大物1课件——第03章刚体和流体的运动(1)

J = ∫ r dm = 2πρL ∫
0
1 r dr = πρLR 4 2
3
M = ρπR 2 L
MR 2 J= 2
与圆柱的长度L无关！ 与圆柱的长度L无关！ 长度 决定刚体转动惯量的因素： 决定刚体转动惯量的因素： （1）刚体总质量（2）质量分布（3）给定轴的位置 刚体总质量（ 质量分布（
平行轴定理
转轴
转轴固定不动时： 转轴固定不动时：定轴转动 刚体内各个质点在运动中 都绕同一直线做圆周运动
：转动
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标 数目。 位置所需要的独立坐标的 自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。
1 个 自 由 度 2 个 自 由 度 3 个 自 由 度
r
P
Fi sin ϕi + Fi ' sin θi = ∆mi riα
2
Fi ri sin ϕi + Fi ' ri sin θi = ∆mi ri α
对刚体内所有质点求和， 对刚体内所有质点求和，内力矩为零
dω ∑Fi ri sin ϕi = (∑∆mi ri )α Mz = (∑∆mi ri )α = Jα = J dt i
2
2
刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 角加速度 大小成正比 正比， 转动惯量成反比。 大小成正比，与转动惯量成反比。
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平动（沿固定方向） 平动（沿固定方向） 位置：x 速度：v=dx/dt 加速度：a=dv/dt 质量：m 牛二律：F=ma
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究力的平衡和静力问题。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。

y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren

35
§3-3 定轴转动中的功能关系
一 力矩的功
设物体在力F作用下，绕定轴oz转动，则力F的元功是 dA=Fdscos(90o- )
=Frsind 即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。
A 2 Md 1
(3-10)
P dA M d M (3-11)
dt dt
=Md (3-9)
Z
o d
r
at bt3 ct 4
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
d a 3bt2 4ct3
dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式
d d a 3bt2 4ct3 6bt 12ct2 dt dt 可见飞轮在作变速转动。 11
三. 自由度 决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数
ri
Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(
ri
mii
) =L质点系的总角动量
i
于是得
M
dL
(3-2)
dt
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的总角动量对时间的变化率。 这个结论叫质点系角动量定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
18
M
dL
(3-3)
dt
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方向上的分量式为
R
r
0
2
m
R
2
2rdr
1 2
mR2
R
dm
r dr
图3-6
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❖确定转动惯量的三个要素: ❖(1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量越大。 ❖(2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ❖(3)与转轴的位置有关。