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平面一般力系的平衡方程

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授 课 日
学 时 2 课次

授 课 班
级
授课教师

授 课 题
目
（教学章、
节或主题）

第四章 平面任意力系
§4-3 平面一般力系的平衡方程

教学目的、要求
（分掌握、
熟悉、了解
三个层次）

1、 深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的三种形式
2、能够熟练解决平面任意力系的平衡问题

教学重、难
点

重点：1、平面任意力系平衡的解析条件
2、平衡方程的各种形式
难点：平面任意力系平衡的解析条件

参 考 资
料
（含参考
书、文献等）

河南省高等职业技术学院教材 《工程力学》徐广民 中国铁道出版社
21世纪高职高专系列教材《工程力学》杨玉贵 机械工业出版社

授课类型（请打√） 理论课 √ 讨论课□ 实验课□ 练习课□ 其他□
教学过程设计（请打√） 复习□ 授新课√ 安排讨论□ 布置作业√
教学方式（请打√） 讲授 √ 讨论□ 示教□ 指导□ 其他□
教学资源（请打√） 多媒体□ 模型□ 实物□ 挂图□ 音像□ 其他√

基础部主任签字
年 月 日
教研室组长签字：

年 月 日

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课时分配 教 学 内 容、方 法、步 骤 附

记

40 20 20 20 §4.3 平面任意力系的平衡方程 一. 平面一般力系的平衡方程 1. 基本形式 平面一般力系向作用面任一点O简化，可得到一个主矢量FR'和一个主矩MO，如果FR'＝0，MO＝0，则平面一般力系必平衡；反之，如果平面一般力系平衡，必有FR'＝0，MO＝0。因此，平面一般力系平衡的充要条件是： FR'＝0 MO＝∑MO(F)＝0 故得平面一般力系的平衡方程为 ∑Fx＝0 ∑Fy＝0 ∑MO(F)＝0 平面一般力系平衡方程的基本形式，它含有三个独立的方程，因而最多能解出三个未知量。 2.二矩式 ∑Fx＝0 ∑MＡ(F)＝0 ∑MＢ(F)＝0 其中A、B两点的连线不能与Ox轴垂直。 3.三矩式 ∑MＡ(F)＝0 ∑MＢ(F)＝0 ∑MC(F)＝0 其中A、B、C三点不能在一条直线上。 二. 平面平行力系的平衡方程
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在基本式中，坐标轴是任选的。现取y轴平行各力，则平面平行力系中各力
在x轴上的投影均为零，即∑Fx ≡0。于是平面平行力系只有两独立的平衡方程，
即

∑Fy＝0
∑MO(F)＝0

不难看出，平面平行力系的二矩式平衡方程为
∑MＡ(F) ＝0
∑MＢ(F) ＝0

其中A、B两点的连线不能与各力平行。
平面平行力系只有两个独立的方程，因而最多能解出两个未知量。
三.应用平面一般力系平衡方程的解题步骤如下：
(1) 根据题意，选取适当的研究对象。
(2) 受力分析并画受力图。
(3) 选取坐标轴。坐标轴应与较多的未知反力平行或垂直。
(4) 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常选未知力较多的交点为
矩心。
(5) 校核结果。

应当注意：若由平衡方程解出的未知量为负，说明受力图上原假定的该未知
量的方向与其实际方向相反。而不要去改动受力图中原假设的方向。

例4-2 已知F=15kN，M=3kN.m，求A、B处支座反力。
解 (1) 画受力图，并建坐标系
(2) 列方程求解
图4-8
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例4-3 如图3-9所示外伸梁上作用有集中力FC＝20kN，力偶矩M＝10kN.m ，
载荷集度为q＝10kN/m的均布载荷。求支座A、B处的反力。

图4-9
解 取水平梁AB为研究对象, 画受力图如图4-9(b)所示。
列平衡方程并求解
结果均为正，说明图示方向与实际方向一致。
例3-4 塔式起重机如图4-10所示。设机架自重为G，重心在C点，与右轨距离
为e，载重W，吊臂最远端距右轨为l，平衡锤重Q，离左轨的距离为a，轨距为
b。试求塔式起重机在满载和空载时都不致翻倒的平衡锤重量的范围。

图4-10
解 取塔式起重机为研究对象，作用在起重机上的力有重物W、机架重G、平
衡锤的重力Q及钢轨的约束反力NA和NB，这些力构成了平面平行力系，起重
机在该平面平行力系作用下平衡。

(1)满载时 W＝Wmax，Q＝Qmin，机架可能绕B点右翻，在临界平衡状
态，A处悬空，NA＝0，受力图如图3-10b所示。则

(2)空载时 W＝0，Q＝Qmax，机架可能绕A点左翻，在临界平衡状态，B
处悬空，NB＝0，受力图如图3-10c所示。则

故 平衡锤的范围应满足不等式
例4-5 一简易起重机如图4-11所示。横梁AB的A端为固定铰支座，B端用拉
杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN,载荷G2＝12kN，横梁长L＝6m，α
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＝30°，求当载荷距A端距离x＝4m时，拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
图4-11
解 取横梁AB为研究对象，画受力图如图4-11(b)所示。
列平衡方程并求解

小 结
对于平面任意力系的三种形式的方程组，都可以求解平面任意力
系的平衡问题。但对于单个刚体来说，只能列出三个独立的方程，
求解三个未知量。在具体解题时，要通过合理选取矩心和投影轴，
合理的选用方程组的形式，尽量避免联立解方程组的麻烦。另外，
平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。

复习思考
题、作业题

1、思考平面汇交力系的平衡方程中，可否取两个力矩方程，或一
个力矩方程和一个投影方程？这时，其矩心和投影轴的选择有
什么限制？

2、课本习题4-7、4-6。

下次课预习
要点
物体系的平衡

静定和超静定问题

实施情况及
分析

这节课内容较多，讲解较细致，有利于学生理解。课下部分学生
的调查表明，一般学生听懂所讲要点，基本掌握重点内容，能力
较强的学生有较完整的课堂笔记。

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平面一般力系

平面一般力系

力线平移 力系简化
M A 551.1 = = 0.573(m) 平衡方程R 平行力系 静不定 962.2 F′ h=
物体系平衡
桁 架
小 结
第三节
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系的平衡条件
力系的主矢 力系的主矢 R´和力系的主矩 主矢F 都等于零。 Mo都等于零。即
′ FR = (∑ X )2 + (∑Y )2 = 0
M q
A l B l y
M q F
x
F
FAX FAY C MA A
B l l
C
解：（1）选横梁AB为研究对象 ：（ ）选横梁AB为研究对象 （2）建立坐标系，画受力图 建立坐标系， 建立坐标系 （3）列平衡方程，求未知量 列平衡方程， 列平衡方程 解之得：
F AX = 0 FAY − ql − F = 0 F AY = ql + F l 1 m A ( Fi ) = 0, M A − ql ⋅ − M − F ⋅ 2l = 0 ∑ F BC = ql 2 + M + 2 Fl 2 2
FR′
主矢
α
m1=mo(F1) F2 = F′2 m2=mo(F2) Fn = F′n mn=mo(Fn)
F2
d2 d n
o
o
主矩
x
d1
简化结果： 简化结果：
主矢： 主矢： 主矩： 主矩：
FR´=F1´+F2´+···+Fn´=F1+F2+···+Fn =∑F
Mo= m1+m2+···+mn = mo(F1) + mo(F2) + ··· + mo(Fn) =∑mo(F) ∑
建筑力学 平面一般力系的平衡

建筑力学 平面一般力系的平衡


Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
工程力学第4章 力系的平衡

工程力学第4章 力系的平衡


2
即空间一般力系平衡的解析条件是力系中所有各力 在任一轴上投影的代数和为零，同时力系中各力对任一 轴力矩的代数和为零。式（4.2）称为空间一般力系的平 衡方程（equationsofequilibrium ofthreedimensionalforcesystem inspace）。 应当指出，由空间一般力系平衡的解析条件可知， 在实际应用平衡方程时，所选各投影轴不必一定正交， 且所选各力矩轴也不必一定与投影轴重合。此外，还可 用力矩方程取代投影方程，但独立平衡方程总数仍然是 6个。
30
4.3.1 有主次之分物体系统的平衡 有主次之分的物体系统，其荷载传递规律是：作用 在主要部分上的荷载，不传递给相应的次要部分，也不 传递给与它无关的其他主要部分；而作用在次要部分上 的荷载，一定要传递给与它相关的主要部分。
31
32
据此，先分析次要部分BD，其受力图如图4.11（b） 所示。建立图示参考系Oxy，列平衡方程并求解。由于 本题只要求出D处的约束反力，而不必要求出B处的约 束反力，故
12
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建立参考系 Bxy，列平衡方程，求未知力。
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例4.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 图4.5所示为一管道支架，其上搁有管道，设 每一支架所承受的管重G1=12kN，G2=7kN，且架重不计。 求支座A和C处的约束反力，尺寸如图所示。
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解 取刚架AB为研究对象，其上所受力有：已知的 集中力F、集度为q的均布荷载，集中力偶；未知的3个 约束反力FAx，FAy，MA。刚架AB的受力图如图4.6（b） 所示。各力组成一平面一般力系。建立图示Oxy坐标系， 列平衡方程求解
9
2.平面一般力系平衡方程的其他形式 （1）二矩式平衡方程
第3章力系平衡方程

第3章力系平衡方程

FR
F F
2 x y
2

38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y

3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5