弹性力学一点的应变状态

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1.1.3 应变的概念
(a) x方向的线应变
(b) y方向的线应变
(c) xy面内的剪应变
图 1-3 单元体应变的几何描述
在图1-3(a)中，单元体在x方向上有一个的伸长量。微分单元 体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变。即
x
u x x
y
u y x
（1.9）
u y y
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
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1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
2 2 Tn n n 2

m A
B T
G
P A

n
o
y
图1-1 物体内任意点处的应力
（1.6）
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1.1.2 应力的概念 应力状态
在物体内的同一点处，不同方向截面上的应力是不同的。只有 同时给出过该点截面的外法向方向，才能确定物体内该点处此截面 上应力的大小和方向，才能表示这一点的应力状态。
x' ' y z'
=
0 1 0 cos 0 sin
0 x1 sin y1 cos z1
（b）
将第一式代入上式，可得
x ' 1 0 0 cos sin 0 x ' y y 0 cos sin = sin cos 0 z' z 0 sin cos 0 0 1

弹性力学
弹性力学概论
一，绪论 二，应力状态理论 三，应变状态理论 四，应力和应变的关系 五，弹性力学问题的建立
兰州大学土木工程与力学学院
弹性力学
§1.1 弹性力学的任务、内容、研究方法 弹性力学的任务、内容、
弹性力学 ——也称弹性理论 固体力学学科的一个分支 1 任务： 研究弹性体在外界因素（外力或温度变 化等）作用下的应力、变形和位移。
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弹性力学
当求得主应力以后， 当求得主应力以后，利用下式求主方向
l (σ lτ lτ
xy xy x
σ ) + mτ + m (σ + mτ
yz y
yx
+ nτ
zx zy
= 0 = 0
σ ) + nτ + n (σ
z
σ ) = 0
相应的方向余弦， 为了求 σ 1 相应的方向余弦，1 , m 1 , n 1 利用上式的任意二式 l l1 (σ x σ 1 ) + m 1τ yx + n1τ zx = 0
弹性力学
完全弹性假设
——对应一定的温度，如果应力和应变 之间存在一一对应关系，而且这个关系 和时间无关，也和变形历史无关，称为 完全弹性材料。 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性 力学研究限于线性 线性的应力与应变关系。 线性 研究对象的材料弹性常数不随应力或应 变的变化而改变。
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1. 若σ1≠σ2≠σ3，特征方程无重根；应力主轴必然相互垂直； 2. 若σ1＝σ2≠σ3，特征方程有两重根； σ1和σ2的方向必然垂直于σ3的方向。而σ1和σ2的方向可 以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若σ1=σ2=σ3，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都 是应力主轴

根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式代入广义 胡克定律表达式(4-2)得
x C11x C12y C13z C14 yz C15xz C16xy y C21x C22y C23z C24 yz C25xz C26xy z C31x C32y C33z C34 yz C35xz C36xy yz C41x C42y C43z C44 yz C45xz C46xy xz C51x C52y C53z C54 yz C55xz C56xy xy C61x C62y C63z C64 yz C65xz C66xy
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当变形较小时，可展开成泰勒级数， 并略去二阶以上的小量。
x (f1 ) 0 f x 1 0x f y 1 0y f z 1 0z f y 1 z 0y z f x 1 z 0x z f x 1 y 0xy y (f2 ) 0 fx 2 0x fy 2 0y fz 2 0z f y 2 z 0y z f x 2 z 0x z f x 2 y 0xy z (f3 ) 0 fx 3 0x fy 3 0y fz 3 0z f y 3 z 0y z f x 3 z 0x z f x 3 y 0xy
等温过程：利用热力学第二定律
x v F x , y v F y , z v F z , x y v x F ,y y z v F y,z x z v F xz
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统一的形式：
x v x , y v y , z v z , x y v x ,y y z v y,z x z v x z
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由没有初应力的基本假设，上式可表示为
x C 1x 1 C 1y 2 C 1z 3 C 1y 4 z C 1x 5 z C 1x 6 y y C 2x 1 C 2y 2 C 2z 3 C 2y 4 z C 2x 5 z C 2x 6 y z C 3x 1 C 3y 2 C 3z 3 C 3y 4 z C 3x 5 z C 3x 6 y

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数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、 数学弹性力学的典型问题 主要有 一般性理论 、 柱体扭转和弯曲 、 主要有一般性理论 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面 平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。 等方面。 在近代，经典的弹性理论得到了新的发展。例如， 在近代 ， 经典的弹性理论得到了新的发展 。 例如 ， 把切应力的成 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续，各 对性发展为极性物质弹性力学；把协调方程(保证物体变形后连续， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律， 应变分量必须满足的关系)发展为非协调弹性力学；推广胡克定律，除 机械运动本身外，还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为本 机械运动本身外 ， 还考虑其他运动形式和各种材科的物理方程称为 本 构方程。对于弹性体的某一点的本构方程， 构方程 。 对于弹性体的某一点的本构方程 ， 除考虑该点本身外还要考 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 虑弹性体其他点对该点的影响，发展为非局部弹性力学等。 但是，由于课程所限， 但是 ， 由于课程所限 ， 我们在以下几节里仅对弹性体力学作简单 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。 的介绍，为振动部分和波动部分作准备。
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§8.1 弹性体力学－－弹性体的应力和应变简介 弹性体力学－－ －－弹性体的应力和应变简介
弹性体有四种形变 拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实， 弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。其实，最基本的形 四种形变： 变只有两种 拉伸压缩和剪切形变； 两种： 变只有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转和弯曲可以看作是由两种基本形变 的组成。 的组成。
Fn ∆l =Y S l0
其中：Y 称为杨氏模量，反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。 杨氏模量， 其中： 称为杨氏模量 反映材料对于拉伸或压缩变形的抵抗能力。