高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3-1-1实数指数幂及其运算学案新人教B版必修1

新课标导学
数学
必修① ·人教B版
第三章
基本初等函数(Ⅰ)ຫໍສະໝຸດ 第三章 基本初等函数(Ⅰ)
本章共分四大节．第一大节是指数与指数函数．首先引入了分数指数幂和
根式的概念．初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了
正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，并且学习了整数指数幂的运
算法则．有了这些知识，本章将指数幂的概念扩充到有理指数幂以及学习有理
指数幂的运算性质是不困难的．在此基础上学习指数函数及其图象和性质．第
二大节是对数与对数函数．首先学习对数和对数的运算法则、换底公式，然后
再学习对数函数及其图象和性质．第三大节是幂函数．首先以简单的幂函数为
数 主要例子，通过图象分析了幂函数的性质．第四大节是函数的应用．主要以例
学
必 修
题的形式，介绍如何建立函数的关系，即数学模型，其中包括了社会学、经济
①
· 学和核物理学等学科的应用例题．
人
教
B
版
第三章 基本初等函数(Ⅰ)
本章重点是指数函数和对数函数的性质；难点是无理指数幂的含义以及指 数和对数的关系.
数 学 必 修 ① · 人 教 B 版

• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。

的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。

合
作 探
2．零指数幂与负整数指数幂
课 时
究
1
• 攻
规定：a0＝_1_ (a≠0)，a－n＝_a_n__ (n∈N＋)．
分 层 作
重
业
难
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自
当
主
4．根式的相关概念和性质
堂
预
达
习 •
(1)根式的概念：
标 •
探
固
新 知
①a 的 n 次方根：使得_x_n_＝__a___ (a∈R，n>1，n∈N＋)的实数 x.
第三章 基本初等函数（Ⅰ）
3.1 指数与指数函数 3.1.1 实数指数幂及其运算
自
[自 主 预 习·探 新 知]
当
主
堂
预 习
1．有关幂的概念
达 标
•
•
探
新
an＝
固
.an 叫做 a 的__n_次__幂___，a 叫做幂的__底__数___，n 叫做幂的 双
知
基
_指__数__，n∈N＋并规定 a1＝a.
1．把 a＋ 1a2，a＋1a2 分别展开是什么？
• 固 双
知
基
合
提示： a＋ 1a2＝a＋1a＋2，a＋1a2＝a2＋a12＋2.
作
探
究 • 攻
2．a＋1a2 和a－1a2 有什么关系？
重 难
提示：a＋1a2＝a－1a2＋4.
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返
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已知 a ＋a ＝4，求下列各式的值：
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自
当
主
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预 习 •
3．化简3 a a(a>0)的结果是( )

3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数 学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算法则思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成加法来计算．那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝________________；(2)log a M N＝________________；(3)log a M n ＝________(n ∈R )．知识点二 自然对数1．定义：以无理数e ＝________为底的对数叫做自然对数．2．记法：log e N ＝________.知识点三 换底公式思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式．而实际上，早期只有常用对数表和自然对数表，可以查表求对数值．那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可得到什么结论？梳理 对数换底公式log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 特别地，log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．类型一 具体数字的化简求值例1 计算：(1)log 345－log 35；(2)log 2(23×45)； (3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2； (4)log 29·log 38.反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式．(2)不同底化为同底．跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；(2)(lg 25－lg 14)÷10012－； (3)log 43·log 98；(4)log 2.56.25＋ln e －0.06413.类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变换例2 化简log a x 2y3z.反思与感悟使用公式要注意成立条件，如lg x2不一定等于2 lg x，反例：log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的．要特别注意log a(MN)≠log a M·log a N，log a(M±N)≠log a M±log a N.跟踪训练2 已知y>0，化简log ax yz.命题角度2 用代数式表示对数例3 已知log189＝a,18b＝5，求log3645.反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元． 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.1．log 513＋log 53等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．log 51032．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c3．log 29×log 34等于( )A.14B.12 C ．2 D ．44．lg 0.01＋log216的值是________．log2＋(－9.8)0＝________.5．log327＋lg 25＋lg 4＋771．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N)n，②log a(MN)＝log a M·log a N，③log a M±log a N＝log a(M±N)．答案精析问题导学知识点一思考 有．例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋n ，∴log a (MN )＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N ，可以当公式直接进行对数运算． 梳理(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M知识点二(1)2.718 28… (2)ln N知识点三思考1 设法换为同底．思考2 把3x＝5化为对数式为：log 35＝x ，又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25log 23的结论． 梳理1题型探究例1 解 (1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332 ＝2log 33＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213)＝13log 22＝13. (3)lg 10333232234lg()lg(3210)101212lg lg 1010⨯⨯÷== ＝32lg 1210lg 1210＝32. (4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23)＝2log 23·3log 32＝6·log 23·1log 23＝6. 跟踪训练1 解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4) ＝log 6(62)＝2log 66＝2.(2)原式＝(lg 2514)÷1012()2⨯－＝lg 102÷10－1 ＝2×10＝20.(3)原式＝lg 3lg 4·lg 8lg 9＝lg 32lg 2·3lg 22lg 3＝34. (4)原式＝log 2.5(2.5)2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013＝2＋12－410＝2110. 例2 解 ∵x 2y 3z>0且x 2>0，y >0， ∴y >0，z >0.log a x 2y 3z＝log a (x 2y )－log a 3z ＝log a x 2＋log a y －log a 3z＝2log a |x |＋12log a y －13log a z . 跟踪训练2 已知y >0，化简log ax yz . 解 ∵x yz>0，y >0，∴x >0，z >0. ∴log a x yz ＝log a x －log a (yz )＝12log a x －log a y －log a z . 例3 解 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 跟踪训练3 解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. 当堂训练1．A 2.B 3.D 4.2 5.132。