利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

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基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组已知非线性方程组如下221122121210801080x x x x x x x ⎧-++=⎪⎨+-+=⎪⎩ 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F 。

m 保存到工作路径中：function f=F （x ）f （1）=x(1)^2—10＊x(1)+x （2)^2+8；f （2)=x(1）*x （2)^2+x(1)-10＊x(2)+8;f=[f(1) f （2）]；建立函数DF （x),用于求方程组的Jacobi 矩阵,将DF.m 保存到工作路径中:function df=DF(x)df=[2＊x （1)—10，2＊x （2）；x （2）^2+1,2＊x(1）＊x （2）-10］；编程牛顿迭代法解非线性方程组,将newton 。

m 保存到工作路径中：clear ；clcx=[0，0]'；f=F （x);df=DF(x);fprintf （'％d ％。

7f ％.7f\n’,0，x （1），x （2）);N=4；for i=1:Ny=df\f'；x=x —y;f=F （x);df=DF （x ）;fprintf （'％d ％.7f ％。

非线性方程的牛顿迭代法求解及VB程序代码例以非线形方程：f(x)= (-RT * Sin(rf) - (L - K) * Cos(θ) * Sin(ω)) ^ 2 + (Sqr(RT ^ 2 - x_T ^ 2) + (L - K) * Sin(θ)) ^ 2 - ((L - K) * Cos(θ) * Cos(ω) * Cos(λ) / Sin(λ) + RT) ^ 2为例，θ为未知数，其它为已知数由方程f(x)可得方程的导数f(x)’f(x)’=dF1dθ = 2 * (-RT * Sin(rf) - (L - K) * Cos(θ) * Sin(ω)) * (L - K) * Sin(θ) * Sin(ω) + 2 * (Sqr(RT ^ 2 - x_T ^ 2) + (L - K) * Sin(θ)) * (L - K) * Cos(θ) + 2 * ((L - K) * Cos(θ) * Cos(ω) * Cos(λ) / Sin(λ) + RT) * Sin(θ) * Cos(ω) * Cos(λ) / Sin(λ)δ= 0.0000000001为收敛精度θ= 90 * pi / 180 –λ为给定的初始植（可以根据自己条件给定，不清楚可以设为0开始）δ= 0.0000000001θ= 90 * pi / 180 –λDoF1 = (-RT * Sin(rf) - (L - K) * Cos(θ) * Sin(ω)) ^ 2 + (Sqr(RT ^ 2 - x_T ^ 2) + (L - K) * Sin(θ)) ^ 2 - ((L - K) * Cos(θ) * Cos(ω) * Cos(λ) / Sin(λ) + RT) ^ 2dF1dθ = 2 * (-RT * Sin(rf) - (L - K) * Cos(θ) * Sin(ω)) * (L - K) * Sin(θ) * Sin(ω) + 2 * (Sqr(RT ^ 2 - x_T ^ 2) + (L - K) * Sin(θ)) * (L - K) * Cos(θ) + 2 * ((L - K) * Cos(θ) * Cos(ω) * Cos(λ) / Sin(λ) + RT) * Sin(θ) * Cos(ω) * Cos(λ) / Sin(λ)F2 = dF1dθIf Abs(F1 / F2) < δ Thenθ = θElseθ = θ - F1 / F2End IfLoop Until 精度限制1(F1, F2) = 1‘精度限制子程序Public Function 精度限制1(F1 As Double, F2 As Double) As IntegerDim temp As DoubleDim 收敛精度As Double收敛精度= 0.0000000001temp = Abs(F1 / F2) - 收敛精度If temp < 0 Then精度限制1 = 1Else精度限制1 = 0End IfEnd Function。

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它是一种快速、有效的方法，尤其适用于求解非线性方程组。

牛顿法的基本思想是通过不断逼近函数的根，利用函数的一阶导数和二阶导数信息进行迭代求解。

下面我将详细介绍。

1. 牛顿法的基本原理。

数学软件实验任务书实验一 非线性方程组的牛顿迭代法 1 实验原理对于非线性方程11221212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n f x x x f x x x f f x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 在x (k )处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 ()()()()(1)()1111()()()()(1)()()122()()()()(1)()1(,,,)(,,,)()0(,,,)k k k k k k n n k k k k k k k n n n k k k k k k n n n nn f x x x x x f x x x x x f x f x x x x x +++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪'+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 其中1111()n n n n f f x x f x f f x x ∂∂⎛⎫ ⎪∂∂ ⎪' ⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭(1)()()()()()1111(1)()()()()()()1221(1)()()()()()1(,,,)(,,,)[()](,,,)k k k k k k n n k k k k k k k n n n k k k k k k n n n n n x x f x x x x x f x x x f x x x f x x x ++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2 数据来源计算非线性方程组22220.50440x x y x y ⎧--+=⎨+-=⎩ 初值取11x y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 实验步骤步骤一：编写牛顿迭代法的基本程序。

打开Editor 编辑器，输入以下语句：function [x,n,data]=new_ton(x0,tol)if nargin==1tol=1e-10;endx1=x0-f1(x0)/df1(x0);MATLAB 241 数值分析与应用n=1;%迭代过程while (norm(x1-x0)>tol)x0=x1;x1=x0-f1(x0)/df1(x0);n=n+1;%data 用来存放中间数据data(:,n)=x1;endx=x1;以文件名new_ton.m保存。