上海高中高考数学所有公式汇总

集合命题不等式公式1、()U C A B ⋂=_____U U C A C B ⋃____；()U C A B ⋃=_____U U C A C B ⋂______。

2、A B A ⋂=⇔__A B ⊆___；A B B ⋃=⇔__A B ⊆__；U U C B C A ⊆⇔__A B ⊆___； U A C B ⋂=∅⇔____A B ⊆____；U C A B U ⋃=⇔______A B ⊆_____。

3、含n 个元素的集合有：__2n __个子集，__21n -__个真子集，__21n -__个非空子集，__22n -__个非空真子集。

4、常见结论的否定形式__原命题______逆否命题______否命题____与____逆命题___互为等价命题。

6、若p q ⇒，则p 是q 的___充分____条件；q 是p 的____必要____条件。

7、基本不等式：（1）R b a ∈,：________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。

（2）+∈R b a ,：__________a b +≥__________等且仅当b a =时取等号。

（3）绝对值的不等式：__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式：+∈R b a ,时，_______211a b+______≤≤___2a b +___≤等且仅当b a =时取等号。

9、分式不等式：()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩ ()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩ 10、绝对值不等式： |()|(0)____()()________________f x a a f x a f x a >>⇔<->或 11、指、对数不等式： （1）1>a 时：()()_____()()_______l o g ()l og ()_______0()()________f xg x a a a af xg x f xg x f x g x <⇔<<⇔<<（2）10<<a时：()()______()()________log()log()______()()0________f xg xa aa a f x g xf xg x f x g x<⇔><⇔>>函数公式1、函数)(xfy=的图象与直线ax=交点的个数为 1 个2、一元二次函数解析式的三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a=++≠__；顶点式：224()(0)4b ac by a x aa-=++≠_；零点式：____((0)22b by a x x aa a---=--≠___________。

上海高考数学常考公式上海高考数学常用公式1、摩根公式：C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B .2、包含关系：A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R3、集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2-1个；非空子集有2-1个；非空的真子集有2-2个4、二次函数的解析式的三种形式：① 一般式f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ；② 顶点式f (x ) =a (x -h ) 2+k (a ≠0) ；③ 零点式nnnnf (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)5、闭区间上的二次函数的最值二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) 在闭区间[p , q ]上的最值只能在x =-体如下：（1）当a>0时，若x =-b处及区间的两端点处取得，具2ab b∈[p , q ]，则f (x ) min =f (-), f (x ) max =max {f (p ), f (q ) }； 2a 2ab∉[p , q ]，f (x ) max =max {f (p ), f (q ) }，f (x ) min =min {f (p ), f (q ) 2ab∈[p , q ]，则f (x ) min =min {f (p ), f (q ) }，（2）当ab∉[p , q ]，则f (x ) max =max {f (p ), f (q ) }，f (x ) min =min {f (p ), f (q ) } 若x =-2ax =-6、定区间上含参数的不等式恒成立(或有解) 的条件依据（1）在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L （形如[α, β]，(-∞, β]，[α, +∞)不同）上含参数的不等式f (x ) ≥t (t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x ) min≥t ,(x ∈L （2）在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L 上含参数的不等式f (x ) ≤t (t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x ) max ≤t ,(x ∈L （3）在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L 上含参数的不等式f (x ) ≥t (t 为参数) 的有解充要条件是f (x ) m a x ≥t , (x ∈（4）在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L 上含参数的不等式f (x ) ≤t (t 为参数) 有解的充要条件是f (x ) m i n ≤t , (x ∈7、常见结论的否定形式8、四种命题的相互关系：原命题若p 则q 互否否命题若┐p则┐q互逆逆逆互逆9、充要条件（记p 表示条件，q 表示结论）（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q （2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q （3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q10、函数的单调性的等价关系设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]f (x 1) -f (x 2)>0⇔f (x ) 在[x 1-x 2f (x 1) -f (x 2)11、如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, x ) 也是减函数; 如果函数f (x ) 和g (x ) 都是增函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数y =f [g (x )]y =f(u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是增函数, 则复合函数y =f [g (x )]和u =g (x ) 在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数, 则复合函数y =f [g (x12、奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y13、常见函数的图像：14、对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是x =a +b; 两个函数2a +b2a15、若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点(, 0) 对称;2若f (x ) =-f (x +a ) , 则函数y =f (x ) 为周期为2a y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线x =16、函数y =f (x ) 的图像的对称性：① 函数y =f (x ) 的图像关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x ) ⇔f (2a -x ) =f (x ) . ② 函数y =f (x ) 的图像关于直线x =a +b对称⇔f (a +mx ) =f (b -mx ) 2⇔f (a +b -mx ) =f (mx ) .17、两个函数图像的对称性：① 函数y =f (x ) 与函数y =f (-x ) 的图像关于直线x =0(即y 轴) 对称；② 函数y =f (mx -a ) 与函数y =f (b -mx ) 的图像关于直线x =③ 函数y =f (x ) 和y =f18、分数指数幂：①a19、指数式与对数式的互化式：log a N =b ⇔a b =N (a >0, a ≠1, N >0) . 20、对数的换底公式：log a N =对数恒等式：ana +b对称； 2m-1(x ) 的图像关于直线y =x 对称.m n=a >0, m , n ∈N ，且n >1）；② a*-mn=1am n（a >0, m , n ∈N *，且n >1）log m N(a >0, 且a ≠1, m >0, 且m ≠1, N >0)log m alog a N=N (a >0, 且a ≠1, N >0)推论：log a m b =nlog a b (a >0, 且a ≠1, N >0) m21、对数的四则运算法则：若a >0，a ≠1，M >0，N >0，则M=log a M -log a N ； Nn n（3）log a M n =n log a M (n ∈R ) ；（4）log a m N =log a N (n , m ∈R )mn =1⎧s 1,22、数列的通项公式与前n 项的和的关系：（数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+ +a n ） a n =⎨⎩s n -s n -1, n ≥2（1）log a (MN ) =log a M +log a N ；（2）log a23、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N ) ；其前n 项和公式：s n =*n (a 1+a n ) n (n -1) d 1=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 222224、等比数列的通项公式：a n =a 1qn -1a 1n⋅q (n ∈N *) ； q⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q, q ≠1, q ≠1⎪⎪其前n 项的和公式为：s n =⎨1-q 或s n =⎨1-q ⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩125、特殊数列的极限1=0 n →∞n⎧0⎪n（2）lim q =⎨1n →∞⎪不存在⎩（1）lim|q |.⎧0(ka k n k +a k -1n k -1+ +a 0⎪a t（3）lim =⎨(k =t ) .n →∞b n t +b n t -1+ +b b t t -10⎪k⎪不存在 (k >t ) ⎩（4）S =lima 11-q n1-qn →∞)=a 1n -1（S 无穷等比数列a 1q } (|q |{26、数列极限的四则运算法则若lim a n =a , lim b n =b ，则n →∞n →∞（1）lim (a n ±b n )=a ±b ；（2）lim (a n ⋅b n )=a ⋅b ；（3）lim n →∞n →∞a n a=(b ≠0)n →∞b b n（4）lim (c ⋅a n )=lim c ⋅lim a n =c ⋅a ( c是常数n →∞n →∞n →∞27、同角三角函数的基本关系式：sin θ+cos θ=1，tan θ=28、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）n⎧n π⎪(-1) 2sin α, sin(+α) =⎨ n -12⎪(-1) 2co s α,⎩22sin θ，tan θ⋅cot θ=1. cos θn⎧n π⎪(-1) 2cos α+α) =⎨ n +12⎪(-1) 2sin α⎩29、和角与差角公式sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β) =cos αcos β sinαsin βtan α±tan βtan(α±β) =1tan αtan βa sin α+b cos αα+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ=30、二倍角公及降幂公式b ) asin 2α=2sin αcos α=222tan α；1+tan 2α21-tan 2αcos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α= 21+tan α2tan αtan 2α=. 21-tan α1-cos 2α1+cos 2αsin 2α=,cos 2α=2231、三角函数的周期公式函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0) 的周期T =函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+32、正弦定理：2π； |ω|π2, k ∈Z (A,ω, ϕ为常数，且A ≠0) 的周期T =π |ω|a b c===2R （R 为∆ABC 外接圆的半径） sin A sin B sin C⇔a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ⇔a :b :c =sin A :sin B :sin C2222222233、余弦定理：a =b +c -2bc cos A ；b =c +a -2ca cos B ；c =a +b -2ab cos C34、面积定理111ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高） 222111（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B222（1）S =35、三角形内角和定理：在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) ⇔36、平面两点间的距离公式C πA +B =-⇔2C =2π-2(A +B ) 222dA ,B =|AB |==(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) )37、向量的平行与垂直：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则a ||b ⇔b =λ a ⇔x 1y 2-x 2y 1=0a ⊥b (a ≠0) ⇔ a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=038、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为A(x1,y 1) 、B(x2,y 2) 、C(x3,y 3) , 则△ABC 的重心的坐标是G (x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3, ) 3339、常用不等式：（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)22a +b≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) 2（3）a -b ≤a +b ≤a +b（2）a , b ∈R +⇒40、极值定理:已知x , y 都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值（3）已知a , b , x , y ∈R +，若ax +by =1，则有1s 41111by ax +=(ax +by )(+) =a +b ++≥a +b +=x y x y x ya b（4）已知a , b , x , y ∈R +，若+=1，则有x ya b ay bxx +y =(x +y )(+) =a +b ++≥a +b +=2x y x y41、一元二次不等式ax 2+bx +c >0(或0) ，如果a 与ax +bx +c 同号，则其解集在两根之外；如果 a 与ax +bx +c 异号，则其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间.22x 1x 2⇔(x -x 1)(x -x 2) >0(x 142、含有绝对值的不等式：当a> 0时，有 x2x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x43、分式不等式⎧f (x ) ⋅g (x ) ≥0⎧f (x ) ⋅g (x ) ≤ 0f (x ) f (x )≥0⇔⎨≤0⇔⎨g (x ) g (x ) ⎩g (x ) ≠0⎩g (x ) ≠044、无理不等式：（1⎧f (x ) ≥0⎪>⎨g (x ) ≥0⎪f (x ) >g (x ) ⎩⎧f (x ) ≥0⎧f (x ) ≥0⎪>g (x ) ⇔⎨g (x ) ≥0或⎨⎪f (x )>[g (x )]2⎩g (x )g (x ) ⇔⎨g (x ) >0⎪f (x )（2（345、指数不等式与对数不等式：（1）当a >1时a f (x ) >a g (x )⎧f (x ) >0⎪⇔f (x ) >g (x ) ；log a f (x ) >log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0.⎪f (x ) >g (x ) ⎩⎧f (x ) >0⎪⇔f (x ) log a g (x ) ⇔⎨g (x ) >0⎪f (x )（2）当0a f (x ) >a g (x )46、斜率公式 k =y 2-y 1（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) ）.x 2-x 147、直线的四种方程（1）点斜式：y -y 0=k (x -x 0) （直线l 过点P 0(x 0, y 0) ，且斜率为k ）（2）斜截式：y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：y -y 1x -x 1(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).y 2-y 1x 2-x 1x -x 0y -y 0= u v（5）点法向式：a (x -x 0) +b (y -y 0) =0（4）点方向式：（6）一般式：Ax +By +C =0（其中A 、B 不同时为0）48、两条直线的平行和垂直（1）若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1（2）若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①l 1 l 2⇔A 1B 1C 1；②l 1⊥l 2⇔A ；=≠1A 2+B 1B 2=0A 2B 2C 249、夹角公式：cos α=A 1A 2+B 1B 2A 1+B 122A 2+B 222（l 1:A ） 1x +B 1y +C 1=0，l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，A 1A 2+B 1B 2≠0直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是50、点到直线的距离：d =π2（点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0）C 1-C 251、两条平行线之间的距离：d =（两条直线l 1:Ax +By +C 1=0，l 2:Ax +By +C 2=0）22A +B52、圆的三种方程（1）圆的标准方程：(x -a ) +(y -b ) =r22（2）圆的一般方程：x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0)22222（3）圆的参数方程：⎨⎧x =a +r cos θy =b +r sin θ⎩53、点与圆的位置关系：点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种若d =d >r ⇔点P 在圆外；d =r ⇔点P 在圆上；d54、直线与圆的位置关系直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种： d >r ⇔相离⇔∆0x 2y 255、椭圆的标准方程：2+2=1(a >b >0)a b ⎧x =a cos θ椭圆的参数方程是⎨⎩y =b sin θ56、椭圆的内外部x 2y 2（1）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的内部⇔a b x 2y 2（2）点P (x 0, y 0) 在椭圆2+2=1(a >b >0) 的外部⇔a bx 2y 257、双曲线2-2=1(a >0, b >0)a b58、双曲线的内外部22x 0y 0+2+>1 a 2b 222x 0y 0x 2y 2（1）点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的内部⇔2-2>a b a b 22x 0y 0x 2y 2（2）点P (x 0, y 0) 在双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的外部⇔2-2a b a b59、双曲线的方程与渐近线方程的关系x 2y 2x 2y 2b（1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±xa ab a bx y x 2y 2b（2）若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λa b a a bx 2y 2x 2y 2（3）若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λa b a b（λ>0，焦点在x 轴上，λ60、椭圆的焦点三角形面积公式：S ∆PF 1F 2=b tan22θ2双曲线的焦点三角形面积公式：S ∆PF 1F 2=b cot61、抛物线y =2px 的焦半径公式2θ2（其中点P 为椭圆或双曲线上的一点，∠F 1PF 2=θ）抛物线y 2=2px (p >0) 焦半径CF =x 0+过焦点弦长CD =x 1+p p+x 2+=x 1+x 2+p 22y62、抛物线y =2px 上的动点可设为P ( , y ) 或P (2pt 2, 2pt ) 或 P(x , y ) ，其中 y 2=2px .2p2263、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：AB =AB =+k 2x 1-x 2=+k 2∆1=+2y 1-y 2 a k⎧y =kx +b 2（弦端点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，由方程⎨消去y 得到ax +bx +c =0，∆>0, α为直线AB 的倾斜⎩F (x , y ) =0角，k 为直线的斜率）64、圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线F (x , y ) =0关于点P (x 0, y 0) 成中心对称的曲线是F (2x 0-x ,2y 0-y ) =0. （2）曲线F (x , y ) =0关于直线Ax +By +C =0成轴对称的曲线是F (x -2A (Ax +By +C ) 2B (Ax +By +C ), y -) =0.A 2+B 2A 2+B 2特别地，曲线F (x , y ) =0关于原点O 成中心对称的曲线是F (-x , -y ) = 曲线F (x , y ) =0关于直线x 轴对称的曲线是F (x , -y ) = 曲线F (x , y ) =0关于直线y 轴对称的曲线是F (-x , y ) = 曲线F (x , y ) =0关于直线y =x 轴对称的曲线是F (y , x ) = 曲线F (x , y ) =0关于直线y =-x 轴对称的曲线是F (-y , -x ) =65、“四线”一方程：对于一般的二次曲线Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F =0，用x 0x代x ，用y 0y 代y ，2222x 0y +xy 0x +x y +y代xy ，用0代x ，用0代y 即得方程 222x y +xy 0x +x y +yAx 0x +B ⋅0+Cy 0y +D ⋅0+E ⋅0+F =0，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是222此方程得到66、球的半径是R ，则其体积是V =67、柱体、锥体的体积4πR 3, 其表面积是S =4πR 2 31V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）31V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）368、求夹角是不可缺少的重要题型之一，要牢记各类角的范围，倾斜角的取值范围是：0≤α范围：0≤α≤180。

上海高中数学公式总结大全摘要：一、引言二、上海高中数学公式概述1.数学分析2.高等数学3.概率论与数理统计4.线性代数5.数学建模三、数学分析公式1.极限2.导数与微分3.积分四、高等数学公式1.微分方程2.多元函数微分学3.多元函数积分学五、概率论与数理统计公式1.概率分布2.随机变量3.假设检验六、线性代数公式1.矩阵运算2.线性方程组3.特征值与特征向量七、数学建模公式1.模型建立2.模型求解3.模型评价与优化八、结论正文：一、引言在上海高中数学学习中，数学公式起着至关重要的作用。

为了帮助同学们更好地掌握这些公式，本文对上海高中数学公式进行了总结，涵盖了数学分析、高等数学、概率论与数理统计、线性代数以及数学建模等五个方面。

希望同学们能够通过本文，提高自己的数学学习效率，取得更好的成绩。

二、上海高中数学公式概述1.数学分析数学分析是研究函数、极限、连续、微分、积分等概念及其性质的学科。

在上海高中数学课程中，数学分析部分的公式主要包括：（1）极限公式（2）导数与微分公式（3）积分公式2.高等数学高等数学是数学的重要分支，主要包括微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学等内容。

在上海高中数学课程中，高等数学部分的公式主要包括：（1）微分方程公式（2）多元函数微分学公式（3）多元函数积分学公式3.概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的学科。

在上海高中数学课程中，概率论与数理统计部分的公式主要包括：（1）概率分布公式（2）随机变量公式（3）假设检验公式4.线性代数线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组等概念的学科。

在上海高中数学课程中，线性代数部分的公式主要包括：（1）矩阵运算公式（2）线性方程组公式（3）特征值与特征向量公式5.数学建模数学建模是运用数学方法解决实际问题的学科。

在上海高中数学课程中，数学建模部分的公式主要包括：（1）模型建立公式（2）模型求解公式（3）模型评价与优化公式三、结论上海高中数学公式总结大全旨在帮助同学们系统地学习和掌握高中数学公式，提高数学成绩。

沪高考知识点公式总结
一、数学
1. 几何公式
（1）三角形面积公式：S = a*b*sinC/2
（2）三角形周长公式：P = a+b+c
（3）矩形面积公式：S = l*w
（4）圆周长公式：C = 2*π*r
（5）圆面积公式：S = π*r*r
2. 代数公式
（1）二次方程求根公式：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a) （2）直线斜率公式：k = (y2-y1)/(x2-x1)
（3）直线方程公式：y = kx+b
3. 统计学公式
（1）均值公式：μ = Σx/n
（2）方差公式：Σ(x-μ)²/n
（3）标准差公式：√(Σ(x-μ)²/n)
二、物理
1. 力学公式
（1）牛顿第一定律：F = ma
（2）牛顿第二定律：F = dp/dt
（3）牛顿第三定律：F1 = -F2
2. 动力学公式
（1）速度公式：v = x/t
（2）加速度公式：a = Δv/Δt
（3）牛顿运动定律：F = ma
三、化学
1. 化学平衡公式
（1）动态平衡常数公式：Kc = [C]c/[A]a[B]b
（2）平衡常数公式：K = e^(-ΔG/RT)
（3）反应速率常数公式：k = Ae^(-Ea/RT)
2. 化学反应公式
（1）原子分子量公式：M = Σ(ni*mi)
（2）摩尔浓度公式：c = n/V
（3）摩尔体积公式：V = V/n
总结：上海高考数学、物理、化学知识点公式主要包括几何公式、代数公式、统计学公式、力学公式、动力学公式、化学平衡公式和化学反应公式，掌握这些公式对于高考的考试非
常重要。

上海高考高三数学所有公式汇总集合命题不等式公式1、()U C A B ⋂=_____U U C A C B ⋃____；()U C A B ⋃=_____U U C A C B ⋂______。

2、A B A ⋂=⇔__A B ⊆___；A B B ⋃=⇔__A B ⊆__；U U C B C A ⊆⇔__A B ⊆___； U A C B ⋂=∅⇔____A B ⊆____；U C A B U ⋃=⇔______A B ⊆_____。

3、含n 个元素的集合有：__2n __个子集，__21n -__个真子集，__21n -__个非空子集，__22n -__个非空真子集。

4、常见结论的否定形式__原命题______逆否命题______否命题____与____逆命题___互为等价命题。

6、若p q ⇒，则p 是q 的___充分____条件；q 是p 的____必要____条件。

7、基本不等式：（1）R b a ∈,：________222a b ab +≥_____________等且仅当b a =时取等号。

（2）+∈R b a ,：__________a b +≥__________等且仅当b a =时取等号。

（3）绝对值的不等式：__________||||||||||||a b a b a b -≤±≤+_________ 8、均值不等式：+∈R b a ,时，_______211a b+______≤_____≤___2a b +___≤____等且仅当b a =时取等号。

9、分式不等式：()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩ ()0()f x g x ≤⇔()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩10、绝对值不等式： |()|(0)____()()________________f x a a f x a f x a >>⇔<->或 11、指、对数不等式： （1）1>a 时：()()_____()()_______log ()log ()_______0()()________f xg x a a a a f x g x f x g x f x g x <⇔<<⇔<<（2）10<<a 时：()()______()()________log ()log ()______()()0________f xg x a a a a f x g x f x g x f x g x <⇔><⇔>>函数公式1、函数)(x f y =的图象与直线a x =交点的个数为 1 个2、一元二次函数解析式的三种形式：一般式：2(0)y ax bx c a =++≠__；顶点式：224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠_； 零点式：____((0)y a x x a =-≠___________。

[上海高中数学公式]上海高考数学公式大全[上海高中数学公式]上海高考数学公式大全高中的数学公式定理大集中三角函数公式表同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系：平方关系：tan α ²cotα＝1sin α ²cscα＝1cos α ²secα＝1 sinα/cosα＝tan α＝sec α/cscαcos α/sinα＝cot α＝csc α/secα sin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。

”）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。

）sin （－α）＝－sin αcos （－α）＝cos α tan（－α）＝－tan αcot （－α）＝－cot αsin （π/2－α）＝cos αcos （π/2－α）＝sin αtan （π/2－α）＝cot αcot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin αtan （π/2＋α）＝－cot αcot （π/2＋α）＝－tan αsin （π－α）＝sin αcos （π－α）＝－cos αtan （π－α）＝－tan αcot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos αtan （π＋α）＝tan αcot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos αcos （3π/2－α）＝－sin αtan （3π/2－α）＝cot αcot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos αcos （3π/2＋α）＝sin αtan （3π/2＋α）＝－cot αcot （3π/2＋α）＝－tan αsin （2π－α）＝－sin αcos （2π－α）＝cos αtan （2π－α）＝－tan αcot （2π－α）＝－cot αsin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos αtan （2k π＋α）＝tan αcot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin βsin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin βcos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin βcos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin βtan α＋tan βtan （α＋β）＝——————1－tan α ²tanβtan α－tan βtan （α－β）＝——————1＋tan α ²tanβ2tan(α/2)sin α＝——————1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2)cos α＝——————1＋tan2(α/2)2tan(α/2)tan α＝——————1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sin αcos αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tan αtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sin α－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cos α3tan α－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋β α－βsin α＋sin β＝2sin ———²cos———2 2α＋β α－βsin α－sin β＝2cos ———²sin———2 2α＋β α－βcos α＋cos β＝2cos ———²cos———2 2α＋β α－βcos α－cos β＝－2sin ———²sin———2 2 1sin α ²cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin （α－β）]21cos α ²sinβ＝-[sin（α＋β）－sin （α－β）]21cos α ²cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos （α－β）]21sin α ²sinβ＝— -[cos（α＋β）－cos （α－β）]2化asin α ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式集合、函数集合简单逻辑任一x∈A x∈B，记作A BA B，B A A＝BA B＝{x|x∈A，且x∈B}A B＝{x|x∈A，或x∈B}card （A B）＝card （A ）+card（B ）－card （A B）（1）命题原命题若p 则q逆命题若q 则p否命题若p则q逆否命题若q，则p（2）四种命题的关系（3）A B，A 是B 成立的充分条件B A，A 是B 成立的必要条件A B，A 是B 成立的充要条件函数的性质指数和对数（1）定义域、值域、对应法则（2）单调性对于任意x1，x2∈D若x1＜x2 f（x1）＜f （x2），称f （x ）在D 上是增函数若x1＜x2 f（x1）＞f （x2），称f （x ）在D 上是减函数（3）奇偶性对于函数f （x ）的定义域内的任一x ，若f （－x ）＝f （x ），称f （x ）是偶函数若f （－x ）＝－f （x ），称f （x ）是奇函数（4）周期性对于函数f （x ）的定义域内的任一x ，若存在常数T ，使得f （x+T）＝f(x)，则称f （x ）是周期函数（1）分数指数幂正分数指数幂的意义是负分数指数幂的意义是（2）对数的性质和运算法则loga （MN ）＝logaM+logaNlogaMn ＝nlogaM （n∈R）指数函数对数函数（1）y ＝ax （a ＞0，a≠1）叫指数函数（2）x∈R，y ＞0图象经过（0，1）a ＞1时，x ＞0，y ＞1；x ＜0，0＜y ＜10＜a ＜1时，x ＞0，0＜y ＜1；x ＜0，y ＞1a ＞1时，y ＝ax 是增函数0＜a ＜1时，y ＝ax 是减函数（1）y ＝logax （a ＞0，a≠1）叫对数函数（2）x ＞0，y∈R图象经过（1，0）a ＞1时，x ＞1，y ＞0；0＜x ＜1，y ＜00＜a ＜1时，x ＞1，y ＜0；0＜x ＜1，y ＞0a ＞1时，y ＝logax 是增函数0＜a ＜1时，y ＝logax 是减函数指数方程和对数方程基本型logaf(x)＝b f（x ）＝ab （a ＞0，a≠1）同底型logaf （x ）＝logag （x ）f（x ）＝g （x ）＞0（a ＞0，a≠1）换元型f（ax ）＝0或f (logax)＝0数列数列的基本概念等差数列（1）数列的通项公式an ＝f （n ）（2）数列的递推公式（3）数列的通项公式与前n 项和的关系an+1－an ＝dan ＝a1+（n －1）da ，A ，b 成等差2A＝a+bm+n＝k+l am+an＝ak+al等比数列常用求和公式an ＝a1qn ＿1a ，G ，b 成等比G2＝abm+n＝k+l aman＝akal不等式不等式的基本性质重要不等式a ＞b b＜aa ＞b ，b ＞c a＞ca ＞b a+c＞b+ca+b＞c a＞c －ba ＞b ，c ＞d a+c＞b+da ＞b ，c ＞0 ac＞bca ＞b ，c ＜0 ac＜bca ＞b ＞0，c ＞d ＞0 ac＜bda ＞b ＞0 dn＞bn （n∈Z，n ＞1）a ＞b ＞0 ＞（n∈Z，n ＞1）（a －b ）2≥0a ，b∈R a2+b2≥2ab|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|证明不等式的基本方法比较法（1）要证明不等式a ＞b （或a ＜b ），只需证明a －b ＞0（或a －b ＜0＝即可（2）若b ＞0，要证a ＞b ，只需证明，要证a ＜b ，只需证明综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式（由因导果）的方法。

上海高三数学知识点汇总在上海的高三学生中，数学是一门重要的学科，占据着高中阶段学业的重要部分。

为了帮助广大高三学生更好地复习，下面将对上海高三数学的知识点进行汇总和总结，以便学生们更好地掌握和回顾。

1. 数列与数列的通项公式：- 等差数列：数列中的每个数与它的前一个数的差相等。

通项公式为：An = A1 + (n-1)d。

- 等比数列：数列中的每个数与它的前一个数的比相等。

通项公式为：An = A1 * r^(n-1)。

- 斐波那契数列：数列中的每个数都是前两个数之和。

通项公式为：An = An-1 + An-2。

2. 函数与方程：- 一次函数：y = kx + b，其中k和b分别代表斜率和截距。

- 二次函数：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。

- 指数函数：y = a^x，其中a为底数，x为指数。

- 对数函数：y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。

- 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，求解x的值。

3. 三角函数：- 正弦函数：sin(x) = 对边/斜边。

- 余弦函数：cos(x) = 临边/斜边。

- 正切函数：tan(x) = 对边/临边。

- 余切函数：cot(x) = 临边/对边。

- 正割函数：sec(x) = 斜边/临边。

- 余割函数：csc(x) = 斜边/对边。

4. 几何知识点：- 直线与平面的关系：直线可以与平面相交、平行或位于平面内部。

- 平行线与垂直线：两线平行的条件为斜率相等，两线垂直的条件为斜率的乘积为-1。

- 三角形分类：根据边长和角度大小，可以将三角形分类为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。

- 同位角与内错角：同位角是指两条直线被一条直线相交所形成的一对内错角。

以上仅为上海高三数学知识点的汇总，仍然包含了大量的内容。

高三学生们可以结合自己的学习情况，有针对性地进行复习和巩固。

1、 含有n 个元素的集合的子集共有 个，真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集有 个.2、⇔=A B A I ;⇔=A B A Y .3、若A 是B 的子集，则A x ∈ B x ∈．（填推出关系）4、如果0,>>c b a ,那么ac bc ;如果0,=>c b a ,那么ac bc ;如果0,<>c b a ,那么ac bc . 如果0>>b a ，那么a 1 b1； 如果0<<a b ，那么a 1 b 1；如果b a >>0，那么a 1 b 1. 5、一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax )0(02><++a c bx ax0>∆0=∆0<∆分式不等式⇔<0)()(x g x f ⎩⎨⎧⇔≥0)()(x g x f 含绝对值的不等式⇔><)0(||a a x ⇔>>)0(||a a x指数、对数不等式 利用指数函数、对数函数的 求解 不忘定义域6、基本不等式：对于任意实数b a 、，有 ，当且仅当 时等号成立．对于任意实数+∈R b a 、，有 ，当且仅当 时等号成立．对于第二个基本不等式求最值，要注意“ ”原则． 7、方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的系数矩阵是 增广矩阵是 =D =x D =y D有唯一解的充要条件是 此时方程组的解为方程组无解的充要条件为 方程组无穷多解的充要条件为8、行列式对角线法则1122a b a b = 333222111c b a c b a c b a = 三阶行列式中1b 的余子式为 1b 的代数余子式为行列式按某行某列展开333222111c b a c b a c b a = =9、等差数列递推公式=+1n a 通项公式=n a 等差中项公式 +=m n a a ),(*N n m ∈若),,,(*N q p n m q p n m ∈+=+，则=+n m a a若)(2*N k k n m ∈=+，则=+n m a a求和公式=n S =10、等比数列递推公式=+1n a 通项公式=n a等比中项公式 ⋅=m n a a ),(*N n m ∈若),,,(*N q p n m q p n m ∈+=+，则=⋅n m a a若)(2*N k k n m ∈=+，则=⋅n m a a 求和公式=n S11、等差数列、等比数列前n 项和若数列}{n a 为等差数列，}{n b 为等比数列，前n 项和分别为n S ，n T ，若c bn an S n ++=2，b kq T n n +=，则 ． 数列中n a 与n S 的关系式=n a12、等差数列与等比数列类比：加变 ，减变 ，乘变 ，除变 ，0变 ．13、⎪⎩⎪⎨⎧=++++--∞→ΛΛ122111lim k k p p n n b n a n b n a （按k p ,的大小关系进行分类） ⎪⎩⎪⎨⎧=∞→n n q lim （注意q 的取值范围） 无穷等比数列各项和公式=S 其中q 满足的条件为14、利用递推公式求通项公式的方法：①累加法，形如 的数列．② 累乘法，形如 的数列．③ 倒数法，形如 的数列．④ 待定系数法，形如 的数列．15、数列求和方法：分组求和法裂项相消法倒序相加法错位相减法16、因式分解=+33b a =-33b a 17、=⋅n m a a =÷n m a a =n m a )(=m na （根式） =-m na （根式）18、=+N M a a log log =-N M a a log log=n a M log =n a b m log =N a log （换底公式） 1log =b a =N a a log =+b N a a log19、多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++L 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的 .多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的 .20、函数的单调性设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是 函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是 函数. 判断复合函数)]([x g f y =的单调性法则为 .21、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象是一条抛物线，对称轴的方程为 ．22、函数)0,0()(>>+=b a xb ax x f ，当0>x 时，函数在 上递减， 在 上递增，当=x 时，=min )(x f ；当0<x 时，函数在 上递增，在 上递减，当=x 时，=max )(x f ．23、函数)0,0()(>>-=b a xb ax x f 单调性为 ． 24、函数)0,0()(中至少有一个不为、且dc a b axd cx x f ≠++=，图象的对称中心为 ． 25、如果)()(x f T x f -=+，则 是)(x f 的一个周期；如果)(1)(x f T x f ±=+， 则 是)(x f 的一个周期；如果)()(T x f T x f -=+，则 是)(x f 的一个周期．26、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数 的图象．若)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f 关于直线 对称，反之亦然．若b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f 关于点 对称，反之亦然．27、函数)(x f 存在反函数的充要条件是 ，充分不必要条件是 ．若)(x f 的反函数为)(1x f -，则⇔=b a f )( ．28、指数方程b a x = =x 对数方程b x a =log =x解指数、对数方程还经常用到 法29、函数与方程：方程的解可转化为函数的零点或两函数的交点问题⑴a x f =)(有解⇔ ．⑵a x f =)(无解⇔ ． ⑶)()(x g x f =有解⇔ ．⑷方程解的个数问题可以转化为函数图象交点个数的问题．30、不等式恒成立问题⑴a x f >)(对D x ∈恒成立⇔ ．⑵a x f <)(对D x ∈恒成立⇔ ． 31、=-+))((bi a bi a =++dic bi a 设bi a z += ),(R b a ∈，则=||z =z =⋅z z=||21z z =21z z )0(2≠z =||n z 在复平面内||21z z -表示的几何意义为 ．32、设i 2321+-=ω，则=2ω =++21ωω 33、一元二次方程02=++c bx ax （其中R c b a ∈,,且0≠a ）：当0>∆时，方程有两个不相等的实数根： 当0=∆时，方程有两个相等的实数根： 当0<∆时，方程有两个共轭虚根：根与系数的关系若有两个虚数根，则两根互为共轭复数，且两根之积等于ac ，意味着==||||21x x ． 复系数方程假设未知数),(R n m ni m x ∈+= 利用 列方程组求解34、扇形弧长公式 扇形面积公式=扇S35、αsin 在四个象限符号 αcos 在四个象限符号αtan 在四个象限符号36、αsin 与αcos 的关系式同角三角比的商数关系同角三角比的三个倒数关系37、=-)sin(α =-)sin(απ =+)2sin(απ=+)cos(απ =-)2cos(απ =-)2tan(απ =-)tan(απ =+)23sin(απ =-)23cos(απ 38、=+)sin(βα =+)cos(βα =-)tan(βα 辅助角公式=+ααcos sin b a =α2sin =α2tan=α2cos = =降幂=x 2sin =x 2cos =x x cos sin39、余弦定理正弦定理 三角形面积公式40、三角函数),0,0()sin(R x A B x A y ∈>>++=ωϕω的最小正周期为 最大值 此时=x最小值 此时=x求单调区间的方法为求对称轴的方法为求对称中心的方法为若定义域改为),(b a ，求值域的方法为41、三角方程)1|(|sin ≤=a a x =x )1|(|cos ≤=a a x =xa x =tan =x42、设与夹角为θ，则=⋅ =θcos ∈θ 在方向上的投影为 = 与方向相同的单位向量为设a r =),(11y x ，b r =),(22y x ，则=⋅ =|| =2 ⇔⊥b a ⇔ a r 与b r 共线⇔43、 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则线段AB 的中点坐标为 △ABC 的重心的坐标是.44、过点),(00y x P ，),(v u =的直线的点方向式方程为 斜率 过点),(00y x P ，),(b a n =的直线的点法向式方程为 斜率 直线0=++c by ax 的方向向量 法向量 斜率直线的倾斜角∈θ =k ⎩⎨⎧=θ 45、已知直线1l ：0111=++c y b x a ，直线2l ：0222=++c y b x a ：1l 与2l 平行的充要条件是 ．1l 与2l 垂直的充要条件是 ．46、已知直线1l ：11b x k y +=，直线2l ：22b x k y +=：1l 与2l 平行的充要条件是 ．1l 与2l 垂直的充要条件是 ．47、点到直线的距离=d 平行线之间的距离=d 两直线夹角∈θ =θcos =θtan 点),(11y x A 、点),(22y x B 在直线0=++c by ax 同侧的充要条件为异侧的充要条件为48、圆022=++++F Ey Dx y x 的圆心为 ，半径为49、判断直线与圆的位置关系的方法是 过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用 求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．50、求动点轨迹方程的一般步骤为常见方法有：51、椭圆的定义为焦点在x 轴的标准方程为 （其中c b a ,,关系： ） 几何性质：①对称性②顶点、焦点、长轴、短轴、焦距 ③y x ,的取值范围52、双曲线的定义为焦点在x 轴的标准方程为 （其中c b a ,,关系： ） 几何性质：①对称性②顶点、焦点、实轴、虚轴、焦距 ③y x ,的取值范围④等轴双曲线的概念53、抛物线的定义为开口左右的标准方程为 开口上下的标准方程为 开口左右的几何性质：①对称性②顶点、焦点、准线方程③y x ,的取值范围54、若点P 在椭圆上，且θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S ． 若点P 在双曲线上，且θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S ． 55、若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔ ． 若渐近线方程为x ab y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为 ． 若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为 ． 56、设抛物线方程px y 22=，F 为其焦点，AB 为过点F 的弦，且),(11y x A 、),(22y x B ，则=||FA ，=||FB ，=||AB ；并且满足=21x x ，=21y y ．57、判断直线与圆锥曲线的位置关系的方法：把直线方程与圆锥曲线方程联立，可以得到一个方程，若是一元二次方程，计算该方程的判别式∆，若0<∆，则为 ；若0=∆，则为 ；若0>∆，则为 ．58、圆锥曲线弦长公式=||AB =圆中弦长=||AB 抛物线焦点弦长=||AB59、涉及到直线截圆锥曲线所成线段的中点问题，不要忘记用 法．60、已知曲线C ，求曲线C 关于某一定点、定直线的对称曲线'C ，用 法．61、证明线面平行的方法：证明线面垂直的方法：空间异面直线夹角∈θ求异面直线的一般步骤为：①② ③62、体积面积公式=柱V =锥V =球V =圆柱侧S =圆锥侧S =球S63、异面直线间的距离是指 的长度计算点到面的距离若射影位置不好作 常用 法球面距离=l64、=m n P = 全排列=n n P 规定=!0==m m m n m nP P C = 组合数的两个性质①=m n C ②=+-m n m n C C 165、=+nb a )( *N n ∈ 共 项 通项=+1r T ),,2,1,0(n r Λ= 二项式系数和为 求各项系数和用 法66、二项展开式的二项式系数中最大的为 （n 为奇数）， （n 为偶数）．67、数据n x x x x ,,,,321Λ的平均数为 ，方差为 ，标准差的点估计值为 ．68、如果总体（或样本）中有n 个个体，它们的值分别为n x x x x ,,,,321Λ，平均数为x ，方差为2σ，标准差为σ，则b ax b ax b ax b ax n ++++,,,,321Λ的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ．。

上海高一数学常用三角函数公式大全一、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

诱导公式记忆口诀※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值，①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→co t,cot→tan.（奇变偶不变）然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}m a x ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假13.常见结论的否定形式原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个一个也没有都是 不都是 至多有一个至少有两个大于 不大于 至少有n 个 至多有（1n -）个小于 不小于 至多有n 个 至少有（1n +）个对所有x ， 成立 存在某x ， 不成立 p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ， 不成立 存在某x ， 成立 p 且q p ⌝或q ⌝14.四种命题的相互关系原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=. 24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x +-=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)1mn nma a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）()n n a a =.（2）当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，,0||,0n na a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log baN b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx =(1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n n n aa a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos 2x x <+≤.(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=22sin()a b αϕ++(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C ===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-. 53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.(n 为偶数)(n 为奇数) (n 为偶数)(n 为奇数)（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)221(||||)()2OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅ .54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+ 222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈. 特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈. 56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λ a 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.68.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a bab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 75.无理不等式 （1）()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（2）2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（3）2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩.76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y yk x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k kk k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k kk k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离0022||Ax By C d A B++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若2200()()d a x b y =-+-，则d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ; 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为21y kx r k =±+.92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b+=.（2）过椭圆22221(0)x ya b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b-=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px = . 102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=. 103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()AB x x y y =-+-或2222211212(1)()||1tan ||1t AB k x x x x y y co αα=+-=-+=-+（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC共面⇔AD xAB y AC =+ ⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++ .121.射影公式已知向量AB=a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e 122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 124．空间的线线平行或垂直 设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉=112233222222123123a b a b a b a a a b b b ++++++.推论 222222*********3123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b x y z x y z ++⋅=⋅++⋅++r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅=(m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠= 时,有 22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠= 时,有 22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅222212121()()()x x y y z z =-+-+-.135.点Q 到直线l 距离221(||||)()||h a b a b a =-⋅(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅= （n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式 2222cos d h m n mn θ=++ .222'2cos ,d h m n mn EA AF =++- .2222cos d h m n mn ϕ=++-（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=. (平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =.146.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a . 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ .150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m -=-;（3）11m m n n A nA --=;（4）11n n nn n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式mn C =m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=nC . 155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr rn C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n nn r n n n nC C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n nC C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系 m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h hA A 1+种. （3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n nn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-.。