M 、N 分别为线段1AB 、1BC 的中点，则由线MN 与1AB 确定的平面在正方体1111ABCD A B C D -上的截面为等边三角形；③四面体MBCN 的体积的最大值为124；④直线1D M 与直线1A N 的夹角为定值.其中正确的结论为______.（填序号）【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，可得四边形MNEF 是矩形，可得MN ∥FE ，利用AA 1⊥面AC ，可得结论成立；②截面为△AB 1C ，为等边三角形，故正确．③设=BN 1λB C ，则MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），故③成立； ④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角接近于3π，当λ接近于1时，夹角接近于2π，故④不正确；【详解】①作NE ⊥BC ，MF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，∵AM ＝BN ，∴NE ＝MF ，∴四边形MNEF 是矩形，∴MN ∥FE ，∵AA 1⊥面AC ，EF ⊂面AC ，∴AA 1⊥EF ，∴AA 1⊥MN ，故①正确； ②点M 、N 分别为线段AB 1、BC 1的中点，则由线MN 与AB 1确定的平面在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 上的截面为△AB 1C ，为等边三角形，故②正确． ③设=BN 1λB C ，则M BCN V -＝13BCNS d M ﹣BCN ，又AM=BN=11λB λA C B =,∴BCN S=1λ2，d M ﹣BCN =()1λAB 1λ-=-，∴MBCN V ＝13BCNS d M ﹣BCN =11λ1λ624-≤（），当且仅当1λ2=时取得最大值，故③成立；④设=BN 1λB C ，当λ接近于0时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线1A D 和直线1B A 的夹角，接近于3π，当λ接近于1时，直线1M D 与直线1N A 的夹角近似于直线11D B 和直线11A C 的夹角，接近于2π，故④不正确；综上可知，正确的结论为①②③ 故答案为：①②③【点睛】本题考查线面平行、垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数2()(21)2(,,0)f x ax b x a a b R a =++--∈≠在[]3,4至少有一个零点，则22a b +的最小值为______. 【答案】1100【解析】 【分析】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0，由于直线上一点（a ，b ）到原≥a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-；从而解得．【详解】把等式看成关于a ，b 的直线方程：（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0， 由于直线上一点（a ，b ）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，≥所以a 2+b 222221()51(24)2x x x x -≥=+-++-，∵x ﹣252x +-在[3，4]是减函数，∴252+≤x ﹣252x +≤-1+5；即92≤x ﹣252x +≤-6； 故2115100(24)2x x ≥-++-；当x ＝3，a 225=-，b 350=-时取等号，故a 2+b 2的最小值为1100．故答案为：1100．【点睛】本题考查了函数的零点的应用，把等式看成关于a ，b 的直线方程（x 2﹣1）a +2xb +x ﹣2＝0是难点，属于较难题．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑13.设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 不平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直【答案】C 【解析】 【分析】由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案．【详解】∵直线l 与平面α平行，由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查了直线与平面平行的定义，属于基础题．14.已知集合{|()()20,,,}A z a bi z a bi z a b R z C =++-+=∈∈，{|||1,}B z z z C ==∈，若A B ⋂=∅，则a ，b 之间的关系是（ ）A. 1a b +>B. 1a b +<C. 221a b +<D.221a b +>【答案】C 【解析】 【分析】先设出复数z ，利用复数相等的定义得到集合A 看成复平面上直线上的点，集合B 可看成复平面上圆的点集，若A ∩B ＝∅即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．【详解】设z ＝x +yi ，则（a +bi ）（x ﹣yi ）+（a ﹣bi ）（x +yi ）+2＝0 化简整理得，ax +by +1＝0即，集合A 可看成复平面上直线上的点， 集合B 可看成复平面上圆x 2+y 2=0的点集，若A ∩B ＝∅，即直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2=0没有交点，d1=，即a 2+b 2＜1故选：C ．【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．15.已知某四面体的六条棱长分别为3，3，2，2，2，2，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为（ ） A. 0 B.79C. 0或79D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．【详解】①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，如图，取CD中点E，则∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，AE、BE是平面ABE内的相交直线∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°＝0，检验：此时△ABE中，AE＝BE=AE+BE＞AB，故此种情况舍去；②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ9947 2339+-==⨯⨯综上所述，得所求余弦值为7 9故选B.【点睛】本题考查了在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．16.以下命题：①根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形；②有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；③两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥；④若两个二面角的半平面互相垂直，则这两个二面角的大小相等或互补.其中正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由斜二测画法规则直接判断①正确；举出反例即可说明命题②、③、④错误；【详解】对于①，由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形；故①正确；对于②，如图符合条件但却不是棱柱；故②错误；对于③，两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥不是正棱锥．故③错误；对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个角的平面角相等或互补错误，如教室中的前墙面和左墙面构成一个直二面角，底板面垂直于左墙面，垂直于前墙面且与底板面相交的面与底板面构成的二面角不一定是直角．故④错误；∴只有命题①正确．故选A．【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了空间几何体的结构特征，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1.（1）求二面角1B AC B --的大小；（用反三角函数表示） （2）求直线1A B 与平面11BDD B 所成角的大小.【答案】（1）；（2）6π. 【解析】 【分析】（1）连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，先说明1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角，再在1Rt BO B 中求得1tan BOB ∠即可．（2）取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1AO ⊥平面11BDD B ，可得11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B 中，计算11sin A BO ∠即可.【详解】（1）连接AC ，取AC 中点O ，连接BO ，1B O ，因为AB BC =，则BO AC ⊥， 因为11AB CB =，则1B O AC ⊥，所以1BOB ∠为二面角1B AC B --的平面角.因为1B B ⊥平面ABCD ，BO =11BB =，所以11tan BB BOB BO ∠==所以1BOB ∠=1B AC B --的大小为. （2）取11B D 的中点1O ，连接1A O 和1BO .由1111A O B D ⊥和111AO BB ⊥得1AO ⊥平面11BDD B ，所以11A BO ∠为直线1A B 与平面11BDD B 所成的角. 在直角三角形11AO B中，112A O =，1A B =， 所以111111sin 2A O A BO A B ∠==，所以116A BO π∠=， 所以直线1AB 与平面11BDD B 所成角的大小为6π. 【点睛】本题考查线面角的大小的求法，考查二面角的大小的求法，利用定义定理作出所求角是关键，是中档题．18.已知抛物线24y x =，(),0A a 是x 轴上一点，(),P x y 是抛物线上任意一点.（1）若1a =，求PA 的最小值；（2）已知O 为坐标原点，若PA 的最小值为OA ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）2a ≤. 【解析】 【分析】（1）由题意及抛物线的定义可得PA =P 到准线的距离，可得P 为抛物线的顶点时，PA 的最小值为1.（2）将PA 表示为关于x的函数，结合二次函数的性质求得结果.【详解】（1）当a=1时，A （1，0）为抛物线的焦点，此时PA =P 到准线的距离， ∴当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离最小为1，即PA 的最小值为1. （2）||PA ===||PA 的最小值为||OA ，即当0x =时||PA 取得最小值，所以20a -≤，即2a ≤.【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了二次函数最值问题，考查了分析转化能力，属于基础题.19.如图，已知四面体ABCD 中，DA DB DC ===且DA DB DC ==两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心.（1）过O 作OE AD ⊥，求DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积；（2）将D A O ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角记为θ，求cos θ的取值范围.【答案】（1；（2）0cos θ≤≤. 【解析】 【分析】（1）由圆锥的几何特征可得，该几何体由两个底面相等的圆锥组合而成，其中两个圆锥的，底为3，代入圆锥的体积公式，即可得到答案． （2）以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求得cos θ=令t y =+，结合点A 的轨迹方程求得t 的范围，可得结果.【详解】（1）过E 作EH DO ⊥，经计算得DO =，=OA 2OE =，由此得EH =，所以DEO ∆绕直线DO 旋转一周所形成的几何体的体积213V π==⎝⎭. （2）过O 作OGAC 交AB 于G ，以O 为坐标原点，OF 为x 轴，OG 为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D ，()10y f x π=-，3,0)C -，设(, ,0)A x y ，则3,0)BC =-，(,AD x y =--，所以cos θ=，在xOy 平面上，点A 的轨迹方程为2212x y +=，令t y =+，将t y =+看作直线y=，则直线y=与圆2212x y +=有公共点，则||2t d =≤所以0t ≤≤0cos θ≤≤. 【点睛】本题考查了旋转体的体积，考查了利用空间向量进行异面直线所成的角的求法，涉及点的轨迹问题，属于中档题．20.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 是边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AD DC ⊥，2AD =，90ADF ∠=︒.（1）求异面直线BE 和CD 所成角的大小； （2）求几何体EF ABCD -的体积；（3）若平面ABCD 内有一经过点B 的曲线Γ，该曲线上的任一动点都满足EQ 与CD 所成角的大小恰等于BE 与CD 所成角.试判断曲线Γ的形状并说明理由.【答案】（1）；（2）163；（3）双曲线.【解析】 【分析】 （1）根据几何体特征，建立空间直角坐标系，求出向量CD ，BE 的坐标，利用向量坐标运算求异面直线所成角的余弦值，可得角的大小；（2）利用几何体的体积V ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣CEF ，分别求得两个棱锥的底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．（3）利用向量夹角公式直接可得关于x ，y 的表达式，满足双曲线方程，可得结果. 【详解】（1）∵AD DC ⊥且90ADF ︒∠=，∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD DE ⊥ 如图建系，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(2,4,0)B ，(0,0,2)E ，(0,2,0)C ，(0,0,0)D ，(2,4,2)BE =--，(0,2,0)CD =-u u u r设异面直线BE 和CD 所成角的大小为θ，则6cos 13||||BE CD BE CD θ⋅==⋅所以异面直线BE 和CD 所成角的大小为. （2）如图，连结EC ，过B 作CD 的垂线，垂足为N ，则BN ⊥平面CDEF ，且BN ＝2．∵V EF ﹣ABCD ＝V E ﹣ABCD +V B ﹣ECF()1111111642222223332323ABCDEFCS DE S BN =⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=． ∴几何体EF ﹣ABCD 的体积为163．（3）设(, , 0)Q x y ，则(,,2)EQ x y =-，由题意知EQ 与CD 所成角的大小为||||EQ CD EQ CD ⋅==‖ 化简得22184y x -=所以曲线Γ的形状是双曲线.【点睛】本题考查了利用向量法求异面直线所成角，考查了组合几何体体积的计算，考查了学生的空间想象能力与运算能力，属于中档题．21.椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，其长轴是短轴的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为，直线l 与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 作直线l 的垂线，垂足为D .若OA OB ⊥，求点D 的轨迹方程；（3）设直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k ，其中0k >且212k k k =.设OAB ∆的面积为S .以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ，求12S S S+的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）2245x y +=；（3）5,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意知a ＝2b，由此能求出椭圆方程．（2）先考虑直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，和椭圆的方程联立，结合向量的垂直关系即可找到找m ，k的关系式，从而求得||OD =满足，则可得点D 的轨迹方程.（3）设直线l 的方程为y ＝kx +m ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出12S S S+的取值范围． 【详解】（1）由题可知，2a b ==，解得：2a =，1b =，故椭圆的方程为：2214x y +=.（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有：()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵OA OB ⊥，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=∴()()12120x x kx m kx m +++=由韦达定理代入化简得：22544m k =+∵OD 垂直直线l，∴ ||5OD == 当直线l 斜率不存在时，设l ：x t =，易求t =?，此时||5OD = 所以点D 的轨迹方程为2245x y +=. （3）设直线l 的方程为(0)y kx m m =+≠， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++-=，由韦达定理有： ()12221228144114km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩且()2216140k m ∆=+-> ∵212k k k =⋅，∴()()1221212kx m kx m k k k x x ++=⋅=，即()2120km x x m ++= 由韦达定理代入化简得：214k =. ∵0k >，∴12k = 此时()21620m∆=->，即(m ∈⋃.故121||2S AB d x =⋅=-||||m m ==又()22221211224S S x y x y π+=⋅+++2212332444x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭ ()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+-+=⎣⎦为定值.∴1254S S S π+=5544ππ=≥ ∴当且仅当1m =±时等号成立.综上：125,4S S S π+⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法及求曲线的方程，考查弦长公式、三角形面积公式及直线与椭圆位置关系的应用，考查了函数思想，属于较难题．。

2018-2019学年上海市复兴高级中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．若a ，b 为实数，则“a 1<-”是“11a>-”的( ) A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】 解不等式11a>-得a 1<-或a 0>； 所以由“a 1<-”能推出“a 1<-或a 0>”，反之不成立，所以“a 1<-”是“11a>-”的充分不必要条件. 故选B 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.2．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 不平行与平面MNQ 的是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】利用线面平行判定定理可知A 、B 、C 均不满足题意，从而可得答案． 【详解】对于选项A ，由于AB ∥NQ ，结合线面平行判定定理可知A 不满足题意；对于选项B ，由于AB ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知B 不满足题意； 对于选项C ，由于AB ∥MQ ，结合线面平行判定定理可知C 不满足题意； 对于选项D ，由于直线AB 不平行与平面MNQ ，满足题意. 故答案为：D 【点睛】本题考查空间中线面平行的判定定理，利用三角形中位线定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．3．在一次数学测试中，高一某班50名学生成绩的平均分为82，方差为8.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是（ ） A.60 B.70 C.80 D.100【答案】A【解析】假设分数为60时，可知()22160829.6850s >⨯-=，可知分数不可能为60，得到结果. 【详解】当60为该班某学生的成绩时，则()26082484-=，则214849.6850s >⨯= 与方差为8.2矛盾 ∴60不可能是该班成绩 故选：A 【点睛】本题考查平均数、方差的相关运算，属于基础题. 4．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A.20192B.1C.0D.-1【答案】C【解析】首先采用赋值法，令12x =，代入求值201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭，通分后即得结果. 【详解】 令12x =，201932019120232019112 (022222)a a a a a ⎛⎫-⨯=+++++= ⎪⎝⎭, 20192018201732019012201820191202320192019222...2...022222a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==，∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.故选：C 【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型.二、填空题5．设集合{1,0,1}A =-，{0,1,2,3}B =，则()A B =R ð________【答案】{2,3}【解析】先求R C A ，再求()R C A B ⋂. 【详解】R C A ()()()(),11,00,11,=-∞--+∞,(){}2,3R C A B =故答案为：{}2,3 【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型. 6．不等式11x x->的解集为________ 【答案】(,0)-∞ 【解析】 由题意，不等式11x x ->，得111100x x x->⇒<⇒<，所以不等式的解集为(,0)-∞.7．对于实数a 、b ，“若0a b +≤，则0a ≤或0b ≤”为________命题（填“真”、“假”） 【答案】真【解析】按反证法证明. 【详解】假设命题的结论不正确，，那么结论的否定0a >且0b >正确，若0a >且0b >，则0a b +> 这与已知0a b +≤矛盾，∴原命题是真命题，即“若0a b +≤，则0a ≤或0b ≤”为真命题. 故答案为：真 【点睛】本题考查判断命题的真假，意在考查推理与证明，属于基础题型.8．如图，以长方体ABCD A B C D ''''-的顶底D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB '的坐标为(5,4,3)，则AC '的坐标为________【答案】(5,4,3)-【解析】根据DB '的坐标，求B '的坐标，确定长方体的各边长度，再求AC '的坐标. 【详解】点D 的坐标是()0,0,0，()5,4,3DB '=，()5,4,3B '∴5AD ∴=，4DC =，3DD '=()5,0,0A ∴，()0,4,3C ' ()5,4,3AC '∴=-故答案为:()5,4,3-. 【点睛】本题考查向量坐标的求法，意在考查基本概念和基础知识，属于简单题型.9．某几何体由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成，其三视图如图所示（单位：厘米），则该几何体的体积（单位：立方厘米）是________.【答案】12π+【解析】根据三视图确定出三棱锥的底面是一个等腰直角三角形且直角边长度都是，高为3；半圆锥的底面是半径为1的半圆，高为3；据此计算出该几何体的体积.【详解】由三视图可知，三棱锥的体积：1313V =⨯⨯=⎝⎭；半圆锥体积：()11113232V ππ=⨯⨯⨯⨯⨯=，所以总体积为：12π+.故答案为：12π+.【点睛】本题考查空间几何体的体积计算，难度较易.计算组合体的体积时，可将几何体拆分为几个容易求解的常见几何体，然后根据体积公式完成求解.10．长方体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且AB BC 2==，1AA =A 、B 两点之间的球面距离为______． 【答案】2π3【解析】利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB 所对球心角，利用弧长公式求出答案． 【详解】由2AB BC ==，1AA =得114AC BD ===，∴长方体1111ABCD A B C D -外接球的半径1122BO AO AC AB ==== ABO ∴为正三角形，∴3AOB π∠=，,A B ∴两点间的球面距离为π2π233⨯=， 故答案为：2π3． 【点睛】本题考查了长方体外接球问题，以及求两点球面距离，属于简单题． 11．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________． 【答案】4- 【解析】【详解】因为不等式26ax +<的解集62684ax ax ⇔-<+<⇔-<<()840x a a a -∴<<>（舍），48(<0)x a a a-<<, =4a ∴-，故答案为4-.12．某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人【答案】126【解析】根据抽样比求出各个年级抽取的人数，然后填表格，最后根据“同意的”比例求所有学生中“同意”的人数. 【详解】一共10512642273++=人，抽样比13127321= 高一学生：11055⨯=人，高二学生：11266⨯=人，高三学生1422⨯=人，同意的共有6人，∴同意的共有627312613⨯=人. 故答案为：126 【点睛】本题考查分层抽样和统计的初步知识，属于基础题型.13．试写出71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数最大的项_____． 【答案】35x【解析】T r +1＝（﹣1）r r7C x 7﹣2r，r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，经过比较即可得出 【详解】7721711rr rr r r T xx x -+⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣＝C ＝（﹣）， r 必须为偶数，分别令r ＝0，2，4，6，其系数分别为：1， 27C ,47C ,67C经过比较可得：r ＝4时满足条件， 415735T C x x-==故答案为：35x．【点睛】35x本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，这对对角线所成的角为60︒的概率为________ 【答案】811【解析】正方体的面对角线共有12条，能够数出每一条对角线和另外的8条构成8对直线所成角为60°，得共有12×8对对角线所成角为60°，并且容易看出有一半是重复的，得正方体的所有对角线中，所成角是60°的有48对，根据古典概型概率公式求解即可． 【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与上平面A 1B 1C 1D 1中一条对角线A 1C 1成60°的直线有：A 1D ，B 1C ，A 1B ，D 1C ，BC 1，AD 1，C 1D ，B 1A 共八对直线，总共12条对角线； ∴共有12×8＝96对面对角线所成角为60°，而有一半是重复的；∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有48对． 而正方体的面对角线共有12条，所以概率为：212488C 11=故答案为811【点睛】本题考查正方体面对角线的关系，考查了古典概型的概率问题，而对于本题知道96对直线中有一半是重复的是求解本题的关键． 15．已知正数x ，y 满足111x y+=，则4911x y x y +--的最小值为____________．【答案】25【解析】【详解】由＋＝1，得x ＋y ＝xy,＋＝＋＝13＋＋＝13＋＝9x ＋4y ＝(9x ＋4y)＝13＋＋≥13＋2＝25.当且仅当55,32x y == 等号成立 16．定义()A ∏为集合A 中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合25{,,1,4}34M =-，集合M 的所有非空子集依次记为1215,,,M M M ⋅⋅⋅，则1215()()()M M M ∏+∏+⋅⋅⋅+∏=________【答案】132【解析】首先设()()()251434f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二项式定理展开可知()()()()()()431234f x x M M M M x =+∏+∏+∏+∏+()()()()()()()()()()256101112131415......M M M x M M M M x M ∏+∏++∏+∏+∏+∏+∏+∏，然后利用赋值法令1x =求解. 【详解】 设()()()251434f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设1234,,,M M M M 中只有1个元素，5610,,...M M M 中有2个元素， 11121314,,,M M M M 中有3个元素，15M 中有4个元素，由二项定理可知()()()()()()431234f x x M M M M x =+∏+∏+∏+∏+()()()()()()()()()()256101112131415......M M M x M M M M x M ∏+∏++∏+∏+∏+∏+∏+∏令1x = ，()()()()()123151511 (2)f M M M M =+∏+∏+∏++∏=,∴ ()()()()1231513 (2)M M M M ∏+∏+∏++∏=. 故答案为：132【点睛】本题考查二项式定理和集合子集的综合问题，意在考查转化与计算能力，本题的关键是将所求乘积的和转化为二项式定理问题，属于难题.三、解答题17．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和3，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【答案】（1）30；（2）arctan 2.【解析】（1）根据体积公式直接计算；（2）说明1A MA ∠就是直线1A M 与平面ABC 所成角，再计算. 【详解】（1）根据题意可知14362ABC S ∆=⨯⨯=， 16530ABC V S AA ∆=⋅=⨯=;（2）连接AM ，1AA ⊥平面ABC ，1A MA ∴∠就是直线1A M 与平面ABC 所成角，ABC ∆是直角三角形，5BC =，且M 是中点， 52AM ∴=，115tan 252AA A MA AM ∴∠=== , ∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小arctan 2.【点睛】本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.18．已知集合{0,1,2}M =，函数()y f x =的定义域为{1,2,3,4}D =，值域为A . （1）若A M =，求不同的函数()y f x =的个数； （2）若A M ⊆，（ⅰ）求不同的函数()y f x =的个数；（ⅱ）若满足(1)(2)(3)(4)4f f f f +++=，求不同的函数()y f x =的个数. 【答案】（1）36；（2）（ⅰ）81；（ⅱ）19【解析】（1）当定义域有4个元素，值域有3个元素，把4个元素分成2，1，1的三组，再对应值域里的3个元素，有2343C P ⋅；（2）（ⅰ）分值域有1个元素，2个元素，3个元素，讨论函数个数；（ⅱ）满足条件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三类，分三类求满足条件的函数个数. 【详解】 （1）函数的定义域是{}1,2,3,4，值域是{}0,1,2∴定义域里有2个数对着值域里面一个数，另外两个数是1对1，∴不同的函数的个数是23436636C P ⋅=⨯=个.（2）（ⅰ）值域不能为空集，当A 是单元素集合时，{}0A ∴=，{}1，{}2，定义域是{}1,2,3,4，此时定义域里4个元素对应的都是值域里的一个数，此时有3个函数；当A 是双元素集合时，{}{}{}0,1,1,2,0,2A =此时定义域里两个元素对应值域里一个元素，有22422233618C P P ⨯⋅=⨯=个函数；当定义域里有3个元素对应值域里一个元素，定义域里第4个元素对应值域里一个元素时有3242324C P ⨯⋅=个函数；当集合A 是三个元素时，如（1）有36个函数，∴一共有3+18+24+36=81个函数；（ⅱ）满足()()()()12344f f f f +++= ，的有0，0，2，2，∴ 函数个数是2242226C P P ⋅=个，0，1，1，2时，函数个数是224212C P ⨯=个，1，1，1，1时，函数个数是1个，∴共有612119++=个. 【点睛】本题考查排列组合的应用，意在考查转化和推理，以及分类讨论和计算求解能力， 属于中档题型.19．已知函数21()4f t at a=+（t ∈R ，0a <）的最大值为正实数，集合{|0}x aA x x-=<，集合22{|}B x x b =<. （1）求A 和B ；（2）定义A 与B 的差集：{|}A B x x A x B -=∈∉且，设a 、b 、x 设均为整数，且x A ∈，()P E 为x 取自A B -的概率，()P F 为x 取自A B 的概率，写出a 与b 的二组值，使2()3P E =，1()3P F =. 【答案】（1）(,0)A a =，(,)B b b =-；（2）4a =-，2b =或7a =-，3b =.【解析】（1）根据()00x ax x a x-<⇒-<求解集合A ，然后根据二次函数的最大值大于0确定1b > ，求集合B ;（2）求a 与b 的两组值，根据a 、b 、x 设均为整数，且x A ∈，可以分A 中有3个元素，A B -中有2个元素，A B 中有1个元素，以及A中有6个元素，A B -中有4个元素，A B 中有2个元素两种情况讨论得到a 与b 的两组值. 【详解】 （1）()00x ax x a x-<⇒-< 0a <∴不等式的解集是{}0x a x <<，即(),0A a =函数21()4f t at a=+（t ∈R ，0a <）的最大值为正实数， ()max 14140,044a bb a a f t a a⨯--∴<==> ， 101b b ∴-<⇒> ，()()222200x b x b x b x b <⇒-<⇒+-< ，∴不等式的解集是{}x b x b -<< ，(),B b b ∴=- .（2）要使()23P E =，()13P F =，可以分两种情况，①可以使A 中有3个元素，A B -中有2个元素，AB 中有1个元素，根据（1）的结果，可知4a =- ，此时集合A 有3个整数元素，{}3,2,1A =---A B 中有1个元素即2b = ；②可以使A 中有6个元素，A B -中有4个元素，AB 中有2个元素，则7a =-，此时集合A 有6个整数元素，{}6.5,4,3,2,1A =------ ,A B 中有2个元素即3b =，综上，a 与b 的两组值分别是4a =-，2b =或7a =-，3b =. 【点睛】本题考查了函数的最值和解不等式，以及古典概型及其概率计算公式，属于中档题型，本题的第二问只写a 与b 的两组值，所以只写出比较简单的两个集合即可. 20．已知等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++.（1）求21(1)n x -+的展开式中n x 项的系数，并化简：01122111111n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C -------+++⋅⋅⋅+；（2）证明：（ⅰ）11k k n n kC nC --=；（ⅱ）1222221()2()()n nn n n n C C n C nC -++⋅⋅⋅+=.【答案】（1）21n n C - ；21nn C -（2）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）详见解析. 【解析】（1）()211n x -+ 的展开式中含n x 的项的系数为21nn C -，二项式定理展开()()()()101110111111......n nn n n n n n n n n n x x C C x C xC C x C x ------++=+++⋅+++，展开得到含n x 项的系数，利用()()()211111n n nx x x --+=++，即可证明；（2）（ⅰ）用组合数的阶乘公式证明；（ⅱ）()2122221()2()()nn k nnnn k C C n C k C =⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦∑利用（ⅰ）的结论和组合数的性质得到()21nk n k k C =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑()11nn kk n n k CC --=∑，最后结合（1）的结论证明.【详解】 （1）()211n x -+ 的展开式中含n x 的项的系数为21nn C -由()()()()101110111111......n nn n n n n n n n n n x x C C x C x C C x C x ------++=+++⋅+++ 可知()()111n nx x -++的展开式中含n x 的项的系数为01122111111...n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C -------++++ ，()()()211111n n nx x x --+=++ ，∴ 0112211111121...n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C --------++++=；（2）（ⅰ） 当*k N ∈ 时，()()()()()()111!!!!!1!!1!!k k n n n n n kC k n nC k n k k n k k n k ---=⨯==⨯=----- ；（ⅱ）()2122221()2()()nn k nnnn k C C n C k C =⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦∑ ()()()()111111111nnnnk k k k k k n k k nnn nn nn n k k k k kC CnCCn CCn CC ------========∑∑∑∑由（1）知0112211111121...n n n n nn n n n n n n n n C C C C C C C C C --------++++=，()1211nn k k nn n n k C C C ---=∴=∑ ， ∴ 1222221()2()()n n n n n n C C n C nC -++⋅⋅⋅+=.【点睛】本题考查二项式定理和二项式系数和组合数的关系，以及组合数公式的证明，意在考查变形，转化，推理，证明的能力，属于难题，本题的（ⅱ）的关键步骤是()21(nk n k k C =⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑()()()()111111111nnnnk k k k k k n k k n n n n n n n n k k k k kC C nC C n C C n C C ------========∑∑∑∑这一步用到了（ⅰ）的结论和组合数的性质k n k n n C C -=. 21．已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a ⎡⎤--+-=⎣⎦的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围. 【答案】（1）()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）(]{}1,23,4．（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】【详解】试题分析：（1）当5a =时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a 的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到11f t f t -+≤（）（），恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由21log 50x ＞⎛⎫+⎪⎝⎭，得151x +＞，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭．（2）由f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0得log 2（1x+a ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0． 即log 2（1x+a ）＝log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]，即1x+a ＝（a ﹣4）x +2a ﹣5＞0，① 则（a ﹣4）x 2+（a ﹣5）x ﹣1＝0，即（x +1）[（a ﹣4）x ﹣1]＝0，②，当a ＝4时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立 当a ＝3时，方程②的解为x ＝﹣1，代入①，成立 当a ≠4且a ≠3时，方程②的解为x ＝﹣1或x 14a =-， 若x ＝﹣1是方程①的解，则1x+a ＝a ﹣1＞0，即a ＞1， 若x 14a =-是方程①的解，则1x+a ＝2a ﹣4＞0，即a ＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2．综上，若方程f （x ）﹣log 2[（a ﹣4）x +2a ﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素， 则a 的取值范围是1＜a ≤2，或a ＝3或a ＝4． （3）函数f （x ）在区间[t ，t +1]上单调递减， 由题意得f （t ）﹣f （t +1）≤1， 即log 2（1t +a ）﹣log 2（11t ++a ）≤1， 即1t +a ≤2（11t ++a ），即a()12111t t t t t -≥-=++ 设1﹣t ＝r ，则0≤r 12≤， ()()()2111232t r rt t r r r r -==+---+，当r ＝0时，232rr r =-+0，当0＜r 12≤时，212323r r r r r=-++-， ∵y ＝r 2r +在（0）上递减，∴r 219422r +≥+=，∴211229323332r r r r r =≤=-++--，∴实数a 的取值范围是a 23≥．【一题多解】（3）还可采用：当120x x ＜＜时，1211a a x x ++＞，221211log log a a x x ＞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,∞+上单调递减．则函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a ＞，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。