习题五 大数定律及中心极限定理答案
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所以 15 | Y − 0 | P{| Y |> 15} =− 1 P{| Y |≤ 15} =− 1 P ≤ 125 125 | Y − 0 | = 1− P ≤ 1.34 ≈ 1 − ( 2Φ(1.34) − 1) 125
= 2 − 2Φ(1.34) = 2 − 2 × 0.9099 = 0.1802
(2) 设最多有 n 个数相加,则 Y = ∑ X i ,则得
i =1
n
P {| Y |< 10} ≥ 0.90
所以
|Y − 0 | 20 3 10 ≈ 2Φ P < − 1 ≥ 0.9 n n n 12 12
⇒
20 3 20 3 ,查表得 ≥ 1.645 Φ n ≥ 0.95 n
E ( X i ) 0, D( X i ) = =
1500 i =1
1 12
E ( X= i)
1500 i =1
∫
0.5 −0.5
1 = 0 t ⋅ ⋅ dt 1
0,
设误差总和为 Y = ∑ X i , 而 = E (Y )
= E( X ) ∑
i
1500 1 D(Y ) = D( X i ) = × 1500 = 125 ∑ 12 i =1
习题五
大数定律及中心极限定理
5.1 利用契比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率。
解 令 ε = 3σ ，则由契比雪夫不等式
P {| X − µ |≥ ε } ≤
从而有
D( X )
ε2
σ2 1 P {| X − µ |≥ 3σ } ≤ 2 2 = . 3σ 9
5.6 一部件包括 10 部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立且服从同 一分布,其数学期望为 2mm ,均方差为 0.05mm .规定总长度为 (20 ± 0.1)mm 时产 品合格,试求产品合格的概率. 解 设一部件包括 10 部分长度分别为 x1 , , x10 ,它们相互独立,且服从同分布, 则由已知条件知
⇒ n ≤ 443.455 故最多有 443 个数相加才能使得舍入误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90.
5.8 设某车间有 200 台车床相互独立地工作着,若因换料、检修等原因，每台车 床的开工率各为 0.6 ，开工时耗电各为 1 千瓦，问供电所至少要供给这个车间多 少千瓦电，才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？ 解 设第 i 台车床开工数（停车为 0，开车为 1） ， X i ~ B(1, 0.6), 因此，200 台 车床开工数 Y = ∑ X i ~ B(200, 0.6) ，供电应为 C 千瓦的电能才能保证正常工作
i =1 200
达 99.9% ，即 C − 120 Y − 200 × 0.6 = P {Y ≤ C } P ≤ ≥ 0.999 48 200 × 0.6 × 0.4 查表得
0.999 ，故可得 Φ(3.1) =
C − 120 48
≥ 3.1 ，因此
C ≥ 120 + 3.1 × 48 = 120 + 21.4774 = 141.4774 。 即供电 142 千瓦电就能以 99.9% 保证本间正常工作（即不影响生产）
为 0.1 | Y − 20 | | Y − 20 | P{| Y − 20 = |< 0.1} P < = < 0.6325 P 0.025 0.025 0.025
≈ 2Φ(0.6325) − 1 = 2 × 0.7357 − 1 = 0.4714
5.7 计算器在进行加法时, 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差 是独立的且在 ( −0.5, 0.5) 上服从均匀分布. (1) 若将 1500 个数相加,问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少? (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90? 解 (1) 设 1500 个数相加时舍入误差分别表示为 X 1 , , X 1500 ,它们相互独立,且 在 ( −0.5, 0.5) 上服从同一个均匀分布,于是
2 E= ( X i ) 2, D= ( X i ) 0.05 = 0.025.
设总长度为
Y = ∑ Xi , ⇒ = E (Y )
i =1 n 10
= E( X ) ∑
i =1 i
10
20
D(Y ) = 10 0.025 = 0.25 ∑ D( X i ) =×
i =1
规定总长度为 (20 ± 0.1)mm 时产品合格.即当 | Y − 20 |< 0.1 时产品合格,则合格率
