第三章刚体和流体的运动(2)

说明 ( 1)
M J , 与 M 方向相同．
(2) 为瞬时关系． (3) 转动中 M J 与平动中 F ma 地位相同．
第三章 刚体力学
如果刚体所受合力为零，同时 合力矩为零， 好，现在我们可以问一个问题： Fi 0 , Mi 0 则刚体会做什么样的运动？
R
2
dm m R
R
r
dr
一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心O并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：设盘质量面密度为 ,在盘上取半径为r,宽为dr的圆环
m π R2
R 2 0
dm 2 π rdr
3
J r dm
R
0
1 2 π R mR 2πσr dr 2 2
v v0 at 2 x x0 v0t 1 at 2 2 2 v v0 2a( x x0 )
ω ω0 βt θ θ 0 ω 0 t 12 β t 2 ω 2 ω 02 2 β ( θ θ 0 )
第三章 刚体力学
z
重要
刚体定轴转动的特点 O
第三章 刚体力学
5. 角速度正负的判断
0
0
逆时钟转动
顺时钟转动
第三章 刚体力学 （2）角量和线量的关系
z

s r
v r
an r 2
O
at r

dv d(r ) at r dt dt
（3）角量与线量的公式比较
x
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
平 动 刚体：外力作用下形状和大小都不发生变化的物体。 转 动 二、刚体的运动形式 ［实例］

角动量定理
J wJ w Mdt
t 1
M 0 J 2. 角动量守恒定律 若 恒量 J a) 若J 是常数，角速度守恒。 b) 若J 变， J 仍成立 22 11 c) 适用范围:惯性系，宏观、微观，低速、高速都适用。 例：系统由两个刚体组成， 设初时刻，Lo= 0
w
ww
任意t 时刻，Lt=0
w 转动动能 E k J 2 转动动能定理
1
2
例3. 求圆柱体的转动惯量。圆柱体的质量为m，半径为R，4个圆 柱形空洞的半径均为R/3，从中心轴到各个空洞中心的距离均为R/2。 解： 空洞被挖出部分的质量为：m
2 m 4 m R L 1 m 9 m R m 2 5 ( ) L 3
运动定律 动量 动量定理
t 1
dx v dt
x
2
刚体定轴转动 角位移 d 角速度 w
2 dt d w d b 2 dt dt 2
F m a
p m v
转动定律
J w J w Mdt 0 时 角动量守恒定律 M 动量守恒定律 F 0 时 J w 恒 m v 恒量 ii
w 2
2
3 g sin
Hale Waihona Puke Cmg§3—4 刚体的角动量和角动量守恒定律
前已得到：刚体定轴转动 1. 角动量定理： d 定轴转动定律：M J J
微分形式 积分形式
t2
M dt d L
2
b
L J w
对于质点：
d L M dt dt
1
w
P m v

w 2
1
3. 刚体的机械能守恒定律 m gh 一个质元的势能： E i i i i m g h Mg 整个刚体的势能： E P i i

作 用点 P 的径矢 .
F 对转轴Z 的力 矩
M rF
M Frsin Fd
M
z
M
r
Od
F
P*
d －力臂
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
讨论 1)合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
2） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
0t
1 2
t 2
v2
v
2 0
2a(x
x0 )
2 02 2 ( 0 )
三 角量与线量的关系
d
dt
d d 2
dt d 2t
v r
a
an
r
a
v
a r an r 2
a
r
r2 n
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受的冲量
矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考 点 O 的角动量为一恒矢量.
例5.12 P143
例5.13 P144

ω = ωxi + ω y j + ωz k
欧勒运动学方程
ω x = ϕ sin θ sinψ + θ cosψ ω y = ϕ sin θ cosψ − θ sinψ ω z = ϕ cosθ + ψ
青岛科技大学数理学院
13
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
一 力系的简化
力的可传性原理： 刚体所受的力可沿作用线滑移而不改变其效果的性质 .
青岛科技大学数理学院
4
§3.2 角速度矢量
一 有限转动与无限小转动
z
z
z
y
y
x
原来位置
x
绕 z 轴转 90 后
x 绕 y 轴转 90 后
z
y
z
z
y
x
原来位置
x
y
x
y
绕 z 轴转 90 后
青岛科技大学数理学院
绕 y 轴转 90 后
5
有限转动不是矢量 . 无限小转动 角位移
Δθ
Δn
M
Δn
Δn = Δθ
刚体平衡时，必须满足下列平衡方程： M =0 F =0 即诸外力的矢量和为零且诸外力对任意一点的力矩的矢 量和亦为零 .
F = Fx i + Fy j + Fz k
M = M xi + M y j + M z k
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0
M x = 0, M y = 0, M z = 0
一 刚体的动量矩
J i = rBiblioteka × mi vin nz
ρi
θi
整个刚体对 O 点的动量矩为
ω
y