2014北京市第七中学高三数学(理)(上)期中
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1 / 10OD
C
BAD
1C
1
A
1
B
1P2014北京市第七中学高三数学（理）（上）期中
2014.11
试卷满分：150分考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．集合2
Mx|x4＝
，|13Nxx
，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．|23xxB．|22xx
C．|12xxD．|23xx
2.设,mn
是两条不同的直线,,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若,m
,n
,则mn B．若//
,m
,n
,则//mn
C．若mn,m
,n
,则 D．若m,//mn,//n
,则
3. “1m
”是“直线0xy
和直线0xmy
互相垂直”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在同一坐标系中画出函数log
ayx
，x
ya
，yxa的图象，可能正确的是 ( )
5．在等比数列{}
na
中，若
48a
，2q
，则
7a
的值为（）
A．64 B．64 C．48 D．48
6．设,xyR,向量(,1),(1,),(2,4)axbyc
，且,//acbc
，则ab
= ( )
A．5
B．10
C．25
D．10
7．已知点(,)Pxy
的坐标满足条件1,
2,
220,x
y
xy那么22
xy
的取值范围是（）
A．[1,4]
B．[1,5]
C．4
[,4]
5 D．4
[,5]
5
8．如图，在正方体
1111ABCDABCD
中，点O
为线段BD
的中点。设点P
在线段
1CC
上，
直线OP与平面
1ABD
所成的角为，则sin
的取值范围是（）
A．3
[,1]
3 B．6
[,1]
3 C．622
[,]
33 D．22
[,1]
3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11
xy
O
B11
xy
O
A11
xy
O
C11
xy
O
D
2 / 10D
A
BC
22
主视图234
左视图9. 以点（2，1）为圆心且与直线5xy
相切的圆的方程是．
10.周期为2的函数()fx
在[1,1)x
时，2
42,10,
()
,01,xx
fx
xx，则3
()
2f
。
11. 由曲线2yx和曲线2
yx
围成图形的面积为．
12. 下列命题中：
①“平行四边形的对角线互相平分”的逆否命题；
②“若bcab，则ac”的否命题；
③“若5aQ，则aQ”的逆命题．
正确的命题是____________________（请填入正确命题的序号）
13. 三棱锥DABC及其三视图中的主视图和下视图如图所示，则棱BD的长为___ ___．
三棱锥DABC的体积为__ ___．
14. 定义在实数集R上的函数)(xf，如果存在函数为常数）BABAxxg,()(，使得)()(xgxf对一切实数x
都成立，那么称)(xg为函数)(xf的一个承托函数.
下列说法正确的有：．（写出所有正确说法的序号）
①对给定的函数)(xf，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②exxg)(
为函数x
exf)(
的一个承托函数；
③函数
1)(
2
xxx
xf
不存在承托函数；
④函数
11451
)(
2
xxxf
，若函数)(xg
的图象恰为)(xf
在点)
121
,1(P
处的切线，则)(xg
为函数)(xf
的一个承托函数．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题共12分）
在锐角△ABC中，已知5b，7
sin
4A
，157
4ABCS
.
（1）求c的值；
（2）求sinC的值.
16.（本小题共13分）
3 / 10已知向量(sin,cos)xxa
，(cos,sin2cos)xxxb
，()fxab
．
（1）求()fx的单调区间；
（2）设0
2x
，①若ab
，求x
；②求()fx的值域．
17.（本小题共14分）
如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(1)求证:PACPBC平面平面；
(2)2ABACPA若，1，1，.CPBA求二面角的余弦值
18.（本小题共14分）
已知函数2
(2)
()
1xaax
fx
x（0a）.
（1）当1a时，求()fx在点(3,(3))f处的切线方程；
（2）求函数()fx在[0,2]上的最小值.
19. （本小题共14分）
4 / 10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面四边形ABCD是菱形，ACBDO,PAC是边长为2的等边三角形，
6PBPD
,4APAF.
（1）求证：PO底面ABCD；
（2）求直线CP
与平面BDF所成角的大小；
（3）在线段PB
上是否存在一点M
，使得CM
∥平面BDF
？如果存在，求BM
BP的值，如果不存在，请说明理由．
20.（本小题共13分）
设数列{}
na
的前n
项和为
nS
.若对任意正整数n
，总存在正整数m
，使得
nmSa
，则称{}
na
是“H数列”.
(1)若数列{}
na
的前n项和2n
nS
(n
N),证明: {}
na
是“H数列”;
(2)设{}
na
是等差数列,其首项
11a
,公差0d
.若{}
na
是“H数列”,求d
的值P
AF
BCD
O
5 / 10数学试题答案
一、选择题
题号1题2题3题4题5题6题7题8题
答案C D C D A B D B
二、填空题
9. 22
(2)(1)8xy
10. 1
11.9
212. ①③
13. 42
, 163
314. ①②
三、解答题
15. 解：（I）由1157
sin
24ABCSbcA
…....……..….…2分
可得，6c……………..….….4分
（II）由锐角△ABC中7
sin
4A
可得3
cos
4A
…………...…….....6分
由余弦定理可得：2223
2cos25366016
4abcbcA， ..….….8分
有：4a…….. ….…….9分
由正弦定理：
sinsinca
CA，………....…….10分
即7
6
sin37
4
sin
48cA
C
a ...........................12分
16．（本小题共13分）
解：（1）()sincoscos(sin2cos)fxxxxxxab=
……………1分
2
2sincos2cosxxx=
sin2(1cos2)xx=
2sin(2)1
4x=
……………3分
222,
242kxkkZ
，单调增区间为3
(,),
88kkkZ
6 / 103
222,
242kxkkZ
，单调减区间为37
(,),
88kkkZ
…5分
（2）①因为ab，所以ab2sin(2)1
4x=＝0 ……………6分
因为0
2x
，所以
42xx或
……………8分
②()fx2sin(2)1
4x=
因为0
2x
，所以3
2
444x
。……………10分
当2,0
44xx即时，()fx
取得最小值2
，
当3
2,
428xx即时，()fx取得最大值21
，
所以()fx的值域为2,21。……………13分
17.
