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第三章刚体和流体的运动

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第三章刚体和流体的运动(1)

第三章刚体和流体的运动(1)


J = ∫ r dm = 2πρL ∫
0
1 r dr = πρLR 4 2
3
M = ρπR 2 L
MR 2 J= 2
与圆柱的长度L无关！ 与圆柱的长度L无关！ 长度 决定刚体转动惯量的因素： 决定刚体转动惯量的因素： （1）刚体总质量（2）质量分布（3）给定轴的位置 刚体总质量（ 质量分布（
平行轴定理
转轴
转轴固定不动时： 转轴固定不动时：定轴转动 刚体内各个质点在运动中 都绕同一直线做圆周运动
：转动
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标 数目。 位置所需要的独立坐标的 自由度：决定系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。
1 个 自 由 度 2 个 自 由 度 3 个 自 由 度
r
P
Fi sin ϕi + Fi ' sin θi = ∆mi riα
2
Fi ri sin ϕi + Fi ' ri sin θi = ∆mi ri α
对刚体内所有质点求和， 对刚体内所有质点求和，内力矩为零
dω ∑Fi ri sin ϕi = (∑∆mi ri )α Mz = (∑∆mi ri )α = Jα = J dt i
2
2
刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 刚体在总外力矩的作用下，所获得的角加速度与总外力矩的 角加速度 大小成正比 正比， 转动惯量成反比。 大小成正比，与转动惯量成反比。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
平动（沿固定方向） 平动（沿固定方向） 位置：x 速度：v=dx/dt 加速度：a=dv/dt 质量：m 牛二律：F=ma
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
第三章刚体和流体的运动(3)

第三章刚体和流体的运动(3)


M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
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3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
第三章刚体运动学和流体运动学

第三章刚体运动学和流体运动学

v v 0 at
质点匀变速直线运动
刚体绕定轴作匀变速转动
2、相对定轴的力矩
若外力F在转动平面内， 力矩为
M
z
M
M r F
M Fr sin Fd
若F不在转动平面内，
O
r
z
F
d
* P
M z r F
F F F
m F dt
M d W M d
M I
I M dt
F dt P P
0
M dt L L
M d
0
1 1 2 2 F d x m v m v 0 2 2
1 2 1 2 I I 0 2 2
3-4 刚体的平面平行运动
刚体的平面平行运动可以看做基点的平动与相 对于通过基点并垂直于平面的轴的转动的叠加。
解二 用角动量定理

d
r dr
2 M f mgR 3 M f t 0 I0 3 R0 t 4 g
R
e
例3以水平力 f 打击悬挂在P点的 刚体，打击点为 O，若打击 点选择合适，则打击过程中 轴对刚体的切向力 Ft 为 0, 该 点称为打击中心。设刚体的 回转半径为 Rg ，求打击中心 到轴的距离rO 。 解 刚体所受力矩 M frO 设刚体转动惯量为
例2 一半径为R、质量为 m 的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ，令 圆盘最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋 转，问它经过多少时间才停止转动？

R d
r dr e
解一 每个质元的质量dm=rddre，所受到的阻力矩 是rdmg 。
圆盘所受阻力矩
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理

流体力学课件 第3章流体运动的基本原理


u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
刚体和流体

刚体和流体


y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
第3章 刚体和流体的运动

第3章 刚体和流体的运动


特点： ⑴ 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；
⑵ 刚体上各点的
、、均相同。
可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的叠加 。
SUN YAT-SEN UNIVERSITY
◆转动: 可分为定轴转动和定点转动。
▲
定轴转动： 运动中各质元均做圆周运动， 且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 ▲ 定点转动： 运动中刚体上只有一点固定不动，
i i i
称为刚体对转轴的转动惯量。
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在作定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。 与平动定律比较：
dv F ma m dt
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刚体 × 基点O 瞬时轴
d v d d r a r dt dt dt
r v
旋转加速度 向轴加速度
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角量： 角位移
d 角速度 dt d 角加速度 dt
对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：
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例 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。（与环盘同一平面内）
解：
(1) 圆环：
dm
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(2) 圆盘：
o r R
dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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一. 常用的几种转动惯量表示式
大学物理3-0刚体和流体的运动

大学物理3-0刚体和流体的运动

一 掌握刚体绕定轴的转动定律，理解转动惯 量的概念. 二 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在 有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒 定律． 三 掌握刚体绕定轴转动的角动量守恒定理及 其适用条件. 四 方程. 理解学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
本章目录 §3-0 教学基本要求
§3-1 刚体模型及其运动
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律 §3-3 定轴转动中的功能关系 §3-4 定轴转动刚体的角动量定律和角动量守恒定律 §3-5 进动 §3-6 理想流体模型 定常流动 伯努利方程 混沌 §3-7 牛顿力学的内在随机性
§3-0 教学基本要求
刚体和流体

刚体和流体

质量为线分布
质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
体分布
18
对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV
2 2 V V
J r dm r dS
2 2 S S
（面质量分布） （线质量分布）
J r dm R
2
2
另解 J R 2
2π R
0
m d l R2m 2 πR

m
0
d m m R2
dm
O
R
m1
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J2=?
R
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
例5. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 1 1 2 a T Ma mg T ma 解：TR MR 2 2 R
mg 8 10 2 a 5 ms m M 2 88
1 l 2 1 2 2 J J c md ml m( ) ml 12 2 3
2
24
1.求圆绕轴L的 转动惯量 轴L
2.求正方形绕轴L的 转动惯量
轴L
o
25
（3）回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给 定轴的转动惯量为J，则定义物 体对该转轴的回转半径rG为：
z
J rG m
rG
J mi ri
2
转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
大学物理课件第3章 刚体和流体的运动

大学物理课件第3章 刚体和流体的运动


所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。 所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
刚体内各点都绕同一直线(转轴) 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动 转轴固定不动 — 定轴转动 刚体的平动和绕定轴转动是刚 定轴转动的特点： 定轴转动的特点： 体的两种最简单最基本运动 （1）角位移，角速度和角加速度均相同； ）角位移，角速度和角加速度均相同； （2）质点在垂直转轴的各自平面内运动作 ） I 半径不同的圆周运动。 半径不同的圆周运动。
定轴转动定律在转 动问题中的地位相 当于平动时的牛顿 第二定律 应用转动定律解题 步骤与牛顿第二定 律时完全相同。 律时完全相同。
五、转动定律的应用举例
的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 例1 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以 的拉力， 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦 不计， 见图 见图) 不计， (见图 r v 求 (1) 飞轮的角加速度
在刚体的定轴转动中， 在刚体的定轴转动中，力矩只有两个指向 (3)力对任意点的力矩， (3)力对任意点的力矩，在通过 力对任意点的力矩 该点的任一轴上的投影， 该点的任一轴上的投影，等 于该力对该轴的力矩 (4)刚体的合力矩 (4)刚体的合力矩
z
r F//
r F
h
r r
θA
r F r τ r F⊥
F n
ˆ ˆ ˆ M = r × F = Mx x + My y + Mz z
r fi -内力
i i
3、刚体的合力矩 、刚体的合力矩
对刚体中任一质量元
r 外力 Fi --外力
第三章_刚体和流体的运动

第三章_刚体和流体的运动


dF pdA pLdy
h 100m
L 1000m
y
dA
dy
dF pdA pLdy 令大气压为 p0 ，则
p p0 g (h y)
h y
dF [ p0 g (h y)]Ldy
h
x O
1 F [ p0 g (h y )]Ldy p0 Lh gLh2 0 2
(x2,y2,z2)
系统的自由度是多少？
3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
力矩 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F 作用在刚体上点 P , 且在转动 为由点O 到力的 平面内, r 作用点 P 的矢径. 一
M
F
*
M
O
z
Z F 对转轴 的力矩
r
d
P

M r F
0 5π rad s1, t = 30 s 时， 0. 解 （1） 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5π π 1 2 rad s rad s t 30 6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π ) 2 75π rad 2 2 (π 6)
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2 3
而
m π R
2
所以
2
1 2 J mR 2
例3 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
l 2
O
l 2
dr O´
O´
r
dr
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 dm dr dJ r 2dm r 2dr
第三章 刚体和流体的运动习题及解答(1)

第三章 刚体和流体的运动习题及解答(1)

第三章 刚体和流体的运动 习题及解答
3-3 3-5 3-7 3-18 3-20 3-22
习题总目录
结束 目录
3-3 如图所示，两物体 和2的质量分别 如图所示，两物体1和 的质量分别 滑轮的转动惯量为J,半径为 为m1与m2，滑轮的转动惯量为 半径为 r 。 与桌面间的摩擦系数为µ， （1）如物体 与桌面间的摩擦系数为 ， ）如物体2与桌面间的摩擦系数为 求系统的加速度 a 及绳中的张力 T2 与 T2 设绳子与滑轮间无相对猾动）； （设绳子与滑轮间无相对猾动）； 与桌面间为光滑接触， （2）如物体 与桌面间为光滑接触，求系 ）如物体2与桌面间为光滑接触 统的加速度 a 及绳 T2 中的张力 T1与 T2。 m 2 T1 m1
结束 目录
m 1g ( m 2+µ m 2 + J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 2g ( m 1+µ m 1 + µ J r 2) T2 = m 1+ m 2 + J r 2 m 1g (2) µ = 0 a = m m J r2 1+ 2+ m 1g (m 2+ J r 2 ) T1 = m 1+ m 2 + J r 2 m 1m 2g T2 = m 1+ m 2 + J r 2
0
结束 目录
b = x sin θ 1 x2 1 v2 1 2 mg b = k + m + J ω 2 2 2 J v= 0 由题意： r 由题意： m 解：
ω= 0
k
b
x
1 x2 θ mg b = k 2 2 mg x sin θ 2×2×9.8×0.6 x= = 20 k = 1.176m

第3章刚体和流体详解

第3章 刚体和流体3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（βωθ∆,,）都相同，若采用线量描述，由于刚体上各点线量（a r,,υ∆）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚至不可行。

3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化?答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时，角速度也增大，反之，角速度减小。

（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中情况。

3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。

(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗?答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒=ωJ 常量） （2）由221ωJ E k =知，转动动能增加一倍。

3.4 什么是流体?流体为什么会流动?答：具有流动性的物体叫流体。

流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中的各分子可以自由运动。

3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性t s t s ∆=∆2211υυ）。

伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。

在推导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改变）。

3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小?答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。

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飞轮转过的角度：
飞轮转过的转数： （2）由转动定律：
. ，可得拉力：
拉力矩的功为：
.
（3）当 t 10s 时，飞轮的角速度：
点的速度：
，则有：
t 10s 时，飞轮边缘的法向加速度：
t 10s 时，飞轮边缘的切向加速度：
总加速度大小：
uur 由于 an at ，因此总加速度方向几乎与 an 相同.
，飞轮边缘一
3-2 飞轮的质量为 60 kg，直径为 0.50 m，转速为 1 000 r/min，现要求在 5 s 内 使其制动，求制动力 F.假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮 的外周上，尺寸如图 3.1 所示.
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2．刚体的自由度 决定一个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目称为该系统的自由度。对于刚体 来说，最多有 6 个自由度，其中 3 个是平动自由度，3 个是转动自由度（其中 2 个是表示 转动轴的方向的坐标，剩余一个则表示绕转动轴转过的角度）。
二、力矩，转动惯量，定轴转动定律 在讨论质点的运动时，我们首先引入位移、速度、加速度等运动学量，然后引入力这
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台
个动力学量，最后通过运动定律将二者联系起来。同样在研究刚体的转动时，也需要相应
的运动学量、动力学量以及运动方程。
1．运动学量
定轴转动中，有三个运动学量，即转过的角位移 θ ，角速度矢量 ω ，角加速度 α 。
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体、刚体的运动 1．刚体模型及其运动 由牛顿运动定律和守恒定律可以方便地得到质点的运动，但对于质点系的研究，特别 是分布连续的质点系，分别对每个质点求解很不方便。可以利用一些物理模型将问题简化， 刚体和理想流体就属于此类模型。 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力的作用下，其大小和形状都保持不变， 亦即系统内两质点间的距离不变。刚体两种简单的运动形式是平动和转动，在平动中，各 个质点在同一段时间通过相同的位移，且具有相同的速度和加速度；在转动中，各个质点 都绕同一直线运动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。

大物1课件——第03章刚体和流体的运动(1)


定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于
绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距离
平方的乘积： J J C md 2
如：
JC
1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
m
1的转动惯量最小
大学物理（I）教学组
普通物理学
第六版
第三章 刚体和流体的运动
方向是水平向右，则OP与极轴之间的夹角为。
角称为角坐标（或角位置）。
Px
o
角坐标为标量。但可有正负。
大学物理（I）教学组
普通物理学
第六版
2.角位移
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
3.角速度 lim
t0 t
d
dt
第三章 刚体和流体的运动
y v2 p v1
P
R
x
方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
始后 t = 6s 时飞轮的角速度；(3)t = 6s
时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速
度和法向加速度．
大学物理（I）教学24组
普通物理学
第六版
第三章 刚体和流体的运动
三、刚体定轴转动定律 O’
对刚体中任一质量元 mi
ω
应用牛顿第二定律，可得：
Fi fi miai
上式切向分量式为：
O
ri
mi
fi
i
Fii
Fi sini fi sini miai miri
用ri 乘以上式左右两端：
Firi sini firi sini miri2
大学物理（I）教学组
普通物理学
第六版
第三章 刚体和流体的运动

第三章刚体和流体的运动


N - o2 3o2 R 2 2 16 g
34
§3-3 定轴转动中的功能关系
一 力矩的功
设物体在力F作用下，绕定轴oz转动，则力F的元 功是
dA=Fdscos(90o- ) =Frsind =Md (3-9)
即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。
A 2 Md 1
(3-10)
P dA M d M (3-11)
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
ds rd
7
•速度与角速度之间的关系
将 ds rd 式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
•加速度与角加速度之间的关系
r
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
r an
atLeabharlann M R-0
r
g
m
R2
2rdr
o
- 2 mgR
3
dr r
J 1 mR2 2
水平桌面
图3-9
33
M - 2 mgR, J 1 mR2
3
2
于是得 M - 4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得 t - o 3RO 4g
又由2-o2=2 ，
dr r
水平桌面
图3-9
所以停下来前转过的圈数为
Jo d Jc
o
C M
图3-2
23
例题3-2 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2
(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计 的细杆连接,如图3-3。系统对通过质心C且垂直于三 角形平面的轴的转动惯量为

第3章-刚体和流体

第三章
刚体和流体
§3-1 刚体及其运动规律
刚体： 刚体：物体上任意两点之间的距离保持不变
在力的作用下不发生形变的物体
3-1-1 刚体的运动
平动和转动
平动： 刚体在运动过程中， 平动： 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。 始终保持平行。
注： 可以用质点动力学 的方法来处理刚体 的平动问题。 的平动问题。
1 m0a mg − F = ma 1 2 a F = T T 解：FTR = m0R ⋅ 2
mg 8×10 −2 −2 a= = m⋅ s = 5 m⋅ s m+ m0 2 8 +8
2
R
m0 FT m mg
1 2 1 2 h = at = ×5×1 m = 2.5 m 2 2
1 FT = ×16×5 = 40 N 2
J = ∫ r dm = ∫ r ρdV
2 2 V V
面质量分布） J = ∫ r dm = ∫ r σdS （面质量分布）
2 2 S S
J = ∫ r2dm = ∫ r2λdl
L L
（线质量分布） 线质量分布）
例1 计算质量为 ，长为 的细棒绕一端的转动惯量。 计算质量为m，长为l 的细棒绕一端的转动惯量。 解：
质量为m 长为2l 的均质细棒， 例7 质量为 0 ，长为 的均质细棒，在竖直平面内 可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m 可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为 的小球以速度u垂直落到棒的一端上 设为弹性碰撞。 垂直落到棒的一端上。 的小球以速度 垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。 求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度 以及棒的角速度。 求碰后小球的回跳速度 以及棒的角速度。 解： 由系统角动量守恒

刚体转动和流体运动

刚体转动和流体运动平动 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动 刚体中所有点都绕某一直线作圆周运动. 力F 对转轴的力矩M =r ×F刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零 M = M ij =0由质点i 的切向运动方程F it +F it ′=Δm i ɑit 知F it r i +F it ′r i =Δm i r i 2α所以 F it r i + F it ′r i = (Δm i r i 2)α又 F it ′r i =0 所以 F it r i = (Δm i r i 2)α 转动惯量J= Δm i r i 2对于质量连续分布的物体J= r 2dm转动定律刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比. M =J α细棒(转动轴通过中心与棒垂直)J=ml 212圆柱体(转动轴沿几何轴)J=mR 22薄圆环(转动轴沿几何轴)J=mR 2圆筒(转动轴沿几何轴) J=m2(R 12−R 22)球体(转动轴沿几何轴) J=2m R 25细棒(转动轴通过棒的一端与棒垂直)J=m l 23平行轴定理J=J c +md 2 角动量L =r ×p =m r ×v 由F =d(m v )dt知r ×F =r ×ddt (m v )又ddt (r ×m v )=r ×ddt (m v )+d rdt ×m v d rdt ×v =v ×v =0 所以r ×F =ddt (r ×m v )作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率 M=d Ldt冲量矩M dt质点的角动量定理 对同一参考系O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量.M dt t2t 1=L 2-L 1 质点的角动量守恒定律当质点所受对参考系O 的合力矩为零时,质点对参考点O 的角动量为一常矢量. L= r ×m v 为常矢量(M =0)由d L=M dt= J αdt 知 d L = J αdt=J αdt 所以L =J ω角动量定理 当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量.M dt t2t 1=J 2ω2-J 1ω1角动量守恒定律如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变. J ω为常矢量力矩做功 刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移. dW=Mdθ W= Md θ力矩的功率P=dW dt =M d θdt =Mω由12Δm i v i 2=12Δm i r i 2ω2知∑i12Δm i r i 2ω2=12(∑iΔm i r i 2)ω2转动动能E k =12J ω2由dW=Jαdθ=J d ωdtdθ= J d θdtdω=Jωdω知W= dW=J ωd ωω2ω1=12J ω22-12J ω12刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.W=E k2-E k1刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动能与刚体绕质心的转动动能之和.E k =12mv c 2+12J c ω2流体连续性方程ΔS 1v 1=ΔS 2v 2 伯努利方程ρv 122+ρg h 1+p 1=ρv 222+ρg h 2+p 2 洛伦兹速度变换式 u x =u x ′+v x1+u x ′′v ′c2高速运动时 质量m=m 0(1−v 2c2)12动量p=m 0v(1−v 2c2)12动能E k =m 0c 21(1−v 2c2)12−1质量与能量的关系E=mc 2。

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问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？
答案：1
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
一.力矩
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作
F
用点相对于转轴位置，是
决定转动效果的几个重要
因素。
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F dFsrin
z
M
F
r
P
d
z
F
M
F//
r
F
P
F在转动平面内
F不在转动平面内 只考虑垂直于转轴的作用力
力矩有大小和方向,是矢量
力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。
M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6．
dda 3 b2- t4 c3t 6 b- 1 tc2 2t d t d t 可见飞轮在作变速转动。
三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。
例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
lit m0 t
d dt
是矢量 .
方向： 与转向成右手螺旋关系。
r
图3-1
•角加速度
lim ω d ω
t0 t
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐
标对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图3-1
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标： 角位移： 单位：rad
• 角速度
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。
刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
二. 刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空是得
M
dL
dt
(3-2)
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
M
dL
dt
(3-3)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(3-4)
按质点角动量定理，有
mi：r iF ir ij(ij)f ijd(r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri
fij)0
i
j(ij)
得
i
d riFi dti
(r imii )
i
d riFi dti
(r imii )
ri
Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(ri mii )=L质点系的总角动量
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速 度一定大，则错。
2 M M J J为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7)
又可写成
M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动 的动力学方程 。
MJ 2 当 M一定时， 1
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动 还是转动？
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
dsrd
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
ran
at
由
a
d dt
an
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的转动定理 • 定轴转动的功能原理 • 定轴转动的角动量守恒
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
a tb3 t-c4 t
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
da3b2t-4c3t
dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式