平面图形的认识---三角形的认识综合提优(压轴题)

专题06三角形的内角和与外角压轴题六种模型全攻略考点一三角形内角和定理的证明考点二与平行线有关的三角的内角和问题考点三与角平分线有关的三角的内角和问题考点四三角形折叠中的角度问题考点五三角形内角和定理的应用考点六三角形外角的定义和性质考点一三角形内角和定理的证明例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE 经过点A ，DE ∥BC ．若∠B ＝45°，∠C ＝58°，那么∠DAB ＝；∠EAC ＝；∠BAC ＝．(在空格上填写度数）（2）求证：在△ABC 中，∠A +∠B +∠C ＝180°．【答案】（1）45°；58°；77°（2）见解析【解析】【分析】（1）通过平行线的性质，两直线平行，内错角相等，可分别求出：45DAB ，58EAC ．由图可知：180DAB BAC EAC ，可求出：77BAC ．（2）过点A 作//DE BC ，通过平行线的性质，可得：B DAB ，C EAC所以180BAC B C BAC DAB EAC ．【详解】（1）解：∵//DE BC ，45B ，58C45B DAB ，=58C EAC∵180BAC DAB EAC18077BAC DAB EAC ，故答案是：45°，58°，77°；典型例题（2）证明：过点A 作//DE BC∵//DE BCB DAB ，C EAC∵180BAC DAB EAC180BAC B C BAC DAB EAC【点睛】本题主要考查知识点为，平行线的性质．即：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC 分成三部分，然后以某一顶点（如点B ）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：①画出命题对应的几何图形；②写出已知，求证；③受拼接方法的启发画出辅助线；④写出证明过程．请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．【答案】见解析【解析】【分析】根据要求画出△ABC ，写出已知，求证．构造平行线，利用平行线的性质解决问题即可．解：已知：△ABC ．求证：∠A +∠B +∠C =180°．证明：如图，延长CB 到F ，过点B 作BE ∥AC ．∵BE ∥AC ，∴∠1=∠4，∠5=∠3，∵∠2+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°，即∠A +∠ABC +∠C =180°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC ,求证：180.A B C方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥【答案】答案见解析【解析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ，C EAC ，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180 ．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ，C EAC ．(两直线平行，内错角相等）∵点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ．（平角的定义）180B BAC C ．即三角形的内角和为180 ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．考点二与平行线有关的三角的内角和问题例题：（2022·山东泰安·一模）如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F ．若30E ，130EFC ，则A ______．【答案】20【解析】【分析】通过两直线平行，同位角相等，求出∠ABE 的度数，再利用三角形内角和定理求解．【详解】解：//AB CD ∵，130ABE EFC ，在△ABE 中，30E ，1801803013020A E ABE ，20A ．故答案为：20 ．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，灵活运用平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线AB ，CD 被直线BC ，EG 所截．若AB //CD ，176 ，236 ，则3 的度数为（）A ．30°B ．36C ．40D ．45【答案】C【解析】【分析】由两直线平行，同旁内角互补求出∠CGE 的度数，再由三角形的内角和定理求得∠3的度数．【详解】解：∵AB //CD ，176 ，∴∠CGE ＝180°－∠1＝104°，∵∠2＋∠3＋∠CGE ＝180°，236 ，∴∠3＝180°－∠2－∠CGE ＝40°．故选：C【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，直线a b ∥，直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、点B ，AM ⊥b ，垂足为点M ，若∠1＝56°，则∠2＝______．【答案】34°##34度【解析】【分析】先根据平行线的性质得出∠ABM 的度数，再由三角形内角和定理求出∠2的度数即可．【详解】：解：∵直线a b ∥，∠1＝56°，∴∠ABM ＝∠1＝56°，∵AM ⊥b ，垂足为点M ，∴∠AMB ＝90°，∴∠2＝180°−∠AMB −∠ABM ＝180°−56°−90°＝34°，故答案为：34°．【点睛】本题考查三角形中求角度问题，涉及到平行线的性质、三角形内角和定理，在求角度问题中，熟练运用三角形内角和是180°是解决问题的关键．考点三与角平分线有关的三角的内角和问题例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点P ，若∠P =125°，则∠A =_____°【答案】70【解析】【分析】依据BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB ，可得∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，再根据三角形内角和定理，即可求得∠ABC +∠ACB =110°，即可求得∠A 的度数．【详解】解：∵BP 、CP 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠PBC =12∠ABC ，∠PCB =12∠ACB ，=180=180125=55PBC PCB P ∵，∠PBC +∠PCB =12∠ABC +12∠ACB =55°， ∠ABC +∠ACB =110°，=180=180110=70ABC ACB A ，故答案为：70．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，能正确运用定理进行推理是解此题的关键．【变式训练】1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．(1)若32B ∠，60C °，求DAE 的度数；(2)若18C B ，求DAE 的度数．【答案】(1)14°(2)9°【解析】【分析】先求∠DAC =30°，再求∠BAC =180°-32°-60°=88°，根据角的平分线计算∠EAC =1442BAC ，求得∠DAE =14°．(2)根据∠DAE =12BAC DAC =1(180)(90)2B C C =11909022B C C =12()C B ，代入计算即可．(1)∵AD 是高，AE 是角平分线，32B ∠，60C °，∴∠DAC =30°，∠BAC =180°-32°-60°=88°，∴∠EAC =1442BAC ，∴∠DAE =∠EAC -∠DAC =44°-30°=14°．(2)∵∠DAE =12BAC DAC =1(180)(90)2B C C =11909022B C C =12()C B ，18C B ，∴∠DAE =9°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形性质，角的平分线意义，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形性质是解题的关键．2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图，ABC 中，AD BC 于点D ，E 为AC 上任意一点，连接BE 交AD 于点F ．(1)若4070ABD AFE ，，求证：BE 平分ABC ．(2)如图2，在（1）的条件下，若AFE AEF ，请直接写出图中所有直角三角形．【答案】(1)证明见解析；(2)△ABC 、△ABE 、△ABD 、△ACD 、△BDF 都是直角三角形．【解析】【分析】（1）AD ⊥BC ，得∠ADB =90°，进而得∠DBF =20°，又由∠ABD =40°即可得∠DBF = 12ABD ，即可证明结论成立；（2）由AD ⊥BC 得△ABD 、△ACD 、△BDF 是直角三角形，另由∠ABE +∠AEF =20°+70°=90°，可得∠BAE =90°得△ABE 、△ABC 是直角三角形．(1)解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =90°，∴在Rt △BDF 中，∠DBF +∠BFD =90°，∴∠BFD +∠AFE =70°，∴∠DBF =20°，∵∠ABD =40°，∴∠DBF = 12ABD ，∴BE 平分∠ABC ；(2)解：∵AD ⊥BC ，∴△ABD 、△ACD 、△BDF 是直角三角形，∵∠ABE =∠CBE =20°，∴∠AEF =∠AFE =70°，∴∠ABE +∠AEF =20°+70°=90°，∴.在△ABE 中，∠BAE =90°，∴△ABC 、△ABE 是直角三角形，综上所述△ABC 、△ABE 、△ABD 、△ACD 、△BDF 都是直角三角形．【点睛】本题主要考查了直角三角形及角平分线与垂直，熟练掌握直角三角形的概念是解题的关键．考点四三角形折叠中的角度问题例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，65A ，75B ，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 外的点C 处．若225 ，则1 的度数为（）A ．115°B ．100°C ．105°D ．95°【答案】C【解析】【分析】在△ABC 中利用三角形内角和定理可求出∠C 的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE ＝∠C ′DE ，∠CED ＝∠C ′ED ，结合∠2的度数可求出∠CED 的度数，在△CDE 中利用三角形内角和定理可求出∠CDE 的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE 即可求出结论．【详解】解：在△ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝40°．由折叠，可知：∠CDE ＝∠C ′DE ，∠CED ＝∠C ′ED ，∴∠CED ＝18022＝102.5°，∴∠CDE ＝180°﹣∠CED ﹣∠C ＝37.5°，∴∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE ＝180°﹣2∠CDE ＝105°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．【变式训练】1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（）.A．22°B．21°C．20°D．19°【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和定理可得∠ACB＝100°，再由折叠的性质可得∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，即可求解．【详解】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝100°，∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，∴∠NCF＝20°，故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的折叠的性质、三角形内角和定理、熟练掌握图形的折叠的性质、三角形内角和定理是解题的关键．2．（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）如图1，△ABC中，D是AC边上的点，先将ABD沿看BD翻折，使点A落在点A＇处，且A′D∥BC，A′B交AC于点E（如图2），又将△BCE沿着A′B翻折，使点C落在点C′处，若点C′恰好落在BD上（如图3），且∠C′EB=75°，则∠C=___°【答案】80°##80度【解析】【分析】先由平行线性质得：A =∠CBE ，再由折叠可得：∠A =∠A ，∠ABD =∠DBE =∠CBE ，BC E =∠C ，则∠A =∠ABD =∠DBE =∠CBE ，由三角形内角和定理知180BC E C EB DBE ，而75C EB ，可求得105C DBE ，然后由∠A +∠C +∠ACB =180°，则∠C +4∠DBE =180°，即可求出∠C 度数．【详解】解：∵A ′D ∥BC ，∴A =∠CBE ，由折叠可得：∠A =∠A ，∠ABD =∠DBE =∠CBE ，BC E =∠C ，∴∠A =∠ABD =∠DBE =∠CBE ，∵180BC E C EB DBE ，75C EB ，∴105BC E DBE ，∴105C DBE ，∵∠A +∠C +∠ACB =180°，∴∠C +4∠DBE =180°，∴∠C =80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出105C DBE 和∠C +4∠DBE =180°是解题的关键．考点五三角形内角和定理的应用例题：（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD 与直角边AB 相交于点F ，斜边∥DE BC ，∠B ＝30°，∠E ＝45°，则∠CFB 的度数是（）A ．95°B ．115°C ．105°D ．125°【答案】C【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45D ，再由平行线的性质得出45BCF ，再由三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】CDE ∵是直角三角形，∠E ＝45°，45D ，∵∥DE BC ，45BCF D ，180,30B BCF BFC B ∵，105CFB ，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式训练】1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线MN PQ ∥，点A 在直线MN 与PQ 之间，点B 在直线MN 上，连接AB ．ABM 的平分线BC 交PQ 于点C ，连接AC ，过点A 作AD PQ 交PQ 于点D ，作AF AB 交PQ 于点F ，AE 平分DAF 交PQ 于点E ，若45CAE ，52ACB DAE ，则ACD 的度数是（）A ．18B ．27C ．30°D ．45【答案】B【解析】【分析】设DAE ，则EAF ，52ACB ，先求得180BCE CEA ，即可得到AE BC ∥，进而得出ACB CAE ，即可得到18DAE ，再依据Rt ACD △内角和即可得到∠ACD 的度数．【详解】设DAE ，则EAF ，52ACB ，∵,AD PQ AF AB ，∴90BAF ADE ，∴90BAE BAF EAF ，90CEA ADE DAE ，∴BAE CEA ，∵MN PQ ∥，BC 平分∠ABM ，∴BCE CBM CBA ，又∵360ABC BCE CEA BAE ，∴180BCE CEA ，∴AE BC ∥，∴ACB CAE ，即5452，∴18 ，∴18DAE ，∴在Rt ACD △中，9090)451827(ACD CAD ，故答案为：B ．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形内角和定理，解题关键在于得出ACB CAE ．2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，点G 在边AB 上，点E 、F 在边AC 上，70AGF ABC ，12180(1)试判断BF 与DE 的位置关系，并说明理由；(2)若DE AC ，30 CDE ，求A 的度数．【答案】(1)BF ∥DE ，理由见解析(2)50【解析】【分析】（1）先证FG CB ∥，得出∠1=∠3，进而得出23180 ，最后证得DE BF ；（2）由DE AC ，可知∠DEC =90°，进而∠C =60°，根据三角形内角和定理最后求得∠A 的度数．(1)解：BF DE ，理由如下：∵70AGF ABC ，∴FG CB ∥，∴13 ，又12180 ，∴23180 ，∴DE BF ．(2)解：∵DE AC ，∴90CED ，30CDE ∵，60C ，∴180180706050A ABC C ．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，熟练地掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键．考点六三角形外角的定义和性质例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知7AOB ，一条光线从点A 出发后射向OB 边．若光线与OB 边垂直，则光线沿原路返回到点A ，此时90783A ．当83A 时，光线射到OB 边上的点1A 后，经OB 反射到线段AO 上的点2A ，易知12 ．若12A A AO ，光线又会沿21A A A 原路返回到点A ，此时A ______°．若光线从A 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A ，则锐角A 的最小值 ______°．【答案】766【解析】【分析】根据入射角等于反射角得出1290783 ，再由1 是1AA O 的外角即可得A 度数；如图，当MN OA 时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出5 、9 的度数，从而得出与A 具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．【详解】解：12A A AO ∵，7AOB ，1290783 ，176A AOB ，如图：当MN OA 时，光线沿原路返回，4390783 ，654837769027AOB ，8767679037AOB ，98697629047AOB ，由以上规律可知，9027A n ，当6n 时，A 取得最小值，最小度数为6 ，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与A 具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD ＝145°，则∠A +∠B +∠D 的度数为_____．【答案】145°【解析】【分析】连接AC 并延长，延长线上一点为E ．由三角形外角的性质可得：DCE D DAC ，BCE E BAC ．所以可得：145DAB B D DAC BAC B D DCE BCE BCD【详解】解：连接AC 并延长，延长线上一点为E∵DCE 是ACD △的外角DCE D DAC同理可得：BCE B BAC145DAB B D DAC BAC B D DCE BCE BCD故答案为145 ．【点睛】本题主要考查知识点为，三角形中外角的性质．即：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和．本题需根据已知和所求作出辅助线．掌握外角的性质是解决本题的关键．2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝55°，∠D＝40°，则∠BPD＝°；(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为；(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为；(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是°．【答案】(1)95(2)∠BPD+∠D=∠B(3)∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD(4)360【解析】【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；（2）根据AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性质即可求证；（3）连接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°即可求解；（4）连接AD，由∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∠CAD+∠ADC+∠C=180°，即可求解；(1)解：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∠B＝55°，∴∠B=∠BED=55°，∵∠D＝40°，∴∠BPD＝∠D+∠BED＝95°．故答案为：95．(2)∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵∠BPD+∠D=∠BOD，∴∠BPD+∠D=∠B．故答案为：∠BPD+∠D=∠B．(3)连接BD，∵∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ-∠BPD=0，∴∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．故答案为：∠BQD+∠QBP+∠PDQ=∠BPD．(4)如图，连接AD，∵∠B+∠F=∠EHF，∠GAD+∠ADG=∠EGH，∠EHF+∠EGH+∠E=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠E=180°，∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，∴∠B+∠F+∠GAD+∠ADG+∠CAD+∠ADC+∠C+∠E=360°．故答案为：360．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键．一、选择题1．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，直线a b ∥，若∠1＝70°，∠2＝30°则∠3的度数是（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．无法计算【答案】A 【分析】如图，根据平行线的性质求出∠4＝∠1＝70°，然后根据三角形外角的性质得出答案．【详解】解：如图．∵a ∥b ，∠1＝70°，∴∠4＝∠1＝70°，∵∠4＝∠3＋∠2，∠2＝30°，∴∠3＝∠4−∠2＝70°−30°＝40°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解答本题的关键．2．（2022·湖北·武汉市光谷实验中学七年级阶段练习）如图，已知AB CD ∥，1113 ，265 ，则C 的度数是（）A ．43B ．58C ．48D ．65【答案】C 【分析】根据平行线的性质，由AB CD ，得1113EGD ．根据三角形外角的性质，得2EGD C ，那么248C EGD ．【详解】解：AB CD ∥∵，1113 ，课后训练1113EGD ．2EGD C ∵，265 ，21136548C EGD ．故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解决本题的关键．3．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，将直尺与含30°角的三角尺叠放在一起，若∠2=50°，则∠1的大小是（）A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理得360 ，根据平行线的性质得4250 ，根据平角定义即可求解．【详解】解：如图所示，由题意得，3180903060 ，∵AB CD ∥，250 ，∴4250 ，∴11804370 ，故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．4．（2022·江苏连云港·七年级阶段练习）如图所示，将长方形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C 处，折痕为EF ，若∠ABE =20°，那么EFC 的度数为（）A．115°B．120°C．125°D．130°【答案】C【分析】根据折叠的性质知∠BEF=∠DEF，而∠AEB的度数可在Rt△ABE中求得，由此可求出∠DEF的度数，再根据平行线的性质即可得解．【详解】解：Rt△ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，由折叠的性质知：∠BEF=∠DEF，∠EFC=EFC，而∠BED=180°-∠AEB=110°，∴∠DEF=55°，∵AD∥BC，∴∠EFC=180°-∠DEF=125°．=125°．∴EFC故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质以及图形的翻折变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．5．（2022·四川眉山·七年级期末）如图，△ABC中CD平分∠ACB，点M在线段CD上，且MN⊥CD交BA 的延长线于点N．若∠B=30°，∠CAN=96°，则∠N的度数为（）A．22°B．27°C．30°D．37°【答案】B【分析】由∠CAN是△ABC的外角可得∠ACB，由CD平分∠ACB可得∠BCD；再由∠CDN是△BCD的外角求得∠CDN；△DMN中再由三角形内角和定理即可解答；【详解】解：∵∠CAN是△ABC的外角，∴∠CAN=∠B+∠ACB，∵∠B=30°，∠CAN=96°，【答案】28°##28度【分析】根据折叠的性质得出∠【详解】解：过E点将∠A∴∠DEN=∠HEN，∠AEM=【答案】11或29【分析】讨论：如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，根据平行线的判定，当∠OEC′=∠B=40°时，C′D′∥AB，则根据三角形外角性质计算出∠C′OC=110°，从而可计算出此时△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间；如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，利用平行线的判定得当∠OFC″=∠B=40°时，C″D″∥AB，根据三角形内角和计算出∠C″OC=70°，则△COD绕点O顺时针旋290°得到△C″OD″，然后计算此时旋转的时间．【详解】如图1，△COD绕点O顺时针旋转得到△C′OD′，C′D′交OB于E，则∠C′OD′=∠COD=90°，∠OC′D=∠C=70°，当∠OEC′=∠B=40°时，C′D′∥AB，∴∠C′OC=∠OEC′+∠OC′E=40°+70°=110°，∴△COD绕点O顺时针旋转110°得到△C′OD′所需时间为110÷10=11（秒）；如图2，△COD绕点O顺时针旋转得到△C″OD″，C″D″交直线OB于F，则∠C″OD″=∠COD=90°，∠OC″D″=∠C=70°，当∠OFC″=∠B=40°时，C″D″∥AB，∴∠C″OC=180°-∠OFC″-∠OC″F=180°-40°-70°=70°，∴△COD绕点O顺时针旋转的角度为：360°-70°=290°，∴△COD绕点O顺时针旋得到△C″OD″所需时间为290÷10=29（秒）；综上所述，在旋转的过程中，在第11秒或29秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：11或29【答案】1207或22.5【分析】设BAE x，EDF y，根据题意可用中有两个内角相等可分类讨论，结合三角形内角和定理列出方程组，即可解答．【详解】设BAE x，EDF y，∵13BAE BAC，14EDF∵AE 是BC 边上的高线，∴∠BEA =90°，∴∠BAE =180°-∠B -∠BEA =55°，∵∠DAE =∠BAE -∠BAD ，∴∠DAE =55°-40°=15°，即∠DAE 为15°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的知识，掌握三角形内角和为180°是解答本题的关键．12．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室七年级期末）如图，已知直线,,AB CD AC 上的点M ，N ，E 满足ME NE ，90,AME CNE ACD 的平分线CG 交MN 于G ，作射线GF AB ∥．(1)直线AB 与CD 平行吗？为什么？(2)若66CAB ，求CGF 的度数．【答案】(1)平行，理由见解析(2)123【分析】（1）利用已知条件和三角形内角和定理，通过等量代换可得180A ACD ，由同旁内角互补，两直线平行，可得//AB CD ；（2）利用,66AB CD CAB ∥，求出ACD ，再利用角平分线的定义求出GCD ，再证GF CD ∥，利用两直线平行，同旁内角互补，即可求出CGF ．（1）解：//AB CD ．理由如下：∵ME NE ，∴90MEN ，∴90AEM CEN ，∵180A AEM AME ，180ACD CEN CNE ，∴360A ACD AEM CEN AME CNE ，∵90AME CNE ，90AEM CEN ，∴180A ACD ，∴//AB CD ；（2）解：∵66AB CD CAB ∥， ，360A A A DA A EA ，12360A DA A EA ∵，12A A ，由折叠可得：A A ，212A ，故答案为：212A ；（3）如图③，2DME A ∵，1A DME ，由折叠可得：A A ，1222A A A ，212802456A ，28A ．故答案为：28 ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．14．（2022·江苏·沭阳县外国语实验学校七年级阶段练习）已知ABC 、DEF 是两个完全一样的三角形，其中90ACB DFE ，30A D ．(1)将它们摆成如图①的位置（点E 、F 在AB 上，点C 在DF 上，DE 与AC 相交于点G ）．求AGD 的度数．(2)将图①的ABC 固定，把DEF 绕点F 按逆时针方向旋转(0180)n n ．①当DEF 旋转到DE ∥AB 的位置时（如图2），n _________；②若由图①旋转后的EF 能与ABC 的一边垂直，则n 的值为_________．【答案】(1)∠AGD ＝150°；(2)①60；②60或90或150．【分析】（1）根据三角形外角的性质先求出∠DEA ，再求出∠AGD 即可；（2）①根据平行线的性质求出∠E＝∠EFA＝60°可得答案；②分情况讨论：当EF⊥AC时；当EF⊥AB时；当EF⊥BC时，分别作出图形求解即可．（1）解：∵∠DFE＝90°，∠D＝30°，∴∠DEA＝30°＋90°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠AGD＝∠DEA＋∠A＝120°＋30°＝150°；（2）①∵∠DFE＝90°，∠D＝30°，∴∠E＝60°，∵DE∥AB，∴∠E＝∠EFA＝60°，∴n＝60；故答案为：60；②分情况讨论：当EF⊥AC于点G时，如图，则∠AGF＝90°，由三角形内角和定理可得：∠EFA＝180°−90°−30°＝60°，∴n＝60；当EF⊥AB时，如图，∴∠EFA＝90°，∴n＝90；当EF⊥BC于点H时，如图，则∠BHF＝90°，∴∠EFA＝∠B＋∠BHF＝60°＋90°＝150°，∴n＝150；综上，n的值为60或90或150，故答案为：60或90或150．【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是要考虑全面，不要漏解，作出图形会更加直观．15．（2022·山西·测试·编辑教研五七年级期末）教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第76页的部分内容．如图，已知ABC 分别用1 、2 、3 表示ABC 的三个内角，证明123180 ．解：延长BC 至点E ，以点C 为顶点，在BE 的上侧作2DCE ，则CD ∥BA （同位角相等，两直线平行）(1)请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．(2)结论应用：①如图二，在ABC 中，60A ，BP 平分ABC ，CP 平分ACB ，求BPC 的度数；②如图三，将ABC 的A 折叠，使点A 落在ABC 外的1A 处，折痕为DE ．若A ，1BDA ，1CEA ，则 、 、 满足的等量关系为______（用含 、 、 的代数式表示）．【答案】(1)见解析(2)①120 ；②2【分析】（1）利用平行线的性质得2DCE ，1ACD 即可解答；（2）①利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；②根据四边形BCFD 内角和为360 ，分别表示出各角得出等式即可．（1）。

平面图形的认识---三角形的认识综合提优如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E.(1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数；(2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。

已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF。

（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。

如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B＝30°，∠ACE＝110°．求∠AED的度数．现有两块大小相同的直角三角板△ABC、△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． (1)将这两块三角板摆成如图①的形式，使B、F、E、A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点G，试求∠AGD的度数；(2)将图①中的△ABC固定，把△DEF绕着点F逆时针旋转成如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，DF∥AC?并说明理由．如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F．（1）求证：2∠AED-∠CAD=170°；（2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）如图，O是△ABC的3条角平分线的交点，0G⊥BC，垂足为G．(1)猜想：∠BOC与∠BAC之间的数量关系，并说明理由；(2)∠DOB与∠GOC相等吗?为什么?如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C直角顶点X在△ABC内部，若∠A=30?，则ABC+ ∠ACB= ?，∠XBC+∠XCB= ?；(2)如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边Xy、XZ仍然分别经过点B、C，直角顶点X还在△ABC内部，那么∠ABX+∠ACX的人小是否变化?若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．来源学科网如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC V 的顶点都在方格纸格点上.将ABC V 向左平移2格，再向上平移4格.(1)请在图中画出平移后的'''A B C V ;(2)再在图中画出ABC V 的高CD ; (3)在图中能使PBCABC S S V V 的格点P 的个数有个(点P 异于A ).(1)已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1＝∠2，求证：CD ⊥AB ．证明：∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC （已知）∴∠DGB ＝∠ACB ＝90°（垂直定义）∴DG //AC (___________________________________) ∴∠2＝_______(___________________________________) ∵∠1＝∠2(______________) ∴∠1＝∠DCA （等量代换）∴EF //CD (___________________________________) ∴∠AEF ＝∠ADC (___________________________________) ∵EF ⊥AB （已知）∴∠AEF ＝90°(___________________________________) ∴∠ADC ＝90°∴CD ⊥AB (___________________________________)AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E．∠ADC=70°.（1）求∠EDC的度数；（2）若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）；（3）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．如图，在△ABC中，∠B=31°，∠C=55°，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．RtΔABC中，∠C=90°，点D、E分别是ΔABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠.（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠=50°，则∠1+∠2= ___________ °；（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠、∠1、∠2之间有何关系？（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为________；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD−∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数．【答案】（1）∠PFD＋∠AEM=90°（2）过点P作PG∥AB∵AB∥CD，∴PG∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG∵∠MPN=90°∴∠NPG－∠MPG=90°∴∠PFD－∠AEM=90°；（3）设AB与PN交于点H∵∠P=90°，∠PEB＝15°∴∠PHE=180°－∠P－∠PEB＝75°∵AB∥CD，∴∠PFO=∠PHE=75°∴∠N=∠PFO－∠DON=45°．【解析】【解答】（1）过点P作PH∥AB∵AB∥CD，∴PH∥AB∥CD，∴∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH∵∠MPN=90°∴∠MPH＋∠NPH=90°∴∠PFD＋∠AEM=90°故答案为：∠PFD＋∠AEM=90°；【分析】（1）过点P作PH∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH，∠PFD=∠NPH，然后根据∠MPH＋∠NPH=90°和等量代换即可得出结论；（2）过点P作PG∥AB，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG，∠PFD=∠NPG，然后根据∠NPG－∠MPG=90°和等量代换即可证出结论；（3）设AB与PN 交于点H，根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE，然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE，然后根据三角形外角的性质即可求出结论．2．（1）问题发现：如图 1，已知点 F，G 分别在直线 AB，CD 上，且 AB∥CD，若∠BFE=40°，∠CGE=130°，则∠GEF 的度数为________；（2）拓展探究：∠GEF，∠BFE，∠CGE 之间有怎样的数量关系？写出结论并给出证明；答：∠GEF=▲ .证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（▲），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（▲），∴∠HEG=180°-∠CGE（▲），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=▲ .（3）深入探究：如图 2，∠BFE 的平分线 FQ 所在直线与∠CGE 的平分线相交于点 P，试探究∠GPQ 与∠GEF 之间的数量关系，请直接写出你的结论.【答案】（1）90°（2）解：∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE，证明：过点 E 作 EH∥AB，∴∠FEH=∠BFE（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，EH∥AB，（辅助线的作法）∴EH∥CD（平行线的迁移性），∴∠HEG=180°-∠CGE（两直线平行，同旁内角互补），∴∠FEG=∠HFG+∠FEH=∠BFE＋180°−∠CGE ，故答案为：∠BFE＋180°−∠CGE；两直线平行，内错角相等；平行线的迁移性；两直线平行，同旁内角互补；∠BFE＋180°−∠CGE；（3）解：∠GPQ＋∠GEF＝90°，理由是：如图2，∵FQ平分∠BFE，GP平分∠CGE，∴∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，在△PMF中，∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，∴∠GPQ＋∠GEF＝∠CGE− ∠BFE＋∠GEF＝ ×180°＝90°.即∠GPQ＋∠GEF＝90°.【解析】【解答】（1）解：如图1，过E作EH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠HEF＝∠BFE＝40°，∠HEG＋∠CGE＝180°，∵∠CGE＝130°，∴∠HEG＝50°，∴∠GEF＝∠HEF＋∠HEG＝40°＋50°＝90°；故答案为：90°；【分析】（1）如图1，过E作EH∥AB，根据平行线的性质可得∠HEF＝∠BFE＝40 ，∠HEG＝50 ，相加可得结论；（2）由①知：∠HEF＝∠BFE，∠HEG＋∠CGE＝180°，则∠HEG＝180°−∠CGE，两式相加可得∠GEF＝∠BFE＋180°−∠CGE；（3）如图2，根据角平分线的定义得：∠BFQ＝∠BFE，∠CGP＝∠CGE，由三角形的外角的性质得：∠GPQ＝∠GMF−∠PFM＝∠CGP−∠BFQ，计算∠GPQ＋∠GEF并结合②的结论可得结果.3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D．（1）若，，求∠D的度数；（2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°，∵CD平分△ABC的外角，∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，∴∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-37.5°-67.5°-45°=30°.（2）解：猜想：∠ D = ( ∠ M + ∠ N − 180 ° ).∵∠M+∠N+∠CBM+∠NCB=360°,∴∠D=180°- ∠CBM-∠NCB- ∠NCE.=180°- (360°-∠NCB-∠M-∠N)- ∠NCB- ∠NCE.=180°-180°+ ∠NCB+ ∠M+ ∠N-∠NCB- ∠NCE.= ∠M+ ∠N- ∠NCB- ∠NCE= ,或写成【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得∠DBC=37.5°，根据邻补角定义以及角平分线定义求得∠DCA的度数为67.5°，最后根据三角形内角和定理即可求得∠D的度数；(2)由四边形内角和与角平分线性质即可求解.4．已知，如图，在四边形ABCD中，，延长BC至点E，连接AE交CD于点F，使（1）求证：；（2）求证：；（3）若BF平分，请写出与的数量关系________ 不需证明【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，∴∠BAF=∠CAD；（2）证明：∵∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，∴∠B=∠D，∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠D+∠BCD=180°，∴AD∥BE；（3）2∠AFB+∠CAF=180°【解析】【解答】解：(3)如图2,∵AD∥BE,∴∠E=∠1=∠2，∵BF平分∠ABC，∴∠3=∠4，∵∠AFB是△BEF的外角，∴∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，∴∠AFB=3+∠2，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠3+∠4+∠1+∠CAF+∠2=180°，即2∠AFB+∠CAF=180°.故答案为：2∠AFB+∠CAF=180°.【分析】（1）根据∠BAC=∠DAE，运用等式性质即可得出∠BAC+∠CAF=∠DAE+∠CAF，进而得到∠BAF=∠CAD；（2）根据∠BAC=∠DAF，∠ACB=∠CFE=∠AFD，可得∠B=∠D，最后根据∠B+∠BCD=180°，可得∠D+∠BCD=180°，进而判定AD∥BE；（3）根据AD∥BE，可得∠E=∠1=∠2，再根据BF平分∠ABC，可得∠3=∠4，根据∠AFB是△BEF的外角，得出∠AFB=∠4+∠E=∠4+∠1，即∠AFB=3+∠2，最后根据AD∥BC，得到∠ABC+∠BAD=180°，进而得到2∠AFB+∠CAF=180°．5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。

【中考数学】平面图形的认识（二）压轴解答题专题练习及答案一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．问题情境：如图1，已知， .求的度数.（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得 ________.（2）问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，， .①当点P在A，B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由.②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，（3）问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________.2．如图，长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠( 为折痕)，使点与点重合，平分交于，过点作交于点，（1）求证:（2）若，求的度数3．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.4．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．（1）求∠AOB及∠EOC的度数；（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；5．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。

（1）∠BAM与∠CDM相等吗？请说明理由。

（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ= ∠BAD，∠ADQ= ∠ADC，若∠AQD=112°，请直接写出∠BAE的度数。

天津市七年级数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题复习题(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.2．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度数（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。

若变化，请写出变化规律.（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。

3．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下.（1）如图1，已知，则成立吗？请说明理由.（2）如图2，已知，平分，平分 . 、所在直线交于点，若，，求的度数.（3）将图2中的线段沿所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若，，其他条件不变，得到图3，请你求出的度数（用含m，n的式子表示）.4．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC=30°。

（1）如图(1)，当直线l1 和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。

（3）如图(3)，点Q是线段CD上的一点，当∠QFC=2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由。

5．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .求证:小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点作，∴∵，∴∴ .∵∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.（1）如图，若，，则 ________.（2）如图，，平分，平分，，则________.6．如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成正方形ABCD．（1）正方形ABCD的面积为________，边长为________，对角线BD=________；（2）求证：；（3）如图②，将正方形ABCD放在数轴上，使点B与原点O重合，边AB落在x轴的负半轴上，则点A所表示的数为________，若点E所表示的数为整数，则点E所表示的数为________7．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．（1）求证：∠BAG＝∠BGA；（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC 的度数；（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出的值．8．如图，直线CB和射线OA，CB//OA，点B在点C的右侧.且满足∠OCB＝∠OAB＝100°，连接线段OB，点E、F在直线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF.（1）求∠BOE（2）当点E、F在线段CB上时（如图1），∠OEC与∠OBA的和是否是定值？若是，求出这个值；若不是，说明理由。

中考数学平面图形的认识（二）压轴解答题(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.（1）求∠ABN的度数（2）当点P运动时，∠CBD的度数是否随之发生变化？若不变化，请求出它的度数。

若变化，请写出变化规律.（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数。

2．如图，现有一块含有30°的直角三角板ABC，且l1∥l2，其中∠ABC=30°。

（1）如图(1)，当直线l1 和l2分别过三角板ABC的两个顶点时，且∠1=35°，则∠2=________°（2）如图(2)，当∠ADE=80°时，求∠GFB的度数。

（3）如图(3)，点Q是线段CD上的一点，当∠QFC=2∠CFN时，请判断∠ADE和∠QFG的数量关系，并说出理由。

3．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点。

（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠2=________°。

（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图③，(2)中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由。

4．课题学习：平行线的“等角转化功能.（1）问题情景：如图1，已知点是外一点，连接、，求的度数.天天同学看过图形后立即想出：，请你补全他的推理过程.解：（1）如图1，过点作，∴ ________， ________.又∵，∴ .解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.（2）问题迁移：如图2，，求的度数.（3）方法运用：如图3，，点在的右侧，，点在的左侧，，平分，平分，、所在的直线交于点，点在与两条平行线之间，求的度数.5．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1，，为、之间一点，连接，得到 .求证:小明笔记上写出的证明过程如下:证明:过点作，∴∵，∴∴ .∵∴请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题.（1）如图，若，，则 ________.（2）如图，，平分，平分，，则________.6．在中，为直线AC上一点，E为直线AB上一点，（1）如图1，当D在AC上，E在AB上时，求证；（2）如图2，当D在CA的延长线上，E在BA的延长线上时，点G在EF上，连接AG，且，求证：（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG,当BG平分时，将沿着AG折至探究与的数量关系．7．AB∥CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在的直线交于点E．∠ADC＝70°．（1）求∠EDC 的度数；（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 的度数；（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A的右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 的度数（用含 n的代数式表示）．8．已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点，且AP⊥PC于P.（1）如图1,求证：∠BAP+∠DCP=90°；（2）如图2，CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数；9．△ABC中， AD为∠BAC的平分线，AF为BC边上的高.（1）若∠B=38°，∠C=76°，求∠DAF的度数.（2）若∠B=m°，∠C=n°，（m<n）.求∠DAF的度数（用含m、n的式子表示）.（3）若∠C-∠B=30°，则∠DAF=________度.（填空）10．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数；（3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE 平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．11．如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针防线旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．12．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G 在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．（1）证明：∵AM//BN∴∠A+∠ABN=180°∵∠A=60°∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°（2）解：如图，没有变化。

20232024学年苏科版数学七年级上册章节真题汇编检测卷（提优）第6章平面图形的认识（一）考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.56姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•海门市期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），则下列结论一定成立的是（）A．∠BAD≠∠EAC B．∠DAC﹣∠BAE＝45°C．∠DAC+∠BAE＝180°D．∠DAC﹣∠BAE＝90°2．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）下列说法错误的是（）A．对顶角相等B．两点之间所有连线中，线段最短C．等角的补角相等D．过任意一点P，只能画一条直线3．（2分）（2022秋•连云港期末）如图，点C、D分别为线段AB（端点A、B除外）上的两个不同的动点，点D在点C的右侧，图中所有线段的和等于60cm，且AB＝3CD，则CD的长度是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm4．（2分）（2022秋•海安市期末）将一副三角尺按不同位置摆放．下列摆放方式中α与β互补的是（）A．B．C．D．5．（2分）（2022秋•常州期末）已知线段AB＝15cm，C是线段AB上的一点．若在射线AB上取一点D，使得C是AD的中点，且，则线段AC的长度是（）A．5cm B．3，5cm C．9cm D．5，9cm6．（2分）（2022秋•鼓楼区期末）如图，∠BOC在∠AOD的内部，且∠BOC＝x°，∠AOD＝y°，则图中所有角的度数之和为（注：图中所有角均指小于180°的角）（）A．x+3y B．2x+2y C．3x+y D．3y﹣x7．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）下列说法正确的是（）A．若AC＝BC，则点C为线段AB中点B．把弯曲的公路改直，就能缩短路程，数学原理是“两点确定一条直线”C．已知A，B，C三点在一条直线上，若AB＝2，BC＝4，则AC＝6D．已知C，D为线段AB上两点，若AC＝BD，则AD＝BC8．（2分）（2021秋•秦淮区期末）如图，点A、B、C在同一直线上，H为AC的中点，M为AB的中点，N为BC的中点，则下列说法：①MN＝HC；②MH＝（AH﹣HB）；③MN＝（AC+HB）；④HN＝（HC+HB），其中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③④9．（2分）（2022秋•姑苏区校级期末）将一张正方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝16°，则∠EAF的度数为（）A．40°B．45°C．56°D．37°10．（2分）（2019秋•扬州期末）下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（）A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•惠山区校级期末）钟面角是指时钟的时针和分针所成的角．例如：六点钟的时候，时针与分针所成钟面角为180°；七点钟的时候，时针与分针所成钟面角为150°．那么从六点钟到七点钟这一个小时内，哪些时刻时针与分针所成钟面角为100°？请写出具体时刻：．（结果形如6点分）12．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，C为线段AB上一点，点E、F分别是线段AC、CB的中点，AB＝8，则线段EF的长为．13．（2分）（2017秋•滨海县期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，甲同学认为是两点确定一条直线，乙同学认为是两点之间线段最短．你认为同学的说法是正确的．14．（2分）（2020秋•邗江区校级月考）3：30时钟表上的时针与分针的夹角是度．15．（2分）（2022秋•高新区期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知D 是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为．16．（2分）（2022秋•兴化市校级期末）若一个角的补角等于它的余角4倍，则这个角的度数是度．17．（2分）（2022秋•句容市校级期末）如图，在∠AOB内部作OC⊥OB，OD平分∠AOB，若∠AOB＝130°，则∠COD＝．18．（2分）（2022秋•秦淮区期末）如图，A、B是河l两侧的两个村庄，现要在河l上修建一个抽水站，使它到A、B两村庄的距离之和最小．数学老师说：连接AB，则线段AB与l的交点C即为抽水站的位置．其理由是：．19．（2分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．20．（2分）（2021秋•秦淮区期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝度．评卷人得分三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•姑苏区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝40°，∠2＝30°，求∠NOD的度数；（2）如果ON与CD互相垂直，那么∠1＝∠2吗？请说明理由．22．（6分）（2022秋•惠山区校级期末）如图，已知点C是线段AB上一点，点D是线段AB的中点，若AB ＝10cm，BC＝3cm．（1）求线段CD的长；（2）若点E是直线AB上一点，且BE＝2cm，点F是BE的中点，求线段DF的长．23．（8分）（2022秋•赣榆区校级月考）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）（1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+BC；（4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小．24．（8分）（2022秋•惠山区校级期末）解答题：（1）如图，若∠AOB＝120°，∠AOC＝40°，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数；（2）若∠AOB，∠AOC是平面内两个角，∠AOB＝m°，∠AOC＝n°（n＜m＜180°），OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，求∠DOE的度数．（用含m、n的代数式表示）：25．（8分）（2022秋•南通期末）定义：从∠MPN的顶点P引一条射线PQ（不与PM重合），若∠QPN+∠MPN ＝180°，则称射线PQ为∠MPN关于边PN的补线．（1）下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是；（填序号）（2）如图，O是直线AB上一点，射线OC，OD在AB同侧，OD是∠BOC的平分线，则OC是∠AOD关于边OD的补线吗？为什么？（3）已知射线OC为∠AOB关于边OB的补线，OP是∠BOC的平分线．若∠AOB＝α，试用含α的式子表示∠AOP（直接写出结果）．26．（8分）（2021秋•东台市期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．已知点A表示的数为﹣5，点B表示的数为2．如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）＝1，d2（点C，线段AB）＝8．（1）若点D表示的数为﹣7，则d1（点D，线段AB）＝，d2（点D，线段AB）＝；（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）＝3，则m的值为；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）＝12，则n的值为．（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．27．（8分）（2022秋•海门市期末）已知∠AOB＝120°，∠COD在∠AOB内部，∠COD＝60°．（1）如图1，若∠BOD＝30°，求∠AOC的度数；（2）如图2，若OE平分∠BOC，请说明：∠AOC＝2∠DOE；（3）如图3，若在∠AOB的外部分别作∠AOC，∠BOD的余角∠AOP，∠BOQ，试探究∠AOP，∠BOQ，∠COD 三者之间的数量关系，并说明理由．28．（8分）（2018秋•盱眙县期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t＝（直接写结果）（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC＝36°？请说明理由．。

中考数学平面图形的认识（二）压轴解答题100一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°.（1）如图，当点 P 在 ABC 内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝________；②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论.（2）当点P 在 ABC 外时，直接写出s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形.2．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.3．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．（1）求∠AOB及∠EOC的度数；（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；4．如图，，，，点D，C，E在同一条直线上.（1）完成下面的说理过程∵，（已知）∴，（垂直的定义）.∴ .∴，（________）.∴ .（________）又∠B=∠D，∴∠B=∠BCE，∴AB//CD. （________）（2）若∠BAD=150°，求∠E的度数.5．如图，在△ABC中，点E在AC边上，连结BE，过点E作DF∥BC，交AB于点D.若BE 平分∠ABC，EC平分∠BEF.设∠ADE＝α，∠AED＝β.（1）当β＝80°时，求∠DEB的度数.（2）试用含α的代数式表示β.（3）若β＝kα（k为常数），求α的度数（用含k的代数式表示）.6．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

三角形【知识脉络】【基础知识】 1、三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 2、三角形的表示三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.三个顶点用大写字母A,B,C 来表示。

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． 3、三角形的分类： (1)按边分类：（2）按角分类三角形 等腰三角形 不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形三角形直角三象形 斜三角形锐角三角形钝角三角形 _C _B _A4、三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线（在中文中，中有中间的意思而在这里就是边上的中线）三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中线.（2）BD=DC=12 BC.注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（注：这点叫重心：当我们用一条线穿过重心的时候，三角形不会乱晃）③中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分线. （2）∠1=∠2=12∠BAC.注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点；（注：这一点角三角形的内心。

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等）③用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．表示法①AD是△ABC的BC上的高线②AD⊥BC于D③∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；(三角形三条高所在直线交于一点．这点叫垂心）③由于三角形有三条高线，所以求三角形的面积的时候就有三种（因为高底不一样）5、三角形的主要线段的表示法：三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：①AD是 ABC的角平分线；② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC. (2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线； ③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC.(3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒. ⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图3图4ABCD E 图1图26、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边． 7、三角形的角与角之间的关系： (1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. (4)直角三角形的两个锐角互余. 8、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余。

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）若，求的度数；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.【答案】（1）解：，理由如下：，（2）解：如图①，设，则，由（1）可得，，，（3）解：分两种情况：①如图1所示，当时，，又，；②如图2所示，当时，，又，.综上所述，等于或时， .【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.2．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．3．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.（1）如果∠A=80∘，求∠BPC= ________.（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.（3）将直线MN绕点P旋转。

七下第七章《平面图形的认识（二）》解答题提优训练（一）一、解答题1.如图，已知AB//CD，∠A=40°，点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．(1)求∠ECF的度数；(2)随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；(3)当∠AEC=∠ACF时，求∠APC的度数。

2.如图，在方格纸上画平行线．(1)过点C画CD⊥AB；(2)过点E画EF//AB．3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．(1)当t为何值时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分，请求出t的值；(2)当t为何值时，△BCP为等腰三角形？(请直接写出t的值)(3)当t为何值时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，请求出t的值；4.(1)如图1，AA1//BA2，试写出∠A1，∠A2，∠A1B1A2之间的关系，并说明理由(2)如图2，已知AA1//BA3，请直接写出∠A1，∠A2，∠A3，∠B1，∠B2的关系(无需证明)．(3)如图3，直接写出∠A1，∠A2，…，∠A n，∠B1，∠B2…，∠B n−1之间的关系(无需证明)．5.如图，CD是△ABC的边BC的延长线，射线BE、CE相交于点E．(1)若BE、CE分别平分∠ABC、∠ACD，求证：∠E=12∠A；(2)根据(1)的结论及提示猜想：若∠EBC=1n ∠ABC，∠ECD=1n∠ACD，∠A=60°，则∠E的度数为_____(用含n的式子表示)(3)在(2)的条件下，当CE//AB，∠ABC=30°时，求n的值．6.如图1，直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动，AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线。

平面图形的认识1、若△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为 5 。

2、如图，若AB//CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是∠A+∠E-∠D=180°。

3、将一副直角三角板ABC和DEF按如图所示方式放置(其中∠A=60°,∠F=45°),若使点E落在边AC上,且ED//BC，则∠CEF= 15°.4、如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为25°。

5、满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( C )。

A.∠A+∠B＝∠CB.∠A:∠B:∠C=2:3:1C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的内角6、如图，两平面镜、的夹角为，入射光线AO平行于入射到上，经两次反射后的出射光线O′R平行于，则角等于_60__度。

7、(1)如图，已知∠ABE=142°,∠C=72°,则∠A=__70°__，∠ABC=__38°__。

(2)一个多边形截去一个角(不过顶点)后，形成的多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数是15，16或17 。

设新多边形的边数为n，则(n-2)•180°=2520°，解得n=16，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，所以多边形的边数可以为15，16或17．故答案为：15，16或17．8、如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是_______．解：连接OE，∵∠ACB=90°，∴A，B，C在以点O为圆心，AB为直径的圆上，∴点E，A，B，C共圆，∵∠ACE=3×24=72°，∴∠AOE=2∠ACE=144°．∴点E在量角器上对应的读数是：144°．9、如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF//AD，FN∥DC，则∠B=_95____°αβθβααθ10、若两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别为___70°,110°或30°,30°_____．11、如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC//DE，若∠B=50°，则∠BDF=___80____°．12、光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1=∠6，∠5=∠3，∠2=∠4．若已知∠1=55°,∠3=75°，那么∠2=_65__度．13、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED=80°，则∠BFD=__40°_．14、如图:将一张长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,ED′的延长线与BC交与点G.若∠EFG=55°,则∠1= ____110°____。

七年级数学提优测练习 (5)一、选择题（每题3分，共30分）1．已知三角形的三边分别为4，a,8,那么a的取值范围是（）A、4＜a＜8B、1＜a＜12C、4＜a＜12D、4＜a＜62.下列命题中正确的是（）.A.任何数的平方都是正数B.相等的角是对顶角C.内错角相等D.直角都相等3.如图1，能使BF∥DG的条件是（）.A.∠1＝∠3B.∠2＝∠4C.∠2＝∠3D.∠1＝∠44.如图2，AE平分∠ＢＡＣ，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是（）.A.∠1＝∠2B.∠1+∠2＝90°C.∠3+∠4＝90°D.∠2+∠3＝90°5.三角形的某一角的补角是120°，则此三角形的另两个角的和为（）.A.60°B.120°C.90°D.30°6.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）.A.∠A+∠B＝∠CB.∠A:∠B:∠C=2:3:1C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的内角7.如图3，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）.A.6个B.5个C.4个D.2个8.一天，爸爸带小明到建筑工地玩，看见一个如图4所示的人字架，爸爸说：“小明，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你知道∠3比∠2大多少吗？”小明马上得到了正确的答案，他的答案是（）.A.50°B.65°C.90°D.130°9.如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角的2倍，且等于与它不相邻的一个内角的 2 倍，那么这个三角形一定是（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形10.已知α＝80°，β的两边与α的两边分别垂直，则β等于（）.A.80°B.10°C.100°D.80°或100°二、填空题（每题3分，共27分）11.“同旁内角互补，两直线平行”的条件是____________，结论是_________________.12.在△ABC中，∠A+∠B＝150°，∠C＝2∠A，则∠A＝_______，∠B＝_______.13.如图5所示，AB∥CD，BC∥ＤＥ，则∠B+∠D＝____.14.如图6所示，在△ABC中，∠A＝40°，BP、CP是△ABC的外角平分线，则∠P＝________.15.如图7所示，直线a∥b，则∠A＝_______.16.如图8所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______.17.如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数比为3：2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是___________，这是因为_____________. 18.如图9，BC⊥ED于O，∠A＝27°，∠D＝20°，则∠B＝________，∠ACB ＝________.19.如图10，给出下列论断：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠A＝∠C，以其中两个作为条件，另一个作为结论，用“如果…，那么…”的形式，写出一个你认为正确的命题是_____________________________________.三、解答题（共43分）20.（7分）已知实数a、b、c满足a＝6-b，c2＝ab-9，你能肯定a等于b吗？21.（7分）如图，∠1＝∠B，∠A＝35°，求∠2的度数.22.（7分）如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2.求证：∠E＝∠F.23.（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠DCE，求证：CD平分∠BCE.24.（8分）如图，△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC 的度数.25.（10分）如图，D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F.求证：（1）∠AFB＞∠C；（2）∠AFB＝∠1+∠2+∠C.26.（10分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠B，FG⊥AB于G，猜想CD与AB的关系，并证明你的猜想.27.（1）若a n=3,b n=5,求(1)a3n+b2n2.若2x+3·3x+3=36x-2,则x的值是多少?3.若x2n=5,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.28.计算.(0.125)16×(－8)17(2)(0.125)15×(215)3(3)24·45·(-0.125)429.(1)比较340与430的大小;(2)比较2100与375的大小.思考题.直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．。

第6章平面图形的认识（压轴必刷30题7种题型专项训练）一．直线、射线、线段（共2小题）1．（2022秋•海陵区校级期末）如图，C、D在线段BE上，下列说法：①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；②图中有2对互补的角；③若∠BAE＝90°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为360°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021秋•泰兴市期末）如图，已知A、B、C、D是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母．（1）画线段AB；（2）画直线AC；（3）过点D画AC的垂线，垂足为E；（4）在直线AC上找一点P，使得PB+PD最小．二．两点间的距离（共9小题）3．（2021秋•阜宁县期末）如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm．（1）图中共有条线段；（2）求AC的长；（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．4．（2022秋•如皋市校级月考）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段AC的中点，若ED＝12cm，求AB的长度．5．（2022秋•东台市校级月考）如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm．（1）AC＝cm；（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s 的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？6．（2021秋•姜堰区期中）【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：解：因为m＞n，所以有以下情况：情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．【应用】在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．（1）若b＝1，AB＝2，则a＝．（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．①当n＝时，求c的值；②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围．（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．7．（2020秋•高新区期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是直线AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．8．（2022秋•启东市校级期末）如图所示，点A在线段CB上，AC＝AB，点D是线段BC的中点．若CD ＝3，求线段AD的长．9．（2022秋•盐都区月考）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】（1）填空：①A、B两点间的距离AB＝，线段AB的中点表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为．（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；（3）求当t为何值时，PQ＝AB；（4）若点M为P A的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长．10．（2020秋•新吴区月考）有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，A、B两点之间的距离是90米．甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发到终点C，乙机器人始终以50米/分的速度行走，乙行走9分钟到达C点．设两机器人出发时间为t（分钟），当t＝3分钟时，甲追上乙．前4分钟甲机器人的速度保持不变，在4≤t≤6分钟时，甲的速度变为另一数值，且甲、乙两机器人之间的距离保持不变．请解答下面问题：（1）B、C两点之间的距离是米．在4≤t≤6分钟时，甲机器人的速度为米/分．（2）求甲机器人前3分钟的速度为多少米/分？（3）求两机器人前6分钟内出发多长时间相距28米？（4）若6分钟后，甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，直接写出当t＞6时，甲、乙两机器人之间的距离S．（用含t的代数式表示）11．（2020秋•宜兴市月考）如图，已知线段AB＝12cm，点C是AB的中点，点D在直线AB上，且AB＝4BD．求线段CD的长．三．角平分线的定义（共2小题）12．（2022秋•海门市期末）点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC的度数；②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；（2）将图1中的∠COD绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE与∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．13．（2021秋•相城区校级月考）如图①，已知线段AB＝20cm，CD＝2cm，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．（1）若AC＝4cm，则EF＝cm．（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变请求出EF的长度，如果变化，请说明理由．（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，则∠EOF、∠AOB和∠COD有何关系，请直接写出．四．角的计算（共9小题）14．（2021秋•秦淮区期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝度．15．（2021春•大连期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°；射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）．（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；（2）当t为何值时，射线OC⊥OD；（3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．16．（2022秋•兴化市校级期末）（1）如图①，过平角AOB的顶点O画射线OC，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线．射线OD与OE之间有什么特殊的位置关系？为什么？（2）如图②，∠AOB是直角，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线．∠DOE的度数是多少？为什么？（3）∠AOB是直角，OC是∠AOB外的一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线．∠DOE 的度数是多少？为什么？17．（2021秋•姑苏区校级期末）定义：从一个角的顶点出发把这个角分成1：2的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．（1）如图②，已知∠AOB＝75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，则∠COD的度数为；（2）在（1）的条件下，若以点O为旋转中心将射线OD顺时针旋转n°（0＜n＜75）得到射线OD'．①当OA恰好为∠COD'的三等分线时，求n的值；②在旋转过程中，若∠COD'+∠AOD′＞35°，求n的取值范围．18．（2020秋•高新区期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．19．（2020秋•崇川区校级月考）如图，已知O是直线AC上一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝70°，求∠EOC的度数．20．（2021秋•滨海县期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝°；（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）21．（2020秋•镇江期末）[阅读]材料1：如图1，在透明纸上画一个角，把这个角对折，使角的两边重合，再展平纸片，折痕把这个角分成两个相等的角．我们称这条折痕所在直线l平分这个角．材料2：如图2中，三角板OAB绕点O顺时针旋转60°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O顺时针旋转60°到OC、OD的位置；如图3中，三角板OAB绕点O逆时针旋转90°到三角板OCD的位置，这时，三角板的边OA、OB绕点O逆时针旋转90°到OC、OD的位置．[问题解决]（1）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图3的方式摆放（顶点A、C重合）．现在将三角板OCD 固定不动，从起始位置（图4）开始，将三角板OAB绕点O顺时针匀速转动一周，转动速度为每秒5°．设三角板OAB转动的时间为t秒．①当三角板OAB转动到图5的位置时，它的一边OA平分∠COD，求t的值；②当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒；（直接写出结果）（2）将两个大小一样的含30°角的直角三角板按图6的方式摆放（顶点A、O、C在一条直线上）．在三角板OAB绕点O以每秒5°的速度顺时针匀速转动的同时，三角板OCD绕点O以每秒3°的速度逆时针匀速转动，当三角板OAB转动一周时停止转动，此时三角板OCD也停止转动．两块三角板同时从起始位置（图6）开始转动，设三角板OAB转动的时间为t秒．当三角板OAB的一边OB所在直线平分∠COD时，t＝秒．（直接写出结果）22．（2020秋•鼓楼区校级月考）（1）已知射线OA，从点O处再引两射OB、OC，使∠AOB＝60°，∠BOC ＝20°．求∠AOC的度数．（2）已知∠AOB＝30°，∠BOC＝24°，∠AOD＝15°，锐角∠COD的度数是．五．余角和补角（共5小题）23．（2021秋•广陵区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中∠AOF的余角是（把符合条件的角都填出来）．（2）图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①；②；③．（3）①如果∠AOD＝140°．那么根据，可得∠BOC＝度．②如果，求∠EOF的度数．24．（2021秋•崇川区校级月考）如图，射线OC、OD在∠AOB的内部，∠AOC＝∠AOB，OD平分∠BOC，∠BOD与∠AOC互余，求∠AOB的度数、（提示：设∠AOC＝x度）25．（2020秋•崇川区校级月考）一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．26．（2021秋•苏州期末）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为；（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．27．（2021秋•南京期末）已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD平分∠BOC．（1）如图①，若∠AOB＝80°，则∠BOC＝°，∠AOD＝°；（2）如图②，若∠AOB＝140°，求∠AOD的度数；（3）若∠AOB＝n°，直接写出∠AOD的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围．六．对顶角、邻补角（共1小题）28．（2021秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF ＝37°．（1）求∠EOB的度数．（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发分钟．七．垂线（共2小题）29．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆放在桌面上，当∠AOC＝时，AB所在直线与CD所在直线互相垂直．30．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OE⊥OF，∠AOE＝32°．（1）求∠DOB的度数；（2）OF是∠AOD的角平分线吗？为什么？。

平面图形的认识〔二〕综合培优1．假设△ABC的三边长分别为整数，周长为11，且有一边长为4，那么这个三角形的最大边长为2．如图，假设AB∥CD，那么∠A、∠E、∠D之间的关系是3．(2013．)将一副直角三角板ABC和DEF按如下图方式放置〔其中∠A＝60°，∠F＝45°〕，假设使点E落在边AC上，且ED∥BC，那么∠CEF＝_______4.如下图，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，假设∠1=35°，那么∠2的度数为5.满足以下条件的△ABC中，不是直角三角形的是〔〕.A.∠A+∠B＝∠CB.∠A:∠B:∠C=2:3:1C.∠A=2∠B=3∠CD.一个外角等于和它相邻的角6．如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′R平行于α，那么角θ等于_________度．第18题第19题7．〔1〕如图，∠ABE=142°，∠C=72°，那么∠A=________，∠ABC=________．〔2〕.一个多边形截去一个角〔不过顶点〕后，形成的多边形的角和是2520°，那么原多边形的边数是〔〕△ABC中，∠A＝12∠B＝13∠C，那么△ABC是_______三角形．8.〔2013．〕如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是_______．9. (2013．)如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，假设MF//AD，FN ∥DC，那么∠B＝_______°．10．假设两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少30°，那么这两个角分别为______________．11．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE，假设∠B＝50°，那么∠BDF＝_______°．12．光线a照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射角等于反射角，即∠1＝∠6，∠5＝∠3，∠2＝∠4．假设∠1＝55°，∠3＝75°，那么∠2＝_______度．13．如图，假设AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝80°，那么∠BFD＝_______．14．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝80°，试求：(1)∠EDC的度数；(2)假设∠BCD＝n°，试求∠BED的度数．15．，如图，在△ABC中，∠B>∠C，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．(1)假设∠B＝40°，∠C＝30°，那么∠DAE＝_______；(2)假设∠B＝80°，∠C＝40°，那么∠DAE＝_______；(3)由(1)、(2)我能猜测出∠DAE与∠B、∠C之间的关系为______________，并说明理由．16．(1)如图，小莉画了一个角∠MON＝80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？假设保持不变，请求出∠APB的度数；假设发生变化，求出变化围．(2)聪明的小莉想出了一个画30°角的方法：①画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY＝60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，那么∠C就是30°的角．你认为小莉的方确吗？请你说明理由．17.如图1，一个三角形的纸片ABC．点D，E分别是△ABC边上的两点．研究(1)：如果沿直线DE折叠，那么∠BDA'与∠A的关系是______________，研究(2)：如果折成图2的形状．猜测∠BDA'，∠CEA'和∠A的关系．并说明理由；研究(3)：如果折成图3的形状，猜测∠BDA'，∠CEA'和∠A的关系，并说明理由．18．(2013．湘西)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如以下图形，假设∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，那么∠BFD 的度数是19．光线以如下图的角度α照射到平面镜工上，然后在平面镜I ，Ⅱ之间来回反射．假设∠α＝50°，∠β＝60°，那么∠γ等于20.假设用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如下图的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，那么三角板的斜边与射线OA 的夹角α为_______°．21.如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与角∠ABC 的平分线BP 交于点P ．假设 ∠BPC ＝40°，那么∠CAP ＝_______．22.〔2013．〕当三角形中一个角α是另一个角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形〞，其中a 称为“特征角〞．如果一个“特征三角形〞的“特征角〞为100°，那么这个“特征三角形〞的最小角的度数为_______． 23．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝70°，∠1＝∠2．求∠BPC 的度数．24.如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，•再沿直线前进10米后，又向左转40°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了_____米．25、如图，在△ABC 中，CD 是高，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AC 上，且EF ⊥AB ，∠1＝∠2，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由。

最新中考数学平面图形的认识（二）压轴解答题专题练习(及答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．问题情境：如图1，已知， .求的度数.（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得 ________.（2）问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，， .①当点P在A，B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由.②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，（3）问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________.2．如图，长方形中，，为边上一点，将长方形沿折叠( 为折痕)，使点与点重合，平分交于，过点作交于点，（1）求证:（2）若，求的度数3．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°.（1）如图，当点 P 在 ABC 内时，①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝________；②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论.（2）当点P 在 ABC 外时，直接写出s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形.4．已知在四边形ABCD中，，， .（1） ________ 用含x、y的代数式直接填空；（2）如图1，若平分，BF平分，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；（3）如图2，为四边形ABCD的、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角.若，，试求x、y.小明在作图时，发现不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，不存在.5．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题32三角形压轴综合问题一、解答题1．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD=CE；图1(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图22．（2022·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，D是AB上一点，∠ADC=∠ACB．求证∠ACD=∠ABC．独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长CA 至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF,BC上，BG=CD，∠BGH=∠BCF．在图中找出与BH相等的线段，并证明．”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当∠BAC=90°时，若给出△ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=2，求BH的长．”3．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图∠．在△ABC和△A′B′C′中，AD,A′D′分别是BC和B′C′边上的高线，且AD=A′D′，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．【性质探究】如图∠，用S△ABC，S△A′B′C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积．则S△ABC=12BC⋅AD,S△A′B′C′=12B′C′⋅A′D′，∠AD=A′D′∠S△ABC:S△A′B′C=BC:B′C′．【性质应用】(1)如图∠，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC=__________；(2)如图∠，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC=__________，S△CDE=_________；(3)如图∠，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则S△CDE=__________．4．（2022·山东烟台·中考真题）(1)【问题呈现】如图1，∠ABC和∠ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，∠ABC和∠ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．(3)【拓展提升】如图3，∠ABC和∠ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC ＝ADDE＝34．连接BD，CE．∠求BDCE的值；∠延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．5．（2022·广西·中考真题）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．(1)如图∠，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′,B′,D′，连接OD,OD′．判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图∠，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图∠，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．6．（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图∠放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图∠位置．小莹用作图软件Geogebra按图∠作出示意图，并连接AG,BH，如图∠所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE=OF．请你证明：AG=BH．【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P，D，如图∠，猜想并证明DG与BH的位置．．关系．【拓展延伸】小亮将图∠中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图∠，按图∠作出示意图，并连接HB,AG，如图∠所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量．．关系．7．（2022·辽宁锦州·中考真题）在△ABC中，AC=BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE=CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．(1)如图1，若∠ACB=120°，请用等式表示AC与EF的数量关系：____________．(2)如图2．若∠ACB=90°，完成以下问题：∠当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC,AD,DF之间的数量关系，并说明理由；∠当点D，点F位于点A的同侧时，若DF=1,AD=3，请直接写出AC的长．8．（2022·北京·中考真题）在△ABC中，∠ACB=90∘，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC.(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．9．（2022·福建·中考真题）已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的∠CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的∠CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若∠BAD=∠BCD，求∠ADB的度数．10．（2022·山东威海·中考真题）回顾：用数学的思维思考(1)如图1，在∠ABC中，AB＝AC．∠BD，CE是∠ABC的角平分线．求证：BD＝CE．∠点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（从∠∠两题中选择一题加以证明）(2)猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在∠ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD ＝CE ，并证明． (3)探究：用数学的语言表达如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠A ＝36°，E 为边AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），F 为边AC 延长线上一点．判断BF 与CE 能否相等．若能，求CF 的取值范围；若不能，说明理由．11．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记△COD 的面积为S 1，△AOB 的面积为S 2．（1）问题解决：如图∠，若AB //CD ，求证：S 1S 2=OC⋅ODOA⋅OB（2）探索推广：如图∠，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图∠，在OA 上取一点E ，使OE =OC ，过点E 作EF ∥CD 交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且OG =2GH ，若OE OA =56，求S 1S 2值．12．（2022·湖北武汉·中考真题）已知CD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，AD =m ，BD =n ，△ADE 与△BDF 的面积之和为S ．(1)填空：当∠ACB =90°，DE ⊥AC ，DF ⊥BC 时，∠如图1，若∠B =45°，m =5√2，则n =_____________，S =_____________；∠如图2，若∠B=60°，m=4√3，则n=_____________，S=_____________；(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．13．（2022·黑龙江·中考真题）△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图∠的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB=PC （或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图∠的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图∠的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．14．（2022·陕西·中考真题）问题提出(1)如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP=AC，则∠APC的度数为__________．问题探究(2)如图2，在△ABC中，CA=CB=6,∠C=120°．过点A作AP∥BC，且AP=BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．问题解决(3)如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC=45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP=15°,AP=AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：∠以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；∠作CD的垂直平分线l，与CD于点E；∠以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．15．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE= 30°，BC=3，BE=2．=______，直线AD与直线CE的位(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：ADCE置关系是______；(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°−α)的值．16．（2022·湖北十堰·中考真题）已知∠ABN=90°，在∠ABN内部作等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=α(0°<α≤90°)．点D为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F．(1)如图1，当α=90°时，线段BF与CF的数量关系是_________；(2)如图2，当0°<α<90°时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)若α=60°，AB=4√3，BD=m，过点E作EP⊥BN，垂足为P，请直接写出PD的长（用含有m的式子表示）．17．（2022·湖南湘潭·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．(1)特例体验：如图∠，若直线l∥BC，AB=AC=√2，分别求出线段BD、CE和DE的长；(2)规律探究：∠如图∠，若直线l从图∠状态开始绕点A旋转α(0<α<45°)，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；∠如图∠，若直线l从图∠状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)，与线段BC相交于点H，请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图∠中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S△BFC．18．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在ΔABC中，∠BAC=90°,∠C=60°，点D在BC边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作DE⊥AD，交射线AB于点E．(1)分别探索以下两种特殊情形时线段AE与BE的数量关系，并说明理由；∠点E在线段AB的延长线上且BE=BD；∠点E在线段AB上且EB=ED．(2)若AB=6．∠当DEAD =√32时，求AE的长；∠直接写出运动过程中线段AE长度的最小值．19．（2022·河北·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB=2√3，DH∠BC于点H．将∠PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM=4√3．(1)求证：∠PQM∠∠CHD；(2)∠PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．∠边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；∠如图2，点K在BH上，且BK=9−4√3．若∠PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在∠PQM区域（含边界）内的时长；∠如图3．在∠PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d 的式子表示）．20．（2022·山西·中考真题）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC 交于点M，N，猜想证明：（1）如图∠，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图∠，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图∠，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．21．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC至点E，的值．使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究AFAB(1)先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出AF的值；AB(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，CGBC =1n(n<2)，延长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出AFAB的值（用含n的式子表示）．22．（2022·江西·中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为__________；(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，N．∠如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；∠如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将∠GOH 绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），（参考数据：sin15°=√6−√24,cos15°=√6+√24,tan15°=2−√3）23．（2022·重庆·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2√2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．(1)如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；(2)如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求证：AM+AF=√2AE；(3)如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH 翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．24．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G，求证：DG=EG．(2)如图2，在（1）的条件下，连接CD,CG．若CG⊥DE,CD=6,AE=3，求DE的值．BC(3)如图3，在▱ABCD中，∠ADC=45°,AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10，求BF的长．。

资阳市初中数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题题分类汇编(附答案)一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n.（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BE n C = ________ °.2．如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1，2)，且（a+2）2+ ＝0，（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求出点M的坐标．（3）如图2，过点C做CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分角∠AOP，OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．3．如图，，，，点D，C，E在同一条直线上.（1）完成下面的说理过程∵，（已知）∴，（垂直的定义）.∴ .∴，（________）.∴ .（________）又∠B=∠D，∴∠B=∠BCE，∴AB//CD. （________）（2）若∠BAD=150°，求∠E的度数.4．如图，在△ABC中，BC=7，高线AD、BE相交于点O，且AE=BE.（1）∠ACB与∠AOB的数量关系是________（2）试说明：△AEO≌△BEC；（3）点F是直线AC上的一点且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动。

最新七年级数学试卷平面图形的认识（二）压轴解答题精选含答案一、平面图形的认识（二）压轴解答题1．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F.（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值.②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等.若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由.2．综合与实践：七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线.（1）知识初探如图1，长方形纸条ABCD中，，，，将长方形纸条沿直线EF折叠，点A落在处，点D落在处，交CD于点G.①若，求的度数；②若，则▲（用含的式子表示）（2）类比再探如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处，点B落在处，得到折痕，则折痕EF与GH有怎样的位置关系？并说明理由.3．如图1，直线CB∥OA，∠A=∠B=120°，E ,F在BC上，且满足∠FOC =∠AOC，并且OE 平分∠BOF．（1）求∠AOB及∠EOC的度数；（2）如图2，若平行移动AC，那么∠OCB: ∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值；4．如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(b，0)，C(﹣1，2)，且（a+2）2+ ＝0，（1）求a，b的值；（2）在坐标轴上存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求出点M的坐标．（3）如图2，过点C做CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分角∠AOP，OF⊥OE，当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．5．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M(点M在BC下方)，且与BC分别交于E，F两点，连结AD。