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精品推荐 方法技巧训练（一） 与角平分线有关的基本模型
方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算
类型1 两个内角平分线的夹角
如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，则∠BGC＝90°＋12∠A.
图1 图2 图3
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．
类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角
如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点P，则∠P＝12∠A.
解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．
类型3 两外角平分线的夹角
如图3，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线，则∠O＝90°－12∠A.
解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ
1．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠BDC＝110°．
【变式1】
若点D是∠ABC的平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝20°．
第1题图 变式1图 变式2图 变式3图
【变式2】 若点D是∠ABC外角平分线与∠ACB外角平分线的交点，则∠D＝70°．
【变式3】 如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的平分线，CA2是∠A1CD的平分线，BA3是∠A2BD的平分线，CA3是∠A2CD的平分线．若∠A1＝α，则∠A2 019＝α22 018．
方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线
1．角平分线＋平行线→等腰三角形
如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．
解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．
2 三角形的有关概念及性质
要题随堂演练
1．(2018·泰安中考)如图，将一张含有30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1的大小为( )
A．14° B．16° C．90°－α D．α－44°
2．(2018·南宁中考)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )
A．40° B．45° C．50° D．55°
3．(2018·日照中考)如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝( )
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．(2018·常德中考)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．33
5．(2018·聊城中考)如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )
A．γ＝2α＋β B．γ＝α＋2β
C．γ＝α＋β D．γ＝180°－α－β
6．(2018·滨州中考)在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝____________．
2 7．(2018·泰州中考)已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为________．
8．(2018·永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝________．
9．(2018·淄博中考)已知：如图，△ABC是任意一个三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
参考答案
1．A 2.C 3.D 4.D 5.A
6．100° 7.5 8.75°
9．证明：如图，过点A作直线MN，使MN∥BC.
1 方法技巧训练(四) 解直角三角形中常见的基本模型
模型1 单一直角三角形
1．(2018·宜宾)某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱AB，CD均垂直于地面，点E在线段BD上，在C点测得点A的仰角为30°，点E的俯角也为30°，测得B，E间距离为10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高．(结果保留根号)
解：作CH⊥AB于点H，则四边形HBDC为矩形，∴BD＝CH.
由题意得，∠ACH＝30°，∠CED＝30°.
设CD＝x米，则AH＝(30－x)米．
在Rt△AHC中，HC＝AHtan∠ACH＝3(30－x)，则BD＝CH＝3(30－x)．
∴ED＝3(30－x)－10＝303－3x－10.
在Rt△CDE中，CDDE＝tan∠CED，
即＝x303－3x－10＝33，解得x＝15－533.
答：立柱CD的高为(15－533)米．
模型2 背靠背型及其变式
2
2．(2018·眉山)知识改变世界，科技改变生活．导航装备的不断更新极大地方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到黑龙滩(用C表示)开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航显示车辆应沿北偏东60°方向行驶至B地，再沿北偏西37°方向行驶一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离．(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
解：过点B作BD⊥AC于点D.
由题意，知∠BAD＝60°，则∠ABD＝30°，∠CBD＝53°.
在△BCD中，tan∠CBD＝CDBD，即tan53°＝CDBD＝43.
设CD＝4x，BD＝3x，则CB＝5x.
又∵AC＝13，∴AD＝13－4x.
在△ABD中，tan∠DAB＝tan60°＝DBAD，
即3x13－4x＝3，解得x＝4－3.
∴BC＝5x＝20－53.
答：B，C两地的距离是(20－53)千米．
3．(2018·通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图，其中山脚A，C两地海拔约为1 000米，山顶B处的海拔约为1 400米，由B处望山脚A处的俯角为30°，由B处望山脚C处的俯角为45°.若在A，C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米．(结果保留整数，参考数据3≈1.732)
2019年
方法技巧训练（三） 相似三角形的常见基本模型
模型1 X字型及其变形
（1）如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
（2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ABO∽△CDO.
图1 图2
1.（2018·恩施）如图，在正方形ABCD中，G为CD边的中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为（D）
A.6
B.8
C.10
D.12
2.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F.若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝34，CF＝103，求BF的长.
解：连接BD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×4＝8.
由勾股定理，得AC＝82－42＝43.
在Rt△ADB中，cos∠BAD＝34＝ADAB，
∴34＝AD8，∴AD＝6.
∴BD＝82－62＝27.
∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
∴△DFB∽△AFC.
∴BFCF＝BDCA，即BF103＝2743， 2019年
解得BF＝5219.
模型2 A字型及其变形
（1）如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；
（2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；
（3）如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC2＝AD·AB.
,图1) ,图2) ,图3)
3.如图，正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE＝2，求EG的长.
解：在⊙O的内接正五边形ABCDE中，∠AEB＝∠ABE＝∠EAG＝36°，
∴∠BAG＝∠AGB＝72°，
∴AB＝BG＝AE＝2.
∵∠AEG＝∠AEB，∠EAG＝∠EBA，
