高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修28

2、当 由单调性知： ，化简得： ，解得
不合要求；综上， 为所求。
20．<1）解法1：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
经检验当 时， 是函数 的极值点，
∴ ．
解法2：∵ ，其定义域为 ，
∴ ．
令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的两个实根 <舍去）， ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
<A） <B） <C） <D）
5．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为< ）
A． B． C． D．
6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是< ）
8．已知二次函数 的导数为 ， ，对于任意实数 都有 ，则 的最小值为< ）A． B． C． D． b5E2RGbCAP
A
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11．
12．32
13．
14. (1>
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为x<m），则长为2x(m>，高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x）＝0，解得x=0<舍去）或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′<x）＞0；当1＜x＜ 时，V′<x）＜0，
17．设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点，.求(Ⅰ>求点 的坐标； (Ⅱ>求动点 的轨迹方程. RTCrpUDGiT

一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <12．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞3．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ） A ．(),8-∞- B ．()8,-+∞ C ．(),8-∞D ．()8,+∞4．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞6．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<7．若函数21()ln 2f x kx x x =-在区间(0,]e 上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2(,]e -∞B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．2[,)e+∞8．对于函数()cos x f x e x x =-，((0,))x π∈，下列结论正确的个数为( ) ①()f x '为减函数 ②()f x '存在极小值 ③()f x 存在最大值 ④()f x 无最小值 A ．0B ．1C ．2D ．39．若函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,)eD ．(,)e +∞10．若121x x >>，则（ ） A ．1221xxx e x e > B ．1221x xx e x e < C ．2112ln ln x x x x > D ．2112ln ln x x x x <11．函数()21ln 2f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．无最大值12．已知函数()3242xx f x x x e e=-+-，其中e 是自然对数的底数，若()()2210f a f a +--≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,1-D ．[]1,2-二、填空题13．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.14．已知函数()24ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．15．记函数(),,2ln ,0,xx s eH x x x s x⎧≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩若对任意的实数k ，总存在实数m ，使得()=H m k成立，则实数s 的取值集合______.16．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且()1y f x e =+-是奇函数，则不等式()0x xf x e ->的解集是_________．17．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()0xf x f x '->，其中()'f x 是函数()f x 的导函数.若2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，则实数k 的范围为________18．已知函数()2x e f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________.19．已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，()f x '是()f x 的导函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，若函数()()2()3F x xf x f x '=--的一个零点0(,1)x m m ∈+，则整数m 的值是__________.20．设函数()'f x 是偶函数()(0)f x x ≠的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数()cos x f x e x x =-，()(sin 1)g x x x =-. （1）讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性；（2）判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数，并给出证明. 22．近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系式:24(6),26,,2ay x x a R a x =+-<<∈-为常数.已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件.（1）求实数a 的值；（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大.（结果保留一位小数）23．设()3221f x x ax bx =+++的导数为()'f x ,若函数()'y f x =的图象关于直线12x =-对称,且()'10f =.（1）实数,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值.24．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1xxf x e =-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111323h x x ax bx b =++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”． 25．已知函数：()()21ln ,12x f x x a x a g x e x =--=--. （1）当[]1,x e ∈时，求()f x 的最小值；（2）对于任意的1[0,1]x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围.26．已知函数()()1xf x ax e -=，曲线()y f x =在点()0,1-处的切线为310x y --=.（1）求a 的值； （2）求函数()f x 的极值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x x x++=′， ()2ln f x x x C ∴+=，()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′，令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 3．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以8b >-，故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.4．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e -=∴=<'='所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =，()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等6．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=， 而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．7．C解析：C 【分析】求出函数导数，由题意知()0f x '≥即ln 1x k x+≥在(0,]e 上恒成立，利用导数求出函数ln 1()x g x x+=在(0,]e 上的最大值即可求得k 的范围. 【详解】()ln 1f x kx x '=--，由题意知()0f x '≥在(0,]e 上恒成立，即ln 1x k x +≥在(0,]e 上恒成立，令ln 1()x g x x+=，则2ln ()x g x x -'=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当(1,]x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以max ()(1)1g x g ==，故1k .故选C 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及已知函数的单调区间求参数的取值范围、利用导数求函数的最值，属于基础题.8．C解析：C 【分析】对函数求导，然后结合导数与单调性及极值及最值的关系对选项进行判断即可检验． 【详解】解：()(cos sin )1x f x e x x '=--，()2sin x f x e x ''=-，(0,)x π∈，所以()0f x ''<，()f x '单调递减，不存在极小值，①正确，②错误； 因为(0)0f '=，()0f π'<，故()0f x '<恒成立，函数()f x 单调递减，没有最小值，故③错误，④正确． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值及最值的判断，属于中档题．9．B解析：B 【分析】根据题意，得到方程有两不等实根，构造函数2()x e g x x-=，0x ≠，对其求导，判定函数单调性，求出极值，画出函数大致图像，结合图像，即可得出结果. 【详解】显然，0x =不是函数()f x 的零点，令2()0x f x mx e-=-+=，得2x e m x-=，构造函数2()x e g x x -=，0x ≠，则22(1)()x e x g x x--'=， 令()0g x '>得到1x >，令()0g x '<得到1x <且0x ≠，即函数2()x e g x x -=在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以函数2()x e g x x-=有极小值1(1)g e =；画出函数()g x 的图象，如图所示，由图像可知，当0m ≤时，直线y m =与()g x 的图象不可能有两个交点， 当0m >，只需1m e>，()g x 的图象与直线y m =即有两个不同的交点， 即函数2()x f x mx e -=-+恰有两个不同的零点， ∴m 的取值范围为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究函数的零点，利用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.10．A解析：A 【分析】根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小. 【详解】①令()()1x e f x x x =>，则()()21'0x x e f x x-=>，∴()f x 在1,上单调递增，∴当121x x >>时，1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故A 正确．B 错误.②令()()ln 1x g x x x =>，则()21ln 'xg x x-=，令()0g x =，则x e =， 当1x e <<时，()'0g x >；当x e >时，()'0g x <，∴()g x 在()1,e 上单调递增， 在(),e +∞上单调递减，易知C ，D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.11．A解析：A 【分析】利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】()21ln 2f x x x =-，()211x f x x x x-'∴=-=.当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 112f x f ==-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.12．A解析：A 【分析】先求得函数()f x 是R 上的奇函数，把不等式转化为()22(1)f a f a ≤+，再利用导数求得函数的单调性，在把不等式转化为221a a ≤+，即可求解. 【详解】由题意，函数32()42x x f x x x e e =-+-的定义域为R ， 又由3322()42e (42)()e x x x xf x x x x x e f x e -=-++-=--+-=-， 所以()f x 是R 上的奇函数，又因为2222()3423430x x f x x e x x e '=-++≥-+=≥， 当且仅当0x =时取等号，所以()f x 在其定义域R 上的单调递增函数，因为()22(1)0f a f a +--≤，可得()22(1)(1)f a f a f a ≤---=+， 所以221a a ≤+，解得112a ≤≤， 故实数a 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】利用函数的基本性质求解与函数有关的不等式的方法及策略：1、求解函数不等式的依据是函数的单调性的定义.具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 二、填空题13．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称， ()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取 解析：(,16][6,)-∞-+∞【分析】对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可.【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，， 2'()+4ln ()2+4a f x x x a x f x x x =+⇒=+，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2a x a x x x x +≥⇒≥--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈--，，因此有6a ≥-； 当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2a x a x x x x +≤⇒≤--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈-，，因此有16a ≤-， 综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞.故答案为：(,16][6,)-∞-+∞.【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.15．【分析】由题意得的值域为R 求出在单调递增其值域为然后求导求出函数的值域通过求解和的值域并分析是否满足题意可推出实数s 的取值集合【详解】因为对任意的实数总存在实数使得成立所以的值域为R 函数在单调递增其解析：【分析】 由题意得()H x 的值域为R ，求出2x y e =在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2s e +∞，然后求导，求出函数ln x y x=的值域，通过求解s e >和0s e <≤的值域，并分析是否满足题意，可推出实数s 的取值集合.【详解】因为对任意的实数k ，总存在实数m ，使得()=H m k 成立，所以()H x 的值域为R . 函数2x y e =在[,)s +∞单调递增，其值域为[,)2s e +∞， 函数ln x y x =，'21ln x y x -=，当(0,)x e ∈时，'0y >，所以ln x y x=在(0,)e 单调递增； 当[,)x e ∈+∞时，'0y <，所以ln x y x =在(,)e +∞单调递减， ①当s e >时，函数ln x y x =在(0,)e 单调递增，(,)e s 单调递减，其值域为1(,]e -∞，又12s e e>，不符合题意； ②当0s e <≤时，函数ln x y x =在(0,)s 单调递增，其值域为ln (,]s s-∞，由题意得ln 2s s e s≤，即22ln 0s e s -≤； 令22'222()2ln ,()2e s e u s s e s u s s s s -=-=-=，当s >'()0u s >，()u s 在)e 上单调递增；当0s <<'()0u s <，()u s 在上单调递减，所以当s =()u s 有最小值0u =，从而()0u s ≥恒成立，所以，()0u s =，所以s =故答案为：.【点睛】 本题考查导数的综合应用，难点在于根据题意分析出()H x 的值域为R ，并由此求出2x y e=和ln x y x =的值域，进行分析，考查分类讨论的思想，属难题. 16．【分析】将问题转化为解不等式令根据函数的单调性以及奇偶性求出的范围即可【详解】由可得令则故在上单调递增又是奇函数故故解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题考查导数的应用以及函数的奇偶 解析：()1,+∞【分析】将问题转化为解不等式()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，根据函数的单调性以及奇偶性求出x 的范围即可.【详解】由()0x xf x e ->可得()1x xf x e >，令()()x xf x g x e =，则()()()()10xx f x xf x g x e -+''=>，故()g x 在R 上单调递增，又()1y f x e =+-是奇函数，故()1f e =，()11g =，故()()1g x g >，解得：1x >，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性，属于中档题. 17．【分析】构造函数利用导数研究在区间的单调性由此求得实数的取值范围【详解】设函数在单调递增依题意的定义域为所以故故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式属于中档题解析：()2020,2022【分析】 构造函数()()()0f x g x x x=>，利用导数研究()g x 在区间()0,∞+的单调性，由此求得实数k 的取值范围.【详解】 设函数()()()0f x g x x x =>，2()()()0xf x f x g x x='-'>， ()g x ∴在()0,∞+单调递增.依题意，()f x 的定义域为()0,∞+，所以20200,2020k k ->>，2(2020)(2020)(2)f k k f ⋅-<-⋅，(2020)(2)20202f k f k -∴<-， 故020202k <-<，20202022k ∴<<.故答案为：()2020,2022【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式，属于中档题.18．【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当 解析：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，所以()230x g x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 即23xe a x≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立， 令2()3xe h x x=， 所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ， 所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19．2【分析】先通过已知求出得到再利用导数研究得到函数在内没有零点函数的零点在内即得的值【详解】因为函数是定义在上的单调函数且对任意的都有所以是一个定值设所以所以或（舍去）所以所以所以所以函数在是增函数 解析：2【分析】先通过已知求出2()=+1,f x x 得到3()33F x x x =--，再利用导数研究得到函数()F x 在(0,1)内没有零点，函数()F x 的零点在(2,3)内，即得m 的值.【详解】因为函数()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞都有2(())2f f x x -=，所以2()f x x -是一个定值，设2()f x x t -=，所以2()=+f x x t ，()2f t =所以2()=+2,1f t t t t =∴=或2t =-（舍去）.所以2()=+1,()2f x x f x x '=，所以23()(1)22333F x x x x x x =+-⨯-=--，所以2()33=3(1)(1)F x x x x '=-+-，所以函数()F x 在(1,)+∞是增函数，在(0,1)是减函数，因为(0)30,(1)50F F =-<=-<,所以函数()F x 在(0,1)内没有零点.因为(2)86310,(3)2712150F F =--=-<=-=>,函数()F x 在(1,)+∞是增函数， 所以函数()F x 的零点在(2,3)内，所以2m =.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．【分析】构造函数讨论单调性和奇偶性结合特殊值即可求解【详解】设函数是偶函数所以函数是奇函数且当时即当时单调递减所以当时当时是偶函数所以当时当时所以使得成立的的取值范围是故答案为：【点睛】此题考查利用 解析：()()1,00,1-⋃【分析】构造函数()()f x F x x =，讨论单调性和奇偶性，结合特殊值即可求解. 【详解】设函数()()f x F x x =，()f x 是偶函数，()()()()f x f x F x F x x x--=-=-=-， 所以函数()F x 是奇函数，且()()()()1110,10F f f F ==-=-=， 当0x >时，()2()()0xf x f x F x x '-'=<， 即当0x >时，()F x 单调递减，()01F =，所以当01x <<时，()()0f x F x x =>，()0f x >， 当1x >时，()()0f x F x x=<，()0f x <， ()f x 是偶函数，所以当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是()()1,00,1-⋃.故答案为：()()1,00,1-⋃【点睛】此题考查利用导函数讨论函数的单调性解决不等式相关问题，关键在于准确构造函数，需要在平常的学习中多做积累，常见的函数构造方法.三、解答题21．（1）()f x 在(,0)2π-上单调递减；（2）有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的单调性判断即可；（2）令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，求出函数的导数，通过讨论x 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】（1）()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭'，()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-. (,0)2x π∈-，sin 0x ∴<，()0f x ''∴>，所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增，()(0)0f x f ''<=， ()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.（2）()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明：令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-，所以()()()cos sin cos sin x F x ex x x x x '=--+， ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时， 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>，()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增，又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有一个零点； ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos sin 0,0x x x e x ≥>>>，()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上无零点；③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时， 0cos sin x x <<， ()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<，()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减；又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上必存在一个零点； 综上，()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22．(1)10a =；(2) 3.3.【分析】(1)将“销售价格为4元/件时,每月可售出21千件”带入关系式中即可得出结果；(2)首先可通过题意得出每月销售装饰品所获得的利润24(6102)2f x x x x ，然后通过化简并利用导数求得最大值，即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，当销售价格为4元/件时,每月可售出21千件， 所以2214(46)42a，解得10a =．(2)设利润为()f x ，则2f x y x ，26x <<，带入2104(6)2y x x =+--可得： 224(6)(6)10210422f x x x x x x ， 化简可得32456240278f x x x x ，函数()f x 的导函数21211224043106f xx x x x ，26x <<， 当0fx 时，1032x ，函数()f x 单调递增； 当0fx 时，1036x ，函数()f x 单调递减； 当0f x 时，103x，函数()f x 取极大值，也是最大值， 所以当103x ，函数()f x 取最大值，即销售价格约为每件3.3元时，该店每月销售装饰品所获得的利润最大．【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查函数的实际应用以及利用导数求函数的最值，本题的关键在于能够通过题意得出题目所给的销售量、销售价格以及每月销售装饰品所获得的利润之间的关系，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题． 23．（1）12b =-；（2）()f x 的极大值是21,极小值是6-.【解析】试题分析：（1）先对()f x 求导，()f x 的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由()10f '=即可求出b ；（2）对()f x 求导，分别令()f x '大于0和小于0，即可解出()f x 的单调区间，继而确定函数的极值.试题（1）因()3221f x x ax bx =+++,故()2'62f x x ax b =++,从而()22'666a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭,即()'y f x =关于直线6a x =-对称,从而由条件可知162a -=-,解得3a =,又由于()'0f x =,即620ab ++=解得12b =-. （2）由（1）知()()()()32223121,'6612612f x x x x f x x x x x =+-+=+-=-+.令()'0f x =,得1x =或2x =-,当(),2x ∈-∞-时,()()'0,f x f x > 在(),2-∞-上是增函数,当()2,1x ∈-时,()()'0,f x f x <在()2,1-上是减函数,当()1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x > 在()1,,+∞上是增函数,从而()f x 在2x =-处取到极大值()221f -=, 在1x =处取到极小值()16f =-.考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.24．（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）证明见解析.【分析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；（3）求出函数()y h x =的导数()2h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】 （1）函数()1xxf x e =-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1x xf x e='-， 当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1x x f x e=-是“YZ 函数”； （2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1g x m x'=-. 当0m ≤时，()10g x m x-'=>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m<<时，()10g x m x -'=>，函数单调递增，当1x m>时，()10g x m x -'=<，函数单调递减，所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ⎛⎫=-⋅=-- ⎪⎝⎭， 易知1ln 10g m m ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3） ()2h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ∆=->，所以()20h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，因为12120x x a x x b +=->⎧⎨=>⎩，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111323h x x ax bx b =++-， 由()21110h x x ax b =++='得()3211111x x ax b ax bx =--=--， 因为2a ≤-，01b <<， 所以()()322211111111111111323323h x x ax bx b ax bx ax bx b =++-=--++- ()()22211111121121111063333333ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.25．（1）答案见解析；（2）2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）求导，对参数进行分类讨论，根据不同情况下函数的单调性，即可求得函数的最小值；（2）根据题意，求得不同情况下()f x 的值域，结合其值域为()f x 的子集，列出不等式，则问题得解. 【详解】（1）()2x af x x-'=1a ≤时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≥递增，()()min 112f x f a ==-, 2a e ≥时，[]()()1,,0,x e f x f x '∈≤递减，()()2min22e f x f e a ==-，21a e <<时，x ⎡∈⎣时()0,()f x f x '<递减，x e ⎤∈⎦时()0,()f x f x '>递增，所以()min ln 22a af x fa ==-- 综上，当min 11,()2a f x a ≤=-； 当()2min1ln 22a a a e f x a <<=--， 当()22min 22e a ef x a ≥=-，（2）因为对于任意的1[0,1]x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =成立, 所以()[],0,1g x x ∈的值域是()([1,])f x x e ∈的值域的子集. 因为()1xg x e '=-[0,1],()0,()x g x g x '∈≥递增，()g x 的值域为()()[]0,10,2g g e =-⎡⎤⎣⎦（i ）当1a ≤时，()f x 在[]1,e 上单调递增，又()()211,222e f a f e a =-=-，所以()f x 在[1,e]上的值域为21[,2]22ea a --,所以2102222a e a e ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，即112a . （ii ）当21a e <<时，因为x ⎡∈⎣时，()f x递减，x e ⎤∈⎦时，()f x 递增，且()10,0f f<<，所以只需()2f e e ≥-即2222e a e -≥-，所以21142e ea <≤-+ （iii ）当2a e ≥时，因为()f x 在[1,]e 上单调递减，且()()1102f x f a ≤=-<， 所以不合题意.综合以上，实数a 的取值范围是2124,24e e ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查求含参函数最值得求解，涉及利用导数求函数值域的问题，属综合中档题.26．（1）4；（2）极小值为344e --，无极大值.【分析】（1）求出函数的导函数，利用(0)3f '=，可得a ．（2）由（1）可得函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而得到函数的极值； 【详解】解：（1）因为()()1xf x ax e -=，所以()()1xf x ax a e '=+-因为曲线()y f x =在点()0,1-处的切线为310x y --=. 所以(0)13f a '=-=，解得4a =（2）由（1）可得()()41x f x x e -=，所以()()43xf x x e '+=，令()0f x '>解得34x >-，即函数在3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，令()0f x '<解得34x <-，即函数在3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，故函数在34x =-处取得极小值，所以()34344f x f e -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭极小值，无极大值.【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

2．2 最大值、最小值问题[对应学生用书P33]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f (x )在[a ，b ]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[对应学生用书P34]求函数的最值[例1] (1)求函数f (x )＝x 3－2x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.[一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－62．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值和最小值． 解：f ′(x )＝2cos 2x －1.令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 解得x ＝－π6或x ＝π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π6－32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2， 所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.3．函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝12时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解：当a ＝12时，f (x )＝21－xx＋ln x ，f ′(x )＝x －2x2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee <0，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.函数的最值求参数的值[例2] 函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？假设存在，求出a ，b 的值；假设不存在，请说明理由．[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )＋0 －f (x )－7a ＋b最大值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f ′(x )－0 ＋f (x )－7a ＋b最小值－16a ＋b∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．4．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ＝3x (x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.当－1<x <0时，f ′(x )>0，那么f (x )为增函数； 当0<x <1时，f ′(x )<0，那么f (x )为减函数． ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值为a ， ∴a ＝2，∴f (－1)＝－1－32＋2＝－12，f (1)＝1－32＋2＝32.∴在x ∈[－1,1]上，f (x )的最小值为－12.答案：－125．函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0.求a 的值． 解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)． f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a .由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此f (x )在x ＝1－a 处取得最小值，由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 6．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)假设f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解：函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增．故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.生活中的优化问题[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[精解详析] (1)设商品降价x 元，那么多卖的商品数为kx 2，假设记商品在一个星期里的获利为f (x )，那么有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)． 令f ′(x )＝0，即－18(x －2)(x －12)＝0，得x 1＝2，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )如下表：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21 f ′(x )－0 ＋0 －f (x )9 072极小值极大值因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x ＝12时，f (x )取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． [一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．7．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料． 解析：设水箱底面边长为x dm ，那么高为256x 2 dm ，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， ∴当x ＝8时，S 取得最小值，那么高为4 dm. 答案：48．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x(e 为自然对数的底数)成反比例，每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值． 解：(1)设日销售量为s ，那么s ＝k e x ，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝ke40，那么k ＝10e 40，所以s ＝10e 40e x ，故y ＝10e40e x (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)y ′＝10e 40×e x －x －30－m e xe x 2＝10e 40×31＋m －x ex. 令y ′＝10e 40×31＋m －x ex＝0，那么x ＝31＋m . 当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数， 所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．解决优化问题的基本思路[对应课时跟踪训练十三]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，假设M ＝m ，那么f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D.以上都有可能答案：A2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，那么a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D.－1解析：f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，那么f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 答案：B3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12ef (x )的最小值为f (0)＝12.答案：A4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d3 B.d2 C.33d D.22d 解析：设断面高为h ，那么h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，那么f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，应选C. 答案：C5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x)的最小值点，那么曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x)，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，那么M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x(x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x(x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．(某某高考)请你设计一个包装盒．如下图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．word 11 / 11(1)假设广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由得 a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。

一、选择题1．已知函数()23ln 6f x x kx x =-+，若()0f x >的解集为(),m n ，且(),m n 中只有两个整数，则（ ） A ．k 无最值 B ．k 的最小值为123ln 24+ C ．k 的最大值为123ln 24+ D ．k 的最小值为6ln33+ 2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞3．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-4．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．6．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭7．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<8．已知函数()3227f x x ax bx a a =++--在1x =处取得极大值10，则ab 的值为（ ） A ．23-B ．23或2 C ．2D ．13-9．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（ ） A ．()(0)a f a e f >B ．()(0)a f a e f <C ．()(0)a f a e f =D ．()(0)a f a e f ≤10．已知函数21()43ln 2f x x x x =-+-在[,1]t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A ．(0,1)(2,3)⋃B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,1][2,3)⋃11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，对任意的实数x ，都有()10f x '+<，且(1)1f =-，则（ ）A ．(0)0f <B ．()f e e <-C ．()(0)f e f >D ．(2)(1)f f >12．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（ ）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、填空题13．已知||()cos x f x e x =+，则不等式(21)(1)f x f x -≥-的解集为__________. 14．已知函数()ln 1f x x x =--，()ln g x x =，()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦，()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦，给出以下四个命题：（1）()y F x =是偶函数；（2）()y G x =是偶函数；（3）()y F x =的最小值为0；（4）()y G x =有两个零点；其中真命题的是______.15．若函数()sin 2xxf x e ex -=-+，则不等式()()2210f x f x -+>的解集为________.16．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．17．已知函数()2221,204ln 2,0x mx m x f x x m x xe ⎧----<≤⎪=⎨+->⎪⎩在区间()2,-+∞上有且只有三个零点，则实数m 的取值范围为______.18．设函数3()32()f x ax x x =-+∈R ，若对于任意[1,1]x ∈-，都有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是_________. 19．函数()()21xf x x =-的最小值是______.20．已知函数2()2ln af x x x=+，其中0a >，若()2f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为________．三、解答题21．已知函数()322=-+f x x ax b ．（1）4a =时，()f x 在区间[]1,1-的最小值为-5，求b 的值 （2）讨论()f x 的单调性；22．已知函数()()21()xf x x e ax a R =--∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围. 23．如图是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值． 24．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围.25．设函数f （x ）＝ln x ＋kx，k ∈R ． （1）若曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，求f （x ）的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；（2）若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 原不等式化为3ln 6x kx x >-，设()()3ln ,6x g x h x kx x==-，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可. 【详解】由()23ln 60f x x kx x =-+>，得3ln 6xkx x>-， 设()()3ln ,6xg x h x kx x==-， ()()231ln x g x x-'=，()()00,0g x x e g x x e >⇒<<⇒''所以()g x 在()0,e 的上单调递增，在(),e +∞单调递减， 而()6h x kx =-的图象是一条恒过点()0,6-的直线， 函数()g x 与()h x 的图象如图所示，依题意得，01m <<，若(),m n 中只有两个整数，这两个整数只能是1和2， 则()()()()2233g h g h ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，即3ln 2262ln 336k k ⎧>-⎪⎨⎪≤-⎩，解得6ln 3123ln 234k ++≤<， 故k 的最小值为6ln33+， 故选：D. 【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．2．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.3．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．5．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.7．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x -=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．A解析：A 【分析】求导，根据题意得到()()11010f f ⎧=='⎪⎨⎪⎩，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】()3227f x x ax bx a a =++--，则()'232f x x ax b =++，根据题意：()()2117101320f a b a a f a b '⎧=++--=⎪⎨=++=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或69a b =-⎧⎨=⎩，当21a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'2341311f x x x x x =-+=--，函数在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故1x =处取得极小值，舍去；当69a b =-⎧⎨=⎩时，()()()'23129313f x x x x x =-+=--，函数在(),1-∞上单调递增，在()1,3上单调递减，故1x =处取得极大值，满足.故6293a b -==-. 故选：A. 【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.9．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()()x f x g x e=，求导可知()g x 单调递增，比较(),(0)g a g 的大小，可得()f a 和(0)a e f 的大小关系.【详解】解：令()()x f x g x e =，则'''2()()()()()x x x xf x e f x e f x f xg x e e--==，因为()()f x f x '>，所以'()0g x >，所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增；因为0a >，所以()(0)g a g >，即0()(0)af a f e e>，即()(0)a f a e f >. 故选：A. 【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.10．A解析：A 【详解】试题分析：此题考查导数的应用；2343(1)(3)()4x x x x f x x x x x-+--=-+-'=-=-，所以当(0,1),(3,)x ∈+∞时，原函数递减，当(1,3)x ∈原函数递增；因为在[],1t t +上不单调，所以在[],1t t +上即有减又有增，所以01{113t t <<<+<或13{31t t <<<+，01t ∴<<或23t <<，故选A.考点：函数的单调性与导数.11．B解析：B 【分析】构造()()g x f x x =+，得到函数()g x 在R 上单调递减，由()(1)g e g <即得解. 【详解】构造()()g x f x x =+，则()()1g x f x ''=+， 又()10f x '+<，所以()0g x '<，所以函数()g x 在R 上单调递减，又(1)(1)1110g f =+=-+=， 所以()(1)g e g <，即()0f e e +<， 所以()f e e <-. 故选：B 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．A解析：A 【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数，因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n n x n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A.【点睛】 方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n n x n ∈+是解答的关键. 二、填空题13．【分析】首先根据题意得到为偶函数利用导数求出的单调区间再根据单调区间解不等式即可【详解】又因为所以为偶函数当时因为所以故在为增函数又因为为偶函数所以在为减函数因为所以解得或故答案为：【点睛】本题主要解析：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 为偶函数，利用导数求出()f x 的单调区间，再根据单调区间解不等式即可.【详解】又因为x ∈R ，()()()||||cos cos x x f x ex e x f x --=+-=+=， 所以()f x 为偶函数.当0x >时，()cos x f x e x =+，()sin x f x e x '=-，因为0x >，e 1x >，所以()sin 0x f x e x '=->，故()f x 在()0,∞+为增函数.又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0-∞为减函数.因为(21)(1)f x f x -≥-，所以211x x -≥-，解得23x ≥或0x ≤.故答案为：2(,0],3⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，同时考查了函数的奇偶，属于中档题. 14．（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断（4）的正误综合可得出结论解析：（1）（3）（4）【分析】利用函数奇偶性的定义可判断（1）、（2）的正误；利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值，可判断（3）的正误；利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数，可判断（4）的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题（1），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，即1x >，解得1x <-或1x >，所以，函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，定义域关于原点对称，()()ln ln g x x x g x -=-==，则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y F x =为偶函数，命题（1）正确；对于命题（2），对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 10f x x x =--≠，()111x f x x x'-=-=，令()0f x '=，得1x =，且函数()y f x =的定义域为()0,+∞，当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()min 10f x f ==，则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞，定义域不关于原点对称，所以，函数()y G x =是非奇非偶函数，命题（2）错误；对于命题（3），对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦，()ln 0g x x =>，由（2）知，函数()y f x =的最小值为0，则函数()y F x =的最小值为0，命题（3）正确；对于命题（4），令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦，可得()1f x =，则()1f x =或()1f x =-， 由（2）知，()()10f x f ≥=，所以方程()1f x =-无解；令()()1ln 2h x f x x x =-=--，由（2）可知，函数()y h x =在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()110h =-<，()42ln422ln20h =-=->， 由零点存在定理可知，函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点， 所以，方程()1f x =有两个实根，即函数()y G x =有两个零点，命题（4）正确. 故答案为：（1）（3）（4）. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，复合函数最值以及零点个数的判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为利用单调性可得自变量的大小关系解不等式可求得结果【详解】由题意得：为上的奇函数且不恒等于零在上单调递增等价于解得：故答解析：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x ->-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果. 【详解】由题意得：()()2sin2x x f x e e x f x --=--=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos2x x f x e e x -'=++,2x x e e -+≥，2cos 22x ≤，()0f x '∴≥且不恒等于零 ()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+>等价于()()()221f x f x f x ->-=-221x x ∴->-，解得：()1,1,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 故答案为：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.16．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求 解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ 【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln x y x =的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln x y x =的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln x y x =的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln x y x -'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln x y x =单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln x y x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e - 分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭【点睛】 本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.17．【分析】当时函数的图像是函数的图像进行上下平移而得到的求出的单调区间作出其图像可得在上函数至多有2个零点又当时则在上函数至多有1个零点根据条件所以在上有一个零点在上有2个零点则从而可得答案【详解】当解析：()22【分析】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln x y x=的图像进行上下平移而得到的,求出4ln x y x=的单调区间，作出其图像，可得在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点，又当20x -<≤时，()2010f m =--<，则在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点，根据条件所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点，则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，从而可得答案. 【详解】当0x >时，函数()f x 的图像是函数4ln x y x =的图像进行上下平移而得到的. 又由函数4ln x y x =有()241ln x y x -'=. 由()241ln 0x y x -'=>，得x e <，()241ln 0x y x-'=<，得x e >. 所以函数4ln x y x=在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减,图像如图. 当1x >时，4ln 0x y x =>.所以在()0+∞，上，函数()f x 至多有2个零点. 当20x -<≤时，()2221f x x mx m =---，()2010f m =--<，其对称轴为x m =. 此时二次方程22210x mx m ---=有两相异号的实根.所以在()20-，上，函数()f x 至多有1个零点. 因为函数()f x 在区间()2,-+∞上有且只有三个零点.所以()f x 在20x -<≤上有一个零点，在()0,∞+上有2个零点. 则()()()222042022210m e m f e e e m m +⎧>⎪⎪+⎪=->⎨⎪⎪--⨯--->⎪⎩，解得:272m < 故答案为：()27,2【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的取值范围，属于中档题. 18．【分析】求出时的值讨论函数的增减性得到的最小值让最小值大于等于0即可求出的范围【详解】解：由可得当时令解得且①当时为递增函数②当时为递减函数③当时为递增函数所以即解得故答案为：【点睛】考查学生理解函 解析：15a ≤≤【分析】求出()0f x '=时x 的值，讨论函数的增减性得到()f x 的最小值，让最小值大于等于0即可求出a 的范围.【详解】解：由(1)0f ≥可得1a ≥，2'()33f x ax =-，当1a ≥时，令2'()330f x ax =-=解得a x =，且1a a >-<①当1x -<<()0,()f x f x '>为递增函数， ②当x <<()0,()f x f x '<为递减函数， ③1x <<时，()f x 为递增函数.所以()010f f ⎧≥⎪⎨⎝⎭⎪-≥⎩，即3320320a a ⎧⎪-+≥⎨⎝⎭⎝⎭⎪-++≥⎩， 解得15a ≤≤.故答案为：15a ≤≤.【点睛】考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及利用导数求函数最值的能力.19．【分析】对求导利用导数即可求得函数单调性和最小值【详解】因为故可得令解得；故当时单调递减；当时单调递增；当时单调递减且当趋近于1时趋近于正无穷；当趋近于正无穷时趋近于零函数图像如下所示：故的最小值为 解析：14-【分析】对()f x 求导，利用导数即可求得函数单调性和最小值,【详解】因为()()21xf x x =-，故可得()()311x f x x ---'=，令()0f x '=，解得1x =-；故当(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减；当()1,1x ∈-时，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减.且()114f -=-， 当x 趋近于1时()f x 趋近于正无穷；当x 趋近于正无穷时，()f x 趋近于零.函数图像如下所示：故()f x 的最小值为14-. 故答案为：14-. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的最值，属综合基础题.20．【分析】恒成立只需即可求出得出单调区间进而求出求解即可得出结论【详解】由得又函数的定义域为且当时；当时故是函数的极小值点也是最小值点且要使恒成立需则∴的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查应用导数求 解析：[),e +∞【分析】()2f x ≥恒成立，只需min ()2f x ≥即可，求出()f x '，得出单调区间，进而求出min ()f x ，求解即可得出结论.【详解】 由2()2ln a f x x x =+，得()233222()x a a f x x x x-'=-+=， 又函数()f x 的定义域为(0,)+∞且0a >， 当0x a <<()0f x '<；当x a ()0f x '>， 故x a =()f x 的极小值点，也是最小值点，且()ln 1f a a =+，要使()2f x ≥恒成立，需ln 12a +≥，则a e ≥，∴a 的取值范围为[),e +∞．故答案为：[),e +∞．【点睛】本题考查应用导数求函数的最值，恒成立问题等价转化为函数的最值，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题21．（1）1b =；（2）答案见解析．【分析】（1）求导求出函数的单调区间，比较(1),(1)f f -得到函数的最小值为65b -=-即得解；（2）先求导，再对a 分三种情况得到函数的单调性.【详解】（1）()3224f x x x b =-+，所以()2682(34)f x x x x x '=-=-， 令()>00f x x '∴<，；()<00f x x '∴>，； 所以函数的单调递增区间为[1,0]-，单调递减区间为[0,1]，因为(1)246,(1)2f b b f b -=--+=-=-，所以()f x 在区间[]1,1-的最小值65,1b b -=-∴=.（2）()()26223f x x ax x x a '=-=-． 令0f x ，得0x =或3a x =． 若0a >，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，0f x ；当0,3⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a x 时，0f x ．故()f x 在,0，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减； 若0a =，()f x 在(),-∞+∞单调递增；若0a <，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，0fx ； 当,03⎛⎫∈ ⎪⎝⎭a x 时，0f x ． 故()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，0,单调递增，在,03⎛⎫ ⎪⎝⎭a 单调递减． 【点睛】 方法点睛：用导数求函数的单调区间步骤：求函数的定义域D →求导'()f x →解不等式'()f x ＞()<0得解集P →求D P ⋂,得函数的单调递增（减）区间.22．（1）()f x 在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减；（2）1(,)2+∞. 【分析】(1)将1a =代入，求出函数解析式，进而利用导数法，可求出函数的单调区间；(2)求导后对a 讨论，判定单调性结合0x =是()f x 的极大值点，可得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()21x f x x e x =--，()()2x f x x e '=-， ()'0f x >得0x <或ln 2x > ，()'0f x <得0ln 2x <<，()f x ∴在()0-∞，和(ln 2,)+∞上单调递增，在(0,ln 2)上单调递减； （2）()()2x f x x e a '=-，当0a ≤时，20x e a ->， 故()00f x x '>⇒>，()f x ∴在()0-∞，上单减， 在上(0,)+∞单增，0x =为极小值点，不合题意；当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln 2x a =，0x =是极大值点，ln 20a ∴>，即12a >， 故1(,)2a ∈+∞.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调区间，利用导数研究函数极大值，掌握利用导函数研究函数的性质是解题的关键，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.23．（1）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值．【详解】(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=.在OCD ∆中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD km =.由正弦定理，得2432sin 3sin sin 33OC CD x x ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 得43sin 3OC xkm =，43sin 33CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以43432sin sin 23333y a x a x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 23sin cos ,0,33a x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)记()23sin cos 3f x a x x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭， 则()()'23cos sin 122cos 16f x a x x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令()'0f x =，得6x π=.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭. 故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元． 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题．24．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间.（2）m ＜0 ．【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+ 令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m, 令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+= ∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜0 25．（1）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，极小值为2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）求导后，根据导数的几何意义以及两直线垂直关系可得k ＝e ，再根据导数得到函数的单调性和极值；（2）转化为h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)在(0，＋∞)上单调递减，接着转化为()h x '≤0在(0，＋∞)上恒成立，即，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立，利用二次函数求出最大值可得答案. 【详解】（1）由题意，得21()(0)k f x x x x '=->， ∵曲线y ＝f （x ）在点(e ，f （e ）)处的切线与直线x －2＝0垂直，∴()0f e '=，即210k e e -=，解得k ＝e ， ∴221()(0)e x e f x x x x x-'=-=>， 由()'f x <0，得0<x <e ；由()'f x >0，得x >e ，∴f （x ）在(0，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．当x ＝e 时，f （x ）取得极小值，且f （e ）＝ln e ＋e e＝2． ∴f （x ）的极小值为2．（2）由题意知，对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立，设h （x ）＝f （x ）－x ＝ln x ＋k x －x (x >0)，则h （x ）在(0，＋∞)上单调递减， ∴21()1k h x x x '=--≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝21124x 恒成立， ∴k ≥14．故k 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了减函数的定义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果． 【详解】解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x =（2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '>()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a=-【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。