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高中数学北师大版选修22第二章11导数与函数的单调性PPT课件

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北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT

北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT

(2)y′=-4<0,y=-4x是减函数.
(3)y′=2xln 2>0,y=2x是增函数.
知识点拨
一、函数的单调性与其导数正负的关系
一般地,函数 f(x)的单调性与导函数 f′(x)的正负之间具有如下的关系:
(1)在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调 递增 ;
当x∈(0,2)时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如选项D.
(2)已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的
取值范围为(
A.(0,4)
C.
4
0, 3
)
B.(-∞,0)∪(1,4)
D.(0,1)∪(4,+∞)
答案 D
4
解析 视察图象,可得导函数f'(x)的图象过点(0,0), ,0 ,原函数f(x)的图象
当 Δ>0,即 a> 3或 a<- 3时,令 f′(x)>0,即 3x2+2ax+1>0,
－a＋ a2－3
－a－ a2－3
解得 x>
或 x<
;
3
3
2
2
－a－
a
－3
－a＋
a
－3
2
令 f′(x)<0,即 3x +2ax+1<0,解得
<x<
.
3
3


－a－ a2－3 －a＋ a2－3


故函数 f(x)的单调递增区间是－∞，

【高中课件】高中数学北师大版选修11导数与函数的单调性导学课件ppt.ppt

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(续表)
【解析】(1)函数 y=x 的定义域为 R,并且在定义域上是增函数,其导数 y'=1>0. (2)函数 y=x2 的定义域为 R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 增. 而 y'=2x,当 x<0 时,其导数 y'<0;当 x>0 时,其导数 y'>0;当 x=0 时,其 导数 y'=0. (3)函数 y=x3 的定义域为 R,在定义域上为增函数. 而 y'=3x2,若 x≠0,则其导数 3x2>0,当 x=0 时,其导数 3x2=0. (4)函数 y=1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在
问题2 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就 说这个函数在这个区间M上具有 单调性 ,区间M称为 单调区间 . 问题3 判断函数的单调性有 图像法 和 定义法 ,图像法是作出函 数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两 个对称的区间上具有 相同 的单调性;偶函数在两个对称的区 间上具有 相反 的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行 判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论. 作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 单调增函数 .(如图(1)所示)
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 单调减函数.(如图(2)所示)

《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)

《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)

例3 （2）
讨论函数 f ( x) ( x 1) x 的单调性
2 3
解 （1）该函数的定义域为( , )
2 2 1 5x 2 / 3 3 f ( x ) x ( x 1) x 1 3 3x 3 2 / 令 f ( x ) 0得 x , 显然 x =0为f ( x )的不可导点, 5 2 于是 x 0, x 分定义区间为三个子区间 5 2 2 ( , 0), (0, ), ( , ) 5 5
/
( x 0)
所以f ( x)在区间[0, )内单调增加, 又f (0) 0 因此, 当x 0时, 恒有f ( x) f (0), x 即 ln(1 x) 1 x
二、函数的极值
定义: 在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
中值定理条件, 因此应有
即
因为
故
x ln(1 x ) 证法 2 证明不等式 1 x
x 设函数f ( x) ln(1 x) , 1 x 因为f ( x)在[0, )上连续, 当x 0时, 1 1 x x x f ( x) 0, 2 2 1 x (1 x) (1 x)
x f/(x) f(x)
（ ， -
7 ） 6
7 6
7 7 （ ， ） 6 10
7 10
7 （ ， ） 10
+
不可导 极大值
-
0 极小值
+
从表中可知：
7 7 x1 是极大值点，极大值f ( ) 0 6 6 7 7 7 3 x2 是极小值点，极小值f ( ) 980 10 10 50 7 7 单调增加区间（-， ），（ ， ） 6 10 7 7 单调减少区间（ ， ）。 6 10

高中数学北师大版选修22第二章11导数与函数的单调性精品PPT课件

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2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
课本62页 习题3.1 A组 1，2
课后思考：如何利用函数的相关信息画出函数的大致图 象？
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
y f (x)
B
o 2 3x
设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
解:函数的定义域是(-1,+∞), f(x)1 1 x1. 2 1x 2(1x)
由 f(x)解0得-1<x<1
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x>1或x<-1(舍）. 故f(x)的递增区间是(1,+∞);
f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出 使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交 集.
知识应用
证明：函数f(x)=1 x
在(0，+∞)上是减函数.
1.本节课我们有什么收获？
2.你是如何利用导数求函数 的单调区间?
知识拓展
应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x3时，f '(x)0; 当x3或x2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.

北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT

北师大版高中数学选择性必修2第二章6.1函数的单调性课件PPT

有以下三种：
①定义；
②图像；
③导数.
利用导数判断函数单调性的一般步骤如下：
1.确定函数()的定义域
2.求出导数f ′(x).
3.解不等式f ′(x)＞0，得函数f (x)的单调递增区间；
解不等式f ′(x)＜0，得函数f (x)的单调递减区间.
4.结合定义域写出单调区间
梳理小结
布置作业
情境引入
此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些
特殊的点，如(−2,60),(3, −65)等，就可以画出函
数的大致图像.右图即为 = 2 3 − 3 2 −
36 + 16的大致图像.
y
60
40
20
–4
–3
–2
–1 O
–20
–40
–60
1
2
3
4
5
x
实例分析
情境引入
抽象概括
课堂练习
判断函数单调性的基本方法有哪些？
（3） = = −3 + 4
解：
（1）′ = 1
（2）′ = 2
（3）′ = −3
函数（1）（2）的导数是正的，在定义域(−∞, +∞)上
函数值都是随的增加而增加的；
函数（3）的导数是负的，在定义域(−∞, +∞)上
函数值都是随的增加而减少的.
情境引入
实例分析
抽象概括
实例分析
抽象概括
讨论下列函数的单调性：
（1） = 2 2 − 5 + 4
课堂练习
梳理小结
（2） = 3 − 3
解：
（1）′ = 4 − 5
5
当′ > 0时， >

2.6.1函数的单调性高二数学(北师大版选择性必修第二册)课件

2.6.1函数的单调性高二数学(北师大版选择性必修第二册)课件

y
O
x
x (−∞，−1)
−1
(−1，2)
2
(2，+∞)
f ′(x)
+
0
−
0
+
f (x) 单调递增
单调递减
单调递增
所以， f (x) 在 (−∞，−1) 和 (2，+∞) 上都单调递增，在 (−1，2) 上单调递减.
小结
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
①求定义域
②求 f '( x)
③令 f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
④作出结论
解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0；所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递 增，如图(1)所示；
（2）若f(x)在区间(a,b)上是减函数, 则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立.
请注意：
有 “=”
然后检验参数的取值能否使f´(x)恒等于0.
例： f(x)=x3, f(x)=x-sinx
f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有
f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
＊ 求函数的单调性： （1）定义法； （2）导数法。
（1）确定函数y=f(x)的定义域D； （2）求导数 f′ (x)； （3）解不等式f′ (x)>0，解集在定义域 内 D 的部分为增区间；

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)


x (2,3) 时，f ( x ) 0 则 f ( x )
∴ f ( x ) 2 x 3 3 x 2 36 x 16 的增区间为 ( ,2) 和 ( 3, ) ，减区间为 ( 2,3) 。 图形
2 2 f ( x ) 3 x 3 3 ( x 1) ∵ 解 : （ 1）
0
f ( x)
y log 0.5 x
1 y k切线 x ln 0.5
0
f ( x)
y x 的导数与其单调性又如何？？试描述其中关系。 2 yx
2
x ( ,0)时，
y k切线 2 x 0
f ( x ) 在 ( ,0)上
x (0,) 时， y k切线 2 x 0
再观察指数、对数函数的导数及单调性： x y y 2x 1 y y 2
x
y k切线 2 ln 2 0
x
f ( x)
(递增)
y k切线 0.5 x ln 0.5 0 f ( x) (递减)
x
y log 3 x
y k切线
1 x ln 3
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ，
是负数，其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ，
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像，观察规律。
y = -3x + 4
引例
观察下列函数的导数，它们与函数的单调性是 否有关系？？
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2

北师大选修导数与函数的单调性课件


2、讨论函数 y 2x sin x 在 0,2 的单调性
归纳小结
• 1、导数与函数单调性的关系； • 2、用导数求函数的单调性；
谢谢
新课活动二-----分析
函数
导数
函数单调性
函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增 函数在定义域上单调递增
在其定义域上,
f x 0
类似地
函数
y f x log1 x
2
导数
函数单调性
函数在定义域上单调递减 函数在定义域上单调递减
函数在定义域上单调递减
在其定义域上,
当 x (2，3) 时， f '(x) 0 ，
因此，在这个区Βιβλιοθήκη 上，函数是减少的.求导 判断导数正负
所以，函数 f (x) 2x3 3x2 36x 16 的递增区间为(, 2)和(3, ) ，
递减区间为 (2，3)
稳固练习
1、求以下函数的单调性
1y 2x2 5x 4
2y 3x x3
例 1、求函数 f (x) 2x3 3x2 36x 16 的单调区间.
解：由导数公式表和求导法则可得
f '(x) 6x2 6x 36 6(x 2)(x 3)
令 f x 0 ，解得 x 2 或 x 3
当 x (, 2)或x (3, ) 时， f '(x) 0 ，
因此，在这两个区间上，函数是增加的；
北师大选修导数与函数的单调性 课件
问题
？
导数 f x
函数单调性
y在x点的瞬时变化 刻画 率
刻画
y随x的增大而增大， 或y随x的增大而减小
函数变化
新课活动一-----计算

2018学年北师大版高中数学选修2-2课件：3.1.1导数与 函数的单调性 精品

若a>0, f (x) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
若a=0, f (x) 1 0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,则 f ( x) 3a( x
1 )( x 3a
1 3a
),易知此时f(x)
恰有三个单调区间.
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
v
v2
(v≠0).
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1,x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜率
为而正增,大函,即数y=>f(0x)时的,值函y随数着y=xf(的x)增在大
y
区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜
1 1
率增为大负而,减函小数,y即=f(x<)0的y时值,随函着数x的
o
－1
x
பைடு நூலகம்
y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
3
3
因此, f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z);
3
3
递减区间是: (2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1

3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)

问题3：试判断上面六个函数的单调性． 提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义 域上是减少的． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增加的，当f′(x)<0时，f(x)
为减少的．
函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有
理解教材新知
第 三 章 §1
1.1
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．1 导数与函数的单调性
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，
1 (4)y4＝2x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log 1 2
x.
问题1：求上面六个函数的导数．
1 因此a≤ . 2 1 x＋1 2 1 1 又当a＝ 时，f(x)＝ ＝ 为常数函数， 2 x＋2 2
1 所以不符合题意，所以a的取值范围是－∞，2.
(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定 函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨 论导数的符号来确定函数的单调区间．
(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在
该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充 要条件．
[例1]
ln x 证明函数f(x)＝ x 在区间(0,2)上是增加的．
[思路点拨]
要证函数f(x)在(0,2)上为增加的，只要
证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可．
(3)由不等式恒成立求参数范围；
(4)验证等号是否成立．
7．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的 取值范围是________．
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结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 （a,b）内可导,则函数在该区间
如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数. “某个区间”的含 义，它必是定义域内的某个区间。
例2、求f(x)=x/2-ln(1+x)+1的单调区间
第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性
复习旧知—提问引入
问题1：判断函数的单调性 有哪些方法？
定义法，图象法
问题2：怎样利用函数单调性的定义 来1.讨定义论：其一在般定地义，域对的于单给定调区性间上的函数f(x)，
如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值
x1，x2，当x1<x2时， (1)若 f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函 数.x1-x2与f(x1)-f(x2)同号，即
探究新知
yx
y
y x2
y
y x3
y
y 1 yx
o
x
ox
ox
o
x
函数在R上 （-∞，0） 函数在R上 （-∞，0）
f '(x)10 f '(x)2x0 f '(x)3x2 0 f '(x)x20
（0，+∞）
f '(x)2x0
（0，+∞）
f '(x)x2 0
增函数时有
f (x1) f (x2) 0也即 y 0
f(x1)f(x2)0
(2)若 f(x1)f(x2，) 那么f(x)在这个区间 上是减函数， 此时x 1 x 2 与 f(x 1 )f(x 2)异号,即
f(x1)f(x2)0
2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：
(1)设x1、x2是给定区间的任意两个 值，且x1< x2.
(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.
y f (x)
B
o 2 3x
设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x y f (x)
正.而当x=2时其切线
x
斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发
生改变.
由上我们可得以下的结论:
定义:一般地,设函数y=f (x)在某个区间（a，b）内 有导数,如果在 这个区间内 f (x) >0,那么函数y=f (x) 在为这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 f (x)<0, 那么函数y=f (x) 在为这个区间内的减函数.
解:函数的定义域是(-1,+∞), f(x)1 1 x1. 2 1x 2(1x)
由 f(x)解0得-1<x<1
由 f(x)0即 2(x11x)0,得x>1或x<-1(舍）. 故f(x)的递增区间是(1,+∞);
f(x)的递减区间是(-1,1).
说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义域,在求出 使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求两者的交 集.
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成长
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
x1 x2
x
减函数时有
f (x1)f (x2) 0也即 y 0
x1 x2
x
这表明：导数的正、负与函数的单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
总结:该函数在区间
（－∞，2）上单减,
切线斜率小于0,即其
导数为负,在区间（2，
+∞）上单增,切线斜
率大于0,即其导数为
（2函）数求导f(数x)f ’(2 xx)3 ；3x212x1单调递增. 当 f '(x) 0，即 2x1时 ，
（函3）数为解增不f(区x 等)间 式2 ；fx’3 (x )3 >x02，1 解2x集1 在单定调义递域减内.的部分 函（数4）f(x)解2不x3 等3x式21 f2 ’(xx)1<的0，单解调集递在增定区义间域为内(1， 的)部和 (,2) 单分调递减区间为（-2，1） 为减区间． 注：单调区间不以“并集”出现。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有 f(x)0,则 f ( x)为常数.
例1.判断函f数(x)2x33x212x1的单调性，
并求出其单调区间.
你因能为小f(结x) 求2解x3 函3x 数2 单12 调x 区1间的步骤吗？
所以 f'(x)6x26x12 （1）当确f '(定x)函0数, 即 yx = f(1 x或 )的x 定义2时 域， ；
知识应用
证明：函数f(x)=1 x
在(0，+∞)上是减函数.
1.本节课我们有什么收获？
2.你是如何利用导数求函数 的单调区间?
知识拓展
应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x3时，f '(x)0; 当x3或x2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A
(3)判断差的符号(与０比较)，从而 得函数的单调性.
如:函数y=x2－4x＋3的图象： y
02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
问题3：那么如何求出下列函数的 单调性呢?
(1)yx32x2x;
(2)yxlnx;
(3)yexx1.
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分 麻烦，尤其是在不知道函数图 象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更 为简捷的方法呢？下面我们通 过函数的一些图象来考察单调 性与导数有什么关系：