第18讲相似三角形命题点相似三角形的性质与判定1．(2017·T7·3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)A．增加了10% B．减少了10%C．增加了(1＋10%) D．没有改变2．(2011·T9·3分)如图,在△ABC 中,∠C＝90°,BC＝6,D,E 分别在 AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处．若A′为CE的中点,则折痕DE的长为(B)A.1 2B．2C．3D．43．(2014·T13·3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似．乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似．图1 图2对于两人的观点,下列说法正确的是(A)A．两人都对 B．两人都不对C．甲对,乙不对 D．甲不对,乙对4．(2016·T15·2分)如图,在△ABC中,∠A＝78°,AB＝4,AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)重难点相似三角形的性质与判定在△ABC中,AB＝AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN＝∠B.(1)如图1,当射线DN 经过点A 时,DM 交边AC 于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE 相似的三角形； (2)如图2,将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转,DM,DN 分别交线段AC,AB 于点E,F(点E 与点A 不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论；(3)在图2中,若AB ＝AC ＝10,BC ＝12,当S △DEF ＝14S △ABC 时,求线段EF 的长．【思路点拨】(1)由题意得AD ⊥BD,DE ⊥AC,可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义,结合等式的性质,得∠BFD ＝∠CDE,又由∠B ＝∠C,可得△BDF ∽△CED ；由相似三角形的性质得BD CE ＝DF ED ,进而有CD CE ＝DF ED ,从而△CED ∽△DEF ；(3)首先利用△DEF 的面积等于△ABC 的面积的14,求出点D 到AB 的距离,进而利用S △DEF 的值求出EF 即可． 【自主解答】解:(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD,△ACD,△DCE.(2)△BDF ∽△CED ∽△DEF.证明:∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°,∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°, 又∵∠EDF ＝∠B,∴∠BFD ＝∠CDE.由AB ＝AC,得∠B ＝∠C,∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DFED .∵BD ＝CD,∴CD CE ＝DFED.又∵∠C ＝∠EDF,∴△BDF ∽△CED ∽△DEF.(3)连接AD,过点D 作DG ⊥EF,DH ⊥BF,垂足分别为G,H. ∵AB ＝AC,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC,BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中,AD 2＝AB 2－BD 2,∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝48.S △DEF ＝14S △ABC ＝12.又∵12AD ·BD ＝12AB ·DH,∴DH ＝4.8.∵△BDF ∽△DEF,∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF,DH ⊥BF,∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝12EF ·DG ＝12,∴EF ＝5.【变式训练1】(杭州)如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AD 为BC 边上的中线,DE ⊥AB 于点E.(1)求证:△BDE ∽△CAD ；(2)若AB ＝13,BC ＝10,求线段DE 的长．解:(1)证明:∵AB＝AC,BD＝CD,∴AD⊥BC,∠B＝∠C.∵DE⊥AB,∴∠DEB＝∠ADC.∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB＝AC,BD＝CD,∴AD⊥BC.在Rt△ADB中,AD＝AB2－BD2＝12,∵12AD·BD＝12AB·DE,∴DE＝6013.方法指导基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论:①∠BAD＝∠C,∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论:①∠B＝∠C,∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地:若点D为BC中点,则有△BDE∽△CFD∽△DFE.模型拓展“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景:图中相同标识符号的角相等,熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助．【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中,AB＝4,点P,Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C,点B重合),且保持∠APQ＝90°,CQ＝1,求线段BP的长．解:分三种情况:设BP＝x.①当P在线段BC上时,如图1,∵四边形ABCD是正方形,∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAP＋∠APB＝90°.∵∠APQ ＝90°,∴∠APB ＋∠CPQ ＝90°. ∴∠BAP ＝∠CPQ, ∴△ABP ∽△PCQ. ∴AB BP ＝PC CQ ,∴4x ＝4－x 1, ∴x 1＝x 2＝2. ∴BP ＝2；②当P 在CB 的延长线上时,如图2,同理,得BP ＝22－2； ③当P 在BC 的延长线上时,如图3,同理,得BP ＝2＋2 2. 综上所述:线段BP 的长为2或22－2或2＋2 2.1．(白银)已知a 2＝b3(a ≠0,b ≠0),下列变形错误的是(B)A.a b ＝23B ．2a ＝3bC.b a ＝32D ．3a ＝2b2．(重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm 和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为(C)A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm 3．(模拟)如图,在平面直角坐标系中,与△ABC 是位似图形的是(C)A ．①B ．②C ．③D ．④4．(哈尔滨)如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连接AD,点G 在线段AD 上,GE ∥BD,且交AB 于点E,GF ∥AC,且交CD 于点F,则下列结论一定正确的是(D)A.AB AE ＝AGADB.DF CF ＝DGADC.FG AC ＝EGBDD.AE BE ＝CF DF5．(邯郸一模)如图,在△ABC 中,∠BCD ＝∠A,DE ∥BC,与△ABC 相似的三角形(△ABC 自身除外)的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．46．(石家庄裕华区模拟)李老师在编写下面这个题目的答案时,不小心打乱了解答过程的顺序,你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(B)已知:如图,在△ABC 中,点D,E,F 分别在边AB,AC,BC 上,且DE ∥BC,DF ∥AC. 求证:△ADE ∽△DBF. 证明:又∵DF ∥AC,① ∵DE ∥BC,② ∴∠A ＝∠BDF.③ ∴∠ADE ＝∠B.④ ∴△ADE ∽△DBF.A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①7．(随州)如图,平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分,则BDAD的值为(C)A ．1B.22C.2－1D.2＋18．(岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何？”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是6017步．9．(抚顺)如图,△AOB 三个顶点的坐标分别为A(8,0),O(0,0),B(8,－6),点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心,把△AOB 缩小为原来的12,得到△A ′O ′B ′,点M ′为O ′B ′的中点,则MM ′的长为52或152．10．(江西)如图,在△ABC 中,AB ＝8,BC ＝4,CA ＝6,CD ∥AB,BD 是∠ABC 的平分线,BD 交AC 于点E,求AE 的长．解:∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD ＝∠CBD.∵AB ∥CD,∴∠D ＝∠ABD. ∴∠D ＝∠CBD.∴BC ＝CD. ∵BC ＝4,∴CD ＝4.∵AB ∥CD,∴△ABE ∽△CDE. ∴AB CD ＝AE CE.∴84＝AECE .∴AE ＝2CE. ∵AC ＝AE ＋CE ＝6, ∴AE ＝4.11．(包头)如图,在四边形ABCD 中,BD 平分∠ABC,∠BAD ＝∠BDC ＝90°,E 为BC 的中点,AE 与BD 相交于点F.若BC ＝4,∠CBD ＝30°,则DF 的长为(D)A.253B.233 C.343 D.453 提示:连接DE,可证△DEF ∽△BAF.12．(达州)如图,E,F 是▱ABCD 对角线AC 上两点,AE ＝CF ＝14AC.连接DE,DF 并延长,分别交AB,BC 于点G,H,连接GH,则S △ADG S △BGH的值为(C) A.12B.23C.34D ．1提示:可证AG ∶AB ＝CH ∶BC ＝1∶3. 13．【分类讨论思想】(常州)如图,在△ABC 纸板中,AC ＝4,BC ＝2,AB ＝5,P 是AC 上一点,过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP 长的取值范围是3≤AP ＜4．14．(福建)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝10,AC ＝8.线段AD 由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到,△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到,且直线EF 过点D.(1)求∠BDF 的大小； (2)求CG 的长．解:(1)∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到, ∴∠DAB ＝90°,AD ＝AB ＝10. ∴∠ABD ＝45°.∵△EFG 是△ABC 沿CB 方向平移得到, ∴AB ∥EF.∴∠BDF ＝∠ABD ＝45°.(2)由平移的性质,得AE ∥CG,AB ∥EF,∴∠DEA ＝∠DFC ＝∠ABC,∠ADE ＋∠DAB ＝180°. ∵∠DAB ＝90°, ∴∠ADE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°, ∴∠ADE ＝∠ACB. ∴△ADE ∽△ACB. ∴AD AC ＝AE AB. ∵AC ＝8,AB ＝AD ＝10,∴AE ＝12.5,由平移的性质,得CG ＝AE ＝12.5.15．(2017·模拟)修建某高速公路,需要通过一座山,指挥部决定从E,D 两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A,B,C,且A,B,D 三点在一条直线上,A,C,E 也在同一条直线上,若已知AB ＝27米,AD ＝500米,AC ＝15米,AE ＝900米,且测得BC ＝22.5米．(1)求DE 的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力,且质量相当,指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况,获得如下信息:信息一:甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天； 信息二:乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍； 信息三:甲工程队每天需要收费3 500元,乙工程队每天需要收费4 000元． 若仅从费用角度考虑问题,试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．解:(1)连接DE.∵AB ＝27米,AD ＝500米, AC ＝15米,AE ＝900米, ∴AB AE ＝AC AD ＝3100. 又∵∠A ＝∠A, ∴△ABC ∽△AED. ∴BC DE ＝22.5DE ＝3100,即DE ＝750米． (2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米,则乙工程队每天开挖涵洞1.5x 米,依据题意,得 750x －7501.5x ＝25,解得x ＝10. 经检验,x ＝10是原方程的解． 则1.5x ＝15.∴甲工程队打通这个涵洞的时间为75010＝75(天),甲工程队打通这个涵洞所需的费用为 75×3 500＝262 500(元)； 乙工程队打通这个涵洞的时间为7501.5x ＝75015＝50(天), 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500, ∴选用乙工程队较合算．16．(泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,在“勾股”章中有这样一个问题:“今有邑方二百步,各中开门,出东门十五步有木,问:出南门几步而见木？”用今天的话说,大意是:如图,DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城,东门H 位于GD 的中点,南门K 位于ED 的中点,出东门15步A 的处有一树木,求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点D 在直线AC 上)？请你计算KC 的长为2 0003步．。
