2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第三章 第六节 简单的三角恒等变形 Word版含解析

1 课时作业

A组——基础对点练

1．已知cos(2π3－2θ)＝－79，则sin(π6＋θ)的值等于( )

A.13 B．±13

C．－19 D.19

解析：因为cos(2π3－2θ)＝cos(2θ－2π3)＝－cos(2θ－2π3＋π)＝－cos[2(θ＋π6)]＝

－79，即cos[2(θ＋π6)]＝79，所以sin2(θ＋π6)＝1－cos[2θ＋π6]2＝19，所以sin(θ＋π6)＝±13，故选B.

答案：B

2．(2018·开封模拟)设a＝12cos 6°－32sin 6°，b＝2tan 13°1－tan213°，c＝ 1－cos 50°2，则( )

A．c

C．a

解析：∵a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin 24°，b＝tan 26°，c＝sin 25°，

∴a

答案：C

3．为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝2cos 3x的图像

( )

A．向右平移π12个单位 B．向右平移π4个单位

C．向左平移π12个单位 D．向左平移π4个单位

解析：∵y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos3x－π4＝2cos3x－π12，

∴将y＝2cos 3x的图像向右平移π12个单位即可得到y＝2cos3x－π12的图像，故选A.

2 答案：A

4．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )

A．2π，[3π8，7π8] B．π，[3π8，7π8]

C．2π，[－π8，3π8] D．π，[－π8，3π8]

解析：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x＝1－cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x－π4)＋1，∴T＝2π2＝π，由π2＋2kπ≤2x－π4≤3π2＋2kπ(k∈Z)得3π8＋kπ≤x≤7π8＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在[3π8，7π8]上单调递减，故选B.

答案：B

5．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为( )

A.34 B．1

C.32 D．2

解析：y＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－2sin x－122＋32，因为－1≤sin

x≤1，所以当sin x＝12时，函数取最大值，故ymax＝32.

答案：C

6．已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝ ，b＝ .

解析：由于2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝2sin(2x＋π4)＋1，所以A＝2，b＝1.

答案：2 1

7．化简：2sinπ－α＋sin 2αcos2α2＝ .

解析：2sinπ－α＋sin 2αcos2α2＝2sin α＋2sin αcos α121＋cos α＝4sin α1＋cos α1＋cos α＝4sin α.

答案：4sin α

3 8．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小值是 ．

解析：f(x)＝sin2x＋sin x·cos x＝1－cos 2x2＋12sin 2x＝22sin2x－π4＋12，当sin2x－π4＝－1时，f(x)min＝1－22.

答案：1－22

9．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f(π4)＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．

(1)求a，θ的值；

(2)若f(α4)＝－25，α∈(π2，π)，求sin(α＋π3)的值．

解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sin 2x·(a＋2cos2x)，

由f(π4)＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.

(2)由(1)得f(x)＝－12sin 4x，

因为f(α4)＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，

又α∈(π2，π)，从而cos α＝－35，

所以sin(α＋π3)＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.

10．已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32.

(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；

(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．

解析：(1)因为f(x)＝sin xcos x－3cos2x＋32

＝12sin 2x－32(cos 2x＋1)＋32

4 ＝12sin 2x－32cos 2x＝sin2x－π3，

所以f(x)的最小正周期为π，令sin2x－π3＝0，

得2x－π3＝kπ，∴x＝k2π＋π6，k∈Z，

故所求对称中心的坐标为k2π＋π6，0(k∈Z)．

(2)∵0≤x≤π2，∴－π3≤2x－π3≤2π3，

∴－32≤sin2x－π3≤1，故f(x)的值域为－32，1.

B组——能力提升练

1．(2018·石家庄质检)若函数f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0＜θ＜π)的图像关于(π2，0)对称，则函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值是( )

A．－1 B．－3

C．－12 D．－32

解析：f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin(2x＋θ＋π6)，则由题意，知f(π2)＝2sin(π＋θ＋π6)＝0，又0＜θ＜π，所以θ＝5π6，所以f(x)＝－2sin 2x，f(x)在[－π4，π4]上是减函数，所以函数f(x)在[－π4，π6]上的最小值为f(π6)＝－2sinπ3＝－3，故选B.

答案：B

2．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)是( )

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π2的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为π2的偶函数

解析： f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos22x)＝14sin22x＝18(1－cos 4x)，f(－

5 x)＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，选D.

答案：D

3．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )

A．[－2，1] B．[－1，2]

C．[－1,1] D．[1，2]

解析：∵sin αcos β－cos αsin β＝1⇒sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，

∴ 0≤α≤π，≤β＝α－π2≤π⇒π2≤α≤π，

∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝sin α＋cos α＝2sinα＋π4.

∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤54π，

∴－1≤2sinα＋π4≤1，

即取值范围是[－1,1]，故选C.

答案：C

4．已知2sin2θ＋sin 2θ1＋tan θ＝k,0

A．随着k的增大而增大

B．有时随着k的增大而增大，有时随着k的增大而减小

C．随着k的增大而减小

D．是与k无关的常数

解析：2sin2θ＋sin 2θ1＋tan θ＝2sin θsin θ＋cos θsin θ＋cos θcos θ＝2sin θcos θ＝sin 2θ，∵0

θ<22

θ＝－1－sin 2θ＝－1－k，故sinθ－π4＝22(sin θ－cos θ)＝－2－2k2，其值

6 随着k的增大而增大，故选A.

答案：A

5．函数f(x)＝4cos x·sinx＋π6－1(x∈R)的最大值为 ．

解析：∵f(x)＝4cos xsinx＋π6－1

＝4cos x32sin x＋12cos x－1＝23sin xcos x＋2cos2x－1＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6，

∴f(x)max＝2.

答案：2

6．已知函数f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1A>0，ω>0，0

.

解析：f(x)＝A2cos(2ωx＋2φ)＋A2＋1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知T2＝2，得T＝4＝2π2ω，∴ω＝π4，由f(x)的最大值为3，得A＝2.又f(x)的图像过点(0,2)，

∴cos 2φ＝0，

∴2φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ2＋π4(k∈Z)，又0

∴f(x)＝cosπ2x＋π2＋2＝－sinπx2＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋

(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032.

答案：4 032

7．已知函数f(x)＝sin(3x＋π4)．

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，f(α3)＝45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α－sin α的值．

解析：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]，k∈Z.由－π2＋