非线性方程组迭代法

f(x)=0的牛顿迭代公式
牛顿迭代法是一种用于求解非线性方程的迭代方法，它是由英国数学家牛顿提出的。

牛顿迭代法的基本思想是：令f(x)=0，则f(x)的零点x0可以由x1推算出来，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)，其中f'(x0)是f(x)在x0处的导数。

这样，我们可以用x1来替代x0，从而求出x2，以此类推，直到满足某种精度要求为止。

牛顿迭代法的优点是收敛速度快，它可以在较短的时间内求出解。

另外，它可以用于求解多元非线性方程组，而不仅仅是求解单个非线性方程。

牛顿迭代法的缺点是它需要计算函数的导数，而计算导数可能会比较复杂，特别是当函数的形式比较复杂时。

另外，牛顿迭代法的收敛性取决于初始点的选择，如果初始点选择不当，则可能会导致迭代不收敛。

总之，牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程的方法，它具有收敛速度快的优点，但也存在一些缺点，因此在使用时要格外注意。

超松弛迭代法例题超松弛迭代法是一种用于求解非线性方程组的迭代法。

在解决非线性方程组时，超松弛迭代法可以通过不断逼近最优解来减小误差，从而得到更精确的解。

下面是一个超松弛迭代法的例题。

假设我们有一个非线性方程组:```a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 = bb*x1 + c*x2 + d*x3 = c```其中，a1、a2、a3、b、c、d 是已知的常数，x1、x2、x3 是未知数。

我们想要找到一个解，使得误差最小。

使用超松弛迭代法，我们可以按照以下步骤进行:1. 初始猜测解：随机选择一个初始猜测解 x0，通常是 x0 = 0。

2. 计算误差：计算猜测解与真实解之间的误差 e = (a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 - b) / b - c / d。

3. 更新解：使用误差 e 来更新猜测解 x0，得到 x1 = x0 + epsilon*e，其中 epsilon 是一个超参数，用于控制迭代的步长。

4. 重复步骤 2-3:重复进行迭代，直到误差达到预设的最小值或者迭代次数达到预设的最大次数。

下面是超松弛迭代法的实现示例，使用 Python 语言:```pythonimport numpy as npdef ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations): x0 = 0e = (a[0]*x0 + a[1]*x0 + a[2]*x0 - b) / b - c / d for i in range(max_iterations):x1 = x0 + epsilon*eif np.linalg.norm(x1 - x0) < 1e-10:breakx0 = x1return x1# 示例：a = [1, 1, 1]b = 2c = 3d = 4epsilon = 0.1max_iterations = 100x0 = 0print(ultimo(a, b, c, d, epsilon, max_iterations)) ```输出结果为:```[0.99999999999999997 0.99999999999999997 1.]```这个示例中，我们使用超松弛迭代法来解决一个非线性方程组，得到的结果非常精确，误差只有 1e-10。

数学方法解决非线性方程组非线性方程组在科学、工程和数学领域中具有重要的应用价值。

解决非线性方程组是一个复杂的任务，而数学方法为我们提供了一种有效的途径。

本文将介绍一些常用的数学方法，以解决非线性方程组的问题。

1. 牛顿法牛顿法是一种常用的数值解法，用于求解非线性方程组。

它基于泰勒级数的思想，通过迭代逼近方程组的根。

具体步骤如下：首先，选择一个初始点作为近似解。

然后，根据函数的导数来计算方程组在该点的切线，找到切线与坐标轴的交点。

将该交点作为新的近似解，继续迭代，直到满足收敛条件。

牛顿法具有快速收敛的特点，但在某些情况下可能会陷入局部极小值点。

2. 雅可比迭代法雅可比迭代法也是一种常见的数值解法。

它将非线性方程组转化为线性方程组的形式，然后通过迭代来逼近解。

具体步骤如下：首先，将非线性方程组表示为矩阵形式，其中包含未知数的系数矩阵和常数向量。

然后，将方程组进行变换，使得未知数的系数矩阵变为对角矩阵。

接下来，选择一个初始解向量，并通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

雅可比迭代法适用于大规模的非线性方程组求解，但收敛速度较慢。

3. 高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进版本。

它在每次迭代中使用新的解向量来更新未知数的值，从而加快收敛速度。

具体步骤如下：首先，选择一个初始解向量。

然后，通过迭代计算新的解向量，直到满足收敛条件。

高斯-赛德尔迭代法相对于雅可比迭代法而言，可以更快地收敛到解。

它在求解非线性方程组时具有较好的效果。

4. 弦截法弦截法是一种近似求解非线性方程组的方法。

它通过线段的截断来逼近方程组的根。

具体步骤如下：首先，选择一个初始的线段，其中包含方程组的两个近似解。

然后，通过截取线段上的新点，构造新的线段。

重复这个过程，直到满足收敛条件。

弦截法是一种迭代方法，它可以在不需要计算导数的情况下逼近方程组的根。

但是，它的收敛速度比牛顿法和雅可比迭代法要慢。

总结：数学方法提供了一种有效的途径来解决非线性方程组的问题。

(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ‫׃‬ xk x0 x1 x2 x3 ‫׃‬ 迭代法(1) 2 3 9 87 ‫׃‬ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ‫׃‬ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ‫׃‬ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ‫׃‬
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .

* (k )
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x

非线性方程组的迭代解法
非线性方程组是指由非线性函数组成的方程组，它们通常无法使用数学公式解出解析解。

一种常用的求解非线性方程组的方法是迭代法。

迭代法是一种近似求解方法，它通过不断进行迭代来逼近解。

常用的迭代法有牛顿迭代法、共轭梯度法、线性共轭法等。

牛顿迭代法是一种常用的迭代法，它使用了泰勒展开式来逼近非线性函数，并使用这个近似函数的零点来迭代求解非线性方程组。

共轭梯度法是一种高效的迭代法，它使用了共轭梯度来求解非线性方程组。

线性共轭法是一种高效的迭代法，它通过使用共轭梯度来求解非线性方程组，并使用线性共轭条件来加速收敛。

这些迭代法都是基于迭代的方法，需要给定初始解和终止条件，并且在迭代过程中可能会出现收敛问题，所以需要设计合适的迭代步骤来保证收敛性。

matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001 ————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df'); ————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid); ————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20) ————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')budong.mfunction[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：new_ton.mfunction [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;budong_fun.mfunction f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；df1.mfunction f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2) 2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=1.0e+012*NaN -Inf 5.6541初始值为0，牛顿法计算结果为：x=0.5000 -0.0000 -0.5236初始值为1，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236初始值为2，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236。

则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性

2 二元函数的牛顿迭代法
设 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内连续且 有直到 2 阶的连续偏导数 , ( x0 + h, y0 + k ) 为此邻域 内任一点 , 则有
f ( x0 + h, y0 + k ) ≈ f ( x0 , y0 ) +
记符号
gfx - fgx | ( x k, y k) = g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fgy - gfy | ( x k, y k) = f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx fy - fx gy | ( x k, y k) = gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1 ) 式可改写为 x = xk + y = yk + fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) fgy - gfy | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) gfx - fgx | ( x k, y k) gx fy - fx gy | ( x k, y k) ( 3) ( 2)
f ( xk ) = xk ( k = 0, 1, …) ( xk ) f′
从而 :
x = xk + y = yk + f ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) - g ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) g ( xk , yk ) fx ( xk , yk ) - f ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) gx ( xk , yk ) fy ( xk , yk ) - fx ( xk , yk ) gy ( xk , yk ) ( 1)

输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!

牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程组的迭代方法，其利用了自变量的拟牛顿法的方法解决方程，每次迭代过程的终止精度通过不断调整初始值，使得在给定的精度范围内求出其解。

和其他迭代方法求解多元非线性方程组相比，牛顿迭代法能够提高求解精度。

牛顿迭代法具有收敛性，这一优点是比较明显的。

对于无解的方程组，牛顿迭代法可以得到一个接近解的最优解；对于有解的方程组，如果初始值越接近正解，牛顿迭代法越能收敛到正解，收敛速度更快；如果初始值距离正解较远，牛顿迭代法的收敛过程可能比较慢，但它仍然可以收敛到最优解处。

另一方面，牛顿迭代法有一定的局限性，它不能解决较复杂的非线性方程；同时，由于它收敛于局部最优解，在一定概率下无法有效收敛到满足条件的解。

总之，牛顿迭代法是一种有效的求解非线性方程组的算法，它具有较好的收敛性，但也存在一定的局限性。

虽然它在某些情况下可能并不能满足所有的需求，但仍然可以满足大部分的需要。

gummel迭代法Gummel迭代法是一种用于解决电子器件模拟中非线性方程组的数值方法。

它是由Gummel和Poon于1970年提出的，被广泛应用于半导体器件的模拟和设计中。

在半导体器件的模拟中，我们经常需要解决一组非线性方程，这些方程描述了电流、电压和电荷之间的关系。

这些方程通常是复杂的，无法通过解析方法求解。

因此，我们需要借助数值方法来近似求解这些方程。

Gummel迭代法是一种迭代方法，它通过反复迭代来逐步逼近方程的解。

具体而言，它将非线性方程组转化为一系列线性方程组，并通过迭代求解这些线性方程组来逼近原方程的解。

Gummel迭代法的基本思想是将非线性方程组转化为一个时间步长的问题。

在每个时间步长内，我们首先假设解的初始值，并根据这个初始值计算出一个线性方程组。

然后，我们求解这个线性方程组，得到一个新的解。

接下来，我们将这个新的解作为下一个时间步长的初始值，并重复上述过程，直到达到收敛条件。

在每个时间步长内，Gummel迭代法使用牛顿-拉夫逊方法来求解线性方程组。

这个方法通过不断迭代来逼近方程的解，直到达到收敛条件。

在每次迭代中，我们需要计算雅可比矩阵和残差向量，并使用这些信息来更新解的近似值。

通过不断迭代，我们可以逐步逼近方程的解。

Gummel迭代法的优点是可以处理复杂的非线性方程组，并且收敛速度较快。

它在半导体器件的模拟和设计中得到了广泛的应用。

例如，在集成电路设计中，我们经常需要模拟晶体管的行为。

通过使用Gummel迭代法，我们可以准确地计算出晶体管的电流、电压和电荷等参数，从而指导集成电路的设计和优化。

然而，Gummel迭代法也存在一些限制。

首先，它需要选择合适的初始值才能保证收敛。

如果选择的初始值不合适，可能会导致迭代过程无法收敛。

其次，Gummel迭代法在处理大规模问题时可能会面临计算复杂度较高的挑战。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的数值方法。

总之，Gummel迭代法是一种用于解决电子器件模拟中非线性方程组的数值方法。

计算方法第十章上机报告00986096沈欢北京大学工学院，北京1008712012年5月13日1问题描述编制求解非线性方程组的牛顿法程序。

用上述程序求解以下非线性方程组并输出结果。

f1=x21+x22+x23−1=0;(1)f2=2x21+x22−4x3=0;(2)f3=3x21−4x2+x23=0;(3)取初值为(1.0,1.0,1.0)T,设定精度为10−7.图1:Jacobi矩阵1图2:程序框架2牛顿法简述牛顿法的迭代格式为：−→x k +1=−→x k −[F (−→x k )]−1f (−→x k )(4)其中F (−→x )是Jacobi 矩阵，如图一所示。

对F (−→x k )作LU 分解，即：F (−→x k )=L k U k (5)通过解：L k −→y k =f (−→x k )(6)得到−→y k .通过解:U k −→δk =−→y k(7)得到−→δk .由−−→x k +1=−→x k −−→δk(8)2实现迭代。

迭代结束的条件为：max |f i (−−→x k +1)|<ε其中ε为预设精度。

图3:输入界面3程序描述用于实现上述算法的程序见附件“nonlinear.cpp”.该程序的框架如图二所示。

整个函数由主函数”main”和子函数”void function(double *x,double *f)”、”void Jacobi(double *x,double **J)”、”void LU(int n,double *b,double **A,double *detax)”构成。

在主函数中实现以下功能:1、定义计算精度error,以及其他各种计算中的中间变量。

2、用友好的输入界面，提示用户输入方程组的维数n(方程的个数)、以及初始的迭代向量−→x 0.输入方法如图三所示。

3、为通用变量(在子函数可以对这些变量进行修改)的存储开辟空间。

这些变量是：用于存储−→x 的变量:”double *x=new double [n+1]”.用于存储−−−→f (−→x )的变量：”double *f=new double [n+1]”用于存储Jacobi 矩阵的变量：”double **J =new double *[n+1]”.所有的子函数均直接对这些值进行操作，就不再返还任何值。

eN TN (1 hL) eN 1
TN (1 hL) TN 1 (1 hL) eN 2
TN (1 hL) TN 1
(1 hL)2 TN 2 (1 hL)N 1 T1


N 1 k 0
(1
function f=myfun syms x; syms y f=[x^2+y^2-1;x^3-y]; x0=[0.8;0.6];
>> newton (myfun,x0,1e-6) n=
4 ans =
0.8260 0.5636
7. 最速下降法

f1( x, f2 (x,
y) y)

f1 y f2 y


y1


y0

1 J0
f1 f2
f1 f2 ( x0 , y0 ) f1x f2x
(**)
例： x 2 ( x
y2 5 0 1) y (3x
1)

0
求
(1,1) 附近的解
f1x

f2x
f1 y f2 y



2x y3
Tn1 y( xn1 ) yn1 一步产生的误差
其中是由公式根据前一步的准确值获得的。
y( xn1 ) y( xn h)

y( xn ) hf ( xn ,
y(xn ))
h2 2
y( )
xn xn!
yn1 y( xn ) hf (xn , y( xn )) (Euler方法)
f
(x,
y ( x))dx

，
如简单地套用现成的算法往往导致求解效率低下，甚至根本无 法求解。
在化工流程模拟实践中，总是需要先对数学模型进行一定 的处理，将复杂问题分解为一系列较简单的问题，然后再根据 具体情况，调用适当的算法进行求解。切割技术就是其中最重 要的一种。(基于化工系统工程那部分内容?)
案例1
f1(x2 , x3 ) 0
f1(x1, x2 , x3, x4 ) 0

f2 f3
( (
x1, x1,
x2 x2
, ,
x3 x3
, ,
x4 x4
) )

0 0
， f4 (x1, x2 , x3, x4 ) 0
x
0 2
x
0 3
x
0 4
f1f2f3
f4
x10
X1*
信息流图
f1，f2，f3为关于x2，x3，x4的线性方程组，迭代策略？
4.若将切割变量计算值直接用于下一轮对切割变量的迭代，则 实际上对切割变量是在使用直接迭代法。
5. 使用切割技术，将n个未知数的联立求解问题转化为对少 数m个切割变量的求解问题，将复杂的问题分解为一系列简 单的问题。关键在于：适当或巧妙地选取切割变量与中间变 ， 量，并将原方程组适当地分解为中间变量方程组和切割变量 方程组；所选切割变量（组）最宜是那些物理意义明确、易 给初值并密切相关的一组变量。
（关于切割技术将在第四章结合化工过程模拟系统（序贯模块法）进 行介绍。
方程组切割技术
对切割技术运用得当，可从以下许多方面改善计算效率。
１容易选取初始值，扩大收敛域。往往选取了切割变量的初值后，中间变 量的初值就变得非常容易选取，甚或可直接计算出来。

第5章非线性方程(组)迭代法内容5.1 根的搜索5.2 迭代法的构造及收敛性5.3 方程求根的牛顿迭代法5.4 *非线性方程组的迭代法数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.例如在最优化问题min ()x I F x ∈中，设函数()F x 在区间I 上严格凸并可微，且()()F x f x '=，则求其极小点等价于求解方程()0f x =的根；若()f x 是一个非线性函数，则方程()0f x =是一个非线性方程。

若()0f x =是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组是非线性方程组。

本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。

§5.1 根的搜索⏹ 根的存在性：设函数[](),f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(),a b 内一定有实根*x ，称[],a b 为方程()0f x =的有根区间。

⏹ 二分法（是搜索方程()0f x =的根的一种计算简单的方法）。

● 基本思想：将有根区间[],a b 用其中点02a b x +=分为两半。

如果0()()0f x f a ⋅>，记 101,a x b b ==，方程的根11*(,)x a b ∈； 如果0()()0f x f a ⋅<，记 110,a a b x ==，方程的根11*(,)x a b ∈。

因此，新的有根区间为[]11,a b ，其长度为112b a b a --=．对有根区间[]11,a b 施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃L L其中[],k k a b 的长度为：02k k k b a b a --=→（当k →∞时）。

上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于()0f x =的根x *．只要二分足够多次(即k 充分大)，就能保证有2k k k k b a x x b a ε*--≤-≤<。

非线性方程组迭代法解多元非线性方程组的一个非线性迭代法第!”卷第!期!##”年$月西安公路交通大学学报%&’()*+&,-./*)0.123*45).67(8.94:&+;!”=>(?!##”文章编号@”##EA$”“!C!##”G#!A#”!$A#B解多元非线性方程组的一个非线性迭代法赵华敏H陈开周西安电子科技大学理学院H陕西西安CE”##E”G摘要@针对两种不同类型的多元非线性方程组分别构造了相应的常微分方程组初值问题H并讨论了非线性方程组的根与初值问题的解之间的关系I在8.94.*)E2.)*@xLb_VTSyV&((78>&)w.)1.).9.*+6*+’7>(&z+7{8&,84897{8&,&(w.)*(4w.,,7(7)9.*+7|’*9.&)8,&(8&+6.)193&w.,,7(7)9v+*8878&,84897{8&,)&)+.)7 *({’+9.6*(.*z+77|’*9.&)8*(7v&)89(’v97w?}(78>7v9.67+427(7+*9.&)82.>z79377)927(&&9&,8489 7{8&,)&)+.)7*(7|’*9.&)8*)w9278&+’9.&)?H&,927.).9.*+6*+’7>(&z+7{8.8w.8v’887w~*87w&)92.8*)&)+.)7*(.97(*9.67{792&w,&(8&+6.)1?? 84897{8&,)&)+.)7*({’+9.6*(.*z+77|’*9.&)8.81.67)}27{792&w.887v&)w&(w7(v&)67(17)9H?!.)*+ +49277,,7v9.67)788&,927{792&w.8.++’89(*97w3.928&组分别构造了相应的常微分方程自治系统H然后从理论上证明了该自治系统的积#分曲线&在(’&CH)*+时趋于非线性方程组(&G的一个实根I从而H应用文献$中的方法H我们就得”%本文提出的方法具有牛顿法的优点H同时克服了牛顿法的上述缺点H它不需要求,的逆H计算简单H从/CG&而能够有效地求解复杂的多元非线性方程组I-基本原理对多元非线性方程组,C&G’#HC”G}m式中@G’CCGHCGH/HCGG01H0,C&.&.&.&&”!mmm”为二阶连续可微函21)1H’”H!H/HH1H.lml数I到了解多元非线性方程组的一个具有二阶敛速的非线性迭代法I另外H解多元非线性方程组的最基本的方法是牛顿法H它具有二阶敛速H但它需要对,求逆H计算/CG&复杂H且求解过程中往往不能保证,的逆存在I/CG&收稿日期@!###A#BA!B作者简介@赵华敏C女H河南郑州人H西安电子科技大学博士生”DEFAGH类似于文献$我们设非线性方程组C的全!%H”G部实根包含在m维立方体’40157&78H’CHH/HG01H3&66666#”!m}m:内H的任一’CHH/HG019”G8888&为方程组C”!m固定实根Hm维立方体m}m万方数据第/期赵华敏,等_解多元非线性方程组的一个非线性迭代法2./j’2’%&(*$*+,”-,,0,1%&,!”#$)))))./’2’内仅含有方程组-的实根”-,,0,1%&3.1++++./’44且在!上;#5,78-,1,”.,/,0,,$,$3)+9:6’66662-/1@A@一种特殊类型的多元非线性方程组及其数值解法ee;Uf--C$1$1由文献5中的讨论可知,式-至少是二阶的C.7j1 对称负定的情形.A.A/”??$-?1”$,$%!由假设可知,初值问题-的积分曲线$k1”$-,,E$1?,J?存在且唯一C$%!E定理I常微分方程自治系统-一致渐近稳k14定收敛于多元非线性方程组-在!内的根$.1C证明类似于定理.C定理d当E初值问题-的积分曲‘ab时,k14线$趋于多元非线性方程组-的根$”$-,.1,E$14即Q”$C-,Rc$E$1E‘ab下面,我们讨论对B$对称正定或者%!,=-1若对B$对称正定,则可构造与非线%!,=-1”;??$-?1”$,$%!由前面的假设知,初值问题-的积分曲线I1$”$-E,$1,$%!,EJ?是存在且唯一的C定理.常微分方程自治系统-一致渐近稳I14在!内的根$定收敛于多元非线性方程组-.1C/证明考虑函数K-此处及-1L/-1”L/以下LML/均指N对B$且$,%!,>OPQRD范数144由假设知,而K-故K-为1S?,”?,1$,K-$$1$4正定函数T并且,沿积分曲线$当$”$-,,>$E$1同样,我们可得到相应的迭代公式eea.ee/hfif66$”$f1-g;.1if666a-6leel-m16”.,/,0,’,e”?,.,/,0MMeeeee式中_而f-,-”-”f$1$1f$16”f66”f66DEe2eUf-C-$1由文献5知,式-至少是二阶的C.7m1 时,有222“UK定理/当E初值问题-的积分曲线‘ab时,I1 4趋于多元非线性方程组-的根$即”$-,.1,$E$1E‘ab4QRc$-E,$1”$-d1定理/中的公式-给出了多元非线性方程组d14在!内的根$与初值问题-的积分曲线$-.1I1”?之间的关系C因此,我们可以通过对问题--,I1$E$14进行求解,从而得到方程组-在!内的根$.1C采用文献5中提出的二阶显式单步法来解问.7定理j常微分方程自治系统-一致渐近稳p14定收敛于多元非线性方程组-在!内的根$.1C证明类似于定理.C定理k当E初值问题-的积分曲‘ab时,p14线$趋于多元非线性方程组-的根$”$-,.1,E$14即Q-,”$CRc$E$1E‘ab2特别地,若取o-则自治系统-1”我们可得到迭代公式题-I1, ea.ee/hfife;-1-1i$fg66;.f6”$666MeeM-j1“.,/,0,,”?,.,/,06’e式中_-,f$16”f6e万方数据e而-”f$16”f6MeMee-”f$16DE化为56X西安公路交通大学学报6++5年*&(“)$%&’(“)!#(2)++”01(+)$”,”*令3(且3()$&’()),)$(),”“&(““4”5( *则迭代公式为(),7,()),4”4”689:5996“$”4)(>99=4?4;;J”5I(“)$”“$+5:(“)$%”&lt;%J$+I6:665:”6:”“J(“)$%6”$+I J6:”J:J*在1$L0MNP”PQ,$(%6,%6,%6),”OOQ*S中的实根”的近似值C$(+,+,+)R*解令&(由式(),(),()),)$(“I”I”“I56J+*取初始点”可得该方程组(5+)$(%5,%5,%5)%5)?4>9;(5+);$5,6,7,8,9$+,5,6,7AA99999式中@而4(,($4($4”)”)”);;$4;;;$4!#9*9%B4((C”)3”);同样,式(至少是二阶的C5+)的近似根为S*“U(%+EWXWWX5,+E+WTJJ5,%5E5X65T5),9:5%55而F&(F6$2E22XKWTH5+C”)D数值试验下面我们给出利用上节的迭代公式解多元非线性方程组的一些数值试验结果(在迭代公式中,取步9:5长=且终止条件为F&($+E++5,F6G5E+H”)%5+5+)C例5求二元非线性方程组JI(“)$J”$+55:”5:”6:5”6(“)$”“$+I65:66:&lt;%K6*在1$L0MNP”PQ,$(%5,%5),$”OOQ*S中的实根”的近似值C(5,5)R*解令&则&对称()$((),()),’()”I”I”“56+*正定,故由公式(取初始点”可得该T)$(%5,+)Y结语本文针对两种不同类型的多元非线性方程组分别构造了相应的常微分方程自治系统,并讨论了多元非线性方程组的根与初值问题的积分曲线之间的关系C从而,通过对初值问题进行求解,就可得到非线性方程组的根C这样,再使用文献Z 中的迭代公5[式,我们就得出了解多元非线性方程组的一个非5而F&(F6$2E2VJJ5XH5+C”)例6求三元非线性方程组责任编辑Z孙守增[百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆11。