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2020学年上海中学高二(上)期末数学试卷(附详解)

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2020学年上海中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “k <−1”是“方程x 2k+3+y 22k+4=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要2. 双曲线kx 2−y 2=1的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，则此双曲线的离心率是( )A. √52B. √32C. 4√3D. √53. 给出下列四个命题：①若复数z 1，z 2满足|z 1−z 2|=0，则z 1=z 2；②若复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0； ③若复数z 满足z 2=−|z|2，则z 是纯虚数； ④若复数z 满足|z|=z ，则z 是实数， 其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 44. 已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A. 2B. 3C. 17√28D. √10二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数(1+2i)z =3i −1，则|z|=______． 6. 抛物线y 2=x 的准线方程为______． 7. 椭圆x 2+3y 2=6的焦距是______．8. 已知复数a ，b 满足集合{−a,b}={a 2,b +1}，则ab =______ 9. 计算：1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9=______．10. 已知抛物线C ：y 2=4x ，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则|PQ|的取值范围是______．11. 已知P 为双曲线x 2−y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线y =x +2的距离大12.平面上一台机器人在运行中始终保持到点P(−2,0)的距离比到点Q(2,0)的距离大2，若机器人接触不到过点M(√3,3)且斜率为k的直线，则k的取值范围是______．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且∠F1PF2=π3，若F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为______．14.已知一族双曲线E n：x2−y2=n2019(n∈N∗，且n≤2019)，设直线x=2与E n在第一象限内的交点为A n，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n，记△A n B n C n 的面积为a n，则a1+a2+a3+⋯+a2019=______．15.已知点P(0,1)，椭圆x24+y2=m(m>1)上两点A，B满足，则当m=___________时，点B横坐标的绝对值最大．16.已知椭圆G：x26+y2b2=1(0<b<√6)左、右焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点分别为B1，B2，点P在椭圆C上，且满足|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，当m变化时，给出下列四个命题：①点P的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③|OP|的最小值为2；④|OP|最大值为√6，其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数数z满足|z|2−2z−=7+4i，求z．18.已知复数z=(2+i)m+2ii−1(其中i是虚数单位，m∈R)．(1)若复数z是纯虚数，求m的值；(2)求|z−1|的取值范围．19. 假定一个弹珠(设为质点P ，半径忽略不计)的运行轨迹是以小球(半径R =1)的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5．(1)求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；(2)弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 的距离是√13时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞．20. 已知曲线C 的参数方程是{x =√2t2+√24t y =t −12t(参数t ∈R)． (1)曲线C 的普通方程；(2)过点A (2,1)的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．21.如图，由半圆x2+y2=1(y≤0)和部分抛物线y=a(x2−1)(y≥0,a>0)合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C经过点(2,3)．(1)求a的值；(2)设A(1,0)，B(−1,0)，过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1,√22)，N(0,−1)，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，与圆x2+y2=23相切与点T．(1)求椭圆C的方程；(2)以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O是坐标原点)，求实数λ的取值范围；(3)线段|AT|⋅|BT|是否为定值，如果是，求|AT|⋅|BT|的值；如果不是，求|AT|⋅|BT|的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：若方程x 2k+3+y 22k+4=1表示焦点在x 轴上的椭圆， 则{k +3>02k +4>0k +3>2k +4，解得：−2<k <−1， 故“k <−1”是“方程x 2k+3+y 22k+4=1表示焦点在x 轴上的椭圆“的必要不充分条件， 故选：B ．根据椭圆性质得到关于k 的不等式，解出判断即可．本题考查了充分必要条件，考查椭圆的性质，是一道常规题．2.【答案】A【解析】解：设双曲线kx 2−y 2=1为x 2a2−y 2=1，它的一条渐近线方程为y =1a x 直线2x +y +1=0的斜率为−2 ∵直线y =1a x 与直线2x +y +1=0垂直 ∴1a ×(−2)=−1即a =2∴e =c a =√22+122=√52故选A ．分析：已知双曲线kx 2−y 2=1的一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，可求出渐近线的斜率，由此求出k 的值，得到双曲线的方程，再求离心率本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x +y +1=0垂直，由此关系求k ，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．3.【答案】B【解析】解：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，对于①：|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2=0，则a 1=a 2，b 1=b 2，即有z 1=z 2，故①正确；对于②：|z 1+z 2|2=(a 1+a 2)2+(b 1+b 2)2=|z 1−z 2|2=(a 1−a 2)2+(b 1−b 2)2，对于③：如z =0时，尽管满足z 2=−|z 2|，但z 不是纯虚数．故③错误；对于④：若|z|=z ，则√a 2+b 2=a +bi ，左边为实数，故b =0，故z 为实数，故④正确． 故选：B ．根据复数的相关运算及概念逐一进行判断即可．本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复数的基本概念以及基本运算，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查直线与抛物线关系及利用基本不等式求最值，属于中档题．可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题． 【解答】解：设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，Δ=t 2+4m >0， 根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m ， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2， 结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A ，B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2， 此时Δ=t 2+4m >0成立．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0，又F(14,0)，=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3． 故选B ．5.【答案】√2【解析】解：由(1+2i)z =3i −1，得z =−1+3i 1+2i，则|z|=|−1+3i 1+2i|=|−1+3i||1+2i|=√10√5=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．6.【答案】x =−14【解析】解：抛物线y 2=x 的焦点在x 轴上，且开口向右，2p =1∴p 2=14∴抛物线y 2=x 的准线方程为x =−14 故答案为：x =−14抛物线y 2=x 的焦点在x 轴上，且开口向右，2p =1，由此可得抛物线y 2=x 的准线方程．本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．7.【答案】4【解析】 【分析】将椭圆的方程化为标准方程可得a ，b 的值，进而求出c 的值，求出焦距． 本题考查椭圆的性质，属于基础题． 【解答】解：椭圆的方程整理可得x 26+y 22=1，可得a 2=6，b 2=2，所以焦距2c =4， 故答案为：4．8.【答案】1【解析】解：根据集合相等的条件可知，若{−a,b}={a 2,b +1}，则{−a =a 2b =b +1①或{−a =b +1b =a 2②， 由①得：b 不存在，不满足条件． 由②得，若b =a 2，−a =b +1；则两式相结合得{a =−12−√32i b =−12+√32i 或{a =−12+√32ib =−12−√32i ，∴ab =1； 故答案为：1．根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．9.【答案】5+6i【解析】解：令S =1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9， 则iS =i +2i 2+3i 3+⋯+10i 10，∴(1−i)S =1+i +i 2+⋯+i 9−10i 10=1×(1−i 10)1−i −10i 10=21−i +10=2(1+i)(1−i)(1+i)+10=11+i ， 则S =11+i 1−i=(11+i)(1+i)(1−i)(1+i)=5+6i ．故答案为：5+6i ．令S =1+2i +3i 2+4i 3+⋯+10i 9，两边同时乘以i ，再由错位相减法求和即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．10.【答案】[4,+∞)【解析】解：易知F(1,0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，直线l 的斜率不存在时，|PQ|=2p =4， 由题意可得直线l 的斜率存在，设其方程为：y =kx −k ，联立直线与椭圆的方程{y =kx −k，整理可得：k 2x 2−2k 2x −4x +4k 2=0，可得x +x2=4+2k2k2，所以|PQ|=x1+x2+2=2+4+2k2k2>4，综上，|PQ|的取值范围是[4,+∞)．故答案为：[4,+∞)由题意讨论直线l的斜率是否存在，若直线l的斜率不存在，求得|PQ|；若直线l的斜率存在，设直线的方程，与抛物线联立可得两根之和，由抛物线的性质可得|PQ|的表达式，|PQ|=x1+x2+p，可得|PQ|的范围．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.【答案】(−∞,√2]【解析】解：由题意，双曲线x2−y2=1的渐近线方程为x±y=0，由点P到直线x−y+2=0的距离大于m恒成立，∴m的最大值为直线x−y+2=0与渐近线x−y=0的距离，即d=22=√2．实数m的取值范围是(−∞,√2].故答案为：(−∞,√2].双曲线x2−y2=1的渐近线方程为x±y=0，m的最大值为直线x−y+2=0与直线x−y=0的距离．本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．12.【答案】[√3,2√3)【解析】解：由题意可知机器人的运动轨迹是双曲线的右支，由2a=2，c=2，可得b=√3，所以机器人的运动轨迹方程为：x2−y23=1(x≥0)，直线的方程为：y−3=k(x−√3)，即y=k(x−√3)+3，联立方程{y=k(x−√3)+3x2−y23=1，消去y得：(3−k2)x2+(2√3k2−6k)x+6√3k−3k2−12=0，①当3−k2=0时，若k=√3，则此时直线方程为y=√3x恰好为双曲线的渐近线，符解得√3<k<2√3，综上所述，k的取值范围为：[√3,2√3)，故答案为：[√3,2√3).由题意可知机器人的运动轨迹方程为：x2−y23=1(x≥0)，联立直线和双曲线方程，对二次项系数分类讨论，再利用△<0，即可求出k的取值范围．本题主要考查了双曲线的定义，以及直线与双曲线的位置关系，是中档题．13.【答案】√33【解析】【分析】本题考查椭圆的定义及简单几何性质，同时考查定理的应用，可得P，F2，M三点共线，|PF1|+|PM|+|MF1|=4a，可得|PF1|=43a，|PF2|=23a，由余弦定理可|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos30°=|F1F2|2可得a，c的关系，即可求离心率．【解答】解：如图，∵F1关于∠F1PF2平分线的对称点在椭圆C上，∴P，F2，M三点共线，设|PF1|=m，则|PM|=m，|MF1|=m，又|PF1|+|PM|+|MF1|=4a=3m，∵|PF1|=43a，|PF2|=23a，由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|cos60°=|F1F2|2，∴a2=3c2，e=ca =√33．故答案为√3．14.【答案】5052【解析】解：设A n (x 0,y 0)，可得x 02−y 02=n2019双曲线E n ：x 2−y 2=n2019(n ∈N ∗，且n ≤2019)的渐近线方程为x −y =0，x +y =0， 点A n 在E n 的两条渐近线上的射影分别为B n ，C n ， 不妨取|A n B n |=00√2，|A n C n |=00√2，由双曲线E n 的两条渐近线互相垂直，可得A n B n ⊥A n C n ， 则△A n B n C n 的面积a n =12|A n B n |⋅|A n C n |=1200√200√2=x 02−y 024=18076n ，则a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=18076×12×2019×2020=5052．故答案为：5052．求得双曲线的渐近线方程，应用点到直线的距离公式可得|A n B n |，|A n C n |，可得A n B n ⊥A n C n ，由三角形的面积公式，可得a n ，运用等差数列的求和公式，计算可得所求和． 本题考查数列与双曲线的综合应用，考查双曲线的渐近线方程和等差数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】5【解析】 【分析】本题考查椭圆的方程和应用，考查向量共线的坐标表示和方程思想、转化思想，以及二次函数的最值的求法，属于中档题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，运用向量共线的坐标表示，以及点满足椭圆方程，求得y 1，y 2，有x 22=m −(3−m 2)2，运用二次函数的最值求法，可得所求最大值和m 的值．【解答】解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由P(0,1)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得−x 1=2x 2，1−y 1=2(y 2−1)， 即有x 1=−2x 2，y 1+2y 2=3，又x 12+4y 12=4m ，x22+4y22=4m，②①−②得(y1−2y2)(y1+2y2)=−3m，可得y1−2y2=−m，解得y1=3−m2，y2=3+m4，则m=x22+(3−m2)2，即有x22=m−(3−m2)2=−m2+10m−94=−(m−5)2+164，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．16.【答案】①③【解析】解：由椭圆的对称性及|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，所以可得以B1，B2为焦点的椭圆为椭圆Γ：y26+x26−m2=1，则点P为椭圆C：x26+y2m=1与椭圆Γ：y26+x26−m=1的交点，因为椭圆G的长轴顶点(±√6,0)，短轴的绝对值小于√6，椭圆Γ的长轴顶点(0,±√6)，短轴的交点的横坐标的绝对值小于√6，所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，点P靠近坐标轴时(m→0或m→√6)，|OP|越大，点P远离坐标轴时，|OP|越小，易得m2=3时，取得最小值，此时C：x26+y23=1,Γ：y26+x23=1，两方程相加得x22+y22=2⇒√x2+y2=2，即|OP|的最小值为 2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点P不在坐标轴上，∴|OP|<√6，④错误．故答案为：①③．由椭圆的对称性及|PF1|+|PF2|=|PB1|+|PB2|，写出以B1，B2为焦点的椭圆，可得两个椭圆有4个交点，可判断出①正确，②不正确；点P靠近坐标轴时|OP|越大，点P远离坐标轴时，|OP|越小，易得m2=3时，取得最小值，可得|OP|的最小值，椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点P不在坐标轴本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断，属于中档题．17.【答案】解：设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|2−2z −=7+4i ，得a 2+b 2−2(a −bi)=7+4i ，即{a 2+b 2−2a =72b =4，解得{a =3b =2或{a =−1b =2． ∴z =3+2i 或 z =−1+2i ．【解析】设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|2−2z −=7+4i ，整理后利用复数相等的条件列关于a ，b 的方程组求得a ，b 的值，则答案可求．本题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，考查复数相等的条件，是基础题．18.【答案】解：z =(2+i)m +2i i−1=2m +mi +2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=(2m +1)+(m −1)i ．(1)∵复数z 是纯虚数，∴{2m +1=0m −1≠0，即m =−12；(2)z −1=2m +(m −1)i ，|z −1|=√4m 2+(m −1)2=√5m 2−2m +1=√5(m −15)2+45≥2√55，∴|z −1|的取值范围是[2√55,+∞)．【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ． (1)由实部为0且虚部不为0列式求得m 值； (2)求出|z −1|，利用配方法求范围．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：(1)由题意，{a −c =2a +c =6⇒{a =4c =2⇒C ：x 216+y 212=1，(2)设 P(x,y)(x,y >0)，联立x 216+y 212=1与x 2+y 2=13，可求出P(2,3)设直线方程为 y −3=k(x −2)，即 kx −y +(3−2k)=0，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心(2,0)到直线 kx −y +(3−2k)=0的距离大于圆半∴√k 2+1>1，解得 k ∈(−2√2,2√2).【解析】(1)由题意可得a +c 和a −c 的值，求出a ，c 的值，再由a ，b ，c 之间的关系求出b 的值，进而求出椭圆的方程；(2)联立椭圆与圆的方程，求出P 的坐标，由椭圆的对称性，设P 为第一象限的点，设过P 的直线方程，由弹珠和小球不会发生碰撞，可得圆心到直线的距离大于半径可得k 的取值范围．本题考查求椭圆的方程及直线与圆相离的性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程是{x =√2t2+√24t y =t −12t (参数t ∈R).转换为直角坐标方程为：x 2−y 22=1；(2)点差法：设 P(x 1,y 1 )，Q(x 2,y 2)，中点M(x,y)， 其中x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，则：{x 12−y 122=1x 22−y 222=1，两式相减：x 12−x 22−(y 122−y 222)=0， 整理得：2(x 1+x 2)y 1+y 2=y 1−y 2x 1−x 2，由于x 1+x 22=x,y 1+y 22=y ，则：4x2y =k PQ 又：k MA =y−1x−2， 由k PQ =k MA ，所以2xy =y−1x−2，整理得：点 M 的轨迹方程为 2x 2−4x −y 2+y =0．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点差法的应用和直线和曲线的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，点差法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22∴∠QBA +∠BAP =90° ∴k QB ⋅k QA =1设Q(x 0,x 02−1)，其中x 0>0∴k QB =x 02−1x 0+1=x 0−1，k QA =x 02−1x 0−1=x 0+1，∴k QB ⋅k QA =x 02−1=1∵x 0>0，∴x 0=√2 ∴k =k QA =√2+1∴存在实数k =1+√2，使得∠QBA =∠PBA ．【解析】(1)把点(2,3)代入y =a(x 2−1)，可求a 的值； (2)由题意可知k QB ⋅k QA =1，利用斜率公式，即可求得结论． 本题考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点M(1,√22)，N(0,−1)， 可知b =1，1a 2+24=1，解得a =√2， 所以椭圆方程：x 22+y 2=1；(2)由直线l 与圆 x 2+y 2=23 相切，可得√1+k 2=√63，即3m 2−2k 2−2=0，设 A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，Q(x 0,y 0)，{y =kx +mx 22+y 2=1⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0 ⇒{x 1+x 2=−4km 1+2k 2x 1x 2=2m 2−21+2k 2⇒y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，由向量的平行四边形法则，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且λ≠0，(λ=0，即m =0时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB) ∴{x 0=x 1+x 2λy 0=y 1+y 2λ⇒x 0=−4kmλ(1+2k 2)，y 0=2mλ(1+2k 2)，∵点 Q 在椭圆，化简得4m 2=λ2(1+2k 2)①由3m 2−2k 2−2=0，得2k 2=3m 2−2，代入①式，得λ2=4m 23m 2−1=43−1m 2，由3m 2−2≥0，得m 2≥23， ∴43<4m 23m 2−1≤83，即43<λ2≤83 ②又△>0，得1+2k 2>m 2 ③， 由①③，得 4m 2>λ2 m 2， ∵m ≠0， ∴0<λ2<4 ④，由②④，得43<λ2≤83，解得λ∈[−2√63,−2√33)∪(2√33,2√63]，(3)由(2)知，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，而y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−2k 1+2k 2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=3m 2−2k 2−21+2k 2=0，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴Rt △AOT ∼Rt △OBT ⇒|AT|⋅|BT|=|OT|2=23．【解析】(1)通过椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点M(1,√22)，N(0,−1)，求出b ，a然后得到椭圆方程．(2)由直线l 与圆 x 2+y 2=23 相切，可得3m 2−2k 2−2=0，设 A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，Q(x 0,y 0)，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理，通过，向量的平行四边形法则，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且λ≠0，(λ=0，即m =0时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB)，求出Q 点的坐标，代入椭圆方程得4m 2=λ2(1+2k 2)求出m 的范围，然后求解λ范围．(3)由(2)知，求出y 1y 2，通过OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0，得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后求解即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。

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2020_2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(答案版)

2020_2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(答案版)

2020~2021学年上海浦东新区高二上学期期末数学试卷(详解)一、填空题（本大题共12小题）1.【答案】【解析】【踩分点】与的等比中项为 ．与的等比中项 ．2.【答案】【解析】【踩分点】．根据题意，，故答案为：．3.【答案】【解析】【踩分点】若与平行，则实数 ．∵与平行，∴，解得实数．故答案为：．4.三阶行列式中，元素的代数余子式的值为 ．【答案】【解析】【踩分点】三阶行列式中，元素的代数余子式的值为．故答案为：．5.【答案】【解析】【踩分点】直线：的倾斜角是 ．设直线的倾斜角为，由直线化为，∴，∵，∴．故答案为：．6.【答案】【解析】【踩分点】向量在向量方向上的投影为 ．∵，，∴在方向上的投影为：．故答案为：．7.【答案】【解析】已知数列为等差数列且，则其前项和 ．等差数列满足，则其前项和．【踩分点】故答案为：．8.【答案】【解析】【踩分点】直线：与直线：夹角的大小为 ．直线：的斜率为，倾斜角为，直线：的斜率为，倾斜角为，故它们的夹角为，故答案为：．9.【答案】【解析】【踩分点】若方程表示的曲线是圆，则实数的取值范围是 ．根据题意，若方程表示的曲线是圆，则有，即，解得，即的取值范围为，故答案为：．10.【答案】【解析】若是无穷等比数列，且，则的取值范围为 ．是无穷等比数列，且，所以，所以，所以．故答案为：．【踩分点】11.【答案】【解析】【踩分点】已知动点在曲线上，则动点到直线的距离的最大值与最小值的和为 ．圆的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离为，又动点在曲线上，∴动点到直线的距离的最大值为，最小值为，最大值与最小值的和为．故答案为：．12.【答案】方法一：方法二：【解析】在矩形中，边的长分别为，．若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是 ．设，则，，则，又，，，，即的取值范围是．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，【踩分点】因为，，所以，，，．设，，因为,所以，所以,所以，所以，即．二、选择题（本大题共4小题）13.A.B.C.D.【答案】【解析】直线的一个方向向量可以是（ ）．A 直线可变形为，故直线的方向向量为，则与平行的向量即可作为直线的方向向量，因为，故直线的一个方向向量可以是．故选：．14.二元一次方程的系数行列式的值是（ ）．A.B. C. D.【答案】【解析】C二元一次方程的系数行列式为．故选．15.A.B.C.D.【答案】【解析】若等比数列的前项和，则的值为（ ）．C ∵，，，∴，又，由通项得：，公比为，∴，∴．故选：．16.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】【解析】已知点，曲线，曲线，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（ ）．B 已知点，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的圆，曲线的方程为，即曲线为圆心在原点，半径为的上半圆，①若点在曲线上，则点满足曲线的方程，即成立，但不一定有成立，所以点在曲线上，不能推出点在曲线上；②若点在曲线上，则点满足曲线的方程，有， 因为曲线为圆与轴交点的上方部分图形，，所以点在曲线上能推出点在曲线上，即能推出成立，根据充分条件和必要条件的定义可得，“点在曲线上”是“点在曲线上”的必要非充分条件．故选．三、解答题（本大题共5小题）17.【答案】【解析】【踩分点】已知直线与直线平行，并且直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的一般式方程．或．根据题意设直线的方程为，令，得，令，得，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得，所以直线的方程为或．18.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知，，．求与的夹角的余弦值．若，求实数的值和向量．．；．∵，，∴与的夹角的余弦值为：（2）【踩分点】．∵，，．∴．∵，∴，解得，∴．19.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知定点，和曲线上的动点．求线段的垂直平分线的方程．若点是的重心，求动点的轨迹方程．．．∵，，∴中点，又∵，∴线段的垂直平分线的方程为．设，，∵点是的重心，∴，即，又因点在曲线上，∴即，∴动点的轨迹方程．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【踩分点】已知数列中，，点，在直线上．求数列的通项公式．设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得恒成立，若存在，写出的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．．存在，，证明见解析．数列中，，点在直线上，所以（常数），所以数列是以为首项，为公差的等差数列．所以．存在，由（）得，所以，即，故，，，，所有的式子相加得：，所以，所以．故存在关于的整式，使得恒成立．21.已知圆：（，）与轴、轴分别相切于、两点．（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】求圆的方程．若直线：与线段没有公共点，求实数的取值范围．试讨论直线：与圆：（，）的位置关系．．．当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．由圆：(，）与轴、轴分别相切于、两点，且，，可得，则圆的方程为：．由（）可得，，，直线：过定点，如图，yO x∵，∴若直线：与线段没有公共点，则实数的取值范围是．由到直线的距离，解得，由图可知，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交．yO x【踩分点】。

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】 由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=， 当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=， 当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=， 当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=， 在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】 本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)， 由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8． 【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意； 选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上； 当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】 因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值． 【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切， 可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =， 联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2． 综上可得AB 的最大值为2． 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+， 双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，， 可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立； 证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝ 则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=， 所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。

2020学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)

2020学年上海市交大附中高二上学期期末数学试题(解析版)

上海市交大附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c ∈R ，0a ≠）下列命题不正确的是（ ）A.两根12,x x 满足12bx x a +=-，12c x x a =；B.两根12,x x 满足12x x -=C.若判别式240b ac ∆=->时，则方程有两个相异的实数根；D.若判别式240b ac ∆=-=时，则方程有两个相等的实数根； 【答案】B【解析】根据一元二次方程根与判别式的关系可知,C D 正确；由韦达定理知A 正确；B 中若两根为虚根，则等式不成立，即B 错误. 【详解】若一元二次方程240b ac ∆=->，则方程有两个相异实根12,x x由韦达定理得：12bx x a +=-，12c x x a =，则,A C 正确；当12,x x 为虚根时，12x x -≠B 错误；若一元二次方程240b ac ∆=-=，方程有两个相等实根，D 正确. 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系、韦达定理的应用，属于基础题.2．已知两点()1,2A ，()4,2B -到直线l 的距离分别为1，4，则满足条件的直线l 共有（ ） A.1条 B.2条C.3条D.4条【答案】C【解析】将问题转化为圆的公切线条数的求解，根据两点间距离公式求得5AB =，可确定两圆外切，由此得到公切线为3条. 【详解】由题意得：5AB ==∴以A 为圆心，半径为1的圆与以B 为圆心，半径为4的圆相外切∴满足条件的直线l 为两个圆的公切线，共有3条【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，关键是能够根据两点间距离确定两圆的位置关系，考查了转化化归的数学思想.3．如图，在四形ABCD 中，AB BC ⊥，AD DC ⊥，若AB a =uu u r ，AD b =uuu r，则AC BD ⋅=u u u r u u u r（ ）A.22b a -B.22a b -C.22a b +D.ab【答案】A【解析】由AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r，根据平面向量数量积运算律、线性运算法则，结合垂直关系可将AC BD ⋅uuu r uu u r 化为22AD AB -u u u r u u u r，从而得到结果. 【详解】 AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r()()()2AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD DC ∴⋅=+⋅-=-⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAD DC ⊥Q 0AD DC ∴⋅=u u u r u u u r()()222AC BD AD AB AD DC AD AB AC AD AB AB BC ∴⋅=-⋅+=-⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22AD AB AB BC =--⋅u u u r u u u r u u u r u u u rAB BC ⊥Q 0AB BC ∴⋅=u u u r u u u r222222AC BD AD AB AD AB b a ∴⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：A 【点睛】本题考查平面向量数量积的求解，关键是能够灵活应用平面向量的线性运算、向量垂直时数量积等于零的关系，将所求的数量积转化为已知模长的两个向量的形式.4．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点， ,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r时，称ABC ∆为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有A.0个B.1个C.3个D.无数个【答案】D【解析】当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r时，F 为ABC ∆的重心，连接AF 并延长至D ，使12FD AF =，当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，利用“点差法”可证明总存在以D 为中点的弦BC ，从而可得结果. 【详解】抛物线方程为24,,,y x A B C =为曲线C 上三点， 当0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r时，F 为ABC ∆的重心， 用如下办法构造ABC ∆， 连接AF 并延长至D ，使12FD AF =， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()()1122,,,B m n C m n ， 则12120120122,2,BC n n m m x n n y k m m -+=+==-则21122244n m n m ⎧=⎨=⎩，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-， 121202BC n n k m m y -==-，所以总存在以D 为中点的弦BC ， 所以这样的三角形有无数个，故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算以及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解. 二、填空题5．复数()()22563z m m m m i =-++-，m R ∈，为纯虚数，i 为虚数单位，实数m =______；【答案】2【解析】根据纯虚数定义可知实部为零，虚部不等于零，由此构造方程组求得结果. 【详解】由纯虚数定义可知：2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得：2m =故答案为：2 【点睛】本题考查纯虚数的定义，易错点是忽略虚部不等于零的要求，属于基础题. 6．复数(2)(1)z i i =+-，其中i 为虚数单位,则z 的虚部为_______. 【答案】-1【解析】Q ()()21z i i =+-22i i 13i =-++=-，z ∴的虚部为1-，故答案为1-.7．抛物线212x y =的准线方程为__________. 【答案】3y =-【解析】2212,32px py y ==∴=Q ，∴抛物线212x y =的准线方程为32py =-=-，故答案为3y =-. 8．已知向量()1,2a =-r ，()1,1b =r ，m a b =-r r r ，n a b λ=+r r r，如果m n ⊥r r ，则实数λ=______； 【答案】2；【解析】根据向量垂直可得数量积等于零，由此构造方程求得结果. 【详解】由题意得：()0,3m =-r ，()1,2n λλ=+-+r m n ⊥r r Q 630m n λ∴⋅=-=r r，解得：2λ= 故答案为：2 【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确向量垂直等价于数量积为零，属于基础题.9．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为 ． 【答案】3-或2【解析】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 【考点】两直线平行．10．设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11 【解析】【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b-=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±， 又因为15PF =，所以2||11PF =.11．已知实数满足10{103x y x y x -+≥+-≥≤，则23z x y =-的最小值是______．【答案】6-【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线0:230l x y -=，平移直线0l ，当直线0l 过点(3,4)B 时，23z x y =-取得最小值6-.【考点】线性规划.12．若复数z 满足221z i z ⋅=+（其中i 为虚数单位），则z =________. 【答案】1【解析】设i,,z a b a b =+∈R ，则由22i 1z z ⋅=+，得2222i 1b a a b -+=++，则222120b a b a ⎧-=++⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，即i z =-，即||1z =.13．（理）在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC u u u r |＝2，求OC u u u r的坐标为_____________________．【答案】(55-【解析】根据向量加法平行四边形法则以及菱形性质得OA OB OC t OA OB ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,再根据|OC u u u v|＝2，求t,即得结果.【详解】由题意可设0OA OB OC t t OA OB ⎛⎫⎪=+> ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，， 所以39(,)55t tOC =-u u u v ，因为|OC u u u v |＝22t =∴=,即OC u u u v的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】与a r 共线的向量为a λr ，当0λ>时，为同向；当0λ<时，为反向；与a r共线的单位向量为||aa λvv ；与(,)a x y =r 垂直的向量为(,)y x λ-.与AOB ∠平分线共线的向量为()||||OA OB OA OB λ+u u u v u u u v u u uv u u u v . 14．参数方程231121t x tt y t +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t 为参数）化成普通方程为______；【答案】()3703x y x +-=≠； 【解析】通过分离常数法可求得131x t =-+、1213y t +=+且3x ≠，由此构造关于,x y 的等式，整理可得结果. 【详解】()3112313111t t x t t t+-+===-+++Q 3x ∴≠且131x t =-+()2131232111t t y t t t-++-===-++++Q 1213y t +∴=+ ()2333y x x +∴-=≠，即()3703x y x +-=≠ 故答案为：()3703x y x +-=≠ 【点睛】本题考查参数方程化普通方程的问题，易错点是忽略自变量的取值范围，造成求解错误.15．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)， 1(2,1)e =r 、2(2,1)e =-r分别是两条渐近线的方向向量,任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+u u u r r u u r（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ． 【答案】4ab=1 【解析】【详解】 因为、是渐进线方向向量， 所以双曲线渐近线方程为 ，又双曲线方程为，12OP ae be =+u u u r r u u r= ，，化简得4ab=116．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足()()1AP OA R λλ=-∈uu u r uu r ，且48OA OP ⋅=uu r uu u r，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为______；【答案】10；【解析】由()1AP OA λ=-u u u r u u u r可知,,O A P 三点共线，得到48OA OP ⋅=u u u r u u u r ；根据投影的定义可将所求投影长度转化为248925x x +，当0x =时，cos 0OP θ=u u u r；当0x ≠时，利用基本不等式可求得最大值；综合可得最终结果. 【详解】 ()1AP OA λ=-u u u r u u u r Q OA AP OA OP λ∴+==u u u r u u u r u u u r u u u r,,O A P ∴三点共线48OA OP OA OP ∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r设OP 与x 轴夹角为θ，(),A x y ，B 为点A 在x 轴上的投影OP ∴u u u r在x 轴上的投影长度为222484848cos cos OB x OP x y OA OAθθ===+u u u r u u u r u u u r u u u r A Q 在椭圆221259x y +=上 229925y x ∴=- 248cos 925xOP x θ∴=+u u u r 当0x =时，cos 0OP θ=u u u r当0x ≠时，48cos 1016925OP x x θ=≤=+u u u r当且仅当16925x x =，即154x =±时取等号综上所述：OP uuu r在x 轴上的投影长度的最大值为10 故答案为：10 【点睛】本题考查平面向量投影长度的求解，关键是能够将所求的投影长度转化为关于某一变量的函数，利用函数最值的求解方法求得结果.三、解答题17．设1z +为关于x 的方程()20,x mx n m n R ++=∈的虚根，i 为虚数单位. （1）当1z i =-+时，求,m n 的值；（2）若1n =，在复平面上，设复数z 所对应的点为P ，复数24i +所对应的点为Q ，试求PQ 的取值范围.【答案】（1）0m =，1n =；（2）[]4,6；【解析】（1）由z 可确定方程两根为,i i -，由韦达定理可求得结果； （2）可确定1z +，1z +为方程的两根，令z a bi =+，韦达定理可得()111z z +⋅+=；令1cos a θ=-+，sin b θ=，利用两点间距离公式可表示出PQ ，利用三角函数的知识求得范围.（1）当1z i =-+时，1z i +=∴方程20x mx n ++=的两根分别为：,i i -()()i i m i i n ⎧+-=-⎪∴⎨⋅-=⎪⎩，即0m =，1n = （2）当1n =时，方程为210x mx ++= 1z ∴+，1z +为方程的两根 设(,)z a bi a b R =+∈，则11z a bi +=++，11z a bi +=+-()()221111z z a b ∴+⋅+=++= 设1cos a θ=-+，sin b θ=，[)0,2θ∈πPQ ∴===其中3tan 4ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()[]sin 1,1θϕ+∈-Q []4,6PQ ∴∈ 即PQ 的取值范围为[]4,6 【点睛】本题考查复数的定义、几何意义的应用，涉及到复数对应的复平面当中的点的知识；关键是能够通过方程的一个虚根确定方程两根，利用韦达定理构造等量关系.18．（1）已知非零复数z 满足22z +=，4z R z+∈，求复数z .（2）已知虚数z 使21z z +和21z z +都是实数，求虚数z .【答案】（1）1z =-；（2）12z =-±；【解析】（1）设z a bi =+，根据复数运算表示出4z z +，令虚部为零可求得0b =或224a b +=；当0b =时，可验证不满足题意；当224a b +=时，利用22z +=可得关于,a b 的方程，联立可求得,a b ，从而得到z ；（2）令21z m z =+，21z n z =+，得到()21z m z =+，()21z n z =+，设z a bi =+，代入整理后，根据复数相等条件可分别得到关于,a b 的方程，解方程组求得,a b ，进而得到z .（1）设,(,)z a bi a b R =+∈ 则()()22222244444a b z a bi a bi a bi a b i z a bi a b a b a b ⎛⎫+=++=++-=++- ⎪++++⎝⎭4z R z +∈Q 22224410b b b a b a b ⎛⎫∴-=-= ⎪++⎝⎭0b ∴=或224a b += 当0b =时，z a = 22a ∴+=，解得：0a =，与z 为非零复数矛盾，不合题意当224a b +=时，由222z a bi +=++=得：()22222444a b a b a ++=+++=844a ∴+=，解得：1a =-b ∴=1z ∴=-±（2）21z z +Q 与21z z +都是实数 ∴可设21z m z =+，21z n z =+ ()21z m z ∴=+，()21z n z =+ 设()0(,)z a bi b a b R =+≠∈由()21z m z =+得：()()21a bi m a bi +=++，即()2221a b abi m a mbi -+=++()2212a b m a ab mb ⎧-=+∴⎨=⎩22220m a a b a =⎧∴⎨++=⎩由()21z n z =+得：()2212a bi n a b abi +=-++，即()2212a bi n a b abni +=-++()2212a n a b b abn ⎧=-+⎪∴⎨=⎪⎩ 221210n a a b ⎧=⎪∴⎨⎪+-=⎩21a ∴=-，解得：12a =-b ∴==122z ∴=-±【点睛】本题考查复数的定义及运算，涉及到实数的定义、复数的模长、复数相等的条件、复数运算等知识，关键是能够采用待定系数法，通过实数定义和复数相等构造出方程组求得未知数，进而得到所求复数.19．已知椭圆22142x y +=.（1）M 为直线:142xyl +=上动点，N 为椭圆上动点，求MN 的最小值； （2）过点12P ⎫⎪⎭，作椭圆的弦AB ，使3AP PB =u u u r u u u r ，求弦AB 所在的直线方程.【答案】（1；（2）x =或8100y +-=； 【解析】（1）设()2cos N θθ，可知所求最小值为N 到直线l 距离d 的最小值；利用点到直线距离公式表示出d ，利用三角函数知识可求得最小值； （2）设直线AB 参数方程，且,A B 对应参数为12,t t ，根据向量关系可知123t t -=；将参数方程代入椭圆方程，根据韦达定理可求得22t -和223t -，利用22t 构造方程可求得cos 0β=或tan 8β=-，从而得到直线方程.【详解】（1）设()2cos N θθ，∴MN 的最小值即为N 到直线l 距离d 的最小值，又:240l x y +-=d∴==tan 2φ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭） ∴当()sin 1θϕ+=时，d 取最小值min 5d ∴==即MN（2）设直线AB 的参数方程为：cos 1sin 2x t y t ββ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数且β为直线AB 倾斜角）设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，则由3AP PB =u u u r u u u r得：123t t -=将AB 的参数方程代入椭圆方程化简得：()()2222sin 4sin 30t t βββ+++-=12222sin 21sin t t t βββ+∴+=-=-+，212223322sin t t t β=-=-+ 22122sin β∴=+⎝⎭，整理可得：2cos 3cos 0βββ+=解得：cos 0β=或tan β=∴弦AB 所在的直线方程为x =128y x -=--即x 或8100y +-= 【点睛】本题考查直线参数方程、椭圆参数方程的应用问题；涉及到椭圆上的点到直线距离的最值的求解、定点分弦成比例问题的求解；本题求解弦所在直线方程的关键是能够灵活运用直线参数方程中t 的几何意义，利用韦达定理构造等量关系，从而得到直线的倾斜角，属于较难题.20．圆(22219:4M x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆(22221:4M x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，动圆P 与两圆1M 、2M 外切.（1）动圆圆心P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0N 的直线与曲线C 交于不同的两点12,N N ，求直线12N N 斜率的取值范围；（3）是否存在直线:l y kx m =+与轨迹C 交于点,A B ，使2OAB π∠=，且2AB OA =，若存在，求,k m 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）()2211y x y -=≥；（2）1,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；（3）存在)1k =±，m =【解析】（1）确定圆1M 和圆2M 的圆心与半径，根据两圆外切时圆心距和半径之间的关系可得1PM ，2PM ，可知P 点轨迹满足双曲线轨迹，为双曲线的上半支；从而根据定义可求得轨迹方程；（2）设()12:1N N y k x =-，结合渐近线斜率可确定10k -<<，联立直线方程与双曲线方程，利用>0∆即可求得k 的范围；（3）当0k =时，显然不成立；当0k ≠时，设1:OA y x k =-；与抛物线方程联立可求得22,A A x y ，从而表示出2OA ；将l 与抛物线联立，利用弦长公式可求得2AB ，由224AB OA =可整理得到2222m k =-；两直线方程联立可求得A 点坐标，利用A x 建立等式，可得()222211km k+=-，从而得到方程组，解方程组可求得,m k 的值. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆1M 的圆心(10,M ，半径194r =；圆2M 的圆心(2M ，半径214r =设(),P x y ，且动圆P 半径为R则194PM R ==+，214PM R ==+122PM PM ∴-==即P 到1M ，2M 的距离之差为定值2，且122M M >，满足双曲线定义P ∴点轨迹为双曲线的上半支，轨迹方程为：()2211y x y -=≥（2）设直线12N N 方程为：()1y k x =-Q 双曲线渐近线方程为y x =±，且12N N 与双曲线上半支有两个交点10k ∴-<<联立()2211y k x y x ⎧=-⎨-=⎩得：()22221210k x k x k --+-=()2422441840k k k ∴∆=--=->，解得：2k <-或2k >（舍）1,2k ⎛∴∈-- ⎝⎭，即直线12N N 斜率的取值范围为1,2⎛-- ⎝⎭（3）当0k =时，直线为y m =，显然不成立当0k ≠时，直线OA 的方程为：1=-y x k 11k ∴->或11k-<-10k ∴-<<或01k <<联立2211y x k y x ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩得：2221k x k =-，即2221A k x k =-，2211A y k =- 2222211AAk OA x y k+∴=+=- 联立221y kx m y x =+⎧⎨-=⎩得：()2221210k x kmx m -++-= 则()()222244110k m k m ∆=--->，即2210k m +->设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221km x x k +=--，212211m x x k -=-()()()()()2222222121222241414111m k m AB k x x x x k k k ⎛⎫- ⎪⎡⎤∴=++-=+-⎣⎦ ⎪--⎝⎭2AB OA =Q 224AB OA ∴=即()()()222222222414441111m k m k k k k k ⎛⎫-+ ⎪+-= ⎪---⎝⎭，整理可得：2222m k =- 联立1y x k y kx m ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得：22,11km m A k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 222211k km k k ⎛⎫∴=- ⎪-+⎝⎭ 整理可得：()222211k m k+=-()22221221k k k+∴-=-，201k <<，解得：)1k =±m ∴=±当m =-l 与轨迹C 无交点，不合题意∴存在)1k =±，m =【点睛】本题考查直线与双曲线综合应用问题，涉及到圆与圆的位置关系的应用、利用定义求解轨迹方程、根据直线与曲线交点个数求解参数范围、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过已知的等量关系构造出关于变量的方程，通过解方程的方式求得结果；本题整体计算难度和计算量较大，对于学生运算求解能力有较高的要求，属于难题.21．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于,M N 两点，且,M N两点的纵坐标之积为4-.（1）求抛物线的方程；（2）求OM ON ⋅u u u u r u u u r的值（其中O 为坐标原点）；（3）已知点()1,2A ，在抛物线上是否存在两点B 、C ，使得AB BC ⊥？若存在，求出C 点的纵坐标的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）24y x =；（2）3-；（2）存在， C 点的纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U ；【解析】（1）设直线:2pMN x my =+，与抛物线联立，利用韦达定理可得2124y y p =-=-，解方程求得p 即可得到抛物线方程；（2）根据221212121216y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+u u u u r u u u r ，利用（1）中韦达定理的结论可求得结果；（3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据垂直关系可得0AB BC ⋅=u u u r u u u r ，从而整理得到()43316222y y y =--+++，分别在320y +<和320y +>两种情况下利用基本不等式求得4y 的范围即可. 【详解】（1）由22y px =得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 方程为：2p x my =+与抛物线方程联立可得：2220y mpy p --=设()11,M x y ，()22,N x y ，则2124y y p =-=-，解得：2p =∴抛物线方程为：24y x =（2）由（1）知：221212121214316y y OM ON x x y y y y ⋅=+=+=-=-u u u u r u u u r （3）设233,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2334,24y AB y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭u u u r ，224343,4y y BC y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭u u u r AB BC ⊥Q 0AB BC ∴⋅=u u u r u u u r ，即()()()()22234334342016y y y y y y --+--=由题意知：32y ≠，43y y ≠ ()()3432160y y y ∴+++=()4333316162222y y y y y ∴=--=--++++ ①当320y +<时，4210y ≥= 当且仅当()331622y y -=-++，即36y =-时等号成立 ②当320y +>时，426y ≤-=- 当且仅当()331622y y -=-++，即32y =时取等号 又32y ≠ 46y ∴<-综上所述：存在点,B C ，使得AB BC ⊥；C 点纵坐标的取值范围为()[),610,-∞-+∞U【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到抛物线方程的求解、向量数量积的运算、垂直关系的向量表示、存在性问题的求解等知识； 求解存在性问题的关键是能够利用已知的等量关系将问题转化为关于某一变量的方程，通过方程求得结果；本题易错点是在运用基本不等式求最值时，忽略等号成立的条件，造成范围求解错误.。

2020年高二(上)期末数学试卷四及参考答案(精品)

2020年高二(上)期末数学试卷四及参考答案(精品)

2020年高二（上）期末数学试卷四一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知向量a ⃗ =(x,2，−1)，b ⃗ =(2,4，−2)，如果a ⃗ //b ⃗ ，那么x 等于( ) A. −1 B. 1 C. −5 D. 52.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么样本中男、女运动员的人数分别为( ) A. 20，8B. 18，10C. 16，12D. 12，163.已知命题p ：∃x ∈R ，x 2−1>0，那么￢p 是( ) A. ∃x ∈R ，x 2−1<0 B. ∃x ∈R ，x 2−1≤0 C. ∀x ∈R ，x 2−1<0 D. ∀x ∈R ，x 2−1≤04.从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是( ) A. 16B. 14C. 13D. 125.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6.已知线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ，则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为( ) A. 34B. 23C. 12D. 137.双曲线x 24−y 29=−1的渐近线方程是( )A. y =±32x B. y =±23x C. y =±94x D. y =±49x8.在100件产品中，有3件是次品.现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为( )A. C 32C 973B. C 32C 973+C 33C 972C. C 1005−C 31C 974D. C 1005−C 9759.若直线的回归方程为y ∧=−2x +1，当变量x 增加一个单位时，则下列说法中正确的是( ) A. 变量y 平均增加2个单位 B. 变量y 平均增加1个单位C. 变量y 平均减少2个单位D. 变量y 平均减少1个单位10.在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DA =DC =1，DD 1=2，分别在对角线A 1D ，CD 1上取点M ，N ，使得直线MN//平面A 1ACC 1，则线段MN 长的最小值为( ) A. 12B. 23C. √22 D. 2二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.在(2+x)5的展开式中，x 2的系数为______.(用数字作答)12.某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23，那么这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为______．13.某校为了解学生对本校食堂的满意度，随机抽取部分学生进行调查.根据学生的满意度评分，得到如图所示的频率分布直方图，其中a=______，若这次满意度评分的中位数为b，根据频率分布直方图，估计b______65(填“>”，“<”或“=”)14.设F1，F2分别是椭圆x 29+y25=1的左、右焦点，P为该椭圆上一点，且与左、右顶点不重合，则△F1PF2的周长为______．15.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法.(用数字作答)16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F．①F的坐标为______；②若M是抛物线上的动点，则|MO||MF|的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分）17.已知离散型随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.10.40.3m(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)求P(1≤X≤3)；(Ⅲ)求E(X)．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AD=2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．(Ⅰ)求证：PB//平面EFH；(Ⅱ)求证：PD⊥平面AHF；(Ⅲ)求二面角H−EF−A的大小．19.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分，规定测试成绩在[85,100]之间为“体质优秀”，在[75,85)之间为“体质良好”，在[60,75)之间为“体质合格”，在[0,60)之间为“体质不合格”.现从两个年级中各随机抽取8名学生，测试成绩如下：(Ⅰ)若该校高一年级有200名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；(Ⅱ)从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，求这3人中，恰有1人“体质良好”的概率；(Ⅲ)设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出a ，b 的值.(结论不要求证明)20.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2,0)，离心率e =12，右焦点为F ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：m +n 为定值．数学试题答案一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(x,2，−1)，b⃗ =(2,4，−2)，a⃗//b⃗ ，∴x2=24=−1−2，解得x=1．故选：B．利用向量与向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】C【解析】解：每个个体被抽到的概率等于2856+42=27，则样本中女运动员的人数为42×27=12，样本中男运动员的人数为56×27=16，故选：C．先求出每个个体被抽到的概率，再用男女运动员的人数乘以此概率，即得所求．本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵命题“∃x∈R，x2−1>0”为特称命题，∴根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0．故选：D．根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定．本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．4.【答案】C【解析】解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有：(1,4)，(2,3)，∴取出的2个数之和为5的概率是p=26=13．故选：C．基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立． ∴“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件． 故选：B ．由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论．本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6. 【答案】D【解析】解：如图所示，线段MN 的长度为6，在线段MN 上随机取一点P ， 则点P 到点M ，N 的距离都大于2的概率为P =26=13．故选：D ．根据题意画出图形，结合图形即可得出结论． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 7. 【答案】A【解析】解：化已知双曲线的方程为标准方程y 29−x 24=1，可知焦点在y 轴，且a =3，b =2，故渐近线方程为y =±a bx =±32x故选：A ．化方程为标准方程，可得a ，b ，代入y =±ab x 可得渐近线方程． 本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题． 8. 【答案】B【解析】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C 32C 973种，“有3件次品”的抽取方法有C 33C 972种，则共有C 32C 973+C 33C 972种不同的抽取方法， 故选：B ．根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论． 9. 【答案】C【解析】解：根据题意，直线的回归方程为y ∧=−2x +1，其中斜率估计值为−2， 当变量x 增加一个单位时，变量y 平均减少2个单位； 故选：C ．根据题意，由线性回归方程的意义，分析可得答案．本题考查线性回归方程的应用，关键是掌握线性回归方程的意义． 10. 【答案】B【解析】解：作MM 1⊥AD 于点M 1，作NN 1⊥CD 于点N 1， ∵线段MN 平行于对角面ACC 1A 1，∴M 1N 1//AC ． 设DM 1=DN 1=x ，则MM 1=2x ，NN 1=2−2x ， 在直角梯形MNN 1M 1中，MN 2=(√2x)2+(2−4x)2=18(x −49)2+49， ∴当x =49时，MN 的最小值为23．故选：B ．作MM 1⊥AD 于点M 1，作NN 1⊥CD 于点N 1，则M 1N 1//AC.设DM 1=DN 1=x ，则MM 1=x ，NN 1=1−x ，由此能求出MN 的最小值．本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 11. 【答案】80【解析】解：二项展开式的通项为T r+1=25−r C 5r x r令r =2得x 2的系数为23C 52=80 故答案为：80．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r =2，求出展开式中x 2的系数． 利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12.【答案】【解析】解：某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23， ∴这名运动员在赛场上的2次罚球中，至少有一次命中的概率为p =1−C 20(13)2=89．故答案为：89．利用对立事件概率计算公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13.【答案】0.005 >【解析】解：由频率分布直方图得： (a +0.04+0.03+0.02+a)×10=1， 解得a =0.005．评分在[50,70)的频率为：(0.005+0.04)×10=0.45， 评分为[70,80)的频率为：0.03×10=0.3，∴中位数b=70+0.5−0.450.3×10=2153>65．故答案为：0.005，>．由频率分布直方图列方程能求出a；评分在[50,70)的频率为0.45，评分为[70,80)的频率为0.3，由此能求出中位数．本题考查频率的求法、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．14.【答案】10【解析】解：由题意椭圆x 29+y25=1知：a=3，b=√5，c=2，△PF1F2周长=2a+2c=6+4=10．故答案为：10．由题意可知△PF1F2周长=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c，进而计算可得答案．本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题．15.【答案】72【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有A44=24种情况，则有3×24=72种不同的站法；故答案为：72．根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】(1,0)2√33【解析】解：①抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)，②若M是抛物线上的动点，设M(m,n)，即有n2=4m，抛物线的准线方程为x=−1，可得|MF|=m+1，即有|MO||MF|=√m2+n2m+1=√m2+4mm+1，可令m+1=t(t>0)，可得m=t−1，√m2+4m m+1=√(t−1)2+4(t−1)t=√1+2t−3t2=√−3(1t −13)2+23，当t=3即m=2时，上式取得最大值2√33．故答案为：(1,0)，2√33．①由抛物线的焦点坐标公式可得所求；②求得抛物线的准线方程，设M(m,n)，即有n2=4m，可得|MF|=m+1，再令t=m+1，转化为t的函数，配方即可得到所求最大值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4小题，共36.0分） 17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意，由随机变量X 的分布列可得：0.1+0.4+0.3+m =1， 解可得m =0.2；(Ⅱ)根据题意，P(1≤X ≤3)=P(X =1)+P(X =2)+P(X =3)=0.4+0.3+0.2=0.9； (Ⅲ)根据题意，E(X)=0×0.1+1×0.4+2×0.3+3×0.2=1.6．【解析】(Ⅰ)根据题意，由分布列的性质可得0.1+0.4+0.3+m =1，解可得m 的值；(Ⅱ)根据题意，分析可得P(1≤X ≤3)=P(X =1)+P(X =2)+P(X =3)，结合分布列计算可得答案； (Ⅲ)根据题意，由期望的计算公式计算可得答案．本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望、方差的计算． 18.【答案】解法一：(Ⅰ)证明：∵E ，H 分别是线段PA ，AB 的中点， ∴EH//PB ．又∵EH ⊂平面EFH ，PB ∉平面EFH ， ∴PB//平面EFH ．(Ⅱ)解：∵F 为PD 的中点，且PA =AD ，∴PD ⊥AF ， 又∵PA ⊥底面ABCD ，BA ⊂底面ABCD ，∴AB ⊥PA ． 又∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥AD ． 又∵PA ∩AD =A ，∴AB ⊥平面PAD ． 又∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ． 又∵AB ∩AF =A ，∴PD ⊥平面AHF ．(Ⅲ)∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB ， ∵E ，F 分别是线段PA ，PD 的中点，∴EF//AD ，∴EF ⊥平面PAB ． ∵EH ⊂平面PAB ，EA ⊂平面PAB ，∴EF ⊥EH ，∴EF ⊥EA ， ∴∠HEA 就是二面角H −EF −A 的平面角．在Rt △HAE 中，AE =12PA =1,AH =12AB =1，∴∠AEH =45∘，所以二面角H −EF −A 的大小为45∘．解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ， ∴A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)， P(0,0，2)，E(0,0，1)，F(0,1，1)，H(1,0，0)．(Ⅰ)证明：∵PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2)，EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PB ∉平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ， ∴PB//平面EFH ．(Ⅱ)解：PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ =0×0+2×1+(−2)×1=0， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0×1+2×0+(−2)×0=0． ∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又∵AF ∩AH =A ，∴PD ⊥平面AHF ．(Ⅲ)设平面HEF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，则{n ⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0n⃗ ⋅EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x −z =0取n ⃗ =(1,0,1)．又因为平面AEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,0,0)， 所以cos <m,⃗⃗⃗⃗ n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×1=√2=√22， ∴<m,⃗⃗⃗⃗ n ⃗ >=45∘，所以二面角H −EF −A 的大小为45∘．【解析】(Ⅰ)要证PB//平面EFH ，须证PB 平行平面EFH 内的一条直线即可． (Ⅱ)要证PD ⊥平面AHF ，须证PD 垂直面内两条相交直线即可．(Ⅲ)求二面角H −EF −A 的大小.必须找出二面角的平面角，求解即可．本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)该校高一年级有200名学生，则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：200×38=75． (Ⅱ)高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人， 从高一年级抽取的学生中再随机选取3人， 这3人中，恰有1人“体质良好”的概率P =C 21C 62C 83=1528．(Ⅲ)a =75，b =75．【解析】(Ⅰ)由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人数．(Ⅱ)高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，利用古典概型能求出这3人中，恰有1人“体质良好”的概率． (Ⅲ)a =75，b =75．本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 20.【答案】(Ⅰ)解：∵椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M(2,0)，∴a =2，又∵e =12，∴c =1，则b =√a 2−c 2=√3． ∴椭圆的方程为x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：方法1、由题意知，F(1,0)，可知直线AB 的斜率存在，设其方程为y =k(x −1)， 则P(0,−k)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1≠1，x 2≠1． 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 1,y 1+k)=m(1−x 1,−y 1)，∴m =x 11−x 1， 由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 2,y 2+k)=n(1−x 2,−y 2)，∴n =x 21−x 2，联立{y =k(x −1)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0．∴x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．故m +n =x 11−x 1+x 21−x 2=x 1+x 2−2x 1x 21−(x1+x 2)+x 1xx 2=8k 24k 2+3−2⋅4k 2−124k 2+31−8k 24k 2+3+4k 2−124k 2+3=24−9=−83；方法2、由题意知，F(1,0)，m ≠1，n ≠1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,y 0)， 由PA⃗⃗⃗⃗⃗ =m AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(x 1,y 1−y 0)=m(1−x 1,−y 1)， ∴x 1=m m+1，y 1=y 0m+1，故A (m m+1,y 0m+1)，∵A 点在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，∴14(mm+1)2+13(y0m+1)2=1．整理得：9m 2+24m +12−4y 02=0．同理，由PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得9n 2+24n +12−4y 02=0．由此可得，m，n是关于x的一元二次方程9x2+24x+12−4y02=0的两个实数根．∴m+n=−249=−83．【解析】(Ⅰ)由已知得a=2，结合离心率求得c，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；(Ⅱ)方法1、由题意知，F(1,0)，可知直线AB的斜率存在，设其方程为y=k(x−1)，则P(0,−k)，设出A，B的坐标，由已知向量等式可得m，n，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明m+n为定值；方法2、由题意知，F(1,0)，m≠1，n≠1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,y0)，由向量等式可得9m2+24m+12−4y02=0，9n2+24n+12−4y02=0．由此可得，m，n是关于x的一元二次方程9x2+24x+12−4y02=0的两个实数根，再由根与系数的关系得m+n=−249=−83为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．。