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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（甲）考生须知：1.本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题(本题满分50 分，每小题5 分。
请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
)(1)函数, 正确结论是( )。
(a)在内有界(b) 当时为无穷大(c) 在内无界(d) 当时极限存在(2)函数在上是连续函数, 且。
则的最大取值区间是( )。
(a) (b) (c) (d)(3)微分方程的一个特解是( )。
(a) (b) (c) (d)(4)已知是正整数,且, 如果则下面结论正确的一个是( )。
(a)(b) (c) (d) 的大小关系不确定(5)函数在其定义域内零点的个数是( )。
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 多于3科目名称：高等数学（甲）第1 页共3 页(6)若函数的导函数在上连续, 则( )。
(a) (b) (c) (d)(7)若幂级数在处条件收敛，则级数( )。
(a)条件收敛(b) 发散(c) 绝对收敛(d) 不能确定(8)设为螺旋面, , 的一部分，,, 则的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(9)的值为( )。
(a) (b) (c) (d)(10)一平面过点且与直线垂直，则该平面与平面的交线的方向数是( )。
(a) (b) (c) (d)二、(本题满分10 分) 证明极限存在, 并求出极限值。
三、（本题满分10 分）求微分方程的通解。
四、(本题满分10 分) 计算，其中是由抛物线和抛物线围成的闭区域。
五、(本题满分10 分) 将函数 ( )展开成正弦级数。
科目名称：高等数学（丙） 第 1 页 共 3 页1 1⎨ 91 精品文档，欢迎下载！中国科学院研究生院2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等数学（丙）考生须知：1. 本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、选择题 (本题满分 40 分，每小题 5 分。
请从每个题目所列的四个选项中选择一个适合放在空格中的项，并将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。
每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。
)1. 下列极限式正确的是（ ）。
（A ） lim(1+ x →∞ 1 )x = 1 x （B ）lim(1 + x →01 )x = 1 x （C ） lim(1+ x ) x = 1x →0（D ） lim(1+ x ) x= e x →∞2. 设函数 f ( x ) 在 x = 0 处可导且导函数连续， f (0) = 0 ， f '(0) = b 。
若函数⎧ f ( x ) + a tan x, x ≠ 0F ( x ) = ⎪x⎪⎩ A ,在 x = 0 处连续，那么常数 A=（）。
x = 0 (A) a + b(B) a - b(C) b - a(D) -a - b3. 设函数 f (x ) 可导，函数 y = f (x 2) 的自变量 x 在 x = -1 处取增量∆x = -0.1时， 相应的函数增量∆y 的线性主部为0.1 ，则 f '(1) 等于（）。
（A ）0.5（B ） -0.5(C) 1(D) -1x4. 设 f (x ) 在 (0, +∞) 内连续， 且f (x ) > 0 ， 则函数 (x ) = ⎰1 tf (t )dt x在 (1, +∞) 内（）。
⎰1f (t )dt(A) 单调递减（B ）单调递增（C ）先递增后递减（D ）先递减后递增∞2 n -15.幂级数∑ n x n =1 的收敛半径为（）。
考研数学分析真题集目录 南开大学 北京大学 清华大学浙江大学华中科技大学一、,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<>∀m a N m ,证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ，a a kn k =∞→lim ，所以，ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n二 、,,0N ∃>∀ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>∃>∀δε当1'''δ<-x x 时，ε<-)''()'(x f x f对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x xε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>∃>∀δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。
三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('<x f 所以)(x f 递减，又2))((''21))((')()(a x f a x a f a f x f -+-+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以)(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。
中国科学院数学与系统科学研究院2006年硕士研究生招生初试试题参考解答数学分析张祖锦 编写1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==得到a=0.即得。
2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a证明: 用反证法。
由0n a >知1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑na 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+n a ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ，从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n 1a 收敛，矛盾，从而得证。
3 1(1).n x dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值解：111111n100(1),1I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)(1,1).01111n m m m n n x dx x x x n d x n x dx I m n m m m m +++--=----=+-++++⎰⎰⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有从而111(,)(1,1)(2,2)(,0)11212n n n n n I m n I m n I m n I m n m m m m m m n --=+-=+-==+++++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++即得解。
4 0().a aa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e 证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有()()()11a a at t t a a af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰x f(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a a ae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰得证。
第一部分 名校考研真题说明：本部分从指定伍胜健主编的《数学分析》为考研参考书目的名校历年考研真题中挑选最具代表性的部分，并对其进行了详细的解答。
所选考研真题既注重对基础知识的掌握，让学员具有扎实的专业基础；又对一些重难点部分（包括教材中未涉及到的知识点）进行详细阐释，以使学员不遗漏任何一个重要知识点。
第1章 函 数一、填空题设（ ）．[浙江大学研]A ．0 B ．1 C ． D ．【答案】B 【解析】二、解答题1．使用确界原理证明单调递减的有界数列必有极限。
[天津大学研]证明：确界原理，即有上界的非空集必有上确界，有下界的非空集必有下确界。
设为单调递减且有界的数列，则由确界原理可知，存在。
下面证该下确界就是的极限。
由下确界定义：（1）对任意的n ，有，当然成立，这ε为任意小的正数。
（2）对上述任意的ε，存在N ，当n>N 时，有。
又因为条件（1），所以成立。
2．设S 是非空集合，ξ＝infS ，试证明：若ξ∈S，则S 中必存在一个严格单调递减的，使得[北京航空航天大学研]证明：若ξ＝infS ，即（1）对任意的x∈S，有X≥ξ：（2）对任意的ε>0，存在，使得取，存在，使得。
改变n 的值，有依次类推，有而且满足很明显，为一个严格单调递减的数列，且3．设{xy}为所有xy 乘积的集合，其中，且x≥0及y≥0．证明：[武汉大学研]证明：设 ①②又，可取．且使③由，∴存在由③有 ④由②，④得证4．设．[同济大学研]解：当当－1≤x＜0时，当x＜－1时，5．证明：函数为R上的有界函数．[湖北大学2001研]证：∴取ε＝1，存在N＞0，当又f （x ）在内连续．从而有界，即综上两式知f （x ）在R 上有界．6．设，求f （x ）的定义域和f （f （－7））．[中国人民大学研]解：由3－x ＞0，3－x≠1，49－x 2≥0，解得，从而f （x ）的定义域为又第2章 序列的极限1．求下列极限：（1）．[北京大学研]（2）f （x ）在[－1，1]上连续，恒不为0，求．[华中师范大学研]解法1：①由①式及两边夹法则，．（2）故解法2：f 在[－1，1]上连续；因而f （x ）有界2．设数列单调递增趋于 ①证明：（1）（2）设 ②证明：，并利用（1），求极限．[中国人民大学研]证明：（1）（i ）先设，由①式，，存在N>0，当n>N 时有特别取n＝N＋1，N ＋2，……将这些式子统统相加得此即 ③而由于以及③式，（ii ）再当时．由①有 ④ ⑤下证递增趋于，由④知，．当n>N 1时，有 ⑥，即单调递增．由⑥式有，。
中国科学院数学与系统科学研究院20XX 年硕士研究生招生初试试题参考解答数学分析1、求a,b 使下列函数在x=0处可导:2,1,ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=，得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==，得到a=0.即得。
2、 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a 证明: 用反证法。
由0n a >知，1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑na 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+n a ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ， 从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n1a 收敛，矛盾，从而得证。
3、 1(1).nx dx ≥-⎰m设m,n 0为整数,求积分x 的值解：1(1),nx dx -⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有11111n101I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)0111m m m n n x x x d x n x dx m m m +++-=----+++⎰⎰(1,1)1nI m n m =+-+， 从而1(,)(1,1)(2,2)112n n n I m n I m n I m n m m m -=+-=+-+++11(,0)12n n I m n m m m n -==++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++，即得解。
4 、0().a aa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e 证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有 ()()()11a aat t t aa af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰xf(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰， 得证。
中国科学院数 数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==得到a=0.即得。
2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n1已知级数发散求证级数也发散a a证明: 用反证法。
由0n a >知1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑n a 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+na ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ，从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n 1a 收敛，矛盾，从而得证。
3 1(1).n x dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值解：111111n100(1),1I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)(1,1).01111n m m m n n x dx x x x n d x n x dx I m n m m m m +++--=----=+-++++⎰⎰⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有从而111(,)(1,1)(2,2)(,0)11212n n n n n I m n I m n I m n I m n m m m m m m n--=+-=+-==+++++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++即得解。
4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有()()()11a a at t t a a af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰x f(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰得证。
中科院2005年研究生入学数学分析试题及解答中国科学院硕士研究生2005年入学考试《数学分析》试题1. (15分)计算:0x →2. (15分)设,0,a b a b >≠,证明2ln ln a b a b a b -<<+-.3. (10分)求111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭.4. (10分)判断级数1(1)nn n∞=-∑的敛散性.5. (15分)设函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域中连续,222()(,)x y tF t f x y dxdy+≤=⎰⎰,求0()lim t F t t +→'.6. (15分)求球面2222xy z a++=包含在柱面22221x y a b+=(b a ≤)内的那部分面积.7. (15分)设函数(,)()f x y xy ϕ=,其中(0)0ϕ=,且()u ϕ在0u =的某个邻域中满足()u k u αϕ≤，其中常数12α>，0k >。
证明(,)f x y 在点(0,0)处可微,但函数(,)g x y =在点(0,0)处不可微. 8. (15分) 设()x ϕ在区间[0,)+∞上有连续的导数,并且(0)1ϕ=.令2222222()()x y z r f r x y z dxdydz ϕ++≤=++⎰⎰⎰(0r ≥).证明()f r 在0r =处三次可微,并求(0)f '''(右导数). 9. (20分)设函数()f x 在有限区间[,]a b 上可微,且满足()()0f a f b ''<(此处()f a '和()f b '分别表示f 在a 和b 处的右导数和左导数).则(,)c a b ∃∈,使得()0f c '=.10. (20分)设xe nn n e a x ∞==∑,求0123,,,a a a a ,并证明(ln )nn a e n γ-≥(2n ≥),其中γ是某个大于e 的常数.2005年中国科学院数学分析试题解答1. 解：利用()()11y y o y αα+=++，()0y →，()441135x o x =+⋅+，()()1122x o x =+-+，()113x o x =++，()112x o x =++， 所以，原式()()()()()44011315lim 111132x x o x x o x x o x x o x →⎛⎫+⋅+--+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0lim616x x o x x o x →+==--+. 2. 证明：不妨设0a b >>，欲证的不等式等价于ln211ab a a b b<<+-，令a x b=，不等式等价于2ln 11x x x <<+-，()1x >.令()ln f x x =-，()10f =， 因为()122f x x x x x '=+- 21022x x x x x x-==>，()1x >，所以()()10f x f >=，ln 0x ->，ln x x>，ln 1xx x<-，()1x >.令()()21ln 1x h x x x -=-+，()10h =，因为()()()()222114011x h x x x x x -'=-=>++， 所以()()1h x h >，即得()21ln 01x x x -->+，2ln 11xx x <+-，()1x >，故成立2ln 11x x x <<+-，()1x >，取a x b=，代入上式，不等式得证.3. 解：解法一 利用111ln 2n n c nε+++=++，其中lim 0n n ε→∞=， 211111ln 2212n n c n n nε++++++=+++， 111lim 12n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭11lim 12n n n →∞⎛⎫=++⎪+⎝⎭()()2lim ln 2ln n n n n c n c εε→∞⎡⎤=++-++⎣⎦ ()2lim ln 2n n n εε→∞⎡⎤=+-⎣⎦ln2=.解法二 111lim 12n nn n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭111lim 1n n k kn n →∞=⎛⎫⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭∑ ()11001ln 1ln 21dx x x ==+=+⎰. 4. 解：设n a n=，显然lim0n n a →∞=，{}n a 单调递减； 由莱布尼茨判别法知()11nn n ∞=-∑收敛，由()1n-≥，()3n ≥，得()11n n ∞=-∑发散，故()11nn ∞=-∑. 5. 解：()()200cos ,sin tF t dr f r r rd πθθθ=⎰⎰，()()20cos ,sin F t f t t td πθθθ'=⎰，由题设条件，可知()()0lim cos ,sin 0,0t f t t f θθ+→=，且关于[]0,2θπ∈是一致收敛； 于是()()2000lim lim cos ,sin t t F t f t t d tπθθθ++→→'=⎰ ()200lim cos ,sin t f t t d πθθθ+→=⎰ ()()200lim 0,00,02t f d f πθπ+→==⎰.6、计算下列曲面的面积：（1）圆柱面222a y x =+ 介乎平面0=+z x 和0=-z x 之间的部分； （2）球面2222az y x=++被椭圆柱面)0(12222a b b y a x ≤<=+所截下的部分。
中国科学院研究生院2006年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一. （20分）设)(x f 在),(+∞a 内可导，且β==+∞→+→)(lim )(lim x f x f x a x ，其中β为 有限数或∞+或∞-。
证明：存在),(+∞∈a ξ，使得0)('=ξf 。
二. （20分）计算积分1. dx x x ⎰++1021)1ln( 2.dx e x 22-∞+∞-⎰ 3. dxdy e y x y x ])([222+-+-+∞∞-+∞∞-⎰⎰三. （20分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且0)1()0(==f f ，1)}({min 10-=≤≤x f x 。
证明)1,0(∈∃ξ，使得8)(''≥ξf 。
四. （20分）1. 证明：任一实数列必为两个单调递增数列之差。
2. 设a a n n =∞→lim ，求21lim n ia n i i n ∑=∞→五. （15分）设函数)(x f 在],[b a 上连续，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∃∈∃∈∀21,0],,[],,[z b a y b a x ， 使得)(|)(|x f z y f ≤。
证明：)(x f 在],[b a 上至少有一个零点。
科目名称：数学分析第1页 共2页六. （20分）求幂级数∑∞=+0)53(n n x n 的收敛域，并求其和函数。
七. （20分）计算二重积分dxdy x y D ⎰⎰-2，其中D 为区域20,1≤≤≤y x 。
八. （15分）设n R x x f ∈),(存在二阶连续偏导数，)(x f ∇表示)(x f 的梯度，()n n ij h x f ⨯=∇)(2表示)(x f 的Hesse 矩阵，其中),,2,1,(2n j i x x f h ji ij =∂∂∂=。
数学分析（第五版）
《数学分析（第五版）》系列，是中国科学院科技传播出版发行有限公司（简称“中科院传播”）和高等教育出版社共同出版的一套数学分析系列丛书，旨在以实用而又生动的篇章和完备的讲义，给广大数学爱好者和教师提供一套系统又可视化、把握最新水平的数学文献。
该书涵盖绝大部分的数学分析内容，共有十大模块：微积分，线性代数，函数论，实分析，实变函数，复分析，复变函数，常微分方程，非线性方程，及偏微分方程。
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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝成绩进步，学习愉快！中国科学院研究生院2012年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学分析考生须知：1. 本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2. 所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1 (本题满分30分，每小题15分)计算极限：^4(1) lim n"2sin — — sin 2 ) .(2) lim (Jcos 丄). n —8 \ n nJ \ V x 2 I2 (本题满分30分，每小题15分)计算积分：⑴1 = L ］+tg 3x . (2) J = jj x (1 + yf (x 2 + y 2))”x"y, 其中S 为由曲线y = x 3,y = 1,x = -1所围成的区域，f (x)为实值连续函数. 3 (本题满分15分)求下列冨级数的收敛域:x n4 (本题满分15分)证明：函数列s n (x) = 1+" (n > 1)在区间(—8, +8)上一 致收敛；函数列t n (x) = T +nX_(n > 1)在区间(0,1)上不一致收敛. / r b \ 1/n lim ( / f n (x)g(x)dx ) = max f (x).6 (本题满分15分)设在区间［0,a ］上，f(x)二次可导，并且|f(x)|M 1,|f 〃(x)|M 1, 2 a 则当 x G ［0,a ］时，|f '(x)|M- + -.a 27 (本题满分15分)设n 是一个正整数.证明：方程x n + nx - 1 = 0有唯一的正8实根x n ,并且当a > 1时，级数£ x n 收敛.n =18 (本题满分15分)设p(x, y, z)是原点。
到椭球面g + * + z 2 = 1的上半部分 (即满足z > 0的部分)2的任一点(x,y,z)处的切面的距离，求积分〃p(x ：,z)血.云5 (本题满分15分)设在区间［"］上，f (x)连续，g(x)可积，并且f (x) > 0, g(x) > 0. 证明科目名称：数学分析第1页，共1页。
