中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第18讲相似三角形8年真题训练练习

第18讲解直角三角形1．（2016·亳州模拟)如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3，那么这个三角形最小角的正切值为( C )A。

错误! B.错误! C.错误! D.错误! 2．(2016·芜湖南陵县模拟）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线,已知CD＝2，AC ＝3，则sinB的值是（ A )A。

错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!3．（2016·乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（ C )A．sinB＝错误! B．sinB＝错误!C．sin B＝错误! D．sinB＝错误!4．(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝错误!，则tanB的值为（ D ）A.错误!B.错误! C。

错误! D。

错误! 5．（2016·益阳)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线）,测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（ A ）A。

错误!米 B。

错误!米 C。

错误!米 D。

错误!米6．(2016·白银）如图,点A(3，t）在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α,tanα＝错误!,则t的值是错误!．7．（2016·岳阳）如图,一山坡的坡度为i＝1∶错误!,小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了100米．8．（2016·灵璧县模拟）某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹,组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆，渡江战役纪念馆实物如图1所示．某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图2，经查资料，获得以下信息:斜坡AB的坡比i＝1∶3，BC＝50 m，∠ACB＝135°.求AB及过A 点作的高是多少?（结果精确到0。

第18讲 相似三角形命题点 相似三角形的性质与判定1．(xx ·河北T7·3分)若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A ′B ′C ′，则∠B ′的度数与其对应角∠B 的度数相比(D)A ．增加了10%B ．减少了10%C ．增加了(1＋10%)D ．没有改变2．(xx ·河北T9·3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在 AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处．若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为(B)A.12B ．2C ．3D ．43．(xx ·河北T13·3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．图1 图2 对于两人的观点，下列说法正确的是(A) A ．两人都对 B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对4．(xx ·河北T15·2分)如图，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)重难点 相似三角形的性质与判定在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN ＝∠B.(1)如图1，当射线DN 经过点A 时，DM 交边AC 于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形；(2)如图2，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于点E ，F(点E 与点A 不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，当S △DEF ＝14S △ABC 时，求线段EF 的长．【思路点拨】(1)由题意得AD ⊥BD ，DE ⊥AC ，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD ＝∠CDE ，又由∠B ＝∠C ，可得△BDF ∽△CED ；由相似三角形的性质得BD CE ＝DF ED ，进而有CD CE ＝DF ED ，从而△CED ∽△DEF ；(3)首先利用△DEF 的面积等于△ABC 的面积的14，求出点D 到AB 的距离，进而利用S △DEF 的值求出EF 即可．【自主解答】解：(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE.(2)△BDF ∽△CED ∽△DEF.证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°，∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°， 又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE.由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DFED .∵BD ＝CD ，∴CD CE ＝DFED.又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF.(3)连接AD ，过点D 作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H. ∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝48.S △DEF ＝14S △ABC ＝12.又∵12AD ·BD ＝12AB ·DH ，∴DH ＝4.8.∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝12EF ·DG ＝12，∴EF ＝5.【变式训练1】(xx ·杭州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．解：(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC.∴△BDE∽△CAD.(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.在Rt△ADB中，AD＝AB2－BD2＝12，∵12AD·BD＝12AB·DE，∴DE＝6013.方法指导基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论：①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.模型拓展“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助．【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．解：分三种情况：设BP ＝x.①当P 在线段BC 上时，如图1，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°.∴∠BAP ＋∠APB ＝90°.∵∠APQ ＝90°，∴∠APB ＋∠CPQ ＝90°. ∴∠BAP ＝∠CPQ ， ∴△ABP ∽△PCQ. ∴AB BP ＝PC CQ ，∴4x ＝4－x 1， ∴x 1＝x 2＝2. ∴BP ＝2；②当P 在CB 的延长线上时，如图2，同理，得BP ＝22－2； ③当P 在BC 的延长线上时，如图3，同理，得BP ＝2＋2 2. 综上所述：线段BP 的长为2或22－2或2＋2 2.1．(xx ·白银)已知a 2＝b3(a ≠0，b ≠0)，下列变形错误的是(B)A.a b ＝23B ．2a ＝3b C.b a ＝32D ．3a ＝2b2．(xx ·重庆)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为(C)A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm 3．(xx ·河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与△ABC 是位似图形的是(C)A ．①B ．②C ．③D ．④4．(xx ·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是(D)A.AB AE ＝AG ADB.DF CF ＝DG ADC.FG AC ＝EG BDD.AE BE ＝CF DF5．(xx ·邯郸一模)如图，在△ABC 中，∠BCD ＝∠A ，DE ∥BC ，与△ABC 相似的三角形(△ABC 自身除外)的个数是(B)A ．1B ．2C ．3D ．46．(xx ·石家庄裕华区模拟)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是(B)已知：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC. 求证：△ADE ∽△DBF. 证明：又∵DF ∥AC ，① ∵DE ∥BC ，② ∴∠A ＝∠BDF.③ ∴∠ADE ＝∠B.④ ∴△ADE ∽△DBF.A ．③②④①B ．②④①③C ．③①④②D ．②③④①7．(xx ·随州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BDAD的值为(C)A ．1 B.22C.2－1D.2＋18．(xx ·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是60步．9．(xx ·抚顺)如图，△AOB 三个顶点的坐标分别为A(8，0)，O(0，0)，B(8，－6)，点M 为OB 的中点．以点O 为位似中心，把△AOB 缩小为原来的12，得到△A ′O ′B ′，点M ′为O ′B ′的中点，则MM ′的长为52或152．10．(xx ·江西)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，CA ＝6，CD ∥AB ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 交AC 于点E ，求AE 的长．解：∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD. ∵AB ∥CD ，∴∠D ＝∠ABD. ∴∠D ＝∠CBD.∴BC ＝CD. ∵BC ＝4，∴CD ＝4.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE. ∴AB CD ＝AE CE. ∴84＝AECE .∴AE ＝2CE. ∵AC ＝AE ＋CE ＝6， ∴AE ＝4.11．(xx ·包头)如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若BC ＝4，∠CBD ＝30°，则DF 的长为(D)A.253B.233 C.343 D.453 提示：连接DE ，可证△DEF ∽△BAF.12．(xx ·达州)如图，E ，F 是▱ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC.连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC于点G ，H ，连接GH ，则S △ADGS △BGH的值为(C)A.12B.23C.34D ．1提示：可证AG ∶AB ＝CH ∶BC ＝1∶3. 13．【分类讨论思想】(xx ·常州)如图，在△ABC 纸板中，AC ＝4，BC ＝2，AB ＝5，P 是AC 上一点，过点P 沿直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP 长的取值范围是3≤AP ＜4．14．(xx ·福建)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.线段AD 由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，△EFG 由△ABC 沿CB 方向平移得到，且直线EF 过点D.(1)求∠BDF 的大小； (2)求CG 的长．解：(1)∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到， ∴∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝10. ∴∠ABD ＝45°.∵△EFG 是△ABC 沿CB 方向平移得到， ∴AB ∥EF.∴∠BDF ＝∠ABD ＝45°.(2)由平移的性质，得AE ∥CG ，AB ∥EF ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝∠ABC ，∠ADE ＋∠DAB ＝180°. ∵∠DAB ＝90°， ∴∠ADE ＝90°. ∵∠ACB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ACB. ∴△ADE ∽△ACB. ∴AD AC ＝AE AB. ∵AC ＝8，AB ＝AD ＝10，∴AE ＝12.5，由平移的性质，得CG ＝AE ＝12.5.15．(xx ·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E ，D 两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A ，B ，C ，且A ，B ，D 三点在一条直线上，A ，C ，E 也在同一条直线上，若已知AB ＝27米，AD ＝500米，AC ＝15米，AE ＝900米，且测得BC ＝22.5米．(1)求DE 的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天； 信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍； 信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元． 若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．解：(1)连接DE.∵AB ＝27米，AD ＝500米， AC ＝15米，AE ＝900米， ∴AB AE ＝AC AD ＝3100. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△AED. ∴BC DE ＝22.5DE ＝3100，即DE ＝750米． (2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x 米，依据题意，得 750x －7501.5x＝25，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原方程的解． 则1.5x ＝15.∴甲工程队打通这个涵洞的时间为75010＝75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为 75×3 500＝262 500(元)；乙工程队打通这个涵洞的时间为 7501.5x ＝75015＝50(天)， 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500， ∴选用乙工程队较合算．16．(xx ·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步A 的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点D 在直线AC 上)？请你计算KC 的长为2 0003步．。

第18讲 相似三角形重难点 相似三角形的性质与判定(2018·包头)如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF∥BC，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF.若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为52．【思路点拨】 要求S △ADF ，由已知条件EF∥BC，3AE ＝2BE ，可得到AF 与AC的数量关系，进而转换到S △ADF 与S △ADC的数量关系，而由平行四边形的性质知，S △ADC ＝ S △ABC ，由EF∥BC，3AE ＝2BE ，S △AEF ＝1，结合相似三角形的性质，得S △ABC ，则S △ADF 即可求出．方法指导求三角形面积常用方法⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧直接法 S △＝12ah等积法⎣⎢⎢⎡S 1＝S 2（等底同高）（同底等高）等比法⎣⎢⎢⎡ S 1S 2＝a b（同高不同底）（不同高不同底）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE ，AF⊥BE 于点F ，连接DF.(1)求证：DE 2＝ BE·EF； (2)求∠EFD 的度数．【思路点拨】 (1)要证DE 2＝EF·BE，而由已知条件知DE ＝AE ，∴AE 2＝EF·BE，即AE BE ＝EF AE ，观察发现，这四条边恰好在△ABE 和△FAE 中，故只需证明△ABE∽△FAE，由相似三角形的性质即可使问题得证；(2)要求∠EFD 的度数，而已知条件中并未告诉已知角，故要在正方形中构造已知角并将∠EFD 进行转换．由(1)知AE BE ＝EFAE ，而∠DEF＝∠BED，故连接BD ，可证△DEF∽△BED，由相似三角形的性质即可求出∠EFD 的度数．【自主解答】解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AFE＝90°.∴∠BAE＝∠AFE.又∠AEF＝∠AEB，∴△AEF∽△BEA.∴AEBE＝EFEA，即AE2＝BE·EF.∵E为AD的中点，∴AE＝DE.∴DE2＝BE·EF.(2)连接BD，则∠EDB＝45°.由(1)得，DEEF＝BEDE.又∠DEF＝∠BED，∴△DEF∽△BED.∴∠EFD＝∠EDB＝45°.方法指导1．判定三角形相似的思路⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧有平行线——用平行线的性质，找等角有一对等角，找⎩⎪⎨⎪⎧另一对等角两夹边对应成比例有两边对应成比例，找⎩⎪⎨⎪⎧夹角相等第三边也对应成比例有一对直角直角三角形，找⎩⎪⎨⎪⎧一对锐角相等斜边、直角边对应成比例等腰三角形，找⎩⎪⎨⎪⎧顶角相等一对底角相等底和腰对应成比例2．证明等积时，先由比例的基本性质，化等积式为比例式，然后把比例式，左侧(或分子)，右侧(或分母)放入两个三角形中，证明两个三角形相似即可，如不能放入两个三角形中，可找到相等边代换或寻找中间比．3．求某个三角的边长或角度时，可借助条件，确定未知三角形(即包含所求边又有某个已知条件)与已知三角形相似，利用相似三角形的性质求解．考点1比例线段1．(2018·白银)已知a2＝b3(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(B)A.ab＝23B．2a＝3b C.ba＝32D．3a＝2b 2．(2018·成都)已知a6＝b5＝c4，且a＋b－2c＝6，则a的值为12.考点2黄金分割3．如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝BCAC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(A)A .5－12B .3－52C .5＋12D .3＋52考点3 平行线分线段成比例 4．(2018·哈尔滨)如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE∥BD，且交AB 于点E ，GF∥AC，且交GD 于点F ，则下列结论一定正确的是(D )A .AB AE ＝AG AD B .DF CF ＝DG ADC .FG AC ＝EG BD D .AE BE ＝CF DF5．(2018·嘉兴)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.已知AB AC ＝13，则EFDE＝2．考点4 相似三角形的性质6．(2018·重庆A 卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为(C )A ．3 cmB ．4 cmC ．4.5 cmD ．5 cm 7．(2017·连云港)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D )A .BC DF ＝12B .∠A的度数∠D的度数＝12C .△ABC的面积△DEF的面积＝12 D .△ABC的周长△DEF的周长＝128．(2018·荆门)如图，四边形ABCD 为平行四边形，E ，F 为CD 边的两个三等分点，连接AF ，BE 相交于点G.则S △EFG ∶S △ABG＝(C )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶9D ．9∶19．(2018·重庆B 卷)制作一块3 m ×2 m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是(C )A ．360元B ．720元C ．1 080元D ．2 160元10．(2018·资阳)如图，△ABC 的面积为12，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则四边形BCED 的面积为9．考点5 相似三角形的判定11．(2018·永州)如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为(B )A ．2B ．4C ．6D ．812．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC∶AC 是(B )A ．3∶2B ．2∶3C ．3∶13D ．2∶1313．(2018·邵阳)如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点F ，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一，如△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．14．(2018·北京)如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 边的中点，连接DE 交对角线AC 于点F.若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为103．15．(2018·巴中)如图，⊙O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．16．(2018·杭州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，OE⊥AB 于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB ＝13，BC ＝10.求线段DE 的长．解：(1)证明：∵AB＝AC ， ∴∠B＝∠C.又∵AD 为BC 边上的中线， ∴AD⊥BC， ∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠CDA＝90°. ∴△BDE∽△CAD.(2)∵BC＝10，∴BD＝5.根据勾股定理，得AD ＝AB 2－BD 2＝12. ∵△BDE∽△CAD， ∴BD CA ＝DE AD ，∴513＝DE 12. ∴DE＝6013.考点6 相似三角形的实际应用17．(2018·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD.垂足分别为B ，D ，AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO ＝1 m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为(C )A ．0.2 mB ．0.3 mC ．0.4 mD ．0.5 m18．(2018·陕西)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D ，竖起标杆DE ，使得点E 与点C ，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴∠CBA＝∠EDA＝90°.∵∠CAB＝∠EAD，∴△ABC∽△ADE. ∴AD AB ＝DE BC.∴AB ＋8.5AB ＝1.51. ∴AB＝17，即河宽为17 m .19．(2018·泸州)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G.若AE ＝3ED ，DF ＝CF ，则AGGF的值是(C )A .43B .54C .65D .7620．(2018·扬州)如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB 2＝CP·CM.其中正确的是(A )A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③21．(2018·盐城)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，P ，Q 分别为边BC ，AB 上的两个动点．若要使△APQ 是等腰三角形，且△BPQ 是直角三角形，则AQ ＝154或307．22．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：(1)如图1，已知Rt △ABC 在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D.使四边形ABCD 是以AC 为“相似对角线”的四边形；(保留画图痕迹，找出3个即可)图1图2 图3(2)如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD 平分∠ABC.求证：BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”；运用： (3)如图3，已知FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”，∠EFH ＝∠HFG＝30°，连接EG.若△EFG 的面积为23，求FH 的长．解：(1)如图所示．(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°. ∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°. ∴∠A＝∠BDC. ∴△ABD∽△DBC.∴BD 是四边形ABCD 的“相似对角线”． (3)∵FH 是四边形EFGH 的“相似对角线”， ∴△EFH∽△HFG.∴FE FH ＝FH FG. ∴FH 2＝FE·FG.过点E 作EQ⊥FG，垂足为Q. ∵∠EFH＝∠HFG＝30°， ∴∠EFQ＝60°. 则EQ ＝FE·sin 60°＝32FE. ∵12FG·EQ＝23，∴12FG×32FE ＝2 3. ∴FG·FE＝8. ∴FH 2＝FE·FG＝8. ∴FH ＝2 2.23．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H 位于GD 的中点，南门K 位于ED 的中点，出东门15步A 的处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A 处的树木(即点D 在直线AC 上)？请你计算KC 的长为2 0003步．。

第18讲 相似三角形1．(2016·兰州)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AEEC ＝( C )A.13B.25C.23D.352．(2016·重庆A 卷)若△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为( C ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4 D ．1∶16 3．(2015·东营)若y x ＝34，则x ＋yx的值为( D )A ．1 B.47 C.54 D.744．(2016·南充二诊)如图，在▱ABCD 中，EF ∥BC ，AE ∶EB ＝2∶3，EF ＝4，则AD 的长为( C ) A.163B ．8C ．10D ．165．(2016·新疆建设兵团)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D ) A ．DE ＝12BC B.AD AB ＝AEACC ．△AD E∽△ABC D ．S △ADE ∶S △ABC ＝1∶26．(2016·德阳中江模拟二)如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③AC CD ＝AB BC ；④AC 2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽ACD 的有( C ) A ．①②③④ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②7．(2016·娄底)如图，已知∠A ＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是答案不唯一，如：AB∥DE．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)8．(2016·滨州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，点E 在对角线BD 上，且BE ＝1.8，连接AE 并延长交DC于点F ，则CF CD ＝13．9．(2016德阳中江模拟)一副三角板叠放如图，则△AOB 与△DOC 的面积之比为13．10．(2016·泉州)如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点E ，若CE∶BE＝2∶3，则AE∶DE＝2∶3．11．(2016·成都新都区一诊)如图所示，身高1.6 m 的小华站在距路灯杆5 m 的C 点处，测得她在灯光下的影长CD 为2.5 m ，则路灯的高度AB 为4.8m.12．(2016·杭州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC ＝DFCG .(1)求证：△ADF∽△ACG； (2)若AD AC ＝12，求AFFG的值．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE ＝∠DAE， ∴∠ADF ＝∠C. ∵AD AC ＝DF CG， ∴△ADF ∽△ACG.(2)∵△AD F∽△ACG，∴AD AC ＝AF AG. 又∵AD AC ＝12，∴AF AG ＝12. ∴AFFG＝1.13．(2016·随州)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE∥AC，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2514．(2016·泸州)如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与D E ，DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为( B ) A.225 B.9220 C.324 D.425提示：过点F 作FH⊥AD 于H 交ED 于点O.易得AF ＝22，OH ＝13AE ＝13，OF ＝53.又△AEM∽△FOM，可得AM ＝324.又△AND∽△FNB，可得AN ＝625.所以MN ＝AN －AM ＝9220.15．(2016·舟山)如图，已知△ABC 和△DEC 的面积相等，点E 在BC 边上，DE ∥AB 交AC 于点F ，AB ＝12，EF ＝9，则DF 的长是7．16．(2016·怀化)如图，△AB C 为锐角三角形，AD 是BC 边上的高，正方形EFGH 的一边FG 在BC 上，顶点E ，H 分别在AB ，AC 上，已知BC ＝40 cm ，AD ＝30 cm. (1)求证：△AEH∽△ABC；(2)求这个正方形的边长与面积．解：(1)证明：∵四边形EFGH 是正方形， ∴EH ∥BC.∴∠AEH ＝∠B，∠AHE ＝∠C. ∴△AEH ∽△ABC.(2)设AD 与EH 交于点M.∵∠EFD ＝∠FEM＝∠FDM＝90°， ∴四边形EFDM 是矩形． ∴EF ＝DM.设正方形EFGH 的边长为x cm. ∵△AEH ∽△ABC ， ∴EH BC ＝AM AD. ∴x 40＝30－x 30.解得x ＝1207. ∴正方形EFGH 的边长为1207 cm ，面积为14 40049cm 2.17．在▱ABCD 中，M ，N 是AD 边上的三等分点，连接BD ，MC 相交于O 点，则S △MOD ∶S △COB ＝19或49．。