第三章刚体和流体的运动

问题： 定轴转动刚体的自由度是多少？
答案：1
§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定理
一.力矩
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。
F F
力的大小、方向和力的作
F
用点相对于转轴位置，是
决定转动效果的几个重要
因素。
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用 M表示
M F dFsrin
z
M
F
r
P
d
z
F
M
F//
r
F
P
F在转动平面内
F不在转动平面内 只考虑垂直于转轴的作用力
力矩有大小和方向,是矢量
力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。
M r F
M方向垂至于r和 F 所构成平面。由右 手螺旋法则确定。
二 定轴转动定律
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij , j( i j )
意义：物体有几个自由度，它的运 动定律就可归结为几个独立的方程式。
对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确 定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这 需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一 轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道 该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、 γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1， 即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定 刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕 转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3， 总自由度为6．
dda 3 b2- t4 c3t 6 b- 1 tc2 2t d t d t 可见飞轮在作变速转动。
三. 自由度
决定这个系统在空间的位置所需要 的独立坐标的数目，叫做这个系统的自 由度数 。
例如： 一个质点在三维空间自由运 动时，决定其空间位置需三个独立坐标， 如直角坐标系的x，y，z，因此，自由 质点的自由度为3，这三个自由度叫平 动自由度．
lit m0 t
d dt
是矢量 .
方向： 与转向成右手螺旋关系。
r
图3-1
•角加速度
lim ω d ω
t0 t
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐
标对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图3-1
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标： 角位移： 单位：rad
• 角速度
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就 将物体视为刚体。
刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。 (b)刚体有确定的形状和大小。 (c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
二. 刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空是得
M
dL
dt
(3-2)
式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
M
dL
dt
(3-3)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方 向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(3-4)
按质点角动量定理，有
mi：r iF ir ij(ij)f ijd(r i d m it i)
对各质点求和，并注意到
(ri
fij)0
i
j(ij)
得
i
d riFi dti
(r imii )
i
d riFi dti
(r imii )
ri
Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(ri mii )=L质点系的总角动量
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速 度一定大，则错。
2 M M J J为瞬间作用规律。
一旦 M0，立刻 0，匀角速度转动。
(Lz=J)
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(4-7)
又可写成
M=J
(3-5)
这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动 的动力学方程 。
MJ 2 当 M一定时， 1
J
J是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。
比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动 还是转动？
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
dsrd
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
ran
at
由
a
d dt
an
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的转动定理 • 定轴转动的功能原理 • 定轴转动的角动量守恒
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
§3-1 刚体模型及其运动
一. 刚体——力学中物体的一种理想模型。
刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2-o22
例3－1 一飞轮转过角度和时间关系为
a tb3 t-c4 t
式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。
解：飞轮角速度表达式
da3b2t-4c3t
dt
角加速度是角速度对时间的导数表达式