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- 可修编- 空间中直线与直线之间的位置关系
[学习目标]1.会判断空间两直线的位置关系.2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角.3.能用公理4解决一些简单的相关问题.
知识点一 空间中两条直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线.
要点分析：①异面直线的定义表明：异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行.
②不能误认为分别在不同平面的两条直线为异面直线.如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线.
(2)画法：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行也不相交，即不共面的特点，常常需要画一个或两个辅助平面作为衬托，以加强直观性、立体感.如图所示，a与b为异面直线.
(3)判断方法
方法 容
定义法 依据定义判断两直线不可能在同一平面
定理法 过平面外一点与平面一点的直线和平面不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)
反证法 假设这两条直线不是异面直线，那么它们是共面直线(即假设两条直线相交或平行)，结合原题中的条件，经正确地推理，得出矛盾，从而判定假设“两条直线不是异面直线”是错误的，进而得出结论：这两条直线是异面直线
2.空间中两条直线位置关系的分类
(1)按两条直线是否共面分类 .
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- 可修编- 共面直线 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
一、空间两直线的位置关系
1．异面直线
（1）异面直线的定义：我们把不同在 的两条直线叫做异面直线. 即若a,b是异面直线，则不存在平面α，使aα且bα.
（2）异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点,通常用一个或两个平面衬托,如图：
2．空间两直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交、平行和异面.
（1） ——同一平面内,有且只有一个公共点；
（2） ——同一平面内,没有公共点；学！科网
（3） ——不同在任何一个平面内，没有公共点.
3． 空间中两直线位置关系的分类
空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：
（1）从有无公共点的角度分类：
两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线
（2）从是否共面的角度分类：
相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线
二、公理4与等角定理
1．公理4
（1）自然语言：平行于同一条直线的两条直线互相 . （2）符号语言：a,b,c是三条不同的直线, a∥b，b∥c
.
（3）作用：判断或证明空间中两条直线平行.
公理4表述的性质也通常叫做空间平行线的传递性.
用公理4证明空间两条直线,ac平行的步骤
（1）找到直线b；
（2）证明∥ab，∥bc；
（3）得到∥ac.
2．等角定理
（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 .
（2）符号语言：
如图（1）（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′,OB∥O′ B′，则∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=180°.
图（1） 图（2）
【新人教版】数学必修二第八单元
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标 1.了解空间两直线间的位置关系.2.理解空间直线与平面的位置关系.3.掌握空间平面与平面的位置关系.
知识点一 空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
共面直线 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
知识点二 直线与平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有无数个公共点 只有1个公共点 没有公共点
符合表示 a⊂α a∩α＝A a∥α
图形表示
知识点三 平面与平面的位置关系
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示 α∥β α∩β＝l
图形表示
思考 平面平行有传递性吗？
答案 有 若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( × )
2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.( × )
3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.( × )
4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.( × )
一、两直线位置关系的判定
例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）
一、教学目标
（一）核心素养
增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.
（二）学习目标
1.正确理解异面直线的定义；
2.会判断空间两条直线的位置关系；
3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；
4.会求异面直线所成角的大小.
（三）学习重点
1．异面直线的判定．
2．求异面直线所成角的大小．
（四）学习难点
1．异面直线的判定．
2．求异面直线所成角的大小．
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）
2．预习自测
问题1：下列说法正确的个数是( )
(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.
(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.
(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.
(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;
(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;
(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确; 由异面直线所成角定义知(4)正确.
【答案】A
问题2：如图所示,已知正方体1111DCBAABCD中，FE,分别是1,AAAD的中点.
(1)直线1AB和1CC所成的角为
;
(2)直线1AB和EF所成的角为
.
解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,
∠AB1B=45°.
(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.
连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°．
【答案】(1)45(2)60
(二)课堂设计
1．知识回顾
复习1：平面的特点是______、_______、_______.
