当前位置：文档之家 › 三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

  • 格式：doc
  • 大小：84.50 KB
  • 文档页数：5

1
三角形内外角平分线有关命题的证明及应用
在中考或平时的练习中目中，常有与三角形内外角平分线有关的题目，如何举一反三事
半功倍。与平时的积累训练有很大的关系，一分耕耘一分收获。

命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°+∠A．
证明：如图１：

∵∠1＝∠，∠２＝∠，
∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠D=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠D③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠D④
把③代入④得：
∴180°－∠D＋∠A＝∠D

∠D=90°+∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.

命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．

证明：如图２：
∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠D=180°－∠1－∠2

=180°－（∠DBE+∠DCF）
2

=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）
=180°－ （∠A+180°）
=180°－ ∠A－90°
=90°－ ∠A；
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形
的内角和等于180°，可以证明.

命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠
A．
证明：如图3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②

①×代入②得：
∠E=∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证
明.

命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证
明:AE是△ABC的外角平分线.
3

证明：如图3：
∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF
∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分线．
点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．
应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．
例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．
①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.
②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？

解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－ ∠A=90°－ ×60°=60°

②根据命题2的结论∠P=90°－ ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成
的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．

点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直
角三角形和钝角三角形．

例２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，
∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，„，若∠A=96°，则∠= 度．
4

解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A．
可以直接得：∠=×96°=3°．
点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．
例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的

外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠
CAP=_______________．


解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命

题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．
点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一
定做的出来的题目．
例４ (2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，
则∠AEB= 度．
5

解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的
结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°
点评 从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．

拓展练习：
1 如图所示，D、E、F分别是∠△ABC，△ABD，△
BDF的内心，如果∠BFE的度数为整数，请同学们计算一
下，∠BFE的度数最小是多少?

2如图，在 △ABC中，∠A=96 。，延长BC到D，∠ABC与∠ACD
的平分线相交于A1点，∠A1BC与∠A1CD 的平分线相交于A2点，
依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于A5，求∠A5的度数。

第3题图

第4题图

合集下载

八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理

八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理


４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角 ６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
• • • • • １．全等三角形的对应边相等． ２．角平分线的性质定理 ３．等角对等边 ４．等腰三角形的三线合一 ５.垂直平分线的性质定理
（练习）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E
用
A M
小区C P
N O B
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
做一做
1
三角形内角的角平 分线
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且 OD=2米
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
B
交换定理的条件和结论得到的命题为：
合作探究
′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上. B 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
高中数学垂直平分线与角平分线的证明与应用

高中数学垂直平分线与角平分线的证明与应用

高中数学垂直平分线与角平分线的证明与应用在高中数学中，垂直平分线和角平分线是两个重要的概念和性质。

它们在几何证明和应用问题中起着重要的作用。

本文将从证明和应用两个方面，详细介绍垂直平分线和角平分线的相关知识。

一、垂直平分线的证明与应用垂直平分线是指一条直线将一条线段分成两个相等的部分，并且与这条线段垂直相交。

在几何证明中，垂直平分线的性质经常被应用于证明两个线段相等或两个角相等。

例如，考虑以下问题：已知四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO。

证明AC=BD。

解法：连接OA、OB、OC、OD，并延长OB、OD分别交AC于点E、F。

由于AO=CO，所以∠OAE=∠OCE；又由于BO=DO，所以∠OBF=∠ODF。

根据垂直平分线的性质，可知AE=CE，BF=DF。

又因为三角形ABE与三角形CFD有共边BE=DF，∠ABE=∠CFD，∠BAE=∠DCF，根据ASA（边角边）的证明方法，可得三角形ABE≌三角形CFD。

因此，AC=BD。

这个例子中，垂直平分线的性质被应用于证明两个线段相等。

在实际问题中，我们也可以利用垂直平分线的性质来解决一些实际应用问题，比如建筑设计中的布线问题、地图中的测量问题等。

二、角平分线的证明与应用角平分线是指一条直线将一个角分成两个相等的角，并且与这个角的两边相交。

在几何证明中，角平分线的性质经常被应用于证明两个角相等或两个线段成比例。

例如，考虑以下问题：在三角形ABC中，角BAC的角平分线交BC于点D，证明AB/AC=BD/DC。

解法：连接AD，并延长AD交BC的延长线于点E。

根据角平分线的性质，可知∠BAD=∠DAC，所以三角形ABD与三角形ACD的两个角相等。

根据相等角对应的边成比例，可得AB/AC=BD/DC。

这个例子中，角平分线的性质被应用于证明两个线段成比例。

在实际问题中，我们也可以利用角平分线的性质来解决一些实际应用问题，比如测量角度、设计图形等。

八年级数学上册三角形中的边角关系、命题与证明专题强化四三角形角平分线的应用省公开课一等奖百校联赛赛课

八年级数学上册三角形中的边角关系、命题与证明专题强化四三角形角平分线的应用省公开课一等奖百校联赛赛课


2．如图，△ABC中，∠B＝40°，∠EAD＝10°，AD⊥BC于D，AE是∠
BAC的平分ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的平分线的交点，若∠A＝ 60°，则∠P等于 60° .
4．一个三角形的三条外角平分线围成的三角形一定是 锐角 “锐角”“钝角”或“直角”)．
数学 八年级 上册 • HK
秋季
第13章 三角形中边角关系 、命题与证实
专题强化四 三角形角平分线应用
第1页
1．如图，∠MAN＝100°，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平
分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为( B )
A．40°
B．50°
C．80°
D．随点B、C的移动而变化
第6页
＋∠OCB＋∠BOC＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋2∠BOC＝360°，∴2∠
BOC－∠A＝180°.∴∠BOC＝90°＋12∠A.∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，∴
∠A＝180°－50°－60°＝70°.∠BOC＝90°＋12×70°＝125°；
第4页
(2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠ BOC的度数； 解：∠BOC＝90°＋21∠A＝125°； (3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数． 解：∠BOC＝90°＋21n°.
三角形(填
第3页
5．如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
(1)∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由； 解：∵BO、CO是角平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB.∵∠
ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴2∠OBC＋2∠OCB＋∠A＝180°，∵∠OBC
有关三角形角平分线的有趣问题的讨论

有关三角形角平分线的有趣问题的讨论

有关三角形角平分线的有趣问题的讨论前言：角平分线这个词我们并不陌生,初中时,我们便知道等腰三角形两底角的平分线相等、全等三角形对应角平分线相等的一些有关三角形角平分线的定理,今天就让我们更加深入的探究角平分线的特性吧！正文：一．斯坦纳—雷米欧司定理尽然我们知道“等腰三角形两底角的平分线相等”是一个真命题,那么我们便可以猜想：它的逆命题是否也是真命题呢？也就是“有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”是否成立？在两千多年前,欧几里得在他的经典巨著《几何原本》中便给出了上述第一个命题的证明,但是他却没有能够证明第二个命题也就是第一个命题的逆命题。

直到十八世纪,雷米欧司重新提出这个题目,著名的德国几何学家斯坦纳才给出了这个逆命题的证明。

所以,现在大家都把它叫“做斯坦纳—雷米欧司定理”既然连欧几里得也无法证明的命题,我们中学生该如何下手呢？自然地,我们便想到要不从最简单的方式入手吧？①反证法：我们先将命题化为几何语言：如图,已知BP、CQ分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线,且BP=CQ 求证：△ABC是等腰三角形证明：如上图,设∠ABP=∠PBC=½∠ABC=β,∠ACQ=∠QCB=½∠ACB=α设BP与CQ交点为O（这样要证明△ABC为等腰三角形便要转换为证明α=β）若α＞β,于是在线段OP上可以取一点R使∠RCD=β且BR＜BP在△BQC与△CRB中∵∠BQC=180°－(2β+α),∠CRB=180°－(2β+α)∴∠BQC=∠CRB又∵α＞β∴∠QBC＜∠RCB根据正弦定理 BR =Sin∠RCB ＞ Sin∠QBC =CQBC Sin∠CRB Sin∠BQC BC∴BR＞CQ=BP 这与BR＜BP矛盾故α＞β不成立同理可证α＜β也不成立∴α只能与β相等∴∠ABC=∠ACB∴△ABC为等腰三角形同学们是否感觉到用反证法证明很容易呢？其实,斯坦纳一开始也是用反证法证明的,但他的方法比我们的方法更烦琐些,命题已经证完了,大家终于可以松一口气了,但是我们知道,反正法毕竟不能取代纯几何证法,纯几何证法才是能够使几何命题完善的。