2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)8：圆锥曲线

绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷)(适用地区：河南、吉林、黑龙江、山西、新疆、宁夏、河北、云南、内蒙古)文科数学本试卷共24题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅ （2）复数z ＝－3+i2+i 的共轭复数是（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i 3、在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（A ）－1 （B ）0 （C ）12 （D ）1（4）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 1PF 2是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）（A ）12 （B ）23 （C ）34 （D ）455、已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N ≥2)和实数a 1,a 2,…,a N ，输出A,B ，则 （A ）A+B 为a 1,a 2,…,a N 的和（B ）A ＋B2为a 1,a 2,…,a N 的算术平均数（C ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是a 1,a 2,…,a N 中最小的数和最大的数（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18(8)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π（9）已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）8(11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2) （12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

面积为： ；
②当 点为 时，
故 ，
，
，
可得： 点为 ，
画出图象，如图
, ，
可求得直线 的直线方程为： ，
根据点到直线距离公式可得 到直线 的距离为： ，
根据两点间距离公式可得： ，
面积为： ，
综上所述， 面积为： ．
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线C：y= ，D为直线y= 上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0， )为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
【答案】(1)见详解；(2)3或 ．
【官方解析】
(1)设 则 ．
由于 ，所以切线 的斜率为 ，故
整理得 ．．
设 同理可得 ．
故直线 的方程为 ．
所以直线 过定点 ．
(2)由(1)得直线 的方程为 ．由 可得 ．
于是 ，
．
设 分别为 到直线 的距离，则 ．
因此，四边形 的面积 ．
设 线段 的中点，则 ．
由于 ，而 ， 与向量 平行，所以 ．解得 或 ．
当 时， ；当 时， ．
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知抛物线 的焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 ．
(1)若 ，求 的方程；
(2)若 ，求 ．
【答案】解：设直线 ．
（1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ．
由 ，可得 ，则 ．
从而 ，得 ．所以 的方程为 ．

勾股定理可知：m-(m-d)=2a,m+d=2c, (m-d)2+m 2=(m+d)2,解得 m=4d=8a,∴ e = = 2= 5全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编：圆锥曲线【江西省泰和中学 2012 届高三 12 月周考】已知抛物线 y 2 = 2 px 上一点 M （1，m ）到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为（）A ．x=8B ．x=-8C ．x=4D ．x=-4【答案】D【解析】由题意得1 + p 2= 5 ，故 p = 8 ,所以准线方程为 x = -4【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学（文）】10．设 M （ x ，y ）为抛物线 C ：x 2 = 8 y上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y 的取值范围是（ ）A ．（0，2）B ．[0，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【答案】C【解析】由题意只要 FM > 4 即可，而 FM = y + 2,∴ y > 2, 所以，简单考查抛物线的方0 0程、直线与圆的位置关系、抛物线的定义及几何性质，是简单题。

【山东实验中学 2012 届高三第一次诊断性考试理】12.点 P 在双曲线上•，是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是(A) .2 (B) .3 (C) .4 (D) .5【答案】D【解析】解：设|PF 2|,|PF 1|，|F 1F 2|成等差数列，且分别设为 m-d,m,m+d,则由双曲线定义和5d c a d2故选项为 D【山东省微山一中2012届高三10月月考理】8. 若双曲线x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 (a > 0, b > 0) 上不存在点P使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围 为 （ ）A ． ( 2, +∞)B ． [ 2, +∞)C ． (1, 2]D ． (1, 2)答案:C解析:这里给出否定形式,直接思考比较困难,按照正难则反,考虑存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为 双曲线的中心）的对称点在y 轴上,因此只要在这个双曲线上存在点P 使得OP 斜率为1即可,所以只要渐进线的斜率大于1,也就是离心率大于 2 ,求其在大于1的补集;该题通过否定形式考查反证法的思想,又 考查数形结合、双曲线的方程及其几何性质,是中档题.A．23D．5【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】设F、F分别是椭圆E:x2+12y2b2=1(0<b<1)的左、右焦点，过F的直线与E相交于A、B两点，且AF，AB,BF成等差数列，122则AB的长为（）3B．1C．43【答案】C【解析】本题主要考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系，等差中项的计算.属于基础知识、基本运算的考查.椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)，a=1，∵AF+BF=2a=1,AF+BF=1，相加得1122AF+BF+AF+BF=21122AF+BF=2-AF+BF=2-|AB|2211AF，AB,BF成等差数列，2AB=AF+BF=2a=1 2222于是2AB=2-AB，∴AB=2 3【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】曲线y=x3在点(1，1)处的切线方程是A．x+y-2=0B．3x+y-2=0C．3x-y-2=0D．x-y+2=0【答案C【解析】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系、导数.属于基础知识、基本运算的考查.点(1，1)在曲线y=x3上，切线的斜率就是曲线的导数，y'=3x2，斜率k＝3由点斜式方程得切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】已知双曲线的渐近线为y=±3x，焦点坐标为（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．x2y2-=1824B．x2y2x2y2-=1C．-=1124248D．x2y2-=1412【答案】D【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.5C ． 10A ． 10B ．10( )双曲线的渐近线为 y = ± 3x ，焦点在 x 轴上，双曲线方程设为 x 2 -y 23= λ(λ > 0)即 x 2 y 2- = 1 ， a 2 = λ, b 2 = 3λ ，∵焦点坐标为（-4，0），（4，0）∴ c = 4λ 3λx 2 y 2c 2 = a 2 + b 2 = 4λ = 16 ⇒ λ = 4∴双曲线方程为 -4 12= 1【2012 年石家庄市高中毕业班教学质检 1 文】双曲线x 2 4 - y 2=1 的离心率是A ．1 23 5B ．C ．D ． 32 2【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.双曲线双曲线 x 2 4x 24 - y 2=1 中， a 2 = 4, b 2 = 1 ⇒ c 2 = a 2 + b 2 = 5 ，c 5 - y 2 =1 的离心率是 e = =a 2【 2012 金华十校高三上学期期末联考文】 过双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的左焦点F (-c,0)( c > 0) ，作圆 x 2 + y 2 = a 2 4的切线，切点为 E ，延长 FE 交曲线右支于点 P ，若2OE =1 (OF + OP )，则双曲线的离心率为 （）2D ．2【答案】 C【解析】本题主要考查双曲线的定义、直线与圆的位置关系、中点公式、双曲线的简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.a 2 a 1 圆的 x 2 + y 2 = 半径为 ，由 OE = 4 2 2OF + OP 知，E是FP的中点，如图，设F'(c,0)，由于O是FF'的中点，所以，OE PF',O E=1PF'⇒PF'=2OE=a 2由双曲线定义，FP=3a，因为FP是圆的切线，切点为E，所以FP⊥OE，从而∠FPF'=90︒，由勾股定理FP2+F'P2=FF'2⇒9a2+a2=4c2⇒e=10 2【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】已知抛物线y2=2px，直线l经过其焦点且与x 轴垂直，并交抛物线于A、B两点，若|AB|=10，P为抛物线的准线上一点，则△ABP的面积为A．20B．25C．30D．50【答案】B【解析】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、通径的概念、抛物线的简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.抛物线y2=2px，直线l经过其焦点且与x轴垂直，并交抛物线于A、B两点，则|AB|＝2p，|AB|=10，所以抛物线方程为y2=10x，P为抛物线的准线上一点，P到直线AB的距离为p＝5，1则△ABP的面积为⨯10⨯5=252【2012三明市普通高中高三上学期联考文】若双曲线距离为8,则点P到它的左焦点的距离是x2y2-=1上的一点P到它的右焦点的412A．4B．12C．4或12D．6【答案】C【解析】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的标准方程，属于基础知识、基本方法的考查.设双曲线的两个焦点分别A,B，由定义，||P A|-|PB||=4，|8-|PB||=4，|PB|=4或者|PB|=12【2012黄冈市高三上学期期末考试文】设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|= A．9B．6C．4（）D．3【答案】B【解析】本题主要考查抛物线的定义和标准方程、向量共线的知识.属于基础知识、基本运算的考查.2 B ．5 2 2C ． 5 22D ． 5 212 + 12 = 2设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，抛物线焦点坐标 F(1，0)，准线方程：x=-1∵ FA + FB + FC = 0∴点 F 是△ABC 重心则 x 1+x 2+x 3=3， y 1+y 2+y 3=0 而|FA|=x 1－(－1)=x 1＋1 |FB|=x 2－(－1)=x 2＋1|FC|=x 3－(－1))=x 3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x 1+1+x 2+1+x 3+1=(x 1+x 2+x 3)+3=3+3=6【 2012 武 昌 区 高 三 年 级 元 月 调 研 文 】 已 知 抛 物 线 方 程 为 y 2 = 4 x ， 直 线 l 的 方 程 为x - y + 4 = 0 ，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d ，P 到直线 l 的距离为 d ，则1 2d + d 的最小值为12（ ）A ．52 + 2 + 1 - 22- 1【答案】D【解析】本题主要考查抛物线定义以及点到直线的距离公式以及最值问题以及转化的思想 .属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.由抛物线的定义，PF ＝ d + 1， d = PF - 11 1d + d = d + PF - 1，显然当 PF 垂直于直线1 22x - y + 4 = 0 时，d + d 最小。

2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2C.D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bc a x bc bcy --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。

故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-yx ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。