八年级数学上册 11.3.2 多边形的内角和(人教版)

11.3.2多边形的内角和
01基础题
知识点1多边形的内角和公式
1．一个六边形的内角和等于(D)
A．180°B．360°
C．540°D．720°
2．(北京中考)内角和为540°的多边形是(C)
3．在四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数为(A)
A．80°B．90°C．170°D．20°4．(衡阳中考)正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为(C)
A．10 B．11 C．12 D．13
5．求如图所示的图形中x的值：
解：(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50.
(2)根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65.
(3)根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝(5－2)×180.解得x＝115.
6．已知两个多边形的内角和之和为1 800°，且两多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数．
解：设两多边形的边数分别为2n和5n，
则它们的内角和分别为(2n－2)×180°和(5n－2)×180°，
则(2n－2)×180°＋(5n－2)×180°＝1 800°，
解得n＝2.
2n＝4，5n＝10.
答：这两个多边形的边数分别为4，10.
知识点2 多边形的外角和
7．(泉州中考)七边形外角和为(B )
A ．180°
B ．360°
C ．900°
D ．1 260°
8．(来宾中考)如果一个正多边形的一个外角为30°，那么这个正多边形的边数是(C )
A ．6
B ．11
C ．12
D ．18
9．(南通中考)若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是(B )
A ．三角形
B ．四边形
C ．五边形
D ．六边形
10．将一个n 边形变成n ＋1边形，其内角和增加180°，外角和不变．
11．若一个多边形每个外角都等于与它相邻的内角的12
，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数为n ，由题意，得
(n －2)×180°＝2×360°.解得n ＝6.
所以这个多边形的边数为6.
02 中档题
12．不能作为正多边形的内角的度数的是(D )
A ．120°
B ．108°
C ．144°
D ．145°
13．(广安中考)若一个正n 边形的每个内角为144°，则这个正n 边形的所有对角线的条数是(C )
A ．7
B ．10
C ．35
D ．70
14．(毕节中考)如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2 340°的新多边形，则原多边形的边数为(B )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
15．(十堰中考)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是(B) A．140米B．150米
C．160米D．240米
16．(益阳中考)将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是(D)
A．360°B．540°
C．720°D．900°
17．(安徽中考)如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N，则∠MPN＝60°．
18．(河北中考)如图，在同一平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝24°．
19．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°，求多边形的边数．
解：设这个外角度数为x°，多边形的边数为n.由题意，得
(n－2)×180＋x＝1 350.
解得x＝1 710－180n.
∵0＜x＜180，
∴0＜1 710－180n＜180.
解得8.5＜n ＜9.5.
又∵n 为正整数，∴n ＝9.
故多边形的边数是9.
20．(河北中考)已知n 边形的内角和θ＝(n －2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n ；若不对，请说明理由；
(2)若n 边形变为(n ＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)甲对，乙不对．理由：
∵θ＝360°，∴(n －2)×180＝360，解得n ＝4.
∵θ＝630°，∴(n －2)×180＝630，解得n ＝112
. ∵n 为整数，∴θ不能取630°.
(2)依题意得(n －2)×180＋360＝(n ＋x －2)×180，解得x ＝2.
03 综合题
21．(1)如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；
(2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；
(3)用你发现的结论解决下列问题：
如图3，AE 、DE 分别是四边形ABCD 的外角∠NAD 、∠MDA 的平分线，∠B ＋∠C ＝240°，求∠E 的度数．
图1 图2 图3
解：(1)∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)．
∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)．
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
(3)∵∠B ＋∠C ＝240°，
∴∠MDA ＋∠NAD ＝240°.
∵AE 、DE 分别是∠NAD 、∠MDA 的平分线，
∴∠ADE ＝12∠MDA ，∠DAE ＝12
∠NAD. ∴∠ADE ＋∠DAE ＝12
(∠MDA ＋∠NAD)＝120°. ∴∠E ＝180°－(∠ADE ＋∠DAE)＝60°.。