不等式的基本性质与基本不等式

不等式的基本性质与基本不等式
郭浴琼
目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、
可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一
些简单问题．
重难点：
不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明． 一、 知识要点
1、 比较两数大小的基本方法
（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=
（2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b
=⇔= 2、 不等式的基本性质
性质1：a b b a >⇔<（对称性）
性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）
性质3：若a b >，则a c b c +>+
性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <
结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+
结论2：若0a b >>，则n n a b >()
*n N ∈ 结论3：若0a b >>，则()
*,1n n a b n N n >∈> 3、 基本不等式（均值不等式）
对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号
均值不等式：若a 、b 为正数，则2
a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2
22
()22a b a b ab ++≥≥ 二、 例题精讲
例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞c
b ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？
例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >b
d ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．
例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（ ） A. a b -<b a + B. a b +>b a - C. a b +<b a - D. a b -<b a -
例4、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a <，现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg ()x y >，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为 ．
例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是 ．
例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？
（1）ab b a ≥+2
； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21≥+
a a ； （6） 2≥+a
b b a （7）222)(2b a b a +≥+）（
例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是 ，最小值是
（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y
+的最小值为 （3）若01,x <<则491y x x
=+-的最小值为 （4）若+
∈R x ，则x x 212+有最 值，且值为 （5）若13,3
a a a >+-有最 值，是 ，此时a = （6）若1x <，则2231
x x x -+-有最 值，值为
例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则2
1a b +的最大值是
（2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ）
A 、a b +有最小值)12(2+
B 、a b +有最大值2)12(+
C 、ab 有最大值12+
D 、ab 有最小值)12(2+
例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）
三、 课堂练习
1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y
的取值范围是 ． 2、若()2f x a x c =
-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 ． 3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是 ．
4、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n
+的最小值为 ． 5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦
成立的x 的取值范围是 ． 四、课后作业
一、填空题
1、已知,22π
π
απβπ<<<<，则αβ-的取值范围是 ，2βα-的取值范
围是 ．
2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b
-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成 个正确命题．
3、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．
4、已知0a b >>，2c a b
=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得 ．
5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于 ．
6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a
的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；
乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；
丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．
二、选择题
7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥
⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）
A 、[)9,+∞
B 、[)6,+∞
C 、(]0,9
D 、()0,6
9、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）
A 、22a b <
B 、22a b ab <
C 、2211ab a b <
D 、b a a b
< 三、解答题
10、当1x >-时，求2311
x x y x -+=+的最小值； 11、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=
->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；
（2）求实数a 的取值范围，使不等式()22lg lg lg lg xy x y a ≤
+⋅对一切满足1,1x y >>的
实数恒成立．
12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．。