2003南开大学年数学分析一、设),,(x y x y x f w-+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w二、设数列}{n a 非负单增且a a nn =∞→lim ，证明a a a a nn n n n n =+++∞→121][lim三、设⎩⎨⎧≤>+=0,00),1ln()(2x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x +→存在 （2） f(x)在x=0连续（3） f(x)在x=0可导 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l++⎰)(22与积分路径无关 四、设f(x)在[a,b]上可导，0)2(=+b a f 且M x f ≤')(,证明2)(4)(a b Mdx x f b a -≤⎰ 六、设}{n a 单减而且收敛于0。
∑n a n sin 发散（1） 证明∑收敛n an sin（2） 证明1l i m =∞→nn n v u 其中)s i ns i n (k ak k a u k n +=∑；)sin sin (k ak k ak v n -=∑七、设dx xxe t F tx sin )(1⎰∞+-= 证明 （1）dx xxe txsin 1⎰∞+-在),0[+∞一致收敛 （2）)(t F 在),0[+∞连续八、命)}({x f n 是[a,b]上定义的函数列，满足 （1）对任意0x ],[b a ∈)}({0x f n 是一个有界数列 （2）对任意0>ε，存在一个εδδ<-<-∈>)()(,],[,,0y f x f n ，y x b a y x n n 有对一切自然数时且当求证存在一个子序列)}({x f kn在[a,b]上一致收敛中科院2006年数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 3 1(1).nx dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e5()[,]f x a b ''设函数在含有的某个开区间内二次可导且f (a)=f (b)=0,24(,)||()()|.()a b f b f a b a ξξ''∈)≥--则存在使得|f (6 122[,]222()[,],|()||'()|),1()()|'()|.2ba b abbaaf x a b f x f t dt f x dx b a f t dt ∈≤≤-⎰⎰⎰x 设实值函数及其一阶导数在区间上连续而且f(a)=0,则max72222n D C u ()C Du uds dxdy n u u ∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰⎰ 设是平面区域的正向边界线的外法线，则8 设曲线2222x :1y a bΓ+=的周长和所围成的面积分别为L 和S ，还令2222(2)J b x xy a y ds Γ=++⎰ ，则22S LJ π=.9 1n 110(1)32n n -∞=--∑⎰3dx 计算积分的值，并证明它也等于数项级数的和。
2006年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（07数系的扩充与复数的引入）一、选择题：1. (2006安徽理) ）A ．iB ．i -C iD i1.1i i===-故选A 2.（2006北京理）在复平面内，复数1i i+对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 解：1i i +111i i i （＋）＝＝－－故选D 3、(2006广东)若复数z 满足方程022=+z ，则=3z A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22±3、解：由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.4、(2006江西理)已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ ）A ．32 B. 34 C. 32 D.344.解：333124i i z ）＝＝故选D5、(2006全国Ⅰ理)如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =( )A ．1B ．1-C ．5．解：复数2()(1)m i mi ++=(m 2－m)+(1+m 3)i 是实数，∴ 1+m 3=0，m=－1，选B.6. (2006全国II 理)23(1)i =-( ) （A ）32i （B ）32i - （C ）i （D ）i - 6. 解：2233333(1)2222i i i i i i ====--- 故选A 本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法),比较简单7. (2006陕西理)复数(1+i)21－i等于( ) A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i7．解：复数(1+i)21－i =2(1)11i i i i i=+=-+-，选C ．8. (2006四川理)复数3)i 1(-的虚部为( )（A ）3 （B ）3- （C ）2 （D ）2-9、(2006天津理)i 是虚数单位，=+ii 1（ ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2121-- 9、解：i 是虚数单位，=+i i 1(1)1222i i i -=+，选A.10. (2006浙江理)已知=+-=+ni m i n m ni im 是虚数单位，则是实数，，，其中11( ) (A)i 21+ (B) i 21- (C) i +2 (D) i -210. 解：()()i n n m ni i m -++=⇒-=+1111，由m 、n 是实数，得⎩⎨⎧=+=-mn n 101 ∴i ni m m n +=+⇒⎩⎨⎧==221，故选择C 。
数学基础能力测试答案（25题，每题4分，共100分） 1、C 分析：（本题是算术题，考查数的简单运算）1. 646330821121121872111)21212121211(21)7654321(116417732166161558144413321221165432=--+⨯⨯⨯=++++++++++++=++++++2、D 分析：（本题可以认为是算术题、也可以认为是概率题）作为算术题，解法如下：根基题意，24个没有电脑的人中15个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有9人，从而在12个没有手机的人中只有3人有电脑。
作为概率题，解法如下：设事件A 表示从100个学生中任意叫出一人，此人有手机；事件B 表示从100个学生中任意叫出一人，此人有电脑。
则03.015.088.024.01)()()(1)(1)(=+--=+--=-=A B P A P B P A B P A B P 即这100个学生中有电脑但没有手机的共有3人。
3、B 分析：（本题是平面几何题。
考查了圆的面积公式和圆的弦的有关性质）记大圆半径为R 、小圆半径为r ，则根据题意可知255222==-r R ，所以图中阴影部分的面积为 ππππ5.12225212122==-r R 。
4、C 分析：（本题是代数题。
考查绝对值概念和一元二次方程的求根公式）当0>x 时，220074200620062⨯++=x ；当0<x 时，220074)2006(20062⨯+---=x 。
所以方程200720062=-x x 的所有实数根的和等于0。
5、B 分析：（本题是平面几何题。
考查全等三角形、勾股定理和直角三角形的面积）如图，易知ABO ∆与CDO ∆全等，从而2222)8()8(4OD OA OD -=-=+，解得3=OD ，所以阴影三角形的面积等于1034218421=⨯⨯-⨯⨯ 6、A分析：（本题是代数题。
考查复数的基本概念） 由于i iz -==1，所以i z =。
