四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学文卷word版含答案

2021年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2＞1}，则∁R A＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．﹣10B．﹣8C．16D．204．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率．根据如图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低5．已知圆C：x2+y2﹣ax+2y﹣4＝0关于直线l：x+y﹣1＝0对称，圆C交x轴于A，B两点，则|AB|＝（）A．4B．2C．2D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x）．则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，点F为边CD的中点，若＝0，则＝（）A．4B．3C．2D．18．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a9．已知数列{a n}满足：a1＝a2＝2，a n＝3a n﹣1+4a n﹣2（n≥3），则a9+a10＝（）A．47B．48C．49D．41010．设函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的部分图象如图所示，且满足f（2）＝0．则f（x）的最小正周期为（）A．B．16C．D．11．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于（）A．B．C．D．12．已知点F为抛物线E：y2＝6x的焦点，点A在E上，线段OA的垂直平分线交x轴于点B，则|OB|﹣|AF|＝（）A．1B．C．2D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝5a5，则a15＝．14．若函数f（x）＝x2e x﹣mlnx在点（1，f（1））处的切线过点（0，0），则实数m＝．15．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0）有共同的一焦点，过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一渐近线平行，则E的离心率为．16．已知三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，△ABC是边长为4的正三角形，点E，F分别是SC，BC的中点，D是AC上的一点，且EF⊥SD，若FD＝3，则DE＝．三、解答题：共70分。

绝密★启用前2021届四川省绵阳市高三第三次诊断数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{|1}A x x =>，则RA =（）A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．()(),11,-∞-+∞D ．(][),11,-∞-+∞答案：B先求出集合A ，再根据补集的定义即可求出. 解：{}{211A x x x x ==<-或}1x >，{}[]R 111,1A x x ∴=-≤≤=-.故选：B.2．若复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D先求出复数z ，进而得到其对应点所在象限. 解：()11,z i i -=+()211112i i iz i i i ++∴=+=+=-, ∴复数z 在复平面内对应的点（2，-1）在第四象限， 故选：D3．若x ，y 满足约束条件22,20,22x y y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则3z x y =+的最小值为（）A ．10-B ．8-C ．16D ．20答案：B根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数3z x y =+的最小值. 解：作出可行域如下图所示：当直线3z x y =+经过点A 时，此时纵截距最小，即z 有最小值，又2220y x y =-⎧⎨-+=⎩，解得22x y =-⎧⎨=-⎩，所以()2,2A --，所以()()min 3228z =⨯-+-=-， 故选：B.思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤： （1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起； （3）通过平移直线确定出直线纵截距的最值，从而目标函数最值可求.4．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据下图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）A ．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌B ．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C ．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大D ．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低 答案：D根据同比与环比的概念，结合图中数据对选项一一判断即可.解：对于A ，观察图中同比曲线，除11月份同比为-0.5，其余均是正值，所以2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌，A 正确.对于B ，观察图中环比曲线，有正有负，如2月份0.8，3月份-1.2，环比有涨有跌，B 正确.对于C ，观察图中同比曲线，1月份同比增加5.4，大于其他月份同比值，故2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，C 正确.对于D ，观察图中环比曲线，3月份环比值-1.2，4月份-0.9，易知4月份消费价格比3月份低，故D 错误. 故选：D.5．已知圆22:240C x y ax y +-+-=关于直线:10l x y +-=对称，圆C 交x 轴于A ，B 两点，则 AB =（）A ．B ．C ．D 答案：A由已知圆关于直线对称，把圆心代入直线求出a ，利用垂径定理求AB .解：圆22:240C x y ax y +-+-=的标准方程为：()2221524a a x y ⎛⎫-++=+ ⎪⎝⎭，圆心C ：,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径R =因为圆22:240C x y ax y +-+-=关于直线:10l x y +-=对称，所以1102a--=，解得：a=4，所以圆心C ：()2,1-，R =.所以圆心到x 轴距离为1，由垂径定理得：AB =. 故选：A求圆锥曲线的弦长：（1）特别的：圆中求弦长用垂径定理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：12||AB x x p =++；（2）“设而不求法”，利用弦长公式12|||AB x x =-求弦长，这是求弦长的一般方法.6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-.则不等式()0x f x ⋅>的解集为（）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()()1,00,1-C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()(),11,-∞-+∞答案：C讨论当0x ≥时，可得()0f x >；当0x <，由偶函数性质得出()()1f x x x =-+，由不等式()0f x <可求解.解：当0x ≥时，()()1f x x x =-，由()0x f x ⋅>可得()0f x >，即()10x x ->，解得01x <<；当0x <时，0x ->，则()()1f x x x -=-+，又()f x 是偶函数，()()1f x x x ∴=-+，由()0x f x ⋅>可得()0f x <，即()10x x -+<，解得1x <-， 综上，()0x f x ⋅>的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C.7．在平行四边形ABCD 中，2AB =，AD =，点F 为边CD 的中点，若0AF DF ⋅=，则BF AC ⋅=（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C建立平面直角坐标系，利用坐标法即可得到结果. 解：∵0AF DF ⋅=，∴AF AB ⊥，如图建立平面直角坐标系，()()()0,2,1,2,2,0F C B ，∴()()1,2,2,2AC BF ==-， ∴242BF AC ⋅=-+=， 故选：C8．已知7log 22a =，7log 33b =，7log 66c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．b c a >>答案：B先把a 、b 、c 化为“同构”形式，利用函数的单调性判断大小. 解：∵log log ma a mb b =， ∴777log lo 6g 23g 2826lo a ===， 777log 3lo 6g 2g 3936lo b ===7log 66c =因为7log y x =为增函数，所以777log 6log 8log 9<<， 所以b a c >>. 故选：B指、对数比较大小：（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小； （2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.9．已知数列{}n a 满足：122a a ==，()12343n n n a a a n --=+≥，则910a a +=（） A ．74 B ．84C ．94D ．104答案：C由已知关系求得数列1{}n n a a ++是等比数列，由等比数列通项公式可得结论． 解：由题意124a a +=，由()12343n n n a a a n --=+≥得1124()n n n n a a a a ---+=+，即1124n n n n a a a a ---+=+(3)n ≥，所以数列1{}n n a a ++是等比数列，仅比为4，首项为4，所以99104a a +=．故选：C ．10．设函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足()20f =.则()f x 的最小正周期为（）A ．169B ．16C ．18D ．98答案：A根据图象可以确定最小正周期的取值范围，结合正弦型函数的周期公式进行求解即可, 解：因为()20f =，所以1sin 2=02=()()4428k k Z k k Z πππωωπωπ⎛⎫-⇒-∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，设函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，由图可知：5242T T ⎧>⎪⎨⎪<⎩， 因为0>ω，所以有52254242ππωπωπω⎧⋅>⎪⎪⇒<<⎨⎪<⎪⎩，因为1()28k k Z πωπ=+∈，所以79244k k Z k ππ<<∈∴=，所以98ωπ=，因此216998T ππ==， 故选：A11．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（） A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π答案：A由圆锥侧面展开图求得圆锥的母线和底面半径，作出圆锥的轴截面，其外接圆是球的大圆，由图形求得球半径，从而可得球表面积． 解：设圆锥母线为l ，底面半径为r ，则2223133r l l ππππ⎧=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得31l r =⎧⎨=⎩，如图，ABC 是圆锥轴截面，外接圆O 是球的大圆，设球半径为R ，1cos 3r ABC l ∠==，22sin 3ABC ∠=， 922sin 4223l R ABC ===∠，928R =， 所以球表面积为2292814488S R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．故选：A ．方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径．在球圆锥或圆柱、圆台问题中可以作出圆柱（圆锥，圆台）的轴截面，轴截面的外接圆为球的大圆，由此建立了球半径与圆柱（圆锥圆台）的量之间的关系．12．已知点F 为抛物线2:6E y x =的焦点，点A 在E 上，线段OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，则1||2OB AF -=（） A ．1 B ．32C ．2D ．94答案：D由题知3,0,32F p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设点()00,A x y ，进而得20033262y AF x =+=+，再求出线段OA 的垂直平分线的方程为：20002612y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，进而得20312B y x =+，再计算即可得答案.解：因为点F 为抛物线2:6E y x =的焦点，故3,0,32F p ⎛⎫=⎪⎝⎭， 设点()00,A x y ，则2006y x =，由抛物线的定义得：20033262y AF x =+=+故直线OA 的斜率为0006y k x y ==，线段OA 的中点坐标为：20000,,22122x y y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以线段OA 的垂直平分线的方程为：20002612y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 故令0y =得2312B y x =+，所以2020113933122443262y OB y AF ⎛⎫+-=-= ⎪=+⎝⎭- 故选：D本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于设点()00,A x y ，进而求得2312B y x =+，再结合抛物线的定义计算即可. 二、填空题13．记等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，若455S a =，则15a =___________. 答案：0由455S a =，可得：()11434542a d a d ⨯+=+，从而可得结果. 解：设等差数列{} n a 的公差d ， 由455S a =，可得：()11434542a d a d ⨯+=+， ∴1140a d +=， 即150a =， 故答案为：014．若函数()2ln xf x x e m x =-在点()()1,1f 处的切线过点()0,0，则实数m =___________.答案：2e求导得()()2'2xmf x x x e x=+-，进而得()()1,13f e f e m '==-，故切线方程为()()31y e e m x -=--，再结合切线过点()0,0即可得2m e =.解：解：函数()2ln xf x x e m x =-，求导得()()22xm f x x x e x'=+-， 所以()()1,13f e f e m '==-， 所以函数()2ln x f x x e m x =-在点()()1,1f 处的切线方程为：()()31y e e m x -=--，又因为切线过点()0,0，所以()()0301e e m -=--，解得：2m e =. 故答案为：2e本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题. 导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.15．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>与抛物线()2:20C y px p =>有共同的一焦点，过E 的左焦点且与曲线C 相切的直线恰与E 的一渐近线平行，则E 的离心率为___________.由平行得切线方程，由直线与抛物线相切得,,a b c 的关系式，从而可得离心率．解：因为抛物线与双曲线共焦点，所以2p c =，2p c =，抛物线方程为24y cx =， 双曲线的左焦点为1F (,0)c -，过1F 与一条渐近线by x a=平行的直线方程为()by x c a=+，由24()y cx by x c a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得22440by acy bc -+=， 所以222216160a c b c ∆=-=，所以a b =，从而c ==，离心率为ce a==．关键点点睛：本题考查考查求双曲线的离心率．解题关键是求出双曲线是,a c （,,a b c ）的关系．建立等量关系的途径是利用直线与抛物线相切，用,,a b c 写出直线方程，与抛物线方程联立，消元后，判别式等于0．16．已知三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，ABC 是边长为4的正三角形，点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，D 是AC 上的一点，且EF SD ⊥，若3FD =，则DE =___________.根据正三棱锥的性质，结合线面垂直的判定定理、线面垂直的性质、余弦定理进行求解即可.解：取AC 的中点H ，连接SH BH 、，因为ABC 是边长为4的正三角形，所以AB BC =，因此AC BH ⊥，又因为SA SC =，所以AC SH ⊥，因为=SH BH H ，SH BH ⊂，平面SBH ，因此AC ⊥平面SBH ，而SH ⊂平面SBH ，所以AC SB ⊥， 又因为点E ，F 分别是SC ，BC 的中点，所以//EF SB ，而EF SD ⊥，所以SB SD ⊥， 而ACSD D =，AC SD ⊂，平面SAC ，所以SB ⊥平面SAC ，因为SH ⊂平面SAC ，所以SB SH ⊥，因为ABC 是边长为4的正三角形，所以122CF BC ==，122CH AC ==，在ABC中，222212cos 94222DF DC CF DC CF ACB DC DC =+-⋅⋅⋅∠⇒=+-⋅⨯，解得1DC =，设SA SB SC x ===， 因为AC SH ⊥，所以22224SH SC CH x =-=-， 因为AC BH ⊥，所以22216412BH BC CH =-=-=，因为SB SH ⊥，所以22222124BH SB SH x x x =+⇒=+-⇒=，因为AC SH ⊥，所以2cos 45222CH SCH SCH SC ︒∠===⇒∠=， 在DEC 中，222222cos (16)22(16)272DF DC CE DC CE ACS =+-⋅⋅⋅∠=++-+⋅⨯=， 所以7DE =，故答案为：7关键点睛：本题通过取AC 的中点H ，得到AC ⊥平面SBH ，结合已知再得到SB ⊥平面SAC ，进而得到SB SH ⊥是解题的关键. 三、解答题17．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩(单位：分)，绘制成如图所示的茎叶图：（1）通过茎叶图分析哪个年级的学生学习效果更好；(不要求计算，分析并给出结论)（2）根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级： 测试成绩(单位：分) [)60,70[)70,80[)80,90[)90,100等级合格中等良好优秀现已从高一､高二两个年级成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出5位同学参加座谈会，要再从这5位同学中任意选出2人发言，求这2人来自不同年级的概率. 答案：（1）高二年级的学生学习效果更好；（2）35. （1）根据茎叶图的特点，结合平均数、数据的集中情况进行分析即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型计算公式用列法法进行求解即可.解：（1）由图知：高二年级的学生成绩的平均分高于高一年级考核成绩的平均分；高二年级的学生成绩比较集中，而高一年级的同学成绩比较分散.∴高二年级的学生学习效果更好.（2）由图知：高一､高二两个年级数学成绩为良好的人数分别为4，6， 若用分层抽样法抽出5人，则应从高一､高二两个年级各抽出2人､3人. 设“5位同学任意选出2人发言，这2人是来自不同年级的同学”为事件A . 将高一选出的2人记为；a ､b ，高二选出的3人记为：1，2，3. 可得ab ，1a ，2a ，3a ，1b ，2b ，3b ，12，13，23共有10种选法， 事件A 包含1a ､2a ､3a ､1b ､2b ､3b 共有6种.()35P A ∴=.∴选出的2人是来自不同班的同学的概率等于35.18．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90ADC ∠=︒，ABC 为锐角三角形，且3AB =，7AC =，60ABC ∠=︒.（1）求sin BAC ∠的值； （2）求BCD △的面积. 答案：（121；（23.（1）根据正弦定理求解即可；（2）根据等面积法将BCD △的面积转化为ACD △的面积，又由于ACD △为直角三角形，求出边长，进而计算面积即可.解：解：()1在锐角ABC 中，3AB =，AC =，60ABC ∠=︒，由正弦定理得sin sin 14AB ABC ACB AC ⋅∠∠==， 又因为ABC 为锐角三角形cos ACB ∴∠=. sin sin sin 33BAC ACB ACB πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∠=-+∠=+∠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin BAC ∴∠=1sin coscos sin331421427ACB ACB ππ∠⋅+∠⋅=+⨯=.()2//AB CD ，∴∠=∠ACD BAC ，sin sin 7ACD BAC ∴∠=∠=.在Rt ADC 中，sin 7AD AC ACD =⨯∠==，2CD ∴==，BCDACDSS=，又12ACDSAD CD =⨯=BCDS∴=.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.19．如图，四棱锥 B ACDE -中，//AE CD ，AC CD ⊥，222CD CB AE AC ====，平面BCD ⊥平面ACDE ，点F 为BD 的中点.（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若EF CD ⊥，求四棱锥 B ACDE -的体积. 答案：（1）证明见解析；（2）1.（1）取BC 的中点G ，连接GF ，GA ，再根据点F 为BD 的中点，易证四边形AEFG 为平行四边形，从而//EF AG ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）易证CD ⊥平面ABC ，进而得到平面BCD ⊥平面ACDE ，再由CD BC ⊥，得到BC ⊥平面ACDE ，由13B ACDE ACDEV S BC -=⋅梯形求解. 解：（1）证明：取BC 的中点G ，连接GF ，GA .点F 为BD 的中点，//GF CD ∴，且12GF CD =. 又//CD AE ，2CD AE =，//GF AE ∴，且GF AE =， ∴四边形AEFG 为平行四边形，//EF AG ∴，又EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，//EF ∴平面ABC .（2）EF CD ⊥，CD AG ∴⊥，又AC CD ⊥，,AC AG A ⋂=CD 平面ABC ，CD BC ∴⊥.又平面BCD ⊥平面ACDE ，平面BCD 平面ACDE CD =，BC ∴⊥平面ACDE ，BC ∴为四棱锥B ACDE -的高，222CD CB AE AC ====，()()111112213326B ACDE ACDE V S BC AE CD BC -∴=⋅=⨯+⨯=⨯+⨯=梯形.方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a∥b ⇒a∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a∥β)；（4）利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a∥α⇒a∥β)．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点).（1）求椭圆E 的方程；（2）过右焦点F 且不与x 轴重合的直线与椭圆交于M ，N 两点，已知()3,0D ，过M 且与y 轴垂直的直线与直线DN 交于点P ，求证：点P 在一定直线上，并求出此直线的方程.答案：（1）22184x y +=；（2）证明见解析，直线4x =. （1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.（2）由题设知MN 的斜率不可能为0，可设直线MN 的方程为2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立椭圆方程，应用韦达定理可得1212y y my y +=，再由点斜式表示直线DN ：()2233y y x x =--，则()12233P y x x y -=+即可判断是否为定直线. 解：（1）由题意，22611a b +=且2c a =，又222a b c =+，解得28a =，24b =. ∴椭圆的方程为22184x y +=.（2）设直线MN 的方程为2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程222,1,84x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222440m y my ++-=，2221616(2)32(1)0m m m ∆=++=+>， 由12242my y m -+=+，12242y y m -=+，即1212y y my y +=. 直线DN 的方程为()2233y y x x =--.① 过M 且与y 轴垂直的直线的方程为1y y =.② 联立①②可得()()1212121222313334P y x y my y y yx y y y --+-=+=+=+=.∴点P 在定直线4x =上.关键点点睛：第二问，设直线MN 的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定1212,y y y y +的关系，进而由P 的位置用12,y y 表示出其横坐标. 21．已知函数()xf x e alnx =-.（1）若函数()f x 在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当2a e =时，求证：()0f x >. 答案：（1）(],0-∞；（2）证明见解析.（1）首先求出函数的导函数，依题意可得0x xe ax-≥在()0,∞+恒成立，再分0a ≤和0a >两种情况讨论，即可得解；（2）易知()2xe f x e x'=-在()0,∞+上单调递增，再根据零点存在性定理可得存在()01,2x ∈，使得()00f x '=，即可得到()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，即可得证.解：解：（1）由()xf x e alnx =-，得()()0xaf x e x x'=->. 函数()f x 在定义域内为增函数，()0x xa xe af x e x x-'∴=-=≥在()0,∞+恒成立.当0a ≤时，()0f x '≥，满足题意； 当 0a >时，设()()0xh x xe a x =->.易得()()10xh x x e '=+>，∴函数()h x 在()0,∞+上为增函数，()()00h x h a ∴>=-≥，即0a ≤与 0a >矛盾.综上，实数a 的取值范围为(],0-∞.（2）易知()2xe f x e x'=-在()0,∞+上单调递增，又()210f e e '=-<，()2202ef '=>，∴存在()01,2x ∈，使得()00f x '=，即02x c e x =，002lnx x ∴=-.当()00,x x ∈时，()0f x '<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.()()02222222000001 22220x e f x e e lnx e x e x e e e x x ⎛⎫∴≥-=--=+->- ⎪⎭=⎝.()0f x ∴>.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E的参数方程为,4x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，直线l 的参数方程为cos sin x t y t ββ=⎧⎨=⎩(t 为参数，0βπ≤<).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别写出曲线E 和直线l 的极坐标方程；（2）直线l 与曲线E 交于M ，N 两点，若3ON OM =，求直线l 的斜率.答案：（1）曲线E 的极坐标方程为28sin 60ρρθ-+=，直线l 的极坐标方程为(),0θβρβπ=∈≤<R ；（2）±1.（1）将圆的参数方程化为普通方程，在将普通方程化为极坐标方程，根据直线的参数方程得直线l 过坐标原点，且倾斜角为β，再写极坐标方程.（2）设()2,N ρβ，()1,M ρβ，将直线():,0l θβρβπ=∈≤<R 代入曲线E 的得128sin ρρβ+=，126ρρ=，再结合3ON OM =得213ρρ=，解方程得sin β=，故直线l 的斜率为±1.解：解：()1由,4,x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得()22410x y +-=.由sin ,cos ,y x ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线E 的极坐标方程为28sin 60ρρθ-+=.直线l 的极坐标方程为(),0θβρβπ=∈≤<R .()2将直线():,0l θβρβπ=∈≤<R ，代入曲线E 的方程得28sin 60ρρβ-+=.由264sin 240β∆=->，解得2sin 38β>. 设()2,N ρβ，()1,M ρβ，由韦达定理得128sin ρρβ+=，126ρρ=.3ON OM =，213ρρ∴=，所以1213ρρρ==所以sin β=，满足0∆>. 0βπ≤<，4πβ∴=或34π， tan 1k β∴==±，∴直线l 的斜率为±1.本题主要考查了极坐标与直角坐标，以及参数方程与普通方程的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程的应用，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.23．已知函数()|22||21|f x x x =-+-，()|1||42|g x x x =++-.（1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()()2||f x g x a x -≥恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：（1）17,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(],2-∞-.（1）根据绝对值的定义取绝对值号，解不等式即可；（2）对x 讨论后，分离参数，利用绝对值的三角不等式求出a 的范围. 解：解：（1）不等式()4f x ≥即22214x x -+-≥ 当1≥x 时，434x -≥，解得74x ≥； 当112x <<时，14≥不成立； 当12x ≤时，344x -≥，解得14x ≤-. 综上，不等式()4f x ≥的解集为17,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.（2）由题意得()()24|1||1|f x g x x x -=--+， 当0x =时，03≥，显然成立. 要使()()2||f x g x a x -≥成立， 即()()()20||f x g x a x x -≤≠，令()()()()20||f xg xh x x x -=≠，即()4|1||1|114|1||1|||x x h x x x x--+==--+11|1||1|x x ≥--+(当且仅当1x =时取得等号) 11|11|2x x≥--++=-(当且仅当01x <≤时取得等号).∴当1x =时函数()h x 取得最小值2-.2∴≤-a .即实数a 的取值范围为(],2-∞-.（1）含绝对值的函数问题处理方法：通过对x 的范围的讨论去绝对值符号，转化为分段函数；（2）利用绝对值三角不等式，可以减少绝对值的个数，求最大值或最小值.。

绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(文)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ABABC BCDCC AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．)041(，-14．-160 15．arccos 3116．①③三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（I ）由m //n ，可得3sin x =-cos x ，于是tan x =31-． ∴922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+， 由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴ 23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m +n )·n=(sin x +cos x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x cos x -2 =22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分 由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-．即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分 18．解：设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，（I ）“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367． ……6分 （II ）“游戏A 、B 被闯关成功的总人数为3”为A 2B 1+A 1B 2． ∴ P (A 2B 1+A 1B 2)=P (A 2B 1)+P (A 1B 2)=P (A 2)·P (B 1)+P (A 1)·P (B 2)2121)32(3132)21(1222212222⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=C C C C=31． 即游戏A 、B 被闯关成功的总人数为3的概率为31． ……………………12分 19．（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图．∵ E 为中点， ∴ EF //BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）解：由面ABCD ⊥面ADD 1A 1，且四边形ADD 1A 1为正方形，四边形ABCD 为矩形，得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∴ D (0，0，0)、D 1(0，0，1)、A 1(1，0，1)、E (1，1，0)，∴ )101(1，，=DA 、)011(，，=DE 、)001(11，，=A D 、)111(1-=，，D ． 设面A 1DE 的一个法向量为n 1)1(11，，y x =，面D 1A 1E 的一个法向量为n 2)1(22，，y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DE DA n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0012112E D A D n n 即⎩⎨⎧=+=+，，001111y x x ⎩⎨⎧=-+=，，010222y x x 解得：n 1=(-1，1，1)，n 2=(0，1，1)． 设D 1-A 1E -D 的大小为θ，于是36232cos 2121=⋅=⋅⋅=n n n n θ，∴ 36arccos=θ，即二面角D 1-A 1E -D 的大小为36arccos ．………………5分（III ）解：D AA E D D AA B DBE D A V V V 11111---=D AA D D AA S EA S AB 1113131∆⋅⋅-⋅⋅==AD AA EA DD D A AB ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅1111213131 =112113111231⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ 21=． ……………………………………………………12分 20．（I ）证明：函数f (x )的反函数为xxx f -=-1)(1（x ≠1）． ∵ n n S S f =+-)(11(n ∈N *)， ∴ 111++-=n n n S S S ，即1111=-+nn S S ，∴ 数列{nS 1}是以1为公差，首项的等差数列11111==a S ． …………………4分（II ）由（I ）知，n n S n =⋅-+=1)1(11，即nS n 1=． ∴ 当n =1时，a n =S 1=1， 当n ≥2时，)1(11111--=--=-=-n n n n S S a n n n ， 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-==．，，，2)1(111n n n n a n ………………………………………………………6分 由题意得⎩⎨⎧≥⋅-==．，，，22)1(12n n n b nn …………………………………………………7分 ∴ 当n =1时，T n =T 1=b 1=2． 当n ≥2时，T n =2+1×22+2×23+3×24+…+(n -2)·2n -1+(n -1)·2n ， 2T n =22+1×23+2×24+…+(n -2)·2n +(n -1)·2n+1， ∴ T n -2T n =2+23+24+…+2n -(n -1)·2n+11232)1(21)21(22+-⋅----+=n n n ，即-T n =(2-n )·2n+1-6， ∴ T n =(n -2)·2n +1+6，经验证n =1时，T 1的值也符合此公式，∴ 对n ∈N *，T n =(n -2)·2n +1+6． …………………………………………12分21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b +c =4，即|AC |+|AB |=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ． ………………………………4分（II ）∵ ||||-=+，∴ 22||||CN CM CN CM -=+，展开得0=⋅，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，于是CM =(x 1-1，y 1)，=(x 2-1，y 2)， ∴ (x 1-1，y 1)·(x 2-1，y 2)=0，即(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=0，整理得 x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=0． (*)…………………………………………6分 ①直线l 的斜率存在时，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，134)1(22y x x k y消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2-12=0，则，2221438k k x x +-=+222143124kk x x +-=． 由(*)式得x 1x 2-(x 1+x 2)+1+k 2(x 1+1)(x 2+1)=0， 即(1+k 2)x 1x 2+(k 2-1)(x 1+x 2)+k 2+1=0，∴ 01)438()1(43124)1(2222222=+++-⋅-++-⋅+k kk k k k k ， 整理得0439722=+-kk ，解得k =±773. ∴ 直线l 的方程为y =773x +773，或y =-773x -773．………………10分 ②当直线l 的斜率不存在时， l 的方程为x =-1，易得M (-1，23)，N (-1，23-)，∴ 0134)232()232(≠=-=--⋅-=⋅，，， ∴ 不满足题意．综上所述，直线l 的方程为y =773x +773，或y =-773x -773．……12分 22．解：（I ）∵ )(666)(2a x x ax x x f -=-='，当a =0时，x x f 6)(='≥0，于是)(x f 在R 上单调递增； 当a >0时，x ∈(0，a )，0)(<'x f ，得)(x f 在(0，a )上单调递减；x ∈(-∞，0)∪(a ，+∞)，0)(>'x f ，得)(x f 在(-∞，0)，(a ，+∞)上单调递增； 当a <0时，)0(，a x ∈，0)(<'x f ，得)(x f 在(0，a )上单调递减；x ∈(-∞，a )∪(0，+∞)，，0)(>'x f 得)(x f 在(-∞，a )，(0，+∞)上单调递增． 综上所述：当a =0时，f (x )的增区间为(-∞，+∞)；当a >0时，f (x )的增区间为(-∞，0)，(a ，+∞)；f (x )的减区间为(0，a )； 当a <0时，f (x )的增区间为(-∞，a )，(0，+∞)；f (x )的减区间为(a ，0)．………………………………………………………3分（II ）当a >0时，由（I ）得f (x )在(-∞，0)，(a ，+∞)上是增函数，f (x )在(0，a )上是减函数； 则f (x )的极大值为f (0)=a +b ，f (x )的极小值为f (a )=a +b -a 3． 要使f (x )有三个不同的零点，则⎩⎨⎧<>，，0)(0)0(a f f 即⎩⎨⎧<-+>+，，003a b a b a 可得-a <b <a 3-a ．………………………………………………………………8分 （III ）由2x 3-3ax 2+a +b =x 3-2ax 2+3x +a +b ， 得x 3-ax 2-3x =0即x (x 2-ax -3)=0，由题意得x 2-ax -3=0有两非零实数根x 1，x 2， 则x 1+x 2=a ，x 1x 2=-3，即124)(||1221221212+=-+=-≤++a x x x x x x tm m . ∵ f (x )在[1，2]上是减函数，∴ )(666)(2a x x ax x x f -=-='≤0在[1，2]上恒成立， 其中x -a ≤0即x ≤a 在[1，2]上恒成立， ∴ a ≥2． ∴122+a ≥4．假设存在实数m 满足条件，则m 2+tm +1≤(122+a )min ，即m 2+tm +1≤4，即m 2+tm -3≤0在t ∈[-1，1]上恒成立，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤--，，030322m m m m 解得21132131-≤≤-m ． ∴ 存在实数m 满足条件，此时m ∈[，2131-2113-]． …………………14分。

绵阳市高中XXX级第三次诊断性考试文数数学〔文科)本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部。

第I卷1至3页，第II卷3至4页。

总分值150分。

考试时.间120分钟。

本卷须知：1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2. 选择题运用2B铅笔填涂在答题卡对应标题标号的位置上，非选择题用0.5亳米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案有效；在草稿纸、试题卷上答题有效。

3. 考试完毕后，将答题卡收回。

参考公式：假设事情A、B互斥,那么；假设事情A、B相互独立，那么；假设事情J在一次实验中发作的概率为P，那么在A7次独立重复实验中恰恰发作k次的概率：第I卷〔选择题，共60分〕一、选择题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的，把它选出来填涂在答题卡上.1 假设集合A= {}, B= {},那么=A. {—1, 0, 1 }B. { — 1, 1 }C. {0 }D.2. 函数y=2 + ln (x +1)(x>-1)的反函数是A. B.C. D.3. 某单位有职工600人，其中30岁及以下职工180人，30岁以七40岁及以下职工200人，40岁以上50岁及以下职工140人，50岁以上职工80人.为了解职工的身体安康状况，决议釆用分层抽样的方法，从中抽取容量为30的样本，那么从上述各层中依次抽取的人数是A. 9, 10, 7, 4B. 9, 10, 6, 5C. 8, 10, 7, 5D. 10, 11, 5，44. 给出如下命题：①两条相交直线在同一平面内的射影必是相交直线②假设两条直线在同一平面内的射影是平行直线，那么这两条直线平行或异面③设a,b是直线，a是平面，假定a丄b且a丄a，那么b//a其中正确命题的个数是A. O个B.1个C. 2个D. 3个.5. 以下函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B.且C. D.6. 假定m〉0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1 =0的对称点在直线x—y+ 2=0上，那么的最小值等于A. B. C. 9 D. 187. 8名志愿者分红4组到四个不同场所效劳，每组2人，其中志愿者甲和志愿者乙分在同一组，那么不同的分配方案有A. 2160种B: 60种 C. 2520种 D. 360种8. 函数，那么以下结论错误的选项是A. 函数的图象的一条对称轴为x=B. 点〔，0)是函数图象上的一个对称中心C. 函数在区间〔)上的最大值为3D. 函数的图象可以由函数图象向右平移个单位失掉9. 某企业消费4、S两种产品，J产品的利润为60元/件，5产品的利润为80元/件，两种产品都需求在加工车间和装配车间停止消费.每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8 h和2.4 h，每件B产品在加工车间和装配车间都需经过1.6h.在一个消费周期中，加工车间最大加工时间为240 h，装配车间最大消费时间为288 h，在销路顺畅不阻碍的状况下，该企业在一个消费周期内可取得的最大利润是A. 12400元B. 12600元C. 12800元D. 13000元10. 数列{}为等差数列，其前n项和为S…，己知，假定对恣意n，都有成立，那么的值等于A. 7B. 8C. 9D. 1011. 点P、A、B、C是球面上的四个点，P A、P B、PC两两垂直，且PA = PB=P C = 2,那么A b 两点间的球面距离等于A. B.C. D.12. 考察以下四个命题：①直线l,二次函数的图象〔抛物线〕C,那么〝直线l与抛物线C有且只要一个公共点〞是〝直线l与抛物线C相切〞的必要不充沛条件②〝a+b= O〞是〝直线y= x + 2与圆相切〞的充沛不用要条件③〝〞是〝函数是奇函数〞的充沛不用要条件④的最小正周期为6〞是"函数关于恣意实数X，有〞的充沛必要条件其中一切正确的命题是A.①②B.①③C.③④D.①②④第II卷〔非选择题共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13. 展开式的常数项是_________.(用数字作答〕14. 正三棱柱中，.，M为CC1的中点，那么直线BM与平面所成角的正弦值是_________.15. P是双曲线.右支上一点，F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，假定,且，那么点P到双曲线右准线的距离是_________.16. 设集合,对恣意，运算〝〞具有如下性质：(1)；(2)；(3).给出以下命题：①：②假定，那么；③假定，且，那么a = 0;④假定，，且，，那么a= c.其中正确命题的序号是_________ (把你以为正确的命题的序号都填上〕.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解容许写出文字说明、证阱进程或演算步骤.17. (此题总分值12分〕在中，角A,B, C所对的边区分为a,b，c,向量»且满足.(1) 求角C的大小；(2) 假定a-b= 2, C =,求的面积.18. (此题总分值12分〕甲、乙两同窗停止投篮竞赛，每一局每人各投两次球，规则进球数多者该局获胜，进球数相反那么为平局.甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为，甲、乙之间的投篮相互独立.(1) 求一局竞赛甲进两球获胜的概率；(2) 求一局竞赛的结果不是平局的概率.19.(此题总分值12分〕如图1,E,F，G区分是边长为2的正方形所ABCD所在边的中点，沿EF将ΔCEF截去后，又沿EG将多边形ABE FD折起，使得平面DGEF丄平面A B E G失掉如图2所示的多面体.(1) 求证：FG丄平面BEF；(2) 求二面角A-BF-E的大小；(3) 求多面体ADG—BFE的体积.20. (此题总分值12分)设椭圆C:(〝a>b〉0)的左焦点为，椭圆过点P〔).(1)求椭圆C的方程；(2)点D(1, 0),直线l:与椭圆C交于a、B两点,以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围.21. (此题总分值12分)是函数()的导函数，数列{}满足.(1) 求数列{}的通项公式；(2) 假定，为数列{}的前n项和，求22. (此题总分值14分)设a为实数，函数,x(1) 当a= 0时，求的极大值、极小值；(2) 假定x>0时，，求a的取值范围；.(3) 假定函数在区间〔0,1)上是减函数，求a的取值范围.绵阳市高中2020级第三次诊断性考试 数学〔文科〕参考解答及评分规范一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分． CBAB DADD BBCA二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分． 13．15 14．4615．2 16．①③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解 〔1〕∵ m ·n =21)22cos(2sin 2sin 2cos 2cos -=+-=+-B A B A B A ， ……… 3分∴ 212cos =+B A ．留意到 220π<+<B A ，∴ 32π=+B A ，得 3π=C ．……… 6分〔2〕由 c 2 = a 2 + b 2－2ab cos 3π，得 5 =〔a －b 〕2 + ab ，ab = 1， ……… 9分 因此△ABC 的面积43sin 21==∆C ab S ABC ． ………………… 12分18．解 〔1〕设〝一局竞赛甲进两球获胜〞为事情A ，那么221222111()()[()()]3223P A C =⋅+⋅=． ………………… 6分〔2〕设〝一局竞赛出现平局〞为事情B ，那么 221122222112112113()()()()()()323323236P B C C =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=， ………………… 10分所以 23()1()36P B P B =-=，即一局竞赛的结果不是平局的概率为2336．………………… 12分19．解 〔1〕证明 ∵ 面DGEF ⊥面ABEG ，且BE ⊥GE ， ∴ BE ⊥面DGEF ，得 BE ⊥FG ．又 ∵ GF 2 + EF 2 =〔2〕2 +〔2〕2 = 4 = EG 2， ∴ ∠EFG = 90︒，有 EF ⊥FG ．而 BE ∩EF = E ，因此 FG ⊥平面BEF ．………… 4分 〔2〕如下图，树立空间直角坐标系，那么A 〔1，0，0〕， B 〔1，2，0〕，E 〔0，2，0〕，F 〔0，1，1〕，于是，FA = (1,－1,－1)，FB = (1,1,－1)，FE = (0,1,－1)．设相交两向量FA 、FB 的法向量为n 1 = (x 1, y 1, z 1)，那么由n 1⊥FA ，得 x 1－y 1－z 1 = 0；由n 1⊥FB ，得 x 1 + y 1－z 1 = 0． 解得 y 1 = 0，x 1 = z 1，因此令 n 1 =〔1，0，1〕．理想上，由〔1〕知，平面BEF 的一个法向量为n 2 =〔0，1，1〕．所以 cos< n 1, n 2> =211111111001||||2121=+⋅+⨯+⨯+⨯=⋅⋅n n n n ，两法向量所成的角为3π，从而图2中二面角A －BF －E 大小为32π．……………… 8分另法 如图，补成直三棱柱，应用三垂线定理求出二面角H －BF －E 的大小为3π，进而求得二面角A －BF －E 的大小为32π．〔3〕连结BD 、BG 将多面体ADG －BFE 联系成一个四棱锥B －EFDG 和一个三棱锥D －ABG ，那么多面体的体积= V B －EFDG + V D －ABG ．653121112213111)21(2131=+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅． ……………… 12分另法 补成直三棱柱或过F 作ADG 的平行截面FKM ，那么 多面体的体积 = V 柱－V F －BEH =65 或 = V 柱 + V F －BEMK =65．20．解 〔1〕由题意知3=c ，b 2 = a 2－3，由2212213a a +=- 得 2a 4－11a 2 + 12 = 0，所以〔a 2－4〕〔2a 2－3〕= 0，得 a 2 = 4或2232a c =<〔舍去〕，因此椭圆C 的方程为1422=+y x ． ……………… 4分〔2〕由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 222(41)84(1)0k x kmx m +++-=． 所以4k 2 + 1＞0，0161664)1)(14(166422222>+-=-+-=∆m k m k m k ，得 4k 2 + 1＞m 2． ① ……………… 6分 设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，AB 中点为M 〔x 0，y 0〕，那么122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -⋅=+， 于是 02441km x k -=+，02244141km m y k m k k -=⋅+=++，224(,)4141km m M k k -∴++． 设菱形一条对角线的方程为1(1)y x k=--，那么有 x =－ky + 1．将点M 的坐标代入，得 22414141km kmk k --=+++，所以2413k m k +=-． ② ……………… 9分将②代入①，得2222(41)419k k k ++>，所以9k 2＞4k 2 + 1，解得 k ∈),55()55,(+∞⋃--∞． ……………… 12分 法2 11221212(1,)(1,)(2,)DA DB DQ x y x y x x y y +==-+-=+-+FD GBEAH2228822(,)4141km k m k k ++=-++．直线l 的方向向量为〔1，k 〕， 那么由菱形对角线相互垂直得2228822(1,)(,)04141km k mk k k ++⋅-=++，即228822041km k km k ---+=+，－3km = 4k 2 + 1，2413k m k +=-， 代入①即得．法3 设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，AB 中点为M 〔x 0，y 0〕，那么142121=+y x ，142222=+y x ，于是，两式相减可得 1422212221=-+-y y x x ，即 x 0 + 4ky 0 = 0． ①由于 QD ⊥AB ，所以 1100-=-=x y k k QD ． ②由①②可解得 340=x ，031y k -=，说明点M 的轨迹为线段340=x 〔35||0<<y 〕．当350<<y ，k ∈〔35，+∞〕；当035<<-y ，k ∈〔－∞,35〕． 综上，k 的取值范围是k ∈),55()55,(+∞⋃--∞．21．解 〔1〕∵ n xx x f 221)(2+=，n ∈N *， ∴ nx x f 21)(+='，于是 a n+1 = f ′ (a n ) = a n +n 21，从而 a n+1－a n =n 21,n ∈N *，3分 ∴ a n －a 1 =〔a n －a n －1〕+〔a n －1－a n －2〕+ … +〔a 3－a 2〕+〔a 2－a 1〕=1221)21(121212121----=++++n n n ，即 1)21(2--=n n a ，n ∈N *． 6分〔2〕∵ b n =〔2n －1〕〔2－a n 〕=〔2n －1〕·1)21(-n ，∴ 211111135()(21)()222n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，12n S =21111113()(23)()(21)()2222n n n n -⨯+⨯++-⋅+-⋅，211111112[()()](21)()22222n n n S n -∴=++++--⋅， ……………… 9分 113111[1()]1112224(21)()6()(21)()122212n n n n n S n n -----=+⋅--=---⋅-=12326-+-n n .12分22．解 〔1〕当a = 0时，f 〔x 〕= x 3－3x 2－9x ，f '〔x 〕= 3x 2－6x －9 = 3〔x + 1〕〔x －3〕，所以f 〔x 〕的极大值为f 〔－1〕= 5，极小值为f 〔3〕=－27． ……………… 4分〔2〕f 〔x 〕= x 3－3〔1－a 〕x 2 +〔a 2 + 8a －9〕x = x ， 令 g 〔x 〕= x 2－3〔1－a 〕x + a 2 + 8a －9，那么效果等价于当x ＞0时，g 〔x 〕= x 2－3〔1－a 〕x + a 2 + 8a －9≥0，求a 的取值范围．ⅰ〕假定二次函数g 〔x 〕的对称轴2)1(3a x -=＜0，即a ＞1时，依据图象，只需g 〔0〕≥0，即a 2 +8a －9≥0，解得a ≤－9或a ≥1．结合a ＞1，得a ＞1．ⅱ〕假定二次函数g 〔x 〕的对称轴2)1(3a x -=≥0，即a ≤1时，依据图象，只需△= 9〔1－a 〕2－4〔a 2 + 8a －9〕≤0，解得1≤a ≤9．结合a ≤1，得a = 1．故当x ＞0时，f 〔x 〕≥0，实数a 的取值范围是a ≥1． ……………… 9分〔3〕要使函数f 〔x 〕在〔0，1〕上是减函数，只需f '〔x 〕在〔0，1〕上恒小于0，由于 f '〔x 〕= 3x 2－6〔1－a 〕x + a 2 + 8a －9，其二次项系数为3，从而只需f 〔0〕≤0，且 f 〔1〕≤0，即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-++--=≤-+=,098)1(63)1(,098)0(22a a a f a a f 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤--≤≤-.761617,19a a易知761-＜1， 所以 －9≤a ≤761-．综上所述，假定函数f 〔x 〕在〔0，1〕上是减函数，那么a 的取值范围是－9≤a ≤761-．……………… 14分。