控制系统根轨迹绘制1

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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。

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应掌握的内容
180度，0度根轨迹的绘制 参数根轨迹的绘制 增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 分析系统的稳定性 分析系统的瞬态和稳态性能 对于二阶系统（及具有闭环主导共轭复数极点的高阶 系统），根据性能指标的要求在复平面上划出满足这一 要求的闭环极点（或高阶系统主导极点）应在的区域。
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第四章 控制系统的根轨迹法
1
根轨迹概念
根据系统的零极点分布可间接地研究控制系统的性 能。在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方 法称为根轨迹法。 根轨迹定义：开环系统某一参数从零变化到无穷大时，
闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹的类型：
常规根轨迹：包括180度等相角根轨迹和零度等相角根 轨迹。轨迹增益kg从0变化到无穷大时的根轨迹称为180度 根轨迹； kg从0变化到负无穷大时的根轨迹称为0度根轨迹。
分别为-2.93和-17.1，
分离（会合）角为90
45
度。根轨迹为圆，如
右图所示。
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当
OB,其方程为
2 2
时，阻尼角 45，表示45 角的直线为
，代入闭环特征方程整理后得：
5 k10k j 2 2 5 k 0
令实部和虚部分别为零，有
5 k10k 0
2 5 k 0
增加开环极点对根轨迹的影响 （1）一般可使根轨迹向右半s平面弯曲或移动，降低 系统的相对稳定性，减小系统的阻尼。 （2）改变渐近线的倾角，增加渐近线的条数。
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利用根轨迹分析系统性能
利用根轨迹可确定使系统稳定的参数范围 根轨迹处于s左半平面部分的系统是稳定的。
瞬态性能分析 闭环系统的零、极点和瞬态响应的关系在前面已讨
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利用根轨迹分析系统性能(续)

○
− p4
− p3
∠s + z 2
∠s + p2
− p2
共轭复根 相; ∠s + p2 = 2π 在 s 左边的零、极点其相角均为0
∠s + z1 + ∠s + z2 = 2π 在 s 右边的零、极点其相角均为π
n m 0 出射角公式： 出射角公式： θ pc =180 + ∑θzj − ∑θ pi j =1 i=1
ζ = 0.707
s’ s’
-2 0
K −1
Re
-1
根轨迹法的分析基本思路: 根轨迹法的分析基本思路 目的: 目的
①解决高阶系统求解特征根比较困难 的实现; 寻找到一种方便、 的实现 ②寻找到一种方便、有效的描述 系统的根轨迹的方法。 系统的根轨迹的方法。
方法: 方法
① 根据开环零极点的分布绘制出系统 的根轨迹图； 的根轨迹图；②利用根轨迹法来分析和设 计系统. 计系统
S1
0 -1 -1+j -1+j∞
∞ ↑ K
S2
-2 -1 -1-j -1-j∞ jω
1 S1 0 σ -1
闭环特征方程式 S2+2S+K= 0
S2 -2
特征方程的根 S1.2 = -1± 1-K ±
K变化时,闭环特征根 变化时,
在S平面上的轨迹图形
-1 K ∞ ↑
系统特征方程为 求得两个极点： 求得两个极点：
jω
z1 p3 -2 p2 -1 z2 1 p
1 0
-1
3、实轴上的根轨迹 、
实轴上某区间存在根轨迹， 实轴上某区间存在根轨迹，则 该区间右边的开环零、 该区间右边的开环零、极点数之和 必为奇数。 必为奇数。

i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程