弹性力学-第三章-应变状态分析

§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因

Venant）1797年生于法国，
1886年逝世。1825年毕业于
巴黎桥梁公路学校，后从事
工程设计工作，1837年回该
校任教，1868年当选为法国
科学院院士。在弹性力学、
塑性力学、流体力学等方面
做出了贡献。他的力作用的
局部思想被称为“圣维南原 理”。
圣维南
（A.J.Saint-Venant）
§3-5 变形协调方程
§3-3 转动张量
如图4设过点 从物体中任意取出
一微元线段 。若令点 的坐标
为
，则点 的坐标为
变形后， 变成 的位移为
。令点 的位移为
于是
图4
, 则点
§3-3 转动张量
§3-3 转动张量
其中
若令
则
表示位移矢量 的旋度，
则分别表示物体
内微元体绕相应的坐标轴的旋转分量，而
则代
表微元体的刚性转角。
§3-3 转动张量
应变协调方程的物理意义： ➢ 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满
足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连 续体，其间将产生缝隙或出现相互嵌入现象。 ➢ 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一 定的关系。 注：应变协调方程是变形连续的必要和充分条件！
例题
例1. 设物体变形时产生的应变分量为
在略去二阶及更高阶的微量以后简化为 线段 的正应变是
（3）
§3-2 小应变张量（几何方程）
由于位移是微小的， 方向的位移所引起的线段 的伸缩，是更高一阶微小的，略去不计。同样线段
的正应变是 （4）
求出线段 与 之间的直角改变，也就是剪应 变 ，用位移分量来表示。
§3-2 小应变张量（几何方程）

有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。

该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w

x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z

第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。

因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。

由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。

对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。

因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。

这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。

当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。

应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。

假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。

这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。

在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。

二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。

§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。

这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。

变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。

弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。

由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。

(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε

12
土木工程专业：弹性力学
df dy
dg dx
得到
u f ( y) u0 y v g ( x) v0 x
u0、v0为平移分量
为绕 z 轴转动的角度
• 位移为零或常数，应变一定为零 • 应变为零，位移未必为零。 存在刚体位移时，位移有平动分量和转 动分量。 不存在刚体位移（约束限制）时，位移 亦为零。
y
y方向的正应变 v v dy v l PTy y y dy l PT
v y
y
v
T
v dy y

v
P

Q
v u
v dx x u dx x
u
o
x
转角
2013-7-26
tan
u u dy u u y dy y
4
土木工程专业：弹性力学
新旧坐标系应变分量之间的关系
• 张量指标方程 或
ij aim a jn mn
ij a pi aqj pq
ε aT ε a
12 13 a11 22 23 a12 32 33 a13
a 21 a 22 a 23 a31 a32 a33
T
1 ε (D DT ) 2
土木工程专业：弹性力学
• 应变张量的矩阵表达
11 12 ε 21 22 31 32
u x 对
2013-7-26
x 13 1 23 xy 2 33 1 2 zx
v w yz 0.0001 0.0001 0.0002 y xz z y w u zx 0.0001 0.00005 0.00005 yz x z

相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3

弹性力学简明教材(电子版)
本教材旨在对读者简明地阐述弹性力学的基本概念和公式，涉
及弹性体的基本特性，力学基本定律，应力应变状态的描述和计算，以及弹性体固有振动和波的传播等内容。

第一章弹性体的基本特性
本章介绍了弹性体的基本特性，包括弹性体的定义、分类、形
变和应力等概念，以及材料的弹性模量和泊松比等基本参数。

通过
本章的研究，读者将会了解弹性体的基本特性，为后续章节的研究
打下基础。

第二章力学基本定律
本章介绍了力学基本定律，即牛顿定律和能量守恒定律，以及
它们在弹性力学中的应用。

通过本章的研究，读者将会了解力学基
本定律的含义和应用。

第三章应力应变状态的描述和计算
本章介绍了应力应变状态的描述和计算方法，涉及应力应变张量和应力应变关系等内容。

通过本章的研究，读者将会了解弹性体中应力应变关系的基本概念和计算方法。

第四章弹性体固有振动和波的传播
本章介绍了弹性体固有振动和波的传播，包括弹性体的本征频率和本征振型，以及弹性波的类型和传播速度等内容。

通过本章的研究，读者将会了解弹性体固有振动和波的传播，为实际问题的解决提供理论基础。

第五章应用实例分析
本章通过实际问题的分析和计算，综合运用前面章节所学的知识，掌握弹性力学在实际工程中的应用。

通过本章的研究，读者将会了解如何分析和解决实际弹性力学问题。

附录：本教材的符号表和计算公式等内容，供读者参考。

总结
弹性力学是工程力学的重要分支之一，具有广泛的应用。

本教材对弹性力学的基本概念、公式和应用进行了简要的阐述，适合初学者学习和工程技术人员参考使用。

第3章 弹性力学经典变分原理3.1 弹性力学基础3.1.1 变形分析要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。

在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。

如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。

图3.1物质坐标系和空间坐标系矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。

为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。

我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即123(,,),(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)称之为Lagrange 描述。

如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)称之为Euler 描述。

我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为3201d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为321d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)根据变形前后的坐标关系有3311d d ,d d i ii j j j j jjxX x X X x i X x ==∂∂==∂∂∑∑从而有33220,11d d ()d d ij i j i j i jx x s s X X X X αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.8)或者33220,11d d ()d d ij i j i j i jX X s s x x x x αααδ==∂∂-=-∂∂∑∑(3.1.9)如果定义3121ij ij i j x x E X X αααδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.10)及3121ij ij i j X X x x αααεδ=⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭∑ (3.1.11) 则有 220d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号3311,i j ==∑∑，称为Einstein 约定。

弹性力学系统中的应变与应力分布弹性力学是研究物体在受力作用下的形变和恢复过程的学科。

在弹性力学系统中，应变和应力分布是两个重要的概念。

应变描述了物体在受力作用下的形变程度，而应力则表示物体单位面积上承受的力的大小。

在弹性力学系统中，应变可以分为线性应变和剪切应变。

线性应变是指物体在受力作用下沿着受力方向发生的形变，剪切应变则是指物体在受力作用下发生的平行于受力方向的形变。

应变的大小可以通过应变率来衡量，即单位时间内的形变量。

应力分布是指物体在受力作用下承受的力在不同部位的分布情况。

根据受力方向的不同，应力可以分为正应力和剪切应力。

正应力是指力的方向与物体表面垂直的应力，剪切应力则是指力的方向与物体表面平行的应力。

应力的大小可以通过应力张量来描述，其中包括正应力和剪切应力的分量。

在弹性力学系统中，应变和应力之间存在着一定的关系。

根据胡克定律，当物体受到的力小于其弹性极限时，应变和应力之间呈线性关系。

这种线性关系可以通过应力-应变曲线来描述，曲线的斜率即为物体的弹性模量，反映了物体对外力的抵抗能力。

应变和应力的分布情况对物体的性能和稳定性具有重要影响。

例如，在工程领域中，对于承受外力的结构件，需要合理设计应力分布，以保证结构的强度和稳定性。

通过对应力分布的分析和优化，可以减少结构的应力集中和疲劳破坏的风险。

此外，应变和应力的分布也与物体的形状和材料性质密切相关。

不同形状和材料的物体在受力作用下会出现不同的应变和应力分布情况。

例如，对于长方形梁受弯的情况，弯曲应变和弯曲应力的分布呈现出特定的形态，可以通过数学模型和实验来研究和预测。

在实际应用中，弹性力学的概念和方法广泛应用于工程、材料科学、地质学等领域。

通过对应变和应力分布的研究，可以帮助我们理解物体在受力作用下的变形和破坏机制，从而指导工程设计和材料选择。

此外，弹性力学的研究还为新材料和新结构的设计提供了理论基础和技术支持。

总之，弹性力学系统中的应变和应力分布是研究物体形变和恢复过程的重要概念。

Siui, j S j = 0
S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即
ui , j + u j ,i = 0
因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
1.拉压应变（线应变）
应变张量反映了物体的变形，因此变形导致的线段矢量 变化量为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
γ 1 = ± (ε 2 − ε 3 )
γ 2 = ± (ε1 − ε 3 )
1 1 ui , j = ( ui , j + u j ,i ) + ( ui , j − u j ,i ) 2 2
即
ui , j = ε ij + ωij
对称部分称为应变张量，反映物体的变形
1 ε ij = ( ui , j + u j ,i ) 2 反对称部分称为转动张量，反映物体的刚体位移
1 ωij = ( ui , j − u j ,i ) 2
3.1 变形与应变的概念
微线段的刚体位移:
刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等
S′ =
(Si + δSi )(Si + δSi ) =
δSi = ui , j S j
Si Si = S
化简并略去高阶小量后得到 2SiδSi = 0 联合右式 得到 展开后，即为
2 2 2 2 2 2 2 u1,1S12 + u2,2 S2 + u3,3S3 + ( u1,2 + u2,1 ) S12 S2 + ( u2,3 + u3,2 ) S2 S3 + ( u3,1 + u1,3 ) S3 S1 = 0

上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。

y
x
正应变
微元体棱边的相对伸长度
棱边夹角之间的变化
x y z
剪应变
z
将平行六面体 分别投影到3 个坐标面上
M A o m x a
B
y
b
z
M点在Ox轴的位移分量为
u ( x, y, z )
M点在Oy轴的位移分量为 M A o
v ( x, y , z )
B y A点和B点相应的位移分别为
u ( x dx, y, z )
2 2 z ' xl32 y m3 z n3 xyl3m3 yz m3n3 zxn3l3 3 T 3
x ' y ' 2 xl1l2 2 y m1m2 2 z n1n2 xy (l1m2 m1l2 )
dy u m’
a’ a
u x
同理
v m
o
dx
x
v y y
w z z
u
u dy y
y b
b’’
1 tan 1
v v dx v x u dx dx x
u u dx x
b’
2
dy u m’
a’’ m
o
a’
a dx
x
顺次轮换 x, y, z 和
u , v, w
可得其他两个切应变分量
yz
w v y z
xz
u w z x
当 xy , yz , zx 大于零， 表示角度缩小， 反之则表示角度扩大 综上所述。可以得到以下6个关系式
u w v x , yz x y z v u w y , zx y z x w w u z , xy z x y

在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，
z的单值连续函数
y
x
位移函数具有三阶连续导数
二、应变
对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短 正应变 二是棱边之间夹角的变化 （剪）切应变
符号规定： 伸长为正，缩短为负 直角变小为正，直角变大为负
正应力 剪应力
正应变 剪应变
v x
u y
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
上式为剪应变的几何方程
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
这六式为几何方程（柯西方程）
四、转角方程
x
w y
v z
y
u z
w x
z
v x
u y
3－3 一点应变状态、应变张量
一、应变张量
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量
则，a点的位移为：
u u dx x
v v dx x
b点的位移为：
u u dy y
v v dy y
x
M
' a' 'Ma Ma
(dx
u dx) x
dx
dx
u x
(dy v dy) dy
y
M 'b''Mb Mb
y dy
v y
同理：
x
u x
y
v y
z
w z

第三章杆件横截面上的应力应变分析利用截面法可以确定静定问题中的杆件横截面上的内力分量，但内力分量只是横截面上连续分布内力系的简化结果，仅根据内力并不能判断杆件是否有足够的强度。

如用同一种材料制成粗细不同的两根杆，在相同的拉力作用下，两杆的轴力是相同的，当拉力增大时，细杆必定先被拉断。

这说明拉杆的强度不仅与轴力大小有关，还与横截面面积有关，因此还必须引入内力集度的概，即应力的概念。

本章在此基础上分别讨论了杆件在拉压、扭转和弯曲三种基本变形和组合变形下横截面上应力的分布规律，导出了应力计算公式，为后面对杆件进行强度计算打下了基础。

第一节应力、应变及其相互关系一、正应力、剪应力观察图3-1a所示受力杆件，在截面上围绕K点取微小面积，其上作用有微内力，于是在上内力的平均集度为：（3-1）亦称为面积上的平均应力。

一般来说截面上的内力并不均匀分布，因此平均应力随所取ΔA的不同而变化。

当ΔA趋向于零时，的大小方向都将逐渐趋于某一极限。

(3-2)式中,p称为K点的应力，它反映内力系在K点的强弱程度。

p是一个矢量，一般说既不与截面垂直，也不与截面相切。

通常将其分解为垂直于截面的应力分量和相切于截面的应力分量(图3-1b)。

称为正应力，称为切应力。

在国际单位制中，应力的单位是牛顿/米2（N/M2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）。

由于这个单位太小，通常使用兆帕（MPa），1MPa = 106Pa。

二、正应变、切应变杆件在外力作用下，其尺寸或几何形状将发生变化。

若围绕受力弹性体中任意点截取一个微小正六面体（当六面体的边长趋于无限小时称为单元体），六面体的棱边边长分别为Δx 、Δy 、Δz （图3-2 ）。

把该六面体投影到xy平面（图3-2b）。

变形后，六面体的边长和棱边夹角都将发生变化(图3-2c)。

变形前长为Δx的线段MN，变形后长度为Δx+Δs。

相对变形(3-3)表示线段MN单位长度的平均伸长或缩短，称为平均应变。

当Δx趋向于零，即点N趋向于M点时，其极限为(3-4)式中，ε称为M点沿x方向的线应变或正应变，ε为无量纲量。